球的体积和表面积课件新课标
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高中数学新课标人教A版必修2：球的体积和表面积 课件
Si 表面积S与S1, S2,…, Sn有什么关系？
o
Vi 2. 分割越细密，即n越大，每一片的顶点
O
和球心的连线构成的几何体接近什么
几何体？其体积Vi可以如何近似求解？ 请列式表示出来.
3. 球的体积V可以如何表示？试着推导出球的表面积公式.
都是以R为自变量的函数
已知标准篮球的直径为24.6厘米，请大家计算篮 球的表面积和体积。
（2）正方体的各个顶点都在一个球 的球面上，已知正方体的棱长为a，求 该球的半径为多少?
谢谢大家
半径为R的球的体积
V球
4 3
R3
OR
刘徽割圆术
割之弥细，失之弥少 割之又割，以至于不可割 则与圆合体，而无所失矣
学生活动：切橙子
把半球分割成n个薄片
把半球分割成n个薄片
把半球分割成n个薄片
分割→取近似→求和→取极限
探究三
hi
1. 经线圈和纬线圈将球面分割成n片，这 n片的面积分别记为S1, S2,…, Sn，球的
回顾：球体的定义
探究一
已知半球的半径为R，圆柱和圆锥的底面半径为R，高也为R. （1）请观察一下这三个几何体的体积之间有什么大小关系？ （2）设圆柱的体积为V，试猜想半球的体积为多少？
请各小组用实验的方法验证你的猜想是否正确.
祖暅原理
幂势即同 积不容异
祖冲之
祖暅，字景烁，是著名数学 家祖冲之的儿子，也是南北朝时 代的伟大科学家。他于5世纪末提 出祖暅原理。在欧洲直到17世纪 ，才有意大利数学家卡瓦列里提 出相关结论，比西方国家的数学 家早一千多年。
球的体积和表面积
球体无处不在！
已知标准篮球的直径为24.6厘米，则制作和使用 篮球往往需要考虑：
o
Vi 2. 分割越细密，即n越大，每一片的顶点
O
和球心的连线构成的几何体接近什么
几何体？其体积Vi可以如何近似求解？ 请列式表示出来.
3. 球的体积V可以如何表示？试着推导出球的表面积公式.
都是以R为自变量的函数
已知标准篮球的直径为24.6厘米，请大家计算篮 球的表面积和体积。
（2）正方体的各个顶点都在一个球 的球面上，已知正方体的棱长为a，求 该球的半径为多少?
谢谢大家
半径为R的球的体积
V球
4 3
R3
OR
刘徽割圆术
割之弥细，失之弥少 割之又割，以至于不可割 则与圆合体，而无所失矣
学生活动：切橙子
把半球分割成n个薄片
把半球分割成n个薄片
把半球分割成n个薄片
分割→取近似→求和→取极限
探究三
hi
1. 经线圈和纬线圈将球面分割成n片，这 n片的面积分别记为S1, S2,…, Sn，球的
回顾：球体的定义
探究一
已知半球的半径为R，圆柱和圆锥的底面半径为R，高也为R. （1）请观察一下这三个几何体的体积之间有什么大小关系？ （2）设圆柱的体积为V，试猜想半球的体积为多少？
请各小组用实验的方法验证你的猜想是否正确.
