高考数学经典错题深度剖析及针对训练专题27古典概型和几何概型(new)
高考数学经典错题深度剖析及针对训练专题27古典概型和几何概型
专题27 古典概型和几何概型【标题01】忽略了对数函数中底数的范围【习题01】先后抛掷两枚骰子，出现的点数分别记为,a b ，则事件log 12a b= 发生的概率为 . 【经典错解】log 1222ab ba b a =∴=∴=，根据题意得试验的全部结果有6636⨯=个基本事件，事件log 12ab=包含的基本事件有1,22,436a b a b a b ======或或， ，共3个.由古典概型的概率公式得31()3612P A ==,故填112.【详细正解】log 1222a b ba b a =∴=∴=，根据题意得试验的全部结果有6636⨯=个基本事件，01a a >≠且 所以事件log 12a b=包含的基本事件有2,4a b ==和3a =，6b = 共2个.由古典概型的概率公式得21()3618P A ==,故填118.【习题01针对训练】先后抛掷两枚骰子，出现的点数分别记为,a b ，则事件log 12a b≥发生的概率为 .【标题02】事件A 构成的区域找错了【习题02】在半径为1的圆周上有一定点A ,以A 为端点连一弦，另外一端点在圆周上等可能的选取，则弦长超过1的概率为 .【经典错解】如图所示，13AB OA OB AOB π===∴∠=，当点B 在优弧AB 上时，弦长超过1，根据几何概型的概率公式得3301136012P ==.故填1112.【详细正解】如图所示，13AB OA OB OC AC AOB AOC π=====∴∠=∠=，当点B 在优弧BC 上时，弦长超过1，根据几何概型的概率公式得24023603P==.故填23.【深度剖析】(1)经典错解错在事件A构成的区域找错了. （2）错解错在寻找事件A构成的区域时，只顾及了一边，忽略了另外一边.所以在寻找事件A的全部结果构成的区域时，要考虑周全，不能受习惯思维的影响.【习题02针对训练】有一长、宽分别为m50、m30的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同.一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出m215，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域）的概率是（）A．43B．83C．163πD．32312π+【标题03】对组合数实际意义理解不清【习题03】甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙依次各抽一题.求甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？【经典错解】甲从选择题抽到一题的结果为16C，乙从判断题中抽到一题的结果为14C，而甲、乙依次抽到一题的结果为210C∴所求概率为1582101416=CCC【详细正解】甲从选择题抽到一题的结果为16C，乙从判断题中抽到一题的结果为14C，而甲、乙依次抽到一题的结果为11109C C∴所求概率为154191101416=CCCC.【习题03针对训练】一纸箱中放有除颜色外，其余完全相同的黑球和白球，其中黑球2个，白球3个. （1）从中同时摸出两个球，求两球颜色恰好相同的概率；（2）从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率.【标题04】“事件的全部结果”和“事件A的全部结果”对应的区域找错了【习题04】在ABC∆中，6ABCπ∠=，AB=3,BC=3，若在线段BC上任取一点D ,则BAD∠为锐角的概率是 .【经典错解】在ABC∆中，由余弦定理得AC=3. 又由余弦定理得0120BAC∠=，所以BAD∠为锐角的概率是9031204=.【详细正解】当0=90BAD∠时，2BD=，所以BAD∠为锐角的概率是23BDBC=.【习题04针对训练】在Rt ABC∆中，030A∠=，过直角顶点C作射线CM交线段AB于M，使||||AM AC>的概率是．【标题05】“试验的全部结果构成的区域”和“事件A的全部结果构成的区域”理解错误【习题05】在面积为S的ABC∆的边AB上任取一点P，则PBC∆的面积大于4S的概率为 .【经典错解】由题得试验的全部结果构成的区域是如图所示的ABC∆，事件“PBC∆的面积大于4S”的全部结果构成的区域是如图所示的ADE∆，根据几何概型概率的公式得991616SPS== ,故填916.【详细正解】由题得试验的全部结果构成的区域是如图所示的线段AB，事件“PBC∆的面积大于4S”的全部结果构成的区域是如图所示的线段AD ，根据几何概型概率的公式得33414P == ,故填34 .【深度剖析】（1）经典错解错在“试验的全部结果构成的区域”和“事件A 的全部结果构成的区域”理解错误. （2）在做概率题时，一定要认真审题，弄清“试验的全部结果构成的区域”和“事件A 的全部结果构成的区域”.【习题05针对训练】设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ） A ．4π B ．22π- C ．6π D ．44π-【标题06】考虑问题不周全没有分类讨论【习题06】在ABC ∆中，060,2,6ABC AB BC ∠===，在BC 上任取一点D ，则使ABD ∆为钝角三角形的概率为（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．23【经典错解】由题意得，过A 作AF AB ⊥，则24BF AB ==，642CF =-= ，若使得ABD ∆为钝角三角形，则D 在线段FC 上，所以对应的概率为13FC P BC ==，故选B .【详细正解】（1）当BAD ∠为钝角时，由题意得，过A 作AF AB ⊥，则24BF AB ==，642CF =-= ，若使得ABD ∆为钝角三角形，则D 在线段FC 上；（2）当BDA ∠为钝角时，过点A 作AE BC ⊥,则112BE AB ==,若使得ABD ∆为钝角三角形，则D 在线段BE 上.故由几何概型的概率公式得21162FC BE P BC ++=== .故选C .【习题06针对训练】向顶角为0120的等腰三角形ABC （其中BC AC =）内任意投一点M , 则AM 小于AC 的概率为（ ） A ．33π B ．93π C ．21 D ．