1.3.2 球的体积和表面积PPT教学课件
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1.3.2_球的表面积和体积_课件
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掌握球的表面积公式、体积公式的推导过程及主要思 想进一步理解分割→近似求和→精确求和的思想方法．
会用球的表面积公式、体积公式解快相关问题，培养 学生应用数学的能力． 能解决球的截面有关计算问题及球的“内接”与“外 切”的几何体问题．
3
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1.3.2《球的表面积和体积》
1
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教学目标
重点难点
球的体积
球表面积
退出
2
例题讲解
课堂练习
课堂小结
课堂作业 封底
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教学目标
掌握球的体积、表面积公式．
1 1 1 1 V S1h1 S2 h2 S3 h3 Sn hn 3 3 3 3
15
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球的表面积
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第 三 步： 化 为 准 确 和
O
hi
S i
Vi
如果网格分的越细,则: “小锥 体”就越接近小棱锥
那么圆的面积就近似等 于R .
2
6
Hale Waihona Puke 金太阳教育网球的体积
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当所分份数不断增加时，精确程度就越来越高；当 份数无穷大时，就得到了圆的面积公式． 分割 求近似和 化为准确和
下面我们就运用上述方 法导出球的体积公式
即先把半球分割成n部分，再求出每一部分的近似体积， 并将这些近似值相加，得出半球的近似体积，最后考虑n变 为无穷大的情形，由半球的近似体积推出准确体积．
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新人教球的体积PPT教学课件
（3）长度为1的向量叫单位向量。
思考：把所有单位向量的
起点集中于一点o，问它
o
们终点的轨迹是什么？
答：如图：轨迹是以o为圆 心，半径为1的圆。
我们知道：对于一个向量，只要不改
变它的大小和方向，是可以任意平行移动
的，与起点无关。这就是常说的：自由向 量。
例子
任一组平行向量都可以移到同一直线上， 因此，平行向量也叫共线向量。
<>
返回
退出
例2：如图设o是正六边形ABCDEF的中
心，分别写出图中与OA向、O量B
（1）相等的向量； （2）共线的向量
解：
B
A
（1）OA CB DO C
OB DC EO
D
O
F
E
（2）OA、CB、DO、EF 为一组共线向量，
OB、DC、EO、AF 为一组共线向量，
<>
返回
退出
练习：已知D、E、F分别是 △ABC各边的终点，
B（终点）
注意字母的顺序是：起点在前，终点在后.
有向线段AB的长度：|AB|
有向线段的三要素：起点、方向、长度.
<>
返回
退出
2）向量的表示法：
yB
①几何表示法：用有向线段表示向量
有向线段的方向表示向量的方向
有向线段的长度表示向量的大小. 0
②字母表示：
a
A x
Ⅰ、用有向线段的起点和终点的大写字母加箭
1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来
的几倍?
8倍
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是
4cm,求这个球的体积.
32 3
变式3.有三个球,一球切于正方体的各面, 一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体 的各顶点,求这三个球的体积之比.
思考：把所有单位向量的
起点集中于一点o，问它
o
们终点的轨迹是什么？
答：如图：轨迹是以o为圆 心，半径为1的圆。
我们知道：对于一个向量，只要不改
变它的大小和方向，是可以任意平行移动
的，与起点无关。这就是常说的：自由向 量。
例子
任一组平行向量都可以移到同一直线上， 因此，平行向量也叫共线向量。
<>
返回
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例2：如图设o是正六边形ABCDEF的中
心，分别写出图中与OA向、O量B
（1）相等的向量； （2）共线的向量
解：
B
A
（1）OA CB DO C
OB DC EO
D
O
F
E
（2）OA、CB、DO、EF 为一组共线向量，
OB、DC、EO、AF 为一组共线向量，
<>
返回
退出
练习：已知D、E、F分别是 △ABC各边的终点，
B（终点）
注意字母的顺序是：起点在前，终点在后.
有向线段AB的长度：|AB|
有向线段的三要素：起点、方向、长度.
<>
返回
退出
2）向量的表示法：
yB
①几何表示法：用有向线段表示向量
有向线段的方向表示向量的方向
有向线段的长度表示向量的大小. 0
②字母表示：
a
A x
Ⅰ、用有向线段的起点和终点的大写字母加箭
1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来
的几倍?
8倍
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是
4cm,求这个球的体积.