祖暅原理
幂势即同 积不容异
祖冲之
祖暅，字景烁，是著名数学 家祖冲之的儿子，也是南北朝时 代的伟大科学家。他于5世纪末提 出祖暅原理。在欧洲直到17世纪 ，才有意大利数学家卡瓦列里提 出相关结论，比西方国家的数学 家早一千多年。
球的体积和表面积
球体无处不在！
已知标准篮球的直径为24.6厘米，则制作和使用 篮球往往需要考虑：
《球的体积与面积》课件
《球的体积与面积》PPT 课件
球的体积与表面积介绍
球的定义和特点
1 几何体
球是三维几何体，由无数个点构成，每个点与球心的距离相等。
2 形状规则
球的表面完全光滑，不具备棱角和边缘，是一种连续性的曲面。
3 球心与半径
球心是球的中心点，而半径是球心到球面上的任意一点的距离。
计算球的体积公式
体积公式
球的体积等于四分之三乘以 洛必达半径立方。
球表面积实例
用球的表面积公式计算5个颜色不同的球的总表面积。
常见问题解答
如何确定球的半径？
直接测量球面上的任意一点到球心的距离即可获得球的半径。
为什么球的体积和表面积公式中包含π？
π是一个数学常数，是圆形和球形的性质之一，用于计算圆和球的相关参数。
球的体积和表面积有什么应用？
球体积和表面积的计算在建筑、工程和科学领域中具有重要的应用，例如容器设计或液体储 存计量。
数学表示
体积 = (4/3) * π * r³
解释
球的体积是半径立方和一个 常数的乘积，常数值为4/3π。
计算球的表面积公式
表面积公式
球的表面积等于四乘以洛必达 半径平方。
数学表示
表面积 = 4 * π * r²
解释
球的表面积是半径平方和一个 常数的乘积，常数值为4π。
实例演示Βιβλιοθήκη 球体积实例用球的体积公式计算3个相同大小的球的总体积。
结论和总结
1
理解球的特点
通过定义和特点，我们了解了球的基本属性和形状。
2
计算球的体积和表面积
使用体积和表面积公式，我们可以准确计算球的容量和外表面积。
3
应用于实际问题
球的体积和表面积计算在各个领域中有着广泛的应用，助力解决实际问题。
球的体积与表面积介绍
球的定义和特点
1 几何体
球是三维几何体，由无数个点构成，每个点与球心的距离相等。
2 形状规则
球的表面完全光滑，不具备棱角和边缘，是一种连续性的曲面。
3 球心与半径
球心是球的中心点，而半径是球心到球面上的任意一点的距离。
计算球的体积公式
体积公式
球的体积等于四分之三乘以 洛必达半径立方。
球表面积实例
用球的表面积公式计算5个颜色不同的球的总表面积。
常见问题解答
如何确定球的半径？
直接测量球面上的任意一点到球心的距离即可获得球的半径。
为什么球的体积和表面积公式中包含π？
π是一个数学常数，是圆形和球形的性质之一，用于计算圆和球的相关参数。
球的体积和表面积有什么应用？
球体积和表面积的计算在建筑、工程和科学领域中具有重要的应用，例如容器设计或液体储 存计量。
数学表示
体积 = (4/3) * π * r³
解释
球的体积是半径立方和一个 常数的乘积，常数值为4/3π。
计算球的表面积公式
表面积公式
球的表面积等于四乘以洛必达 半径平方。
数学表示
表面积 = 4 * π * r²
解释
球的表面积是半径平方和一个 常数的乘积，常数值为4π。
实例演示Βιβλιοθήκη 球体积实例用球的体积公式计算3个相同大小的球的总体积。
结论和总结
1
理解球的特点
通过定义和特点，我们了解了球的基本属性和形状。
2
计算球的体积和表面积
使用体积和表面积公式，我们可以准确计算球的容量和外表面积。
3
应用于实际问题
球的体积和表面积计算在各个领域中有着广泛的应用，助力解决实际问题。
球的表面积与体积PPT课件
6，求半球的半径 . 4.长方体的共顶点的三个 侧面面积分别为 3，
5，15，求它的外接球表面积 .
四面体与球的“接切”问题
典型：正四面体ABCD的棱长为a，求 其内切球半径r与外接球半径R.
思考：若正四面体变成正三棱锥，方法 是否有变化？
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球 球心到多面体各顶点的距离均相等 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理 5、体积分割是求内切球半径的通用做法
R
2R
R
2
延伸阅读：割圆术
早在公元三世纪，我国数学家刘徽 为推导圆的面积公式而发明了“倍 边法割圆术”。
他用加倍的方式不断增加圆内接正
多边形的边数，使其面积与圆的面
积之差更小，即所谓“割之弥细，
所失弥小”。这样重复下去，就达
到了“割之又割，以至于不可再割， 思考：能否也
则与圆合体而无所失矣”。
采取“分割”与
球与正方体的“接切”问题
典型：有三个球,一球切于正方体的各面,一球切 于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求 这三个球的体积之比.
