湖北省荆州中学2016届高三第一次质检数学(文)试卷
湖北省2016届高三上学期第一次八校联考数学(文)试题Word版含答案
省 八校 2016届高三第一次联考数学试题（文科）命题学校：高中 命题人： 审题人：考试时间：2015年12月7日下午15:00—17:00 试卷满分150分 考试用时120分钟注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必先将自己的、填写在答题卡上。
2．回答第I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}2A y y x ==，(){}lg 2B x y x ==-，则A B =IA ．[]0,2B ．[)0,2C ．(],2-∞D ．(),2-∞2．欧拉公式cos sin ixe x i x =+(i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．2ie 在复平面中表示的复数位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知()sin f x x x =-+，命题0)(),2,0(:<∈∀x f x p π，则A ．p 是假命题，0)(),2,0(:≥∈∀⌝x f x p πB ．p 是假命题，0)(),2,0(:0≥∈∃⌝x f x p πC ．p 是真命题，0)(),2,0(:≥∈∀⌝x f x p πD ．p 是真命题，0)(),2,0(:0≥∈∃⌝x f x p π4．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论错误的是鄂南高中 华师一附中 黄石二中 荆州中学襄阳四中 襄阳五中 孝感高中 黄冈中学A ．0d <B ．70a =C ．95S S >D ．67n S S S 与均为的最大值5．若偶函数()f x 在(,0]-∞上单调递减，3224(log 3),(log 5),(2)a f b f c f ===，则,,a b c满足A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a << 6．已知正数,x y 满足20,350x y x y -≤⎧⎨-+≥⎩则2z x y =--的最小值为A ．2B ．0C ．2-D ．4-7．在等腰ABC ∆中，4BC =，AB AC =，BA BC ⋅=u u u r u u u rA ．4-B ．4C ．8-D ．8 8．要得到函数)32cos()(π+=x x f 的图象，只需将函数)32sin()(π+=x x g 的图象A ．向左平移2π个单位长度 B ．向右平移2π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度9．已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示.则该几何体的表面积等于A ．6043221++B ．6023221++C ．6023421++D ．6043421++10．函数222,1,()log (1),1,x x f x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩且()3,f a =-则(5)f a -=A ．74-B ．54-C ．34-D ．14- 11．点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周，,O P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图，那么点P 所走的图形是12．若函数()y f x =对任意)2,2(ππ-∈x 满足()()cos sin 0,f x x f x x '+>则下列不等式成立的是 A ．)4()3(2ππ-<-f f B ．)4()3(2ππf f <C ．)3(2)0(πf f > D ．)4(2)0(πf f > 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．第11题图第９题图2313．在平面直角坐标系中，角α终边过点()2,1P ,则2cos sin 2αα+的值为. 14．已知向量(2,1),(2,3),a b ==-r r 且()ka b -r r //(3)a b +r r，则实数k 等于.15．函数21y ax =-在[0,2]上的最大值是7，则指数函数x y a =在[0,3]上的最大值与最小值之和为.16．埃及数学中有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其它分数都要写成若干个单分数和的形式．例如211,5315=+可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人12，不够，每人13，余13，再将这13分成5份，每人得115，这样每人分得11315+．形如2(5,7,9,11,)n n=L 的分数的分解：211,5315=+211,7428=+211,9545=+按此规律，211= ；2n=(5,7,9,11,)n =L ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)在等比数列{}n a 中，公比1q >， 22a =，前三项和37S =． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)记2log n n b a =，121n n n c b b ++=⋅，求数列{}n c 的前n项和n T .18．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，60CAB ∠=o,4,27AC BC ==. (Ⅰ)求△ABC 的面积；(Ⅱ)若函数,0,0)(sin()(>>+=ωϕωM x M x f |ϕ|)2π<的图像经过A 、C 、Ｂ三点，且A 、B 为()f x 的图像与x 轴相邻的两个交点，求()f x 的解析式 ． 19．(本小题满分12分)如图，已知长方形ABCD 中，22AB =2AD =，M 为DC的中点．将ADM ∆沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM ．(Ⅰ)求证：AD BM ⊥；(Ⅱ)若点E 是线段DB 上的一动点， 问点E 在何位置时，三棱锥E ADM -的体积 与四棱锥D ABCM -的体积之比为1:3？20. (本小题满分12分)小明同学制作了一个简易的网球发射器，可用于帮忙练习定点接发球，如图1所示，网球场前半区、后半区总长为23.77米，球网的中间部分高度为0.914米，发第19题图第22题图射器固定安装在后半区离球网底部8米处中轴线上，发射方向与球网底部所在直线垂直．为计算方便，球场长度和球网中间高度分别按24米和1米计算，发射器和网球大小均忽略不计.如图2所示，以发射器所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上的球场中轴线上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1米，已知若不考虑球网的影响，网球发射后的轨迹在方程2211(1)(0)280y kx k x k =-+>表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．发射器的射程是指网球落地点的横坐标．(Ⅰ )求发射器的最大射程；(Ⅱ)请计算k 在什么围，发射器能将球发过网（即网球飞行到球网正上空时，网球离地距离大于1米）？若发射器将网球发过球网后，在网球着地前，小明要想在前半区中轴线的正上空选择一个离地面2.55米处的击球点正好击中网球，试问击球点的横坐标a 最大为多少？并请说明理由．21．(本小题满分12分)已知函数()e ,xf x x R =∈．