32 3
变式3.有三个球,一球切于正方体的各面, 一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体 的各顶点,求这三个球的体积之比.
人教版高中数学课件-球的表面积和体积
球的體積
已知球的半徑為R,用V表示球的體積.
A
A
r3
O
C2
r2
B2
O
r1
r1
R2 R,
r2
R2 (R)2 , n
r3
R2 (2R)2 . n
球的體積 A
ri
O
R (i 1) n
R
O
第i层“小圆片”下底面的半径：
ri
R2 [ R (i 1)]2 , i 1,2, n. n
球的體積
1.3.2球的表面積和體積
球
人類的家－－地球
人類未來的家－－火星
探索火星的航太飛船
實際問題
如果用油漆去塗一個乒乓球和一個籃球，且塗 的油漆厚度相同，問哪一個球所用的油漆多？為 什麼？
實際問題
一個充滿空氣的足球和一個充滿空氣的籃球， 球內的氣壓相同，若忽略球內部材料的厚度，則 哪一個球充入的氣體較多？為什麼？
(n
1) n (2n 6
1) ]
12 22 (n 1)2 (n 1)n(2n 1)
6
R 3[1
1 n2
(n
1)(2n 6
1) ]
球的體積
1
1
(1 )(2 )
V半球 R 3 [1
n
n]
6
当n 时, 1 0. n
V半 球
2 R3
3
从而V 4 R3 .
3
定理：半径是R的球的体积为：V 4 R3
解： 3設球 2的 內徑是2xcm，那麼球的品質為：
7.9 4 50 517054 (g) 3
x 11239.42, 3
解得： x 22.4.
2x 44.8.
《球的表面积和体积》人教版高中数学必修二PPT课件(第1.3.2课时)
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是 1: 2 2 .
(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是 1: 3 4 .
2、若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为（ A ）
（A）2:1 (B) 2:3 (C) 2:
(D) 2:5
随堂练习
立体图形的内切和外接问题 例4：求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比。
初态温度T1＝(273＋27) K＝300 K
由 p1V1 p2V2
T1
T2
V2 =
p1T2 p2T1
V1
6.25 m3
课堂训练
3.如图所示，粗细均匀一端封闭一端开口的U形玻
璃管，当t1＝31 ℃，大气压强p0＝76 cmHg时，
两管水银面相平，这时左管被封闭的气柱长L1＝8
10.9150 1635(朵)
答：装饰这个花柱大约需要1635朵鲜花．
新知探究
例3、如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：
（1）球的体积等于圆柱体积的 2 ； 3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
RO
随堂练习
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 2 倍.
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的 4 倍.
3、从微观上说：分子间以及分子和器壁间，除碰撞外无其他作用力，分子本身没有体积，即它 所占据的空间认为都是可以被压缩的空间。
4、从能量上说：理想气体的微观本质是忽略了分子力，没有分子势能，理想气体的内能只有分 子动能。
一、理想气体
一定质量的理想气体的内能仅由温度决定 ,与气体的体积无关.
例1.（多选）关于理想气体的性质，下列说法中正确的是( ABC )
人教版数学高一必修二1.3.2 球的体积和表面积 (共29张PPT)
球半径的求法
——数学必修2
球的概念
•球的旋转定义
半圆以它的直径为旋转轴，旋 转所成的曲面叫做球面.球面所 围成的几何体叫做球体.
•球的集合定义
与定点的距离等于定长的点的集
合，叫做 球面 。
与定点的距离等于或小于定长的
点的集合，叫做球体。
球表面积公式： S 4 R2
球体积公式：
V 4 R3
A C
P
O B
变式：已知球O的面上四点A、B、C、D，DA 平面 ABC，AB BC, DA AB BC a,则球O的体积等于
类型二、直棱柱
例2：已知三棱锥P-ABC中，三角形ABC为等边三角形， 且PA=8，PB=PC= 73，AB=3，则其外接球的体积为
类型三、对棱相等
r 6a 12
6 r内 12 a
R棱＝
2a 4
R外＝
6 4
a
正四面体的外接球和内切球的球心一定重合
课后练习：利用直角三角形勾股定理求正四面体 的外接球、内切球半径。
P
R A
R O
M B
C D
练习一
课堂练习
1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿8 倍.
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm, 这个球的体积为＿＿＿cm3.
R＝ 2 a 4
正四面体的外接球和棱切球的球心重合。
3.求棱长为a的正四面体的内切球的半径r.