3π【标题07】审题错误导致把几何概型看成了古典概型 【习题07】设关于x 的一元二次方程2220x ax b -+=．（1）若,a b 都是从集合{1,2,3,4}中任取的数字，求方程无实根的概率；（2）若a 是从区间[0,4]中任取的数字，b 是从区间[1,4]中任取的数字，求方程有实根的概率．【经典错解】（1）设事件A 为“方程无实根”，记(,)a b 为取到的一种组合，则所有的情况有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）．一共16种且每种情况被取到的可能性相同．∵关于x 的一元二次方程2220x ax b -+=无实根，∴22440a b ∆=-<0,0a b >> ∴a b <．∴事件A 包含的基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）.共6种 ∴6()16P A ==83∴方程无实根的概率83． （2）∵关于x 的一元二次方程2220x ax b -+=有实根，∴22440a b ∆=-≥,0,0a b >> ∴a b ≥．设事件B 为“方程有实根”，记(,)a b 为取到的一种组合，则其包含的基本事件有：（1，1），（2，1），(2，2)（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）.一共10种且每种情况被取到的可能性相同． 105()168P A ∴== 所以方程有实根的概率是58. 【详细正解】（1）同上（2）设事件B =“方程有实根”，记(,)a b 为取到的一种组合． ∵a 是从区间[0,4]中任取的数字，b 是从区间[1,4]中任取的数字， ∴点(,)a b 所在区域是长为4，宽为3的矩形区域．又∵满足a b≥的点的区域是如图所示的阴影部分∴13332()348P B⨯⨯==⨯. ∴方程有实根的概率是38．【习题07针对训练】已知关于x的二次函数2()4 1.f x ax bx=-+（1）设集合}5,4,3,2,1,1{-=A和}4,3,2,1,1,2{--=B，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数)(xfy=在区间),1[+∞上是增函数的概率.（2）设点),(ba是区域⎪⎩⎪⎨⎧>>≤-+，，8yxyx内的随机点，求函数()f x在区间),1[+∞上是增函数的概率．【标题08】审题不清把总事件没有理解清楚【习题08】有一个半径为4的圆，现在将一枚半径为1的硬币向圆投去，如果不考虑硬币完全落在圆外的情况，则硬币完全落入圆内的概率为 .【经典错解】由题得此概型为几何概型，所有结果组成的区域是以原点为圆心，以4为半径的圆，事件A 的所有结果构成的区域是以原点为圆心，以3为半径的圆，所以由几何概型的定义得991616Pππ==. 【详细正解】由题得此概型为几何概型，所有结果组成的区域是以原点为圆心，以5为半径的圆，当硬币和圆外切时，也是满足题意的，它不是完全落在圆外，因为此时两圆有公共点)，事件A的所有结果构成的区域是以原点为圆心，以3为半径的圆，所以由几何概型的定义得992525Pππ==.【深度剖析】（1）经典错解错在审题不清，把总事件没有理解清楚. （2）学习数学，必须养成严谨认真细心的学习习惯，审题必须认真，错解就是审题不清，导致的错误.【习题08针对训练】甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一天二十四小时内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1小时，乙船停泊时间为2小时，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．【标题09】对随机模拟求近似值原理理解不清 【习题09】从区间[0,1]上随机抽取2n 个数1212,,,,,,,n n x x x y y y ，构成n 个数对11(,)x y ，22(,)x y ，,(,)n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为__________.A ．4n m B ．2n m C．4m n D ．mn【经典错解】由题得圆周率π的近似值为mn.所以选择D .【详细正解】由题得数学试验的全部结果表示为0101x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，它们构成的是边长为1的正方形，事件A 的全部结果表示为2201011x y x y ⎧≤≤⎪≤≤⎨⎪+<⎩，它们构成的是14个单位圆，它是分布在第一象限的扇形. 根据古典概型和几何概型的概率公式得=S m S n扇形正方形221141m n π== 4mn π∴=. 所以选择C .【习题09针对训练】某同学动手做实验：《用随机模拟的方法估计圆周率的值》，在左下图的正方形中随机撒豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，若他随机地撒50粒统计得到落在圆内的豆子数为39粒，则由此估计．．．．出的圆周率π的值为 ．（精确到0.01）高中数学经典错题深度剖析及针对训练第27讲：古典概型和几何概型参考答案【习题01针对训练答案】19【习题02针对训练答案】B【习题02针对训练解析】这是一个几何概型问题，所有可能结果用周长160表示，事件发生的结果可用两条线段的长度和60表示，所以8316060==P.【习题03针对训练答案】（1）52；（2）2512.【习题03针对训练解析】（1）摸出两球颜色恰好相同，即两个黑球或两个白球，共有2223C C+＝4(种)可能情况.故所求概率为P=222325C CC+=410=25.（2）有放回地摸两次，两球颜色不同，即“先黑后白”或“先白后黑”.故所求概率为P=•+••111123321155CC C C CC=6625+=1225.【习题04针对训练答案】16【习题04针对训练解析】如图，不妨设1BC=，则2AB=，3AC=图中点M恰好使得3AM AC==BM段时，满足||||AM AC>，由三角形的知识易得015BCM∠=∴使||||AM AC>的概率151906P==. 故填16.【习题05针对训练答案】D【习题06针对训练答案】B【习题06针对训练解析】由题可得示意图，试验的全部结果构成的区域是ABC ∆，事件“AM 小于AC ”的全部结果构成的区域是扇形ACD ，由题可知为几何概型：则AM 小于AC 的概率为：0113261911sin1202ABC S p S ππ∆⨯⨯===⨯⨯⨯扇形 ，故选B .