(Ⅰ)若直线y kx =与()f x 的反函数的图象相切，数k 的值; (Ⅱ)若0,m <讨论函数()2()g x f x mx =+零点的个数．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22. (本小题满分10分)选修4-1几何证明选讲：如图，BC 是圆O 的直径，点F 在弧BC 上，点A 为弧BF 的中点，作AD BC ⊥于点D ，BF 与AD 交于点E ，BF 与AC 交于点G ．(Ⅰ)证明：AE BE =；(Ⅱ)若9,7AG GC ==，求圆O 的半径． .23. (本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程：已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ+=. 曲线 13cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）.(Ⅰ)求曲线1C 的普通方程；(Ⅱ)若点M 在曲线1C 上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值. 24. (本小题满分10分)选修4-5不等式选讲：第20题图图1图2已知函数=)(x f |10-x | + |20-x |，且满足()10f x a <（a R ∈）的解集不是空集. (Ⅰ)数a 的取值围； (Ⅱ)求24a a+的最小值. 省 八校2016届高三第一次联考数学试题（文科）参考答案一、选择题 BBDCB DDCAA CA二、填空题 85； 13-； 9； 11666+（2分），111(1)22n n n +++（3分） 三、解答题17．(Ⅰ)1,q >时，212a a q ==；231(1)7S a q q =++= 得112a q =⎧⎨=⎩ ………………4分12n n a -= ………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)中, 12n n a -=,122log log 21n n n b a n -===-…………8分∴121111()(n 1)1n n n c b b n n n ++===-⋅⋅++ ………………10分∴1111)111()3121()211(21+=+-=+-++-+-=+++=n nn n n c c c T n n ΛΛ ……12分18．(Ⅰ)在△ABC 中由余弦定理可知：3cos 2222πbc c b a -+= ………………2分∴24120c c --=6c AB ∴== ………………4分363sin 6421=⋅⋅=∆πABC S ………………6分 (Ⅱ) T=2×6=12,∴6πω= ………………8分鄂南高中 华师一附中 黄石二中 荆州中学 襄阳四中 襄阳五中 孝感高中 黄冈中学∵M M f =+⋅=)16sin()1(ϕπsin()16π∴+ϕ=，2,62k k Z ππ∴+ϕ=π+∈2πϕ<Q ，3π∴ϕ=. ………………10分又323sin)0(==πM f Θ，4=∴M)36sin(4)(ππ+=∴x x f ． ………………12分19．(Ⅰ) 证明：∵长方形ABCD 中，AB=22，AD=2，M 为DC 的中点，∴AM=BM=2，∴BM ⊥AM. ………………2分∵平面ADM⊥平面ABCM ，平面ADM∩平面ABCM=AM ，BM ⊂平面ABCM∴BM⊥平面ADM ∵AD ⊂平面ADM ∴AD⊥BM ………………6分 (Ⅱ)E 为DB 的中点． ………………7分1112122233E ADM B ADM D ABM D ABCM D ABCM V V V V V -----===⋅= ………………12分20．(Ⅰ)由2211(1)0280kx k x -+=得：2401kx k =+或0x =，………………2分 由40402012x k k=≤=+，当且仅当1k =时取等号． 因此，最大射程为20米； ………………5分(Ⅱ)网球发过球网，满足8x =时1y >．所以244(1)15k k -+>，即242090k k -+<， 因此1922k << ………………8分依题意：关于k 的方程2211(1) 2.55280ka k a -+=在19,22⎛⎫⎪⎝⎭上有实数解 即222402040a k ak a -++= ………………9分 22240204(0)a k ak a a -++≠ ()222160042040a aa∆=-+≥得14a ≤， ………………11分此时107k =，球过网了， 所以击球点的横坐标 a 最大为14 ………………12分20．(Ⅰ) ()f x 的反函数为ln ,y x =设切点为()00,ln ,x x 则切线斜率为000ln 1,x k x x ==故01,.x e k e ==………………4分(Ⅱ) 函数2()()g x f x mx =+的零点的个数即是方程2()0f x mx +=根的个数，等价于两个函数2()xe h x x =与函数y m =-图象交点的个数．'3(2)()x e x h x x-= ………………6分 (,0),x ∈-∞'()0,h x >()h x 在(,0)-∞上单调递增；当)2,0(∈x 时，'()0,h x <，()h x 在(0，2)上单调递减; 当),2(+∞∈x 时，'()0,h x >， ()h x 在(2，+∞)上单调递增，∴()h x 在),0(+∞上有最小值为2(2)4e h =.………………9分当2(,0)4e m ∈-时，函数2()xe h x x =与函数y m =-图象交点的个数为1；当24e m =-时，函数2()xe h x x=与函数y m =-图象交点的个数为2；当2(,)4e m ∈-∞-时，曲函数2()xe h x x=与函数y m =-图象交点的个数为3. ………………11分综上所述，当2(,)4e m ∈-∞-时，函数()g x 有三个零点；当24e m =-时，函数()g x 有两个零点；当2(,0)4e m ∈-时函数()g x 有一个零点．………………12分22．证明：（1）连接AB ，因为点A 为»BF的中点， 故»»BAAF =，ABF ACB ∴∠=∠……………2分又因为AD BC ⊥，BC 是O e 的直径，……………4分BAD ACB ∴∠=∠ ABF BAD ∴∠=∠AE BE ∴=……………5分（2）由ABG ACB ∆∆:知2916AB AG AC =⋅=⨯12AB = ……………8分直角ABC ∆中由勾股定理知20BC = ……………9分 圆的半径为10 …………10分23．(Ⅰ)曲线1C 的普通方程是：22194x y += ……………4分 (Ⅱ)曲线C 的普通方程是：2100x y +-= ……………5分设点(3cos ,2sin )M αα，由点到直线的距离公式得)10d αϕ==--其中34cos ,sin 55ϕϕ==………9分0αϕ∴-=时，min d =98(,)55M………10分24．(Ⅰ)要102010x x a -+-<的解集不是空集，则min (1020)10x x a -+-<………2分1010,1a a ∴<∴>………5分 (Ⅱ)1a >时，224422a a a a a +=++………7分24322a a a ++≥=当且仅当242a a=，即2a =时等号成立。
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鄂南高中 襄阳四中
华师一附中 襄阳五中
黄石二中 孝感高中
八校 荆州中学
黄冈中学
2016 届高三第一次联考
数学试题（文科）
命题学校：高中
命题人： 审题人：
考试时间： 2015 年 12 月 7 日下午 15:00—17:00 试卷满分 150 分
120 分钟
考试用时
注意事项： 1．本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己 的、填写在答题卡上。 2．回答第 I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
( Ⅱ)求 a
4
2 的最小值 .