a
r1
a 2
a
r2
2a 2
a
r3
3a 2
a
2a
2a
•画出正确的截面：(1)中截面；(2)对角面 •找准数量关系
球与正方体的“接切”问题
1.一个正方体的顶点都在 球面上，它的棱长 是4cm，求这个球队体积. 2.钢球直径5cm，把钢球放入一个正方 体的 有盖纸盒中，至少要用 多少纸？ 3.半球内有一内接正方体 ，正方体的一个面 在半球的底面圆上，若 正方体的一边长为
5，15，求它的外接球表面积 .
四面体与球的“接切”问题
典型：正四面体ABCD的棱长为a，求 其内切球半径r与外接球半径R.
思考：若正四面体变成正三棱锥，方法 是否有变化？
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球 球心到多面体各顶点的距离均相等 2、正多面体的内切球和外接球的球心重合 3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不 重合 4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理 5、体积分割是求内切球半径的通用做法
R
2R
R
2
延伸阅读：割圆术
早在公元三世纪，我国数学家刘徽 为推导圆的面积公式而发明了“倍 边法割圆术”。
他用加倍的方式不断增加圆内接正
多边形的边数，使其面积与圆的面
积之差更小，即所谓“割之弥细，
所失弥小”。这样重复下去，就达
到了“割之又割，以至于不可再割， 思考：能否也
则与圆合体而无所失矣”。
采取“分割”与
球与正方体的“接切”问题
典型：有三个球,一球切于正方体的各面,一球切 于正方体的各侧棱,一球过正方体的各顶点,求 这三个球的体积之比.
a
r1
a 2
a
r2
2a 2
a
r3
3a 2
a
2a
2a
•画出正确的截面：(1)中截面；(2)对角面 •找准数量关系
球与正方体的“接切”问题
1.一个正方体的顶点都在 球面上，它的棱长 是4cm，求这个球队体积. 2.钢球直径5cm，把钢球放入一个正方 体的 有盖纸盒中，至少要用 多少纸？ 3.半球内有一内接正方体 ，正方体的一个面 在半球的底面圆上，若 正方体的一边长为
球的表面积和体积.ppt
A
RO C
B
2. 球的表面积 半径是R的球的表面积是
2. 球的表面积 半径是R的球的表面积是
S＝4R2
3. 球的体积 半径是R的球的体积是
3. 球的体积 半径是R的球的体积是
V 4 πR3 . 3
有一种空心钢球， 质量为142g， 测得外径等于5.0cm， 求它的内径 (钢的密度为7.9g/cm3, 精确到0.1cm)．
体积公式的应用.
1.3.2 球的体积 和表面积
复习引入
讲授新课
1．球的概念
A
RO C
B
讲授新课
1．球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
Aห้องสมุดไป่ตู้
RO C
B
讲授新课
1．球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
定点叫做球心，
定长叫做球的半径．
A
RO C
B
讲授新课
1．球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
定点叫做球心， 定长叫做球的半径．
与定点距离等 于定长的点的集合 叫做球面．
A
RO C
B
讲授新课
1．球的概念 与定点的距离等于或小于定长的点
的集合，叫做球体，简称球．
定点叫做球心， 定长叫做球的半径．
与定点距离等 于定长的点的集合 叫做球面．
圆柱的底面直径与高都等于球 的直径. (1) 求球的体积与圆柱体积之比； (2) 证明球的表面积等于圆柱的
侧面积.
探究 若正方体的棱长为a，则
⑴正方体的内切球直径＝ a
⑵正方体的外接球直径＝ ⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
高中数学必修二1.3.2《球的体积和表面积》课件
函数即S＝4πR2.
3．求球的表面积和体积关键是求出球的半径，为此常考虑
球的轴截面．
一个球内有相距9 cm 的两个平行截面，它们的面 积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积和体积． [提示] 因为题中并没有说明两个平行截面是在球心的 两侧，还是同侧，因此解题时应分类讨论．
[解] (1)当截面在球心的同侧时，如图所 示为球的轴截面．由球的截面性质，知
AO1∥BO2，且O1、O2分别为两截 面圆的圆心，则OO1⊥AO1， OO2⊥BO2. 设球的半径为R. ∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7. 同理，π·O1A2＝400π，∴O1A＝20.