所以区域内满足0>a 且a b ≤2的面积为33238821=⨯⨯. 所以，所求概率3132332==p .【习题08针对训练答案】10131152【习题08针对训练解析】这是一个几何概型问题．设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，A 为“甲、乙两船都不需要等待码头空出”，则024x ≤≤ , 024y ≤≤， 且基本事件所构成的区域为{(,)|024,0y 24}x y x Ω=≤≤≤≤要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 小时以上或乙比甲早到达2 小时以上，即12y x x y -≥-≥或，故{(,)|12,0x 24,024}A x y y x x y y =-≥-≥≤≤≤≤或．文档从网络中收集，已重新整理排版.word 版本可编辑.欢迎下载支持.11文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.【习题09针对训练答案】3.12【习题09针对训练解析】设正方形的边长为2a ,则内切圆的半径为a ，由题意2239504a aπ=，∴439 3.1250π⨯=≈.。
202X年高考数学一轮复习讲义——古典概型与几何概型
千里之行，始于足下。
202X年高考数学一轮复习讲义——古典概型与几何概型古典概型与几何概型是数学中常用的概率计算方法，对于高考数学复习格外重要。
下面我们来具体介绍一下古典概型与几何概型。
古典概型是指试验样本空间中每一个基本大事发生的概率相等的情形。
这种情形下，我们可以通过计数的方法来确定概率。
常见的例子有扔硬币和掷骰子。
以扔硬币为例，假设试验为连续扔一枚硬币，硬币只有正面和反面两个可能的结果。
将正面定义为大事A，反面定义为大事B。
依据古典概型，硬币正反面消灭的概率相等，即P(A) = P(B) = 1/2。
同理，对于掷骰子的状况，我们可以将掷骰子消灭的点数定义为不同的大事，依据古典概型，掷骰子消灭的每个点数的概率相等，为1/6。
古典概型在实际问题中也有很多应用，比如抽样问题。
假如一个罐子中有红球、白球、蓝球三种颜色的球，从中随机抽取一个球，求抽到红球的概率。
依据古典概型，红球、白球、蓝球的概率相等，为1/3。
几何概型是指试验样本空间可以用几何图形来表示，并且每个大事的概率可以用几何概率来计算。
常见的例子有投点问题和长方形求面积问题。
以投点问题为例，假设将一个点随机地投掷到一个正方形区域中，点落在某个子区域内的概率可以用子区域的面积与正方形区域的面积之比来计算。
例如，正方形区域边长为a，投点落在一个边长为x的小正方形内的概率为P = x^2 / a^2。
第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。
对于长方形求面积问题，假设有一块土地的外形为长方形，现在要在上面随机地选取一个点，求这个点在土地上落的概率。
依据几何概型，这个点落在土地上任何一个子区域内的概率等于子区域的面积与整个土地的面积之比。
正由于几何概型的面积比例关系，我们可以将计算概率问题转化为计算几何问题，从而简化计算步骤。
在高考数学中，古典概型与几何概型是常考的学问点，把握这两个概率计算方法对于正确解题格外重要。
在复习时，需要娴熟把握古典概型和几何概型的定义和计算方法，并通过大量的练习题来巩固学习。
古典概型问题常见错解剖析
古典概型问题常见错解剖析
古典概型问题是用来考验和检测学生学习能力的一种常见的题目形式，但学生
在解答的过程中也会出现一些错误。
要想让学生正确解答古典概型问题，就必须剖析常见的错误解题思路，并结合实例加以解释。
首先，不少学生倾向于以过于简单的方法来解答不容易解答的问题。
例如有一
道题是关于如何最大限度地利用电能的，而有些学生则只是完全照搬此类问题中提出的建议，而未能深入思考以及创造出更多可能性。
在推理问题中，此类答案仅能赢得分值较低的评价。
其次，有些学生可能会出现对历史背景或者解题过程中涉及的基本知识的缺乏，从而导致他们无法根据题目暗示的信息来解答古典概型问题。
例如有一道问题是关于文艺复兴时期的经济历史，但某位学生的回答竟然完全无视文艺复兴时期有关的内容，而是给出了近代经济发展的简单解答。
最后，当学生以此学习任务为主导思维方式时，他们可能会忽视学习内容本身，并仅仅当作完成学习任务来看待古典概型问题。
这种做法可能会导致学生缺乏理解，缺少对概型的全面洞察，最终得出的结论可能毫无意义或者不正确。
因此，应该尽可能将学习任务与学习内容结合起来，从而获得更加客观全面的
理解，才能在解答古典概型问题时获得良好的效果。
在此过程之中，教师们也应当给学生在错误解答上以适当的指导，以提高学生解题能力。
高考数学最新真题专题解析—古典概型与几何概型(理科)
高考数学最新真题专题解析—古典概型与几何概型考向一 古典概型【母题来源】2022年高考全国甲卷（理科）【母题题文】 从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________． 【答案】635. 【试题解析】从正方体的8个顶点中任取4个，有48C 70n ==个结果，这4个点在同一个平面的有6612m =+=个，故所求概率1267035m P n ===．故答案为：635． 【命题意图】本题主要考查古典概型的的概率计算公式，属于基础题.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，试题难度不大，多为抵挡题目，是历年高考的热点． 常见的命题角度有：（1）列举法求古典概型的概率；（2）树状图法求古典概型的概率． 【得分要点】(1)理解古典概型及其概率计算公式.(2)会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. 考向二 几何概型【母题来源】2021年高考全国卷（理科）【母题题文】在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（ ）A ．79B ．2332C ．932D ．