a
省
鄂南高中 襄阳四中
华师一附中 襄阳五中
黄石二中 孝感高中
荆州中学
八校 黄冈中学
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数学试题（文科）参考答案
一、选择题 二、填空题
三、解答题
BBDCB
8； 5
DDCAA
1
； 9；
3
CA
11
1
6 66 （ 2 分）， n 1
2
1 （ 3 分） n(n 1)
第 11 题图
12．若函数 y
成立的是
f x 对任意 x ( , ) 满足 f x cos x 22
f x sin x 0, 则下列不等式
A． 2 f ( ) f ( ) B． 2 f ( ) f ( ) C． f (0) 2 f ( ) D． f (0)
3
4
3
4
3
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分 ．
2016届高三上学期第一次月考数学（文）试题Word版含答案
2016届高三上学期第一次月考数学（文）试题Word版含答案2016届高三上学期第一次月考数学文试卷考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N 等于( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．(0,1]D ．(0,1)2．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{1，a ，b }，则“a ＝2”是“A ?B ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题p ：所有有理数都是实数；命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是( ) A ．﹁p 或q B ．p 且q C ．﹁p 且﹁qD ．﹁p 或﹁q4．设函数f (x )＝x 2＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))等于( )A.15B ．3C.23D.1395．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)6．已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)等于( )A ．－2B ．0C ．1D ．27. 如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a 满足的条件是( ) A ．a ≥8 B ．a ≤8 C ．a ≥4D ．a ≥－48. 函数f (x )＝a x －2＋1(a >0且a ≠1)的图像必经过点( ) A ．(0,1) B ．(1,1) C ．(2,0)D ．(2,2)9. 函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图像是( )10. 函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1,2)11. 设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为( ) A ．e 2B ．eC.ln22D ．ln212. 函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为( )．A ．{x |x >0}B ．{x |x <0}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <－1或0<1}<="" p="">二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13. 已知函数y ＝f (x )及其导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则曲线y ＝f (x )在点P 处的切线方程是__________．14. 若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________． 15. 函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为________．16. 若方程4－x 2＝k (x －2)＋3有两个不等的实根，则k 的取值范围是________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(10分) 化简：(1)3131421413223b a b a ab b a -(a >0，b >0)；(2)(－278)23-＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.18．(12分)已知函数f (x )＝1a －1(a >0，x >0)，(1)求证(用单调性的定义证明)：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．19．（12分）已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．20．（12分）已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间． 21．（12分）已知函数f (x )＝x 3＋x －16. (1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l 为曲线y ＝f (x )的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标； 22．（12分）已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图像有三个不同的交点，求m 的取值范围．2016届高三上学期第一次月考数学答题卡一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题有一个正确答案）13、 14、15、 16、三、解答题17.(10分) 化简：(1)131421413223b a b a ab b a -(a >0，b >0)；(2)(－278)23-＋(0.002)12-－10(5－2)－1＋(2－3)0.18．(10分)已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)，(1)求证(用单调性的定义证明)：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，求a 的值．19．（12分）已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1,1]上的解析式．20．（12分）已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；21．（13分）已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数；(3)当a＝1时，求f(|x|)的单调区间．22．（13分）已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围．2016届高三上学期第一次月考数学文试卷参考答案1．B2.A3.D4.D5.D6.A7.A8.D9.B10.B11.B12.A13. x －y －2＝0 14. {x |－32<1}<="" p="">15. (0,1] 16. (512，34]17. 解 (1)原式＝121311113233211212633311233().a b a b abab ab a b+-++----==(2)原式＝(－278)23-＋(1500)12-－105－2＋1＝(－827)23＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 18. (1)证明设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0，∵f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)解∵f (x )在[12，2]上的值域是[12，2]，又f (x )在[12，2]上单调递增，∴f (12)＝12，f (2)＝2.易得a ＝25.19. 解(1)∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0，f (－1)＝0. (2)由题意知，f (0)＝0. 当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，综上，在[－1, 1]上，f (x )＝2x4x ＋1，x ∈(0，1)，－2x 4x＋1，x ∈(－1，0)，0，x ∈{－1，0，1}.20．解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∵x ∈[－4,6]，∴f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35. (2)∵函数f (x )的图像开口向上，对称轴是x ＝－a ，∴要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝?x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0, 6]，单调递减区间是[－6,0]．