设 OO1＝x，则 OO2＝x＋9. 在 Rt△OO1A 中，R2＝x2＋202， 在 Rt△OO2B 中，R2＝(x＋9)2＋72， ∴x2＋202＝72＋(x＋9)2.解得 x＝15.
设球O的半径为5，一个内接圆台的两底 面半径分别是3和4，求圆台的体积．
[错解] 如图，由球的截面的性质知， 球心到圆台的上、下底面的距离分别为 d1＝ 52－32＝4，d2＝ 52－42＝3. ∴圆台的高为 d1－d2＝h＝4－3＝1. ∴圆台的体积为 V＝13πh(r21＋r22＋r1r2) ＝13×π×1×(32＋42＋3×4)＝337π.
答案：D
探究点三 球的表面积和体积的实际应用
球是非常常见的空间几何体，应用比较广泛， 特别在实际生活中，应用球的表面积和体积公式解 决问题的例子更是普遍．
如图所示，一个圆锥形的空杯 子上放着一个直径为8 cm的半球形的 冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形 杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的 直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋 融化后不会溢出杯子，怎样设计最省 材料？ [提示] 应使半球的体积小于或等于圆锥的体积．可 先设出圆锥的高，再求其侧面积．
高中数学(新教材)《球的表面积和体积》课件
球的表面积和体积
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
核心概念掌握
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
知识点 球的表面积和体积
1．球的表面积
如果球的半径为 R，那么它的表面积 S＝ □01 4πR2 .
2．球的体积 如果球的半径为 R，那么它的体积 V＝
□02 43πR3 .
答案 (1)C (2)1 (3)43π (4)4π
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
答案
核心素养形成
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
题型一 球的表面积与体积 例 1 (1)已知球的直径为 6 cm，求它的表面积和体积； (2)已知球的表面积为 64π，求它的体积； (3)已知球的体积为5030π，求它的表面积．
R－r＝1， 4πR2－4πr2＝28π，
∴Rr＝＝34.，
∴它们的体积和为43πR3＋43πr3＝3634π.
(2)设球的半径为 R cm，由题意可知 2πR＝16π，解得 R＝8，
则 S 球＝4πR2＝256π(cm2).
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
解析
题型二 球的截面问题 例 2 一平面截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 α 的距离 为 2，则此球的体积为( ) A. 6π B．4 3π C．4 6π D．6 3π [解析] 利用截面圆的性质先求得球的半径长． 如图，设截面圆的圆心为 O′，M 为截面圆上任一点，
随堂水平达标
课后课时精练
2．做一做
(1)若球的过球心的圆面圆周长是 c，则这个球的表面积是( )
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知识点 球的表面积和体积
1．球的表面积
如果球的半径为 R，那么它的表面积 S＝ □01 4πR2 .
2．球的体积 如果球的半径为 R，那么它的体积 V＝
□02 43πR3 .
答案 (1)C (2)1 (3)43π (4)4π
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题型一 球的表面积与体积 例 1 (1)已知球的直径为 6 cm，求它的表面积和体积； (2)已知球的表面积为 64π，求它的体积； (3)已知球的体积为5030π，求它的表面积．
R－r＝1， 4πR2－4πr2＝28π，
∴Rr＝＝34.，
∴它们的体积和为43πR3＋43πr3＝3634π.
(2)设球的半径为 R cm，由题意可知 2πR＝16π，解得 R＝8，
则 S 球＝4πR2＝256π(cm2).