29【答案】B【试题解析】设从区间()()0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y ，则实验的所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<，设事件A 表示两数之和大于74，则构成的区域为()7,01,12,4A x y x y x y⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭，分别求出,A Ω对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出． 【详解】 如图所示：设从区间()()0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y ，则实验的所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<，其面积为111S Ω=⨯=．设事件A 表示两数之和大于74，则构成的区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭，即图中的阴影部分，其面积为133********A S =-⨯⨯=，所以()2332A S P A S Ω== 【命题意图】本题主要考查几何概型的的概率计算公式，属于基础题.【命题方向】这类试题在考查题型上主要以选择填空形式出现，试题难度不大，多为抵挡题目，是历年高考的热点． 常见的命题角度有：（1）由长度比求几何概型的概率；（2）由面积比求几何概型的概率；（3）由体积比求几何概型的概率； （4）由角度比求几何概型的概率. 【得分要点】(1)能运用模拟方法估计概率. (2)了解几何概型的意义.真题汇总及解析 一、单选题1．（2022·河南许昌·高二期末（理））若分配甲、乙、丙、丁四个人到三个不同的社区做志愿者，每个社区至少分配一人，每人只能去一个社区．若甲分配的社区已经确定，则乙与甲分配到不同社区的概率是（ ） A ．14B ．56C ．13D ．512【答案】B 【解析】 【分析】计算出甲单独去分配的社区，甲和乙，丙，丁三人的一人去分配的社区，从而得到总的分配方法，再计算出甲乙分配到同一舍去的方法，得到乙与甲分配到不同社区的方法，根据古典概型求概率公式进行计算. 【详解】甲单独去分配的社区，有将乙，丙，丁三人分为两组，再和另外两个社区进行全排列，有212312C C A 6 种方法；甲和乙，丙，丁三人的一人去分配的社区，其余两人和另外两个社区进行全排列，有1232C A 6=种方法；其中甲乙分配到同一社区的方法有22A 2=种，则乙与甲分配到不同社区的方法有66210+-=种， 所以乙与甲分配到不同社区的概率是105666=+ 故选：B2．（2022·广东茂名·二模）甲、乙、丙三人是某商场的安保人员，根据值班需要甲连续工作2天后休息一天，乙连续工作3天后休息一天，丙连续工作4天后休息一天，已知3月31日这一天三人均休息，则4月份三人在同一天工作的概率为（ ） A ．13B ．25C ．1130D ．310【答案】B 【解析】 【分析】列举出三人所有工作日，由古典概型公式可得. 【详解】解：甲工作的日期为1，2，4，5，7，8，10，...，29. 乙工作的日期为1，2，3，5，6，7，9，10，...，30. 丙工作的日期为1，2，3，4，6，7，8，9， (29)在同一天工作的日期为1，2，7，11，13，14，17，19，22，23，26，29 ∴三人同一天工作的概率为122305P ==． 故选：B ．3．（2022·辽宁实验中学模拟预测）某国计划采购疫苗，现在成熟的疫苗中，三种来自中国，一种来自美国，一种来自英国，一种由美国和德国共同研发，从这6种疫苗中随机采购三种，若采购每种疫苗都是等可能的，则买到中国疫苗的概率为（ ） A ．16B ．12C ．910D ．1920【答案】D 【解析】 【分析】由对立事件的概率公式计算． 【详解】没有买到中国疫苗的概率为13611C 20P ==，所以买到中国疫苗的概率为119120P P =-=． 故选：D ．4．（2022·河南安阳·模拟预测（文））为推动就业与培养有机联动、人才供需有效对接，促进高校毕业生更加充分更高质量就业，教育部今年首次实施供需对接就业育人项目．现安排甲、乙两所高校与3家用人单位开展项目对接，若每所高校至少对接两家用人单位，则两所高校的选择涉及到全部3家用人单位的概率为（ ） A ．12 B ．23C ．34D ．1316【答案】D 【解析】【分析】由古典概型与对立事件的概率公式求解即可【详解】因为每所高校至少对接两家用人单位，所以每所高校共有2333314C C+=+=种选择，所以甲、乙两所高校共有4416⨯=种选择，其中甲、乙两所高校的选择涉及两家用人单位的情况有233C=种，所以甲、乙两所高校的选择涉及到全部3家用人单位的概率为31311616P=-=，故选：D5．（2022·全国·模拟预测（理））2022年2月4日，北京冬季奥林匹克运动会开幕式于当晩20点整在国家体育场隆重举行.在开幕式入场环节，91个国家（地区）按顺序入场.入场顺序除奥林匹克发祥地希腊（首先入场）、东道主中国（最后入场）、下届2026年冬季奥运会主办国意大利（倒数第二位入场）外，其余代表团根据简体中文的笔划顺序入场，诠释了中文之美．现若以抽签的方式决定入场顺序（希腊、中国、意大利按照传统出场顺序，不参与抽签），已知前83位出场的国家（地区）均已确定，仅剩乌兹别克斯坦、北马其顿、圣马力诺、安道尔、阿根廷、泰国末抽签，求乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的概率（）A．25B．13C．16D．14【答案】B【解析】【分析】先求出这六个国家的所有可能出场的顺序的排列数，再求出乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的排列数，将即乌兹别克斯坦、安道尔看作一个国家，利用捆绑法，根据古典概型的概率公式求得答案.【详解】由题意得，乌兹别克斯坦、北马其顿、圣马力诺、安道尔、阿根廷、泰国所有可能的出场顺序有66A种，其中乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的顺序有2525A A种,故乌兹别克斯坦、安道尔能紧挨出场的概率为252566A A1A3=，故选：B6．（2022·北京·北大附中三模）有一副去掉了大小王的扑克牌（每副扑克牌有4种花色，每种花色13张牌），充分洗牌后，从中随机抽取一张，则抽到的牌为“红桃”或“A”的概率为（）A．152B．827C．413D．1752【答案】C【解析】【分析】直接根据古典概型概率计算公式即可得结果.