1
1
P
V 3 S底面积 h 3 S全面积 r
S底面积 h S全面积 r
O
S底面积 r 1 S全面积 h 4
A
C M
D
B
r1h 4
——数学必修2
球的概念
•球的旋转定义
半圆以它的直径为旋转轴，旋 转所成的曲面叫做球面.球面所 围成的几何体叫做球体.
•球的集合定义
与定点的距离等于定长的点的集
合，叫做 球面 。
与定点的距离等于或小于定长的
点的集合，叫做球体。
球表面积公式： S 4 R2
球体积公式：
V 4 R3
A C
P
O B
变式：已知球O的面上四点A、B、C、D，DA 平面 ABC，AB BC, DA AB BC a,则球O的体积等于
类型二、直棱柱
例2：已知三棱锥P-ABC中，三角形ABC为等边三角形， 且PA=8，PB=PC= 73，AB=3，则其外接球的体积为
类型三、对棱相等
r 6a 12
6 r内 12 a
R棱＝
2a 4
R外＝
6 4
a
正四面体的外接球和内切球的球心一定重合
课后练习：利用直角三角形勾股定理求正四面体 的外接球、内切球半径。
P
R A
R O
M B
C D
练习一
课堂练习
1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来的＿8 倍.
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是4cm, 这个球的体积为＿＿＿cm3.
R＝ 2 a 4
正四面体的外接球和棱切球的球心重合。
3.求棱长为a的正四面体的内切球的半径r.
1
1
P
V 3 S底面积 h 3 S全面积 r
S底面积 h S全面积 r
O
S底面积 r 1 S全面积 h 4
A
C M
D
B
r1h 4
课件3：1.3.2 球的体积和表面积
4π5hπ2h2＝
25．
跟踪训练4 若两球的表面积之差为48π，它们的半径之和 为6，求两球的体积之差．
解 设两个球的半径分别为 R，r(R>r)，
则由题意得 4πR2－4πr2＝48π， R＋r＝6，
∴(R＋r)·(R－r)＝12， ∴R－r＝2， ∴R＝4，
R＋r＝6，
R＋r＝6， r＝2.
两球的体积之差43π×43－43π×23＝43π(43－23)＝2234π.
∴该圆锥的体积和此球体积的比值为4338ππrr33＝392.
答案：
9 32
跟踪训练2 在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、 PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝a，求这个球的体积． 解 ∵PA、PB、PC 两两垂直，PA＝PB＝PC＝a， ∴以 PA、PB、PC 为相邻三条棱可以构造正方体． 又∵P、A、B、C 四点是球面上四点， ∴球是正方体的外接球，正方体的体对角线是球的直径．
(3)∵V 球＝43πR3＝5030π，∴R3＝125，R＝5， ∴S 球＝4πR2＝100π.
跟踪训练 1 如果两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的 表面积之比为________． 解析 根据球的体积及表面积公式可知，两个球的体积之比等 于半径之比的立方，表面积之比等于半径之比的平方． ∵两个球的体积之比为8∶27，∴两个球的半径之比为2∶3， ∴两个球的表面积之比为4∶9. 答案：4∶9
谢 谢！
将球取出后，设容器中水的深度为 h，则水面圆的半径为 33h， 水的体积恒定， 则容器内水的体积是 V′＝13π·( 33h)2·h＝19πh3. 由 V＝V′，得 h＝3 15r. 即这时容器中水的深度为3 15r.
跟踪训练 3 将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，
1.3.2球的体积和表面积 课件
的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积
为16+20π ,则r=( B )
A.1
B.2
C.4
D.8
【解析】由正视图和俯视图知,该几何体是半球
与半个圆柱的组合体,圆柱的底面半径与球的半 径都为r,圆柱的高为2r,其表面积为 1 ×4πr2+
2
πr×2r+πr2+2r×2r=5πr2+4r2=16+20π,
R=6,
则球 O 的表面积为 S=4πR2=144π.
5.一个球的半径扩大到原来的3倍，则其表面积扩大 到原来的__9_倍，体积扩大到原来的_2_7_倍.