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题型二 球的截面问题 例 2 一平面截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 α 的距离 为 2，则此球的体积为( ) A. 6π B．4 3π C．4 6π D．6 3π [解析] 利用截面圆的性质先求得球的半径长． 如图，设截面圆的圆心为 O′，M 为截面圆上任一点，
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2．做一做
(1)若球的过球心的圆面圆周长是 c，则这个球的表面积是( )
球的体积、表面积 PPT课件 人教课标版
26.04.2019
18
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26.04.2019
10
复习回顾
球面：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面。
球(即球体):球面所围成的几何体。
它包括球面和球面所包围的空间。
4 3 半径是R的球的体积： V R 3
推导方法：
分割
26.04.2019
求近似和
化为准确和
11
2、球的表面积
第一步：分割
球面被分割成n个网格， 表面积分别为：
O
S ， S ， S ... S 1 2 3 n 则球的表面积：
S S S S ... S 1 2 3 n
Si
O
26.04.2019
Vi
Vi 设“小锥体”的体积为： 则球的体积为： V V V V ... V 1 2 3 n
S4πR
2
26.04.2019
14
练习一：
2
(2)若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的—倍。
(1)若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的—倍。
4
(3)若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是———。
1: 2 2
(4)若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是———。 3
1: 4
26.04.2019
球的体积、表面积
1-3-2 球的体积和表面积(共43张PPT)
等，设球半径为 R，则VV球 柱＝π·43Rπ2R·23R＝23.
长方体的三条棱长为a、b、c，它的顶点都在一个球的 球面上，则这个球的表面积为________．
[答案] π(a2＋b2＋c2)
[解析] 长方体的对角线为球的直径，因此 2R＝ a2＋b2＋c2 ∴S＝4πR2＝π(2R)2＝π(a2＋b2＋c2)．
[例 4] 用与球心距离为 1 的
平面去截球，所得的截面面积为
[答案] 4π2 [解析] 本题是卷起问题，考察圆柱侧面展开与体积， 可以AB为底面周长，BC为高卷起，也可以BC为底面周长， AB为高卷起，最大值为4π2.
4．轴截面为正方形的圆柱称作等边圆柱、一个等边圆 柱内装上一个最大的球，则球的体积与圆柱体积的比为
________．
[答案]
2 3
[解析] 由条件知，圆柱的底面直径、高和球的直径相
(1)请画出该安全标识墩的侧(左)视图； (2)求该安全标识墩的表面积． [解析] (1)侧视图同正视图，如图所示．
(2)S 棱锥侧＝12×40× 602＋202×4＝1600 10， S 棱柱侧＝40×4×20＝3200， S 棱柱底＝40×40＝1600， ∴S 表＝4800＋1600 10(cm2)．
[解析] 作 CD⊥AB，垂足为 D，在 Rt△ABC 中，AB ＝5，AC＝3，∴CD＝152，绕 AB 旋转一周，阴影部分所形 成的几何体为一个球中间挖去两个同底的圆锥，其体积
V＝V 球－V 锥＝43π·OC3－π3·CD2·(AD＋BD) ＝43π×523－3π×1522×5＝33370π.
1．3.2 球的体积和表面积
阅读教材 P27～28 回答 1．半径为 R 的球的表面积为 4πR2，体积为43πR3. 2．一个球的表面积为 24π，那么它的体积为 8 6π.
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2 2 2
小结：
4 V球 = R 3 （1）球的体积公式： 3
S 球 4R 2 球的表面积公式：
（2）球的体积公式和表面积的一些运用。 （3）轴截面的应用（与其他几何体外接内切）。
布置作业：P29页，B组第一题
A
2R
a
P
B
O
2a
a a
C
1.3.2 球的体积和表面积
主讲人：富林中学 梁家慧
知识回顾
圆柱 S 2r (r l )
r r
柱体、锥体、台体的表面积 圆台S (r 2 r 2 r l rl )
r 0
展开图 圆锥 S r (r l )
各面面积之和
知识回顾
柱体 V Sh
解：由三视图可知，该几何体是半径为2的半球体，其表面积为
4
侧（左）视图
S S半球 S 底面 3r 2 12
（2）如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，求该几何体 的表面积？
2
正 (主) 视 图
3
俯视图
解：由三视图可知，该几 何体是由一个球和圆柱组 合而成的几何体，球的直 径为2，圆柱的底面直径 为2，高为3，则
a
P
B
O
2a
a a
C
2 R 3a, R
3 a, 2
3 3 3 3 3 3 V R 3 ( a) a , 4 4 2 2
高考题 ( 1 )如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何 体的表面积 A 32 B 16 C 12 D 8
2
4
正（主）视图 俯视图
S 球 4R 2 4
2
S圆柱 2Rh 2R 2 2 1 3 2 8
侧 (左) 视 图
几何体的表面积为
2
S球 S圆柱 4 8 12
球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与 圆台的侧面积之比为3:4，则球的体积与圆台的体积之 A 比为（ ） A．6:13 B．5:14 C．3:4 D．7:15
3
S球 4 R 2 104cm 2
例2：在球面上有四个点P , A ， ， ，如果PA ， ， ，两两 PB PC B C 垂直且 PA PB PC a ，求这个球的体积。
A
解： PA ， ， ，两两垂直 PB PC
2R
且 PA PB PC a
以 PA ， ， ，为相邻三条棱可以构造正方体。 PB PC 又 P AB ， 四点是球面上的四点 ， ， C 球是正方体的外接球 正方体的对角线是球的直径.