【详解】依题意，样本空间包含样本点为52，抽到的牌为“红桃”或“A”包含的样本点为16，所以抽到的牌为“红桃”或“A”的概率为1645213=，故选：C.7．（2022·湖北省仙桃中学模拟预测）定义：10000100010010,(,,,,)abcde a b c d e a b c d e Z=++++∈，当a b c d e><><时，称这个数为波动数，由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数中，波动数的概率为（）A ．115B ．215C ．760D ．112【答案】B 【解析】 【分析】先判断出由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数有120种，列举出波动数有 个，即可求出波动数的概率. 【详解】由1,2,3,4,5组成的没有重复数字的五位数一共有55A 120=种.而构成波动数，需满足a b c d e ><><，有：31425，31524，41325，41523，51324，51423，32415，32514，42315，42513，52314，52413，21435，21534，53412，43512一共16个. 所以波动数的概率为16212015=. 故选：B.8．（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））在区间[]0,1上随机取两个数，则这两个数差的绝对值大于12的概率为（ ） A ．34B ．12C ．14D ．18【答案】C 【解析】 【分析】设在[]0,1上取的两数为x ，y ，满足12x y ->，画出不等式表示的平面区域，结合面积比的几何概型，即可求解.设在[]0,1上取的两数为x ，y ，则12x y ->，即12x y ->，或12x y -<-．画出可行域，如图所示，则12x y ->，或12x y -<-所表示的区域为图中阴影部分，易求阴影部分的面积为14，故所求概率11414P ==； 故选：C.9．（2022·全国·哈师大附中模拟预测）若在区间[]1,1-内随机取一个实数t ，则直线y tx =与双曲线2214xy -=的左、右两支各有一个交点的概率为（ ）A ．14B ．12C ．18D ．34【答案】B 【解析】 【分析】求出双曲线渐近线的斜率，根据已知条件可得出t 的取值范围，结合几何概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】双曲线的渐近线斜率为12±，则12t <，即1122t -<<，故所求概率为12P =，10．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））甲、乙两人约定某日上午在M 地见面，若甲是7点到8点开始随机到达，乙是7点30分到8点30分随机到达，约定，先到者没有见到对方时等候10分钟，则甲、乙两人能见面的概率为（ ）. A ．13B ．16C ．59D ．38【答案】B 【解析】 【分析】从早上7点开始计时，设甲经过x 十分钟到达，乙经过y 十分钟到达，可得x 、y 满足的不等式线组对应的平面区域为如图的正方形ABCD ，而甲乙能够见面，x 、y 满足的平面区域是图中的四边形EFGH ．分别算出图中正方形和四边形的面积，根据面积型几何概型的概率公式计算可得． 【详解】解：从早上7点开始计时，设甲经过x 十分钟到达，乙经过y 十分钟到达， 则x 、y 满足0639x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，作出不等式组对应的平面区域，得到图中的正方形ABCD ，若甲乙能够见面，则x 、y 满足||1x y -≤， 该不等式对应的平面区域是图中的四边形EFGH ，6636ABCD S =⨯=，114422622EFGH BEHBFGS SS=-=⨯⨯-⨯⨯= 因此，甲乙能见面的概率61366EFGH ABCD S P S ===故选：B ．二、填空题11．（2022·上海青浦·二模）受疫情防控需求，现有四位志愿者可自主选择到三个不同的核酸检测点进行服务，则三个核酸检测点都有志愿者到位的概率是_________.（结果用最简分数表示） 【答案】49【解析】【分析】先计算总共的选择数，再计算三个核酸检测点都有志愿者到位的数量，即可得答案.【详解】解：四个志愿者总的选择共333381N =⨯⨯⨯=种，要满足三个核酸检测点都有志愿者到位，则必有2个人到同一核酸检测点，故从4人中选择2人出来，共有24C 6=种，再将这2人看成整体1人和其他2人共3人，选择三个核酸检测点，共33A 6=种，所以6636n =⨯=，所以364819n P N ===.故答案为：49.12．（2022·黑龙江·哈尔滨三中一模（理））关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学，每人随机写下一个x 、y都小于1的正实数对(),x y ，再统计x 、y 两数能与1构成钝角三角形时的数对(),x y 的个数m ，最后再根据m 来估计π的值．假如统计结果是36m =，那么π的估计值为______．【答案】3.2【解析】【分析】(,)x y 表示的点构成一个正方形区域，x 、y 两数能与1构成钝角三角形时的数对(),x y 表示的点构成图中阴影部分，分别求出其面积，由几何概型概率公式求得其概率后可得．【详解】(,)x y 表示的点构成一个正方形区域，如图正方形OABC （不含边界），x 、y 两数能与1构成钝角三角形满足条件2211x y x y +>⎧⎨+<⎩，(,)x y 表示的点构成的区域是图中阴影部分（不含边界）， 因此所求概率为1136********P ππ-==-=，估计 3.2π≈．故答案为：3.213．（2022·河南·模拟预测）现有四张正面分别标有数字-1，0，-2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张记作m 不放回，再从余下的卡片中取一张记作n ．则点(),P m n 在第二象限的概率为______． 【答案】16【解析】【分析】列出所有可能的情况，根据古典概型的方法求解即可【详解】由题，点(),P m n 所有可能的情况为()1,0-，()1,2--，()1,3-，()0,1-，()0,2-，()0,3，()2,1--，()2,0-，()2,3-，()3,1-，()3,0，()3,2-共12种情况，其中在第二象限的为()2,3-，()1,3-，故点(),P m n 在第二象限的概率为21126= 故答案为：1614．