【解析】设球原来的半径为R，表面积为S表，体积为
V，则扩大后的半径为3R，表面积为 S表，体积为V′,
所以
S表 S表
=
4π(3R)2 4πR2
体积的最大值为 36,则球 O 的表面积为 ( C )
A.36π B.64π C.144π D.256π
【解析】如图所示,当点 C 位于垂直
于面 AOB 的直径端点时,三棱锥 O-ABC
的体积最大,设球 O 的半径为 R,此时
V =V = O-ABC C-AOB
1 3
×
1 2
R2×R=
1 6
R3=36,故
球的表面积是大圆 面积的4倍
球的体积与表面积
1.球的体积公式： V = 4 R 3. 3
2.球的表面积公式： S = 4 R 2 .
例1 如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径.
求证：
（1）球的体积等于圆柱体积的 2. 3
（2）球的表面积等于圆柱的侧面积.
证明:（1）设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，
人教A版高中数学必修二课件第一章1.3.2球的体积和表面积(共41张PPT)
3
答案：288πcm3
5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为
底3面2边，长为，则以O为3 球心，OA为半径的球的表面积为
2
_______.
【解析】设正四棱锥的高为h，则 1
3
2
h
3
2，
3
2
解得高h=则3 底2 .面正方形的对角线长为
2
2 3 6，
所以OA=所(3以2球)2的 (表6面)2积为6,
(3)此类问题的具体解题流程：
【变式训练】正方体的内切球和外接球的半径之比为()
A.∶31B.∶2C.2∶3 D.∶3
3
3
【解析】选D.设正方体的棱长为a,则内切球半径为 a ,
2
外接球半径为所以3a 半, 径之比为1∶=∶3. 3 3
2
【规范解答】有关球的计算问题 【典例】【条件分析】
【规范解答】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
3
3
答案：(1)√(2)√(3)×(4)√
【知识点拨】 1.对球的三点说明 (1)球的表面是曲面,不能展开在一个平面上,因此没有展开图. (2)球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的任何 截面均为圆面,它的三视图也都是圆. (3)球是一个封闭的几何体,既包括球的表面,又包括球面所包 围的空间.
【解题探究】1.求球的体积和表面积的关键是什么？ 2.两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系？ 3.两个铁球熔化为一个球后,哪一个量是不变的？ 探究提示： 1.关键是确定球的半径. 2.两个球的体积之比等于两个球的半径比的立方,表面积之比 等于两个球的半径比的平方. 3.体积不变，即两个小球的体积和应与大球的体积相同.
答案：288πcm3
5.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥O-ABCD的体积为
底3面2边，长为，则以O为3 球心，OA为半径的球的表面积为
2
_______.
【解析】设正四棱锥的高为h，则 1
3
2
h
3
2，
3
2
解得高h=则3 底2 .面正方形的对角线长为
2
2 3 6，
所以OA=所(3以2球)2的 (表6面)2积为6,
(3)此类问题的具体解题流程：
【变式训练】正方体的内切球和外接球的半径之比为()
A.∶31B.∶2C.2∶3 D.∶3
3
3
【解析】选D.设正方体的棱长为a,则内切球半径为 a ,
2
外接球半径为所以3a 半, 径之比为1∶=∶3. 3 3
2
【规范解答】有关球的计算问题 【典例】【条件分析】
【规范解答】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，
3
3
答案：(1)√(2)√(3)×(4)√
【知识点拨】 1.对球的三点说明 (1)球的表面是曲面,不能展开在一个平面上,因此没有展开图. (2)球既是中心对称的几何体,又是轴对称的几何体,它的任何 截面均为圆面,它的三视图也都是圆. (3)球是一个封闭的几何体,既包括球的表面,又包括球面所包 围的空间.
【解题探究】1.求球的体积和表面积的关键是什么？ 2.两个球的体积之比和表面积之比分别与半径有何关系？ 3.两个铁球熔化为一个球后,哪一个量是不变的？ 探究提示： 1.关键是确定球的半径. 2.两个球的体积之比等于两个球的半径比的立方,表面积之比 等于两个球的半径比的平方. 3.体积不变，即两个小球的体积和应与大球的体积相同.
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1.3.2 球的体积和表面积PPT名师课件
1.3.2 球的体积和表面积PPT名师课件
两个几何体相切:一个几何体的各个面与另 一个几何体的各面相切.