21.解 (1)可判定点(2，－6)在曲线y ＝f (x )上．∵f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1.∴f ′(x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. ∴切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)，即y ＝13x －32.(2)法一设切点为(x 0，y 0)，则直线l 的斜率为f ′(x 0)＝3x 20＋1，∴直线l 的方程为y ＝(3x 20＋1)(x －x 0)＋x 30＋x 0－16，又∵直线l 过点(0,0)，∴0＝(3x 20＋1)(－x 0)＋x 30＋x 0－16，整理得，x 30＝－8，∴x 0＝－2，∴y 0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k ＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线l 的方程为y ＝13x ，切点坐标为(－2，－26.) 法二设直线l 的方程为y ＝kx ，切点为(x 0，y 0)，则k＝y0－0x0－0＝x30＋x0－16x0又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋x0－16x0＝3x2＋1，解之得x0＝－2，∴y0＝(－2) 3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．22.解(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．当a>0时，由f′(x)>0，解得x<－a或x>a.由f′(x)<0，解得－a<x<a，< p="">∴当a>0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)，单调减区间为(－a，a)．(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图像有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图像可知：实数m的取值范围是(－3,1)．</x<a，<>。
湖北省荆州市2016届高考数学一模试卷(文科)(解析版)
2016年湖北省荆州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|0＜x＜2}，则A∪B=（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）2．cos（﹣φ）=，且|φ|＜，则tanφ为（）A．﹣B．C．﹣D．3．设a=2﹣2，，c=log25，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜b＜c4．函数f（x）=lnx﹣的零点所在的区间是（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（e，+∞）5．已知{a n}是等差数列，公差d不为零，且a3+a9=a10﹣a8，则a5=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．26．已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．7．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），若f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象右平移个单位所得的图象重合，则ω的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．58．数列{a n}满足，则数列{log2a n}的前10项和S10=（）A．55 B．50 C．45 D．409．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且sinA+cosA=，a=7，3sinB=5sinC，则b+c的值为（）A．12 B．8C．8D．810．函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜）的部分图象如图，且过点，则以下结论不正确的是（）A．f（x）的图象关于直线对称B．f（x）的图象关于点对称C．f（x）在上是增函数D．f（x）在上是减函数11．设a＞b＞0，当a2+取得最小值时，函数f（x）=+bsin2x的最小值为（）A．3 B．2C．5 D．412．设f（x）是定义在R上的偶函数f（x）+f（2﹣x）=0．当x∈[0，1]时f（x）=x2﹣1，若关于x 的方程f（x）﹣kx=0恰有三个不同的实数解，则正实数k的取值范围是（）A．（5﹣2，4﹣） B．（8﹣2，4﹣2）C．（5﹣2，4﹣2）D．（8﹣2，4﹣）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中相应的横线上13．函数的定义域为．14．在等比数列{a n}中，a1=1，a2a4=16，则a7=．15．若函数（a＞0，a≠1）的值域是（﹣∞，﹣1]，则实数a的取值范围是．16．已知函数，若函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调递增，则实数a的取值范围是．三、解答题：本大题共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=．（1）当时，求函数f（x）的取值范围；（2）将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=，sin（B﹣A）+cos （A+B）=0．（1）求sinB的值；（2）若△ABC的面积为3+，求a，c的值．19．已知数列{a n}各项均为正数，其前n项和为S n，且a1=1，a n a n+1=2S n．（n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和T n．20．某基建公司年初以100万元购进一辆挖掘机，以每年22万元的价格出租给工程队．基建公司负责挖掘机的维护，第一年维护费为2万元，随着机器磨损，以后每年的维护费比上一年多2万元，同时该机器第x（x∈N*，x≤16）年末可以以（80﹣5x）万元的价格出售．（1）写出基建公司到第x年末所得总利润y（万元）关于x（年）的函数解析式，并求其最大值；（2）为使经济效益最大化，即年平均利润最大，基建公司应在第几年末出售挖掘机？说明理由．21．已知函数f（x）满足对于任意x＞0，都有f（x）+2f（）=log a x++（a＞0，a≠1）．（1）求f（x）的极值；（2）设f（x）的导函数为f′（x），试比较f（x）与f′（x）的大小，并说明理由．请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．【选修4-1：平面几何选讲】22．如图，A，B，C，D四点共圆，BC，AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上，（1）若的值；（2）若EF2=FA•FB，证明：EF∥CD．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为．（1）写出直线l的普通方程及圆C 的直角坐标方程；（2）点P是直线l上的，求点P 的坐标，使P 到圆心C 的距离最小．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x+1|+|2x﹣1|的最小值为a．（1）求a的值；（2）已知m，n＞0，m+n=a，求的最小值．2016年湖北省荆州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|0＜x＜2}，则A∪B=（）A．（﹣1，2）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（1，2）【考点】并集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】由A与B，求出两集合的并集即可．【解答】解：集合A={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1），B={x|0＜x＜2}=（0，2），则A∪B=（﹣1，2），故选：A．【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．cos（﹣φ）=，且|φ|＜，则tanφ为（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】运用诱导公式化简求值；三角函数的化简求值．【专题】三角函数的求值．【分析】利用诱导公式化简已知表达式，通过同角三角函数的基本关系式求解即可．【解答】解：cos（﹣φ）=，且|φ|＜，所以sinφ=﹣，φ，cosφ==，tanφ==．故选：C．【点评】本题考查诱导公式的应用，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．3．