S 4R 4 2．球的表面积： V R 3 3
2
其中球的体积是半径R 的三次函数，球的表面 积是半径R 的二次函数.这两个公式说明球的体 积和表面积都由球的半径 R 惟一确定.
问题：（1）半径为3cm的球的体积为———— （2）若球的体积为36 ，则球的表面积为———
例1 如图，圆柱的地面直径和高都等于球的直径。求证： 2 （1）球的体积等于圆柱体积的 ； 3 （2）球的表面积等于圆柱的侧面积。
（教材P28）： 1.将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的多少倍？
课堂练习
2.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是 a cm ，求球的体积。
4 4 4 3 3 3 V球 (2 R) .8 R 8.( R ) 3 3 3
BC a 2 ( 2a ) 2 3a
BC 3a R 2 2 4 4 3a 3 3a 3 3 V球 R . （ ） 3 3 2 2
3
C
R
O
2a
a
B
A
a
3.一个球的体积是100 cm ，试计算它的表面积（ 果精确到1 cm 2 ，可用计算器）。
取3.14，结
4 3 V球 R 3
R
3
3V球
3 100 4 4
证明: (1)设球的半径为R, 则圆柱的底面半径为R,高为2R.
4 v球 R 3 因为: 3 v圆柱 R 2 .2 R 2R 3
所以：
(2)
2 2 v球 .2R 3 v圆柱 3 3
S 球 4R 2
S圆柱侧 2R 2 R 4R 2
S 球 S圆柱侧
S S'
柱体、锥体、台体的体积
1 台体 V ( S S S S )h 3
S ' 0
1 锥体V Sh 3
讲授新课
1、球的概念
半径 O
球心
直径
2、 球的表面积
o
半径为R的球的表面积是 S
4R
2
3、 球的体积
半径为R的球的体积是
4 3 V R 3
总结：
1．球的体积：
解: 设球的半径为R，圆台的上、下 底面半径分别为r1、r2，由平面几何知 识知，圆台的高为2R，母线长为r1 + r2.