两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都 在另一个几何体的表面上
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1.3.2 球的体积和表面积PPT名师课件
复习回顾
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第二步：求近似和
Si
hi
O
O
Vi
Vi 13Sihi
由第一步得： V V 1 V 2 V 3 . . V .n
V 1 3 S 1 h 1 1 3 S 2 h 2 1 3 S 3 h 3 . .1 3 .S n h n
1.3.2 球的体积和表面积PPT名师课件
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第三步：转化为球的表面积
Si
hi
如果网格分的越细,则: “小锥体”就越接近小棱锥。 hi 的值就趋向于球的半径R
Vi
Si
R
O Vi
V 1 3 S iR V1 3 i S 2 R 13 S1 3 iRS 3 R . .1 3 . S n R
1 3 R ( S i S 2 S 3 .. .S n ) 1 3 R①S
2x4.5
答:空心钢球的内径约为4.5cm.
1.3.2 球的体积和表面积PPT名师课件
1.3.2 球的体积和表面积PPT名师课件
(变式2)把钢球放入一个正方体的有盖纸 盒中,至少要用多少纸? 用料最省时,球与正方体有什么位置关系?
球内切于正方体 侧棱长为5cm
S侧65215c0m 2
1.3.2 球的体积和表面积PPT名师课件
V半球 V 1V2 Vn n R3[n1222 n2(n1)2]
n R3[nn 12(n1)n 6(2n1)] R3[1n 12(n1)62 (n1)]
1.3.2 球的体积和表面积PPT名师课件
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定理:半径是R的球的体积 V 4 R3 3
例1.钢球直径是5cm,求它的体积. V4R34(5)312c5m 3 3 32 6
1.3.2 球的体积和表面积PPT名师课件
1.3.2 球的体积和表面积PPT名师课件
1.两种方法:化整为零的思想方法和“分割,求 和,取极限”的数学方法.
2.一个观点:在一定条件下,化曲为直的辨证观
点.
3.一个公式:半径为R的球的体积是V
4
R 3
3
4.解决两类问题:两个几何体相切和相接
作适当的轴截面
球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。 球(即球体):球面所围成的几何体。
它包括球面和球面所包围的空间。
半径是R的球的体积： V 4R3
3
推导方法：
分割 求近似和 化为准确和
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2、球的表面积 1.3.2 球的体积和表面积PPT名师课件
第一步：分割
O
球的体积: V 4 R3 ②
由①② 得:
3
S4π2R
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练习一：
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的—2倍。
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的—4倍。
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是———。
1.3.2 球的体积和表面积PPT名师课件
Si
O
Vi
球面被分割成n个网格， 表面积分别为：
S 1 ， S 2 ， S 3 . .S n . 则球的表面积：
S S 1 S 2 S 3 . . S . n
设“小锥体”的体积为：Vi 则球的体积为：
V V 1 V 2 V 3 . . V .n
1.3.2 球的体积和表面积PPT名师课件
1.3.2 球的体积和表面积
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1.3.2 球的体积和表面积PPT名师课件
1、球的A体积 1.3.2 球的体积和表面积PPT名师课件
已知球的半径为R A
ri
Ci
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Bi
O
O.
C2 O
B2
r1 R2 R,
r2
R2 (R)2 , n
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变式1：一种空心钢球的质量是142g,外径 是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2) 解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球
的质量是 7.9[4(5)34x3]142
3 23
x3(5 2)371.94 42 3 1.1 3 由计算器算得: x2.24
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1.球的直径伸长为原来的2倍,体积变为原来
的几倍?
学科网，zxxk.fenghuangxueyi
8倍
2.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是
4cm,求这个球的体积.
32 3
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1: 2 2
(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是—1—: 3 —4。
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例1、如图表示一个用鲜 花作成的花柱，它的下面 是一个直径为1m、高为3m 的圆柱形物体，上面是一 个半球形体。如果每平方 米大约需要鲜花150朵， 那么装饰这个花柱大约需 要多少朵鲜花（π取3.1)？
变式3.有三个球,一球切于正方体的各面, 一球切于正方体的各侧棱,一球过正方体 的各顶点,求这三个球的体积之比.
作轴截面
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例2、某街心花园有许多钢球（钢的密度 是7.9g/cm3),每个钢球重145kg，并且外 径等于50cm，试根据以上数据，判断钢 球是实心的还是空心的。如果是空的,请 你计算出它的内径（π取3.14，结果精确 到1cm）。
r3
R2 (2R)2, n
ri
R2[R(i1)2 ],i1,2 ,n n
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问题:已知球的半径为R,用R表示球的体积.
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