设a=2﹣2，，c=log25，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜b＜c【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．【解答】解：∵a=2﹣2=，1=30＜=＜2，c=log25＞log24=2，∴a＜b＜c．故选：D．【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意利用指数函数、对数函数的单调性的合理运用．4．函数f（x）=lnx﹣的零点所在的区间是（）A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（e，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数零点的判断条件，即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=lnx﹣，则函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∵f（2）=ln2﹣1＜0，f（3）=ln3﹣＞0，∴f（2）f（3）＜0，在区间（2，3）内函数f（x）存在零点，故选：B【点评】本题主要考查方程根的存在性，利用函数零点的条件判断零点所在的区间是解决本题的关键．5．已知{a n}是等差数列，公差d不为零，且a3+a9=a10﹣a8，则a5=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】等差数列的通项公式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由已知条件利用等差数列通项公式得到a1=﹣4d，由此能求出a5的值．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a3+a9=a10﹣a8，且公差d不为零，得a1+2d+a1+8d=a1+9d﹣a1﹣7d，解得a1=﹣4d，∵d≠0，∴a5=a1+4d=﹣4d+4d=0．故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式，注意等差数列的性质的合理运用，是基础题．6．已知x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．【考点】简单线性规划．【专题】计算题．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：作图易知可行域为一个三角形，当直线z=2x+y过点A（2，﹣1）时，z最大是3，故选A．【点评】本小题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．7．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），若f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象右平移个单位所得的图象重合，则ω的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；转化思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】由题意将f（x）的图象向左平移个单位所得的图象与f（x）的图象右平移个单位所得的图象重合，说明两个函数相位差是2π的整数倍，求出ω的值即可．【解答】解：∵将函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象向左平移个单位，所得的图象解析式为：y=sin （ωx+ω+φ），将函数f（x）的图象右平移个单位所得的图象解析式为：y=y=sin（ωx﹣ω+φ），若所得图象重合，∴ω+ω=2kπ，k∈Z，解得ω=4k，k∈Z，∵ω＞0，可解得ω的最小值为4．故选：C．【点评】本题考查三角函数的周期、图象变换等基础知识，相位差是函数周期的整数倍，是本题解题关键．8．数列{a n}满足，则数列{log2a n}的前10项和S10=（）A．55 B．50 C．45 D．40【考点】等比数列的前n项和；等比关系的确定．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】由已知得{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，从而，进而log2a n=n，由此能求出数列{log2a n}的前10项和S10．【解答】解：∵数列{a n}满足，∴{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴，∴log2a n=n，∴数列{log2a n}的前10项和S10=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55．故选：A．【点评】本题考查数列的前10项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质和对数性质的合理运用．9．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且sinA+cosA=，a=7，3sinB=5sinC，则b+c的值为（）A．12 B．8C．8D．8【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；解三角形．【分析】将sinA+cosA=两边平方，可解得sin2A=﹣，结合范围0＜A＜π，可得：cosA=﹣，由正弦定理化简3sinB=5sinC，可得：3b=5c①，根据余弦定理可得49=b2+c2+bc②，由①②联立可解得b，c的值，从而得解．【解答】解：∵sinA+cosA=，∴两边平方，可得：1+sin2A=，解得：sin2A=﹣，∵0＜A＜π，0＜2A＜2π，∴解得：A=或（由sinA+cosA=舍去），可得：cosA=﹣，∵3sinB=5sinC，可得：3b=5c①，∴由a=7，根据余弦定理可得：49=b2+c2﹣2bccosA，∴49=b2+c2+bc②，∴由①②可解得：b=5，c=3，b+c=8．故选：D．【点评】本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理的综合应用，熟练掌握和灵活应用相关公式是解题的关键，属于中档题．10．函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜）的部分图象如图，且过点，则以下结论不正确的是（）A．f（x）的图象关于直线对称B．f（x）的图象关于点对称C．f（x）在上是增函数D．f（x）在上是减函数【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】由图象可得A=2，由图象过点B（0，﹣1），即2sinϕ=﹣1，结合|ϕ|＜，解得ϕ=﹣．由图象过点A（，0），可得2sin（ω﹣）=0，解得：ω=k+，k∈Z，解析式可为f（x）=2sin（x﹣），利用正弦函数的图象和性质即可逐一求解．【解答】解：函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）图象最高点的纵坐标为2，所以A=2，∵图象过点B（0，﹣1），∴2sinϕ=﹣1，∴ϕ=2kπ+，k∈Z，或ϕ=2kπ+，k∈Z∵|ϕ|＜，∴ϕ=﹣．∵图象过点A（，0），∴2sin（ω﹣）=0，解得：ω=k+，k∈Z．∴k=0时，可得：ω=，故所求解析式为f（x）=2sin（x﹣）．则：A，由2sin[×（﹣）﹣]=﹣2sin≠±2，故错误；B，2sin（×﹣）=﹣2sin≠0，故错误；C，由2k≤x﹣≤2kπ，解得单调递增区间为：[7kπ﹣，7kπ+]，k∈Z，当k=0时，⊂[﹣，]，故正确；D，由2k≤x﹣≤2kπ+，解得单调递减区间为：[7kπ+，7kπ+]，k∈Z，当k=0时，单调递减区间为[，]，故错误．故选：C．【点评】本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力，属于中档题．11．设a＞b＞0，当a2+取得最小值时，函数f（x）=+bsin2x的最小值为（）A．3 B．2C．5 D．4【考点】基本不等式．【专题】计算题；转化思想；分析法；不等式．【分析】根据基本不等求出a，b的值，再利用换元法，求出f（t）的最小值即可．【解答】解：a2+=a2+b2﹣ab+b（a﹣b）+≥2ab﹣ab+2=ab+4，∴f（x）=+bsin2x≥2，∵b（a﹣b）≤=，当且仅当a=2b时取等号，∴a2+≥a2+≥2=8，当且仅当a2=4时，即a=2时取等号，此时b=1，∴f（x）=+bsin2x=+sin2x，设sin2x=t，则t∈（0，1]，∴y=+t，∴y=+t在（0，1]上单调递减，∴y min=+1=3，故选：A．【点评】本题考查了基本不等式的应用和函数的单调性和最值的关系，属于中档题．12．设f（x）是定义在R上的偶函数f（x）+f（2﹣x）=0．当x∈[0，1]时f（x）=x2﹣1，若关于x 的方程f（x）﹣kx=0恰有三个不同的实数解，则正实数k的取值范围是（）A．（5﹣2，4﹣） B．（8﹣2，4﹣2）C．（5﹣2，4﹣2）D．