AOB 90.OE AB( E为切点)
R 2 OE 2 AE BE r1 r2
由已知
16 2 S球：S圆台侧 =4 R ：（r1 +r2） 3: 4, (r1 +r2 ) R 3 3 4 R 2R2 2R2 6 3 V球：V圆台 = = = 2 1 16 2 2 2 （r +r2）-r r2 1 1 1 +r2 ） （r R R 2 13 3 3
小结：
4 V球 = R 3 （1）球的体积公式： 3
S 球 4R 2 球的表面积公式：
（2）球的体积公式和表面积的一些运用。 （3）轴截面的应用（与其他几何体外接内切）。
布置作业：P29页，B组第一题
A
2R
a
P
B
O
2a
a a
C
1.3.2 球的体积和表面积
主讲人：富林中学 梁家慧
知识回顾
圆柱 S 2r (r l )
r r
柱体、锥体、台体的表面积 圆台S (r 2 r 2 r l rl )
r 0
展开图 圆锥 S r (r l )
各面面积之和
知识回顾
柱体 V Sh
解：由三视图可知，该几何体是半径为2的半球体，其表面积为
4
侧（左）视图
S S半球 S 底面 3r 2 12
（2）如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，求该几何体 的表面积？
2
正 (主) 视 图
3
俯视图
解：由三视图可知，该几 何体是由一个球和圆柱组 合而成的几何体，球的直 径为2，圆柱的底面直径 为2，高为3，则
a
P
B
O
2a
a a
C
2 R 3a, R
3 a, 2
3 3 3 3 3 3 V R 3 ( a) a , 4 4 2 2
高考题 ( 1 )如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何 体的表面积 A 32 B 16 C 12 D 8
2
4
正（主）视图 俯视图
S 球 4R 2 4
2
S圆柱 2Rh 2R 2 2 1 3 2 8
侧 (左) 视 图
几何体的表面积为
2
S球 S圆柱 4 8 12
球与圆台的上、下底面及侧面都相切，且球面面积与 圆台的侧面积之比为3:4，则球的体积与圆台的体积之 A 比为（ ） A．6:13 B．5:14 C．3:4 D．7:15
3
S球 4 R 2 104cm 2
例2：在球面上有四个点P , A ， ， ，如果PA ， ， ，两两 PB PC B C 垂直且 PA PB PC a ，求这个球的体积。
A
解： PA ， ， ，两两垂直 PB PC
2R
且 PA PB PC a
以 PA ， ， ，为相邻三条棱可以构造正方体。 PB PC 又 P AB ， 四点是球面上的四点 ， ， C 球是正方体的外接球 正方体的对角线是球的直径.
S 4R 4 2．球的表面积： V R 3 3
2
其中球的体积是半径R 的三次函数，球的表面 积是半径R 的二次函数.这两个公式说明球的体 积和表面积都由球的半径 R 惟一确定.
问题：（1）半径为3cm的球的体积为———— （2）若球的体积为36 ，则球的表面积为———
例1 如图，圆柱的地面直径和高都等于球的直径。求证： 2 （1）球的体积等于圆柱体积的 ； 3 （2）球的表面积等于圆柱的侧面积。
（教材P28）： 1.将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的多少倍？
课堂练习
2.一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长是 a cm ，求球的体积。
4 4 4 3 3 3 V球 (2 R) .8 R 8.( R ) 3 3 3
BC a 2 ( 2a ) 2 3a
BC 3a R 2 2 4 4 3a 3 3a 3 3 V球 R . （ ） 3 3 2 2
3
C
R
O
2a
a
B
A
a
3.一个球的体积是100 cm ，试计算它的表面积（ 果精确到1 cm 2 ，可用计算器）。
取3.14，结
4 3 V球 R 3
R
3
3V球
3 100 4 4
证明: (1)设球的半径为R, 则圆柱的底面半径为R,高为2R.
4 v球 R 3 因为: 3 v圆柱 R 2 .2 R 2R 3
所以：
(2)
2 2 v球 .2R 3 v圆柱 3 3
S 球 4R 2
S圆柱侧 2R 2 R 4R 2
S 球 S圆柱侧
S S'
柱体、锥体、台体的体积
1 台体 V ( S S S S )h 3
S ' 0
1 锥体V Sh 3
讲授新课
1、球的概念
半径 O
球心
直径
2、 球的表面积
o
半径为R的球的表面积是 S
4R
2
3、 球的体积
半径为R的球的体积是
4 3 V R 3
总结：
1．球的体积：
解: 设球的半径为R，圆台的上、下 底面半径分别为r1、r2，由平面几何知 识知，圆台的高为2R，母线长为r1 + r2.
AOB 90.OE AB( E为切点)
R 2 OE 2 AE BE r1 r2
由已知
16 2 S球：S圆台侧 =4 R ：（r1 +r2） 3: 4, (r1 +r2 ) R 3 3 4 R 2R2 2R2 6 3 V球：V圆台 = = = 2 1 16 2 2 2 （r +r2）-r r2 1 1 1 +r2 ） （r R R 2 13 3 3