（2021·江西·新余市第一中学模拟预测（理））寒假即将来临，小明和小强计划去图书馆看书，约定上午8：00~8：30之间的任何一个时间在图书馆门口会合．两人商量好提前到达图书馆的人最多等待对方10分钟，如果对方10分钟内没到，那么等待的人先进去．则两人能够在图书馆门口会合的概率是_________________． 【答案】59【解析】先把两人能够会合转化为几何概型，利用几何概型的概率公式直接求解.【详解】设小明到达的时刻为8时x 分，小强到达的时刻为8时y 分，其中030,030x y ≤≤≤≤， 则当|x-y |≤10时，两人能够在图书馆门口会合.如图示：两人到达时刻（x ，y ）构成正方形区域，记面积为S ,而事件A ：两人能够在图书馆门口会合构成阴影区域，记其面积为S 1 所以1900-22005()=9009S P A S ⨯==. 故答案为：59.【点睛】（1）几何概型的两个特征——无限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是几何概型；（2）几何概型通常转化为长度比、面积比、体积比。
高考数学热点问题专题练习——古典概型知识归纳及例题讲解
古典概型一、基础知识：1、基本事件：一次试验中可能出现的每一个不可再分的结果称为一个基本事件。
例如：在扔骰子的试验中，向上的点数1点，2点，……，6点分别构成一个基本事件2、基本事件空间：一次试验，将所有基本事件组成一个集合，称这个集合为该试验的基本事件空间，用Ω表示。
3、基本事件特点：设一次试验中的基本事件为12,,,n A A A（1）基本事件两两互斥（2）此项试验所产生的事件必由基本事件构成，例如在扔骰子的试验中，设i A 为“出现i 点”，事件A 为“点数大于3”，则事件456A A A A =（3）所有基本事件的并事件为必然事件 由加法公式可得：()()()()()1212n n P P A A A P A P A P A Ω==+++因为()1P Ω=，所以()()()121n P A P A P A +++=4、等可能事件：如果一项试验由n 个基本事件组成，而且每个基本事件出现的可能性都是相等的，那么每一个基本事件互为等可能事件。
5、等可能事件的概率：如果一项试验由n 个基本事件组成，且基本事件为等可证明：设基本事件为12,,,n A A A ，可知()()()12n P A P A P A ===()()()121n P A P A P A +++= 6、古典概型的适用条件：（1）试验的所有可能出现的基本事件只有有限多个 （2）每个基本事件出现的可能性相等当满足这两个条件时，事件A 发生的概率就可以用事件A 所包含的基本事件个7、运用古典概型解题的步骤：① 确定基本事件，一般要选择试验中不可再分的结果作为基本事件，一般来说，试验中的具体结果可作为基本事件，例如扔骰子，就以每个具体点数作为基本事件；在排队时就以每种排队情况作为基本事件等，以保证基本事件为等可能事件 ② ()(),n A n Ω可通过计数原理（排列，组合）进行计算③ 要保证A 中所含的基本事件，均在Ω之中，即A 事件应在Ω所包含的基本事件中选择符合条件的 二、典型例题：例1：从16-这6个自然数中随机取三个数，则其中一个数是另外两个数的和的概率为________思路：事件Ω为“6个自然数中取三个”，所以()3620n C Ω==，事件A 为“一个数是另外两个数的和”，不妨设a b c =+，则可根据a 的取值进行分类讨论，列举出可能的情况：{}{}{}{}{}{}3,2,1,4,3,1,5,4,1,5,3,2,6,5,1,6,4,2，所以()6n A =。
高考数学冲刺复习几何概型考点深度剖析
高考数学冲刺复习几何概型考点深度剖析在高考数学的复习冲刺阶段，几何概型是一个重要的考点，也是许多同学感到困惑和容易出错的部分。
为了帮助同学们在高考中更好地应对这一考点，我们将对几何概型进行深度剖析。
一、几何概型的概念几何概型是概率论中的一个重要概念，与古典概型相对应。
在古典概型中，试验的结果是有限个等可能的基本事件；而在几何概型中，试验的结果是无限个的，且每个结果出现的可能性相等，通常借助几何图形的长度、面积或体积来计算概率。
例如，在一个边长为 1 的正方形区域内随机取一点，求该点到正方形某个顶点的距离小于 1/2 的概率。
这就是一个典型的几何概型问题。
二、几何概型的特点1、无限性几何概型的基本事件有无限多个。
2、等可能性每个基本事件发生的可能性相等。
3、几何度量通过计算几何图形的长度、面积或体积等几何度量来确定概率。
三、几何概型的计算公式若几何概型中的随机事件 A 对应的区域长度（面积或体积）为 m，全部结果构成的区域长度（面积或体积）为 n，则事件 A 发生的概率为 P(A) ＝ m ／ n 。
四、常见的几何概型类型1、长度型几何概型例如，在一条线段上取一点，求该点落在某一区间内的概率。
2、面积型几何概型比如，在一个平面区域内随机投点，求点落在某个特定区域内的概率。
3、体积型几何概型像在一个立体空间内随机取点，求点落在某个体积内的概率。
五、解题步骤1、理解题意明确题目中所描述的随机试验和所求概率的事件。
2、确定几何区域找出与随机试验对应的几何图形，并确定其度量（长度、面积或体积）。
3、计算概率根据几何概型的计算公式，计算出所求事件的概率。
六、经典例题解析例 1：在区间0, 5上随机取一个数 x ，求 x 满足 2 ＜ x ＜ 4 的概率。
解：区间0, 5的长度为 5，满足 2 ＜ x ＜ 4 的区间长度为 2，所以概率 P ＝ 2 ／ 5 。
例 2：在半径为 1 的圆内随机取一点，求该点到圆心的距离小于 1/2 的概率。
高考数学冲刺古典概型考点全面解析
高考数学冲刺古典概型考点全面解析高考对于每一位学子来说，都是人生中的一次重要挑战。
而数学作为其中的关键学科，更是备受关注。
在数学的众多考点中，古典概型是一个不容忽视的重要部分。
在高考冲刺阶段，对古典概型进行全面且深入的复习，对于提高数学成绩具有重要意义。
一、古典概型的基本概念古典概型是一种概率模型，具有两个重要特征：有限性和等可能性。
有限性指的是试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；等可能性则表示每个基本事件出现的可能性相等。
例如，掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数就是一个古典概型问题。