（8﹣2，4﹣）【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】数形结合；分类讨论；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和对称性求出函数的周期，以及函数的解析式，利用函数与方程之间的关系，转化为函数f（x）与y=kx有三个不同的交点，利用数形结合，以及直线和抛物线相切的等价条件，利用判别式△=0，进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数f（x）+f（2﹣x）=0．∴f（x）=﹣f（2﹣x）=﹣f（x﹣2），即f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），即函数的周期是4的周期函数，若x∈[﹣1，0]时，则﹣x∈[0，1]时，此时f（﹣x）=x2﹣1=f（x），即f（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，0]，综上f（x）=x2﹣1，x∈[﹣1，1]，若x∈[﹣2，﹣1]时，则x+2∈[0，1]，则由f（x+2）=﹣f（x），得f（x）=﹣f（x+2）=﹣[（x+2）2﹣1]=1﹣（x+2）2，x∈[﹣2，﹣1]若x∈[1，2]时，则﹣x∈[﹣2，﹣1]时，则f（﹣x）=1﹣（﹣x+2）2=1﹣（x﹣2）2=f（x），即f（x）=1﹣（x﹣2）2，x∈[1，2]，即函数在一个周期[﹣2，2]上的解析式为f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣kx=0恰有三个不同的实数解，等价为f（x）=kx=0恰有三个不同的实数解，即函数f（x）与y=kx有三个不同的交点，作出函数f（x）和y=kx的图象如图：当x∈[1，2]时，由f（x）=1﹣（x﹣2）2=kx，得x2+（k﹣4）x+3=0，由判别式△=（k﹣4）2﹣12=0得k﹣4=±2，即k=4±2，由1＜＜2，解得0＜k＜6则k=4﹣2，此时两个函数有2个交点．当x∈[﹣4，﹣3]时，x+4∈[0，1]时，则f（x）=f（x+4）=（x+4）2﹣1，x∈[﹣4，﹣3]，此时当f（x）与y=kx相切时，即（x+4）2﹣1=kx，即x2+（8﹣k）x+15=0，判别式△=（8﹣k）2﹣4×15=0得k﹣8=±2，即k=8±2，由﹣4＜﹣＜﹣3，得0＜k＜2，即k=8﹣2，此时两个函数有4个交点．故若关于x的方程f（x）﹣kx=0恰有三个不同的实数解，则正实数k满足8﹣2＜k＜4﹣2，故选：B【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性和解析式，利用函数与方程的关系转化为两个函数的图象交点问题是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中相应的横线上13．函数的定义域为[﹣2，0）∪（3，5]．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数，列出使函数有意义的不等式，求出解集即可．【解答】解：∵函数，∴1﹣lg（x2﹣3x）≥0，即lg（x2﹣3x）≤1，∴0＜x2﹣3x≤10，解得﹣2≤x＜0或3＜x≤5，∴函数f（x）的定义域为[﹣2，0）∪（3，5]．故答案为：[﹣2，0）∪（3，5]．【点评】本题考查了对数函数的定义域，解题时要认真审题，注意对数函数性质的灵活运用与等价转化，是基础题．14．在等比数列{a n}中，a1=1，a2a4=16，则a7=64．【考点】等比数列的通项公式．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质结合已知求得a3=4，进一步求得公比，再代入等比数列的通项公式求得a7．【解答】解：在等比数列{a n}中，由a2a4=16，得，则a3=4（与a1同号），则，∴．故答案为：64．【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．15．若函数（a＞0，a≠1）的值域是（﹣∞，﹣1]，则实数a的取值范围是[，1）．【考点】函数的值域．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据二次函数的性质求出f（x）在（﹣∞，2]的最大值，从而判断出a的范围即可．【解答】解：x≤2时：f（x）=﹣x2+2x﹣2=﹣（x﹣1）2﹣1，对称轴x=1，f（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，2]递减；∴f（x）的最大值是﹣1，而f（x）的值域是（﹣∞，﹣1]，故0＜a＜1，∴≤﹣1，解得：a≥，故答案为：[，1）．【点评】本题考查了分段函数问题，考查二次函数以及对数函数的性质，是一道基础题．16．已知函数，若函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调递增，则实数a的取值范围是[1，+∞）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】分类讨论；转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】f′（x）=x2+2x+a，由于函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调递增，可得：f′（x）≥0在区间[﹣2，a]上恒成立．令g（x）=（x+1）2+a﹣1，x∈[﹣2，a]．对a分类讨论即可得出．【解答】解：f′（x）=x2+2x+a，∵函数f（x）在区间[﹣2，a]上单调递增，∴f′（x）=x2+2x+a≥0在区间[﹣2，a]上恒成立．令g（x）=x2+2x+a，x∈[﹣2，a]．g（x）=（x+1）2+a﹣1，①当﹣2＜a＜﹣1时，函数g（x）在x∈[﹣2，a]单调递减，∴必有g（a）=a2+3a≥0，解得a≤﹣3或a≥0，舍去．②当﹣1≤a时，函数g（x）在x=﹣1时取得最小值，∴必有g（x）≥g（﹣1）=1﹣2+a≥0，解得a≥﹣1，满足条件．综上可得：a≥﹣1．∴实数a的取值范围是[﹣1，+∞）．故答案为：[﹣1，+∞）．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、二次函数的单调性、恒成立转化问题，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题：本大题共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=．（1）当时，求函数f（x）的取值范围；（2）将f（x）的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简可求f（x）=sin（2x﹣），由，可求2x﹣∈[﹣，]，根据正弦函数的图象和性质可求f（x）的取值范围．（2）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求g（x）=f（x+）=sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，即可解得g（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）∵f（x）===sin（2x﹣），∵时，2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]．∴函数f（x）的取值范围为：[﹣，1]…6分（2）∵g（x）=f（x+）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+），∴令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，即可解得g（x）的单调递增区间为：[k，kπ+]，k∈Z (12)分【点评】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，正弦函数的图象和性质，考查了三角函数恒等变换的应用，属于中档题．18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且=，sin（B﹣A）+cos （A+B）=0．（1）求sinB的值；（2）若△ABC的面积为3+，求a，c的值．【考点】解三角形．【专题】计算题；分类讨论；分类法；解三角形．【分析】（1）将sin（B﹣A）+cos（A+B）=0化简得（sinB+cosB）（cosA﹣sinA）=0，然后分情况讨论解出B和A要注意角的范围．（2）借助于（1）中的结论，利用正弦定理得出==，由面积公式得出ac==4，联立方程组即可解出答案．【解答】解：（1）∵sin（B﹣A）+cos（A+B）=0．∴sinBcosA﹣cosBsinA+cosAcosB﹣sinAsinB=0cosA（sinB+cosB）﹣sinA（sinB+cosB）=0（sinB+cosB）（cosA﹣sinA）=0①若sinB+cosB=0，则sinB=，cosB=﹣，B=，C=﹣A∵=，∴=，即=，整理得：cos2A﹣sin2A﹣sinAcosA=cosA．∴cos2A﹣sin2A=cosA，即cos（2A+）=cosA∴2A+=A+2kπ或2A+=﹣A+2kπ．k∈Z．∴A=2kπ﹣或A=又∵0，∴上式无解．②若cosA﹣sinA=0，则sinA=cosA=，A=，C=﹣B．∵=，∴=，即=，整理得：﹣+sinBcosB+cosB=0∴+sin2B=﹣cosB，即sin（2B+）=﹣sin（）=sin（B﹣），∴2B+=B﹣+2kπ或2B+=π﹣（B﹣）+2kπ．k∈Z．∴B=2kπ﹣或B=+．又∵0＜B ＜，∴B=．∴sinB=sin （+）==．