因为骰子的点数只有 1、2、3、4、5、6 这六种可能，且每种点数出现的可能性相同。
二、古典概型的概率计算公式在古典概型中，事件 A 的概率可以通过以下公式计算：P(A) ＝事件 A 包含的基本事件个数／试验中所有可能的基本事件个数例如，从装有 3 个红球和 2 个白球的口袋中随机取出一个球，求取出红球的概率。
这里试验中所有可能的基本事件个数为 5（3 个红球和2 个白球），取出红球的基本事件个数为 3，所以取出红球的概率为3/5。
三、古典概型的常见题型1、摸球问题这是古典概型中常见的一类问题。
例如，一个袋子里装有 5 个红球和 3 个白球，从中随机摸出 2 个球，求摸出一红一白的概率。
解决这类问题时，首先要确定总的基本事件个数，即从 8 个球中选2 个的组合数。
然后计算摸出一红一白的基本事件个数，可以分两步考虑，先选一个红球，再选一个白球，两者相乘即为摸出一红一白的基本事件个数。
2、掷骰子问题掷骰子问题常常会与其他条件相结合。
比如，同时掷两枚质地均匀的骰子，求点数之和大于 8 的概率。
对于这种问题，需要列出所有可能的基本事件，然后找出点数之和大于 8 的基本事件个数，最后计算概率。
3、抽样问题抽样问题可以分为有放回抽样和无放回抽样。
例如，从 10 件产品中抽取 3 件，有放回抽样和无放回抽样时，抽到特定产品的概率是不同的。
高中数学总结归纳点拨 古典概型创新题赏析
古典概型创新题赏析古典概型是一种重要的概率模型，也是高考命题的重点．近年来，在高考或各地模拟考试中出现了一些以古典概型为背景的创新题，考查了同学们的探究能力和创新能力．下面撷取几例，与同学们共赏析．一、信息迁移创新信息迁移题是近年高考命题改革的一个新的亮点．此类试题通过给出一个新概念，或定义一种新运算，或给出几个新模型等来创设新的问题情境，要求同学们在阅读理解的基础上，应用所学的知识和方法，实现信息的迁移，以达到灵活解题的目的．例1“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数（如2578），在两位的“渐升数”中任取一个数比37大的概率是_____．解析：十位是1的“渐升数”有8个；十位是2的“渐升数”有7个；…；十位是8的“渐升数”有1个，所以两位的“渐升数”共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36个；以3为十位比37大的“渐升数”有2个，分别以4，5，6，7，8为十位数的“渐升数”均比37大，且共有5＋4＋3＋2＋1＝15个，所以比37大的两位“渐升数”共有2＋15＝17个．故在两位的“渐升数”中任取一个比37大的概率是17 36．二、图表解读创新给出图表，要求同学们对图表进行观察，分析，并提炼，挖掘出图表所给予的有用信息，排除有关数据的干扰，进而抓住问题的实质，达到求解的目的．例2下表为某班英语及数学的成绩分布，全班共有学生50人，成绩分为1～5五个档次．例如表中所示英语成绩为4分，数学成绩为2分的学生共5人（设x，y分别表示英语成绩和数学成绩）．（1）4x =的概率是多少？4x =且3y =的概率是多少？3x ≥的概率是多少？（2）2x =的概率是多少？a b +的值是多少？解析：（1）15717(4)5025P x +++===；7(43)50P x y ===，； 7(3)(3)(4)(5)10P x P x P x P x ==+=+==≥； （2）571(2)1(1)(3)150105P x P x P x ==-=-=--=≥； 又1601(2)505b a P x ++++===，则3a b +=．三、知识交汇创新 这类问题从学科知识的内在联系出发，在知识交汇点上做文章，一个题目往往包含多个知识点．例3 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6），骰子朝上的面的点数分别为X Y ，，则2log 1X Y =的概率为（ ）Ａ．16 Ｂ．536 Ｃ．112 Ｄ．12解析：本题是古典概型与对数知识的交汇，可先根据对数性质得到Ｙ与Ｘ的关系，进而求解．由题设知，骰子朝上的点数X ，Y 满足2Y X =，就是说朝上的面的点数只能是1，2；2，4；3，6，即所求概率为313612=．故选（Ｃ） 例4 设l 为平面上过点(01)，的直线，l 的斜率等可能的取0-，则原点到l 的距离小于1的概率是 ． 解析：本题是古典概型与解析几何知识的交汇，运用点到直线的距离公式分别求距离得解．原点到过点(01)，且斜率分别为0-的直线的距离分别为1122111323323，，，，，，．故原点到l的距离小于1的概率为67．。
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【习题02针对训练答案】
【习题02针对训练解析】这是一个几何概型问题， 所有可能结果用周长
表示，事件发生的结果可用两条线段的长度和 表示，所以 .
【习题03针对训练答案】（1） ;（2） .
【习题03针对训练解析】(1)摸出两球颜色恰好相同，即两个黑球或两个白球，共有 ＝4(种)可能情况.故所求概率为 = = = 。
【习题08针对训练】甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一天二十四小时内到达该码头的时刻是等可能的．如果甲船停泊时间为1小时，乙船停泊时间为2小时，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．
【标题09】对随机模拟求近似值原理理解不清
【习题09】从区间 上随机抽取 个数 ，构成 个数对 , ,
【详细正解】（1）同上
(2）设事件 =“方程有实根"，记 为取到的一种组合．
∵ 是从区间 中任取的数字， 是从区间 中任取的数字，
∴点 所在区域是长为4，宽为3的矩形区域．
又∵满足 的点的区域是如图所示的阴影部分
∴ .∴方程有实根的概率是 ．
【习题07针对训练】已知关于 的二次函数
（1)设集合 和 ，分别从集合 ， 中随机取一个数作为 和 ，求函数 在区间 上是增函数的概率.
【详细正解】由题得此概型为几何概型，所有结果组成的区域是以原点为圆心，以5为半径的圆,当硬币和圆外切时，也是满足题意的，它不是完全落在圆外，因为此时两圆有公共点)，事件A的所有结果构成的区域是以原点为圆心，以3为半径的圆，所以由几何概型的定义得 .
【深度剖析】（1）经典错解错在审题不清,把总事件没有理解清楚. （2）学习数学，必须养成严谨认真细心的学习习惯，审题必须认真，错解就是审题不清，导致的错误.