（2）由（1）可知A=，B=，∴C=．∵S=acsinB=3+， ∴ac==4．∵=， ∴==， ∴a=2，c=2． 【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，解三角形，涉及分情况讨论思想．19．已知数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，且a 1=1，a n a n+1=2S n ．（n ∈N *） （1）求数列{a n }的通项公式； （2）求数列{}的前n 项和T n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】（1）当n=1时，求出a 2=2，当n ≥2时，求出a n+1﹣a n ﹣1=2，由此能求出a n =n ，n ∈N *． （2）由a n =n ，=n •2n ，利用错位相减法能求出数列{}的前n 项和．【解答】解：（1）∵数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，且a 1=1，a n a n+1=2S n ．（n ∈N *）， ∴当n=1时，a 1a 2=2a 1，解得a 2=2，当n ≥2时，a n ﹣1a n =2S n ﹣1，a n （a n+1﹣a n ﹣1）=2a n ， ∵a n ＞0，∴a n+1﹣a n ﹣1=2，∴a 1，a 3，…，a 2n ﹣1，…，是以1为首项，2为公差的等差数列，a 2n ﹣1=2n ﹣1， a 2，a 4，…，a 2n ，…，是以2为首项，2为公差的等差数，a 2n =2n ， ∴a n =n ，n ∈N *． （2）∵a n =n ，=n •2n ，∴数列{}的前n项和：T n=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，①2T n=1•22+2•23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，②②﹣①，得：T n=n•2n+1﹣（2+22+23+…+2n）=n•2n+1﹣=（n﹣1）•2n+1+2．【点评】本题考查数列通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．20．某基建公司年初以100万元购进一辆挖掘机，以每年22万元的价格出租给工程队．基建公司负责挖掘机的维护，第一年维护费为2万元，随着机器磨损，以后每年的维护费比上一年多2万元，同时该机器第x（x∈N*，x≤16）年末可以以（80﹣5x）万元的价格出售．（1）写出基建公司到第x年末所得总利润y（万元）关于x（年）的函数解析式，并求其最大值；（2）为使经济效益最大化，即年平均利润最大，基建公司应在第几年末出售挖掘机？说明理由．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】函数思想；转化思想；数学模型法；不等式的解法及应用．【分析】（1）由题意可得总利润y等于总收入减去总成本（固定资产加上维护费），结合二次函数的最值求法，即可得到最大值；（2）求得年平均利润为，再由基本不等式，结合x为正整数，加上即可得到最大值，及对应的x 的值．【解答】解：（1）y=22x+（80﹣5x）﹣100﹣（2+4+…+2x）=﹣20+17x﹣x（2+2x）=﹣x2+16x﹣20=﹣（x﹣8）2+44（x≤16，x∈N），由二次函数的性质可得，当x=8时，y max=44，即有总利润的最大值为44万元；（2）年平均利润为=16﹣（x+），设f（x）=16﹣（x+），x＞0，由x+≥2=4，当x=2时，取得等号．由于x为整数，且4＜2＜5，f（4）=16﹣（4+5）=7，f（5）=7，即有x=4或5时，f（x）取得最大值，且为7万元．故使得年平均利润最大，基建公司应在第4或5年末出售挖掘机．【点评】本题考查二次函数的模型的运用，考查最值的求法，注意运用单调性和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．21．已知函数f（x）满足对于任意x＞0，都有f（x）+2f（）=log a x++（a＞0，a≠1）．（1）求f（x）的极值；（2）设f（x）的导函数为f′（x），试比较f（x）与f′（x）的大小，并说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【专题】综合题；分类讨论；综合法；导数的概念及应用．【分析】（1）先利用方程组思想，求出f（x）的解析式，再利用导数，求f（x）的极值；（2）构造函数，利用导数，确定函数的单调性，即可得出结论．【解答】解：（1）∵f（x）+2f（）=log a x++①∴f（）+2f（x）=﹣log a x++，②由①②可得f（x）=﹣log a x+，∴f′（x）=﹣+=0，∴x=1，a＞1时，x=1取得极小值；0＜a＜1时，x=1取得极大值；（2）设h（x）=﹣log a x++﹣，则h′（x）=﹣+﹣=，a＞1时，x=取得极小值，h（x）≥h（）＞0，∴f（x）＞f′（x）；0＜a＜1时，x=取得极大值，h（x）≤h（）＜0，∴f（x）＜f′（x）．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，确定函数的解析式是关键，属于中档题．请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．【选修4-1：平面几何选讲】22．如图，A，B，C，D四点共圆，BC，AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上，（1）若的值；（2）若EF2=FA•FB，证明：EF∥CD．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【专题】证明题；转化思想；综合法；推理和证明．【分析】（1）推导出△EDC∽△EBA，由此能求出的值．（2）推导出△FAE∽△FEB，从而∠FEA=∠EBF，再由四点共圆，能证明EF∥CD．【解答】解：（1）∵A、B、C、D四点共圆，∴∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B，∴△EDC∽△EBA，∴，==，∴=．证明：（2）∵EF2=FA•FB，∴，∵∠EFA=∠BFE，∴△FAE∽△FEB，∴∠FEA=∠EBF，∵A、B、C、D四点共圆，∠EDC=∠EBF，∴∠FEA=∠EDC，∴EF∥CD．【点评】本题考查两线段比值的求法，考查两直线平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的简单性质、三角形相似的性质的合理运用．选修4-4：坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为．（1）写出直线l的普通方程及圆C 的直角坐标方程；（2）点P是直线l上的，求点P 的坐标，使P 到圆心C 的距离最小．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程．【分析】（1）由已知得t=x﹣3，从而y=，由此能求出直线l的普通方程；由，得，由此能求出圆C的直角坐标方程．（2）圆C圆心坐标C（0，），设P（3+t，），由此利用两点间距离公式能求出点P的坐标，使P到圆心C 的距离最小．【解答】解：（1）∵在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，∴t=x﹣3，∴y=，整理得直线l的普通方程为=0，∵，∴，∴，∴圆C的直角坐标方程为：．（2）圆C：的圆心坐标C（0，）．∵点P在直线l：=0上，设P（3+t，），则|PC|==，∴t=0时，|PC|最小，此时P（3，0）．【点评】本题考查直线的普通方程及圆的直角坐标方程的求法，考查直线上的点到圆心的距离最小的点的坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=|x+1|+|2x﹣1|的最小值为a．（1）求a的值；（2）已知m，n＞0，m+n=a，求的最小值．【考点】绝对值不等式的解法；基本不等式．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式．【分析】（1）由条件化简函数的解析式，再利用函数的单调性求得函数f（x）的最小值．（2）根据=（+）•，利用基本不等式求得它的最小值．【解答】解：（1）函数f（x）=|x+1|+|2x﹣1|=，故函数的减区间为（﹣∞，]，增区间为（，+∞），故当x=时，函数f（x）取得最小值为a=．（2）已知m，n＞0，m+n=a=，∴=（+）•=[1+++4]=+（+）≥+•2=6，当且仅当=时，取等号，故的最小值为6．【点评】本题主要考查利用函数的单调性求函数的最值，基本不等式的因公，属于中档题．。
2016届高考模拟试题_湖北省荆州中学2015-2016学年高二上学期第一次月考数学(文)试题附答案
1 1 1 a 1 1 , SEFQ SEFQ' 1 a 2 2 2 2 1 1 4 1 1 1 a 4 4 2 由 VQ AEF V A EFQ S AEF HE S EFQ 1 a a 3 3 5 3 2 3 2 5 3 4 4 即存在一点 Q ，使得点 A 到平面 EFQ 的距离为 ,此时 DQ ……………………12 分 5 3
x2 y 2 4 (k 2 1) x 2 2k 2 x k 2 4 0 y k ( x 1)
x1 x2 2k 2 k2 4 ……………9 分 , x x 1 2 k 2 1 k 2 1