A． B． C． D．
【标题07】审题错误导致把几何概型看成了古典概型
【习题07】设关于 的一元二次方程 ．
(1)若 都是从集合 中任取的数字，求方程无实根的概率；
(2）若 是从区间 中任取的数字， 是从区间 中任取的数字，求方程有实根的概率．
【经典错解】（1）设事件 为“方程无实根”，记 为取到的一种组合，则所有的情况有：（1，1），（1，2),（1，3），（1，4)，（2，1）,（2，2），（2，3)，（2，4)，
【详细正解】如图所示， ,当点 在优弧 上时，弦长超过1，根据几何概型的概率公式得 。故填 。
【深度剖析】(1)经典错解错在事件 构成的区域找错了. （2）错解错在寻找事件 构成的区域时,只顾及了一边,忽略了另外一边.所以在寻找事件 的全部结果构成的区域时，要考虑周全，不能受习惯思维的影响。
【习题02针对训练】有一长、宽分别为 、 的游泳池，一名工作人员在池边巡视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同.一人在池中心（对角线交点）处呼唤工作人员，其声音可传出 ，则工作人员能及时听到呼唤（出现在声音可传到区域)的概率是（ ）
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（2）∵关于 的一元二次方程 有实根，∴ ,
∴ ．
设事件 为“方程有实根”，记 为取到的一种组合，则其包含的基本事件有:（1，1），（2,1），(2，2)（3，1)，（3，2）,（3,3），（4,1)，（4，2)，（4，3），（4，4).一共10种且每种情况被取到的可能性相同． 所以方程有实根的概率是 。
【标题05】“试验的全部结果构成的区域”和“事件A的全部结果构成的区域”理解错误
【习题05】在面积为 的 的边 上任取一点 ，则 的面积大于 的概率为。
【经典错解】由题得试验的全部结果构成的区域是如图所示的 ,事件“ 的面积大于 "的全部结果构成的区域是如图所示的 ，根据几何概型概率的公式得 ，故填 。
【详细正解】（1）当 为钝角时，由题意得,过 作 ，则 ,
,若使得 为钝角三角形，则 在线段 上；（2）当 为钝角时，过点 作 ,则 ，若使得 为钝角三角形，则 在线段 上。故由几何概型的概率公式得 .故选 .
【习题06针对训练】向顶角为 的等腰三角形 （其中 ）内任意投一点 ， 则 小于 的概率为( ）
【详细正解】由题得试验的全部结果构成的区域是如图所示的线段 ,事件“ 的面积大于 ”的全部结果构成的区域是如图所示的线段 ,根据几何概型概率的公式得 ，故填 。
【深度剖析】（1）经典错解错在“试验的全部结果构成的区域"和“事件A的全部结果构成的区域”理解错误. (2）在做概率题时，一定要认真审题，弄清“试验的全部结果构成的区域”和“事件A的全部结果构成的区域”.
专题27 古典概型和几何概型
【标题1】忽略了对数函数中底数的范围
【习题01】先后抛掷两枚骰子，出现的点数分别记为 ,则事件 发生的概率为.
【经典错解】 ,根据题意得试验的全部结果有 个基本事件,事件 包含的基本事件有 ,共3个.由古典概型的概率公式得 ，故填 .
【详细正解】 ,根据题意得试验的全部结果有 个基本事件， 所以事件 包含的基本事件有 和 ， 共2个。由古典概型的概率公式得 ,故填 。
（2）有放回地摸两次，两球颜色不同，即“先黑后白”或“先白后黑".故所求概率为 = = = .
【习题04针对训练答案】
【习题04针对训练解析】如图，不妨设 ，则 , ,
图中点 恰好使得 ,∴当点位于 段时，满足 ,
由三角形的知识易得 ∴使 的概率 .故填 .
【习题05针对训练答案】
【习题06针对训练答案】
【详细正解】甲从选择题抽到一题的结果为 ,乙从判断题中抽到一题的结果为 ，而甲、乙依次抽到一题的结果为 ∴所求概率为 .
【习题03针对训练】一纸箱中放有除颜色外，其余完全相同的黑球和白球,其中黑球2个，白球3个.
（1）从中同时摸出两个球，求两球颜色恰好相同的概率;
(2）从中摸出一个球,放回后再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率.
【习题05针对训练】设不等式组 ,表示平面区域为 ，在区域 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于 的概率是（ ）
A． B． C． D．
【标题06】考虑问题不周全没有分类讨论
【习题06】在 中， ，在 上任取一点 ，则使 为钝角三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
【经典错解】由题意得，过 作 ，则 ， ，若使得 为钝角三角形，则 在线段 上,所以对应的概率为 ，故选 。
A． B． C． D．
【标题03】对组合数实际意义理解不清
【习题03】甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有10个不同的题目,其中选择题6个，判断题4个，甲、乙依次各抽一题.求甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？
【经典错解】甲从选择题抽到一题的结果为 ，乙从判断题中抽到一题的结果为 ，而甲、乙依次抽到一题的结果为 ∴所求概率为
【习题01针对训练】先后抛掷两枚骰子，出现的点数分别记为 ，则事件 发生的概率为。
【标题02】事件 构成的区域找错了
【习题02】在半径为1的圆周上有一定点 ，以 为端点连一弦,另外一端点在圆周上等可能的选取，则弦长超过1的概率为.
【经典错解】如图所示， ，当点 在优弧 上时，弦长超过1,根据几何概型的概率公式得 .故填 。
且基本事件所构成的区域为
要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达 小时以上或乙比甲早到达 小时以上,即 ,故 ．
【习题09针对训练答案】
【习题09针对训练解析】设正方形的边长为 ，则内切圆的半径为 ，由题意 ，∴ 。
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【标题04】“事件的全部结果"和“事件 的全部结果”对应的区域找错了
【习题04】在 中, , = , =3，若在线段 上任取一点 ,则 为锐角的概率是.
【经典错解】在 中,由余弦定理得 = . 又由余弦定理得 ，所以 为锐角的概率是 。
【详细正解】当 时, ，所以 为锐角的概率是 .
【习题04针对训练】在 中, ，过直角顶点 作射线 交线段 于 ，使 的概率是．
【习题09针对训练】某同学动手做实验：《用随机模拟的方法估计圆周率的值》，在左下图的正方形中随机撒豆子，每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，若他随机地撒 粒统计得到落在圆内的豆子数为 粒，则由此估计出的圆周率 的值为．（精确到 ）
高中数学经典错题深度剖析及针对训练
第27讲：古典概型和几何概型参考答案
(3，1）,（3，2）,（3，3)，（3，4），（4,1），（4，2），（4，3）,（4，4）．一共16种且每种情况被取到的可能性相同．
∵关于 的一元二次方程 无实根，∴ ∴ ．
∴事件 包含的基本事件有:(1，2），(1，3），（1，4)，(2,3）,（2，4），（3，4）.共6种∴ = ∴方程无实根的概率 ．