若 x 轴平分 ANB ，则 k AN k BN
5.过点 P ( 2,3) 的圆 C : x y 2 x 2 y 1 0 的切线方程为（ A． y 3 B． x 2 C． x 2 或 3 x 4 y 6 0
[:]
6.两条直线3 x y 3 0 与 6 x my 1 0 平行，则它们间的距离为（ A． 4 B．
19.（本小题满分 12 分）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是正方形， MA 平面 ABCD ， PD // MA ， E 、 G 、 F 分别为 MB 、 PB 、 PC 的中点，且 AD PD 2 MA . （1）求证：平面 EFG 平面 PDC ； （2）若 MA 1 ，求四棱锥 P MAC 的体积
B． ( x 1) ( y 1) 1
2 2
C． ( x 1) ( y 1) 1
2016-2017学年湖北省荆州中学高三1月质量检测数学(文)(详细答案版)
2016-2017学年湖北省荆州中学高三1月质量检测数学（文）一、选择题：共12题1．设集合A={x|y=lg(3−2x)},集合B={x|y=1−x},则A∩B=A.[1,32) B.(−∞,1] C.(−∞,32] D.(32,+∞)【答案】B【解析】本题主要考查集合的运算与函数的定义域.A={x|3−2x>0}={x|x<32},B=x1−x≥0={x|x≤1},则A∩B={x|x≤1}. 故选B.2．若复数z的实部为-1,且|z|=2,则复数Z的虚部是A.−3B.±3C.±3iD.3i【答案】B【解析】本题主要考查复数的概念与复数的模.设z=−1+b i,b∈R,由|z|=(−1)2+b2=2得b=±3.故选B.3．已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(4,−3),若λ为实数,(a+λb)⊥c,则λ=A.14B.12C.1D.2【答案】B【解析】本题主要考查向量的数量积及坐标运算.a+λb=(1,2)+λ1,0=1+λ,2,∵a+λb⊥c,∴a+λb∙c=0,即41+λ−3×2=0,解得λ=12.故选B.4．下列说法正确的是A.“p∨q为真”是“p∧q为真”的充分不必要条件;B.样本10,6,8,5,6的标准差是3.3;C.K2是用来判断两个分类变量是否相关的随机变量,当K2的值很小时可以推定两个分类变量不相关;D.设有一个回归直线方程为y=2−1.5x,则变量x每增加一个单位,y平均减少1.5个单位. 【答案】D【解析】本题主要考查命题的真假与统计问题.对于A,“p∨q为真”,则p、q至少一个为真,“p∧q为真”,则p、q均为真,故“p∨q为真”是“p∧q为真”的必要不充分条件,故A错误;对于B,样本10,6,8,5,6的平均数为7,方差为,159+1+1+4+1=165,标准差是455,故B错误;对于C,当K2的值很小时,只能说两个分类变量的相关相关程度低,不能推定两个分类变量不相关,故C错误;对于D,设有一个回归直线方程为y=2−1.5x,则变量x每增加一个单位,y平均减少1.5个单位,正确.故选D.5．等差数列{a n}中的a1,a4033是函数f(x)=13x3−4x2+6x+7的极值点,则log2a2017= A.2 B.3 C.4 D.5【答案】A【解析】本题主要考查导数的应用、函数与方程、对数运算、等差数列的性质.f′x=x2−8x+6,由题意得a1,a4033是方程f′x=0的两根,∴a1+a4033=8,由等差数列的性质得a2017=a1+a40332=4,则log2a2017=log24=2.故选A.6．如图,给出的是计算12+14+16+⋯+12016的值的程序框图,其中判断框内应填入的是A.i≤2021?B.i≤2019?C.i≤2017?D.i≤2015?【答案】C【解析】本题主要考查程序框图.模拟程序运行,可得:i=2,S=0,满足循环条件,执行循环体S=12,i=4;满足循环条件,执行循环体S=12+14,i=6;⋯满足循环条件,执行循环体S=12+14+⋯+12014,i=2016;满足循环条件,执行循环体S=12+14+⋯+12016,i=2018;不满足循环条件,结束循环,输出S=12+14+⋯+12016.结合备选答案,判断框内应填入的是:i≤2017?故选C.7．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体,它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示,则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的A.34B.14C.12D.38【答案】C【解析】本题主要考查空间几何体的三视图、直观图和体积.由三视图、直观图可知该直三棱柱的底面为俯视图中的等腰直角三角形,其体积为V=12×2×2×4=8;被削去一部分后得到的是一个四棱锥,底面是侧视图中的直角梯形,高为2,则其体积为V1=13×2+42×2×2=4,则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的V 1V=12. 故选C.8．如果圆x 2+y 2=n 2至少覆盖曲线f x = 3sinπx n(x ∈R )的一个最高点和一个最低点,则正整数n 的最小值为 A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】本题主要考查正弦函数的图像和性质、圆的性质. f x = 3sinπxn的周期为T =2ππn=2n ,则其最高点为 n 2, 3 ,根据图形的对称性,可得n 2≥3+(n2)2,解得n ≥2. 故选B.9．已知等差数列{a n }的公差d ≠0,且a 1,a 3,a 13成等比数列,若a 1=1,S n 为数列{a n }的前n项和,则2S n +16a n +3的最小值为A.4B.3C.2 3−2D.92【答案】A【解析】本题主要考查等差数列、等比数列的性质和基本不等式.∵a 1,a 3,a 13成等比数列,∴a 32=a 1a 13,即(1+2d )2=1+12d ,又d ≠0,∴d =2, ∴a n =2n −1,S n =n (a 1+a n )2=n 2,则2S n +16a n +3=2n 2+162n +2=n 2+8n +1= n +1 2−2 n +1 +9n +1= n +1 +9n +1−2≥2 9−2=4,当且仅当n +1=9n +1,即n =2时等号成立.故选A.10．若 0≤x ≤π2,sin x ≤y ≤cos x ,则z =x +2y 的取值范围是A.(0,π6] B.[0, 3]C.[0, 3−π6]D.(0,π6+ 3]【答案】D【解析】本题主要考查线性规划的应用和导数的几何意义.. 画出不等式组表示的平面区域,如图所示:由z =x +2y 得y =−12x +z2,平移直线y =−12x +z2,当直线平移到过点O 时,直线y =−12x +z2的截距最小,z 取得最小值0;当直线y =−12x +z 2与y =cos x 相切时,直线y =−12x +z2的截距最大,z 最大. 由y =cos x 得y ′=−sin x ,令−sin x =−12,得x =π6, 此时切点为 π6, 32 ,z =π6+2× 32=π6+ 3.故选D.11．如图，用一边长为 2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4π的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变, 则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为A. 22+12B. 62+12C.32D. 32+12【答案】D【解析】本题主要考查了球的体积与表面积.蛋槽的边长是原来硬纸板的对角线长度的一半，为1cm ，蛋槽立起来的小三角形部分高度是，鸡蛋的半径根据已知的表面积 得到r=1cm ，直径D=2cm ，大于折好的蛋巢边长1cm ，四个三角形的顶点所在的平面在鸡蛋表面所截取的小圆直径就是蛋12244r ππ=槽的边长1cm ，根据图示，AB 段由三角形AB 得：∴鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为 32+12. 故选D.12．在ΔABC 中,O 为中线BD 上的一个动点,若BD =6,则OB ⋅(OA +OC )的最小值是 A.0 B.-9 C.-18 D.-24【答案】C【解析】本题主要考查向量加法的平行四边形法则,数量积公式、基本不等式. 当O 与B 或D 重合时,OB⋅ OA +OC =0; 当O 在B ,D 之间时,OB ⋅ OA +OC =2OB ⋅OD =−2 OB ⋅ OD , 又 OB+ OD =BD =6,∴ OB ⋅ OD ≤ OB+ OD2 2=9, ∴OB⋅ OA +OC ≥−18,当且仅当 OB = OD 时等号成立, 综上,OB ⋅(OA +OC )的最小值是−18. 故选C.二、填空题：共4题13．已知tan(5π−x )=2,则2cos 2x2−sin x−1sin x +cos x= ．【答案】−3【解析】本题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系、倍角公式. 由tan(5π−x )=2得−tan x =2,即sin xcos x =−2,∴sin x =−2cos x ,331222AB AE AB BE ==+=+，，∴2cos 2x2−sin x−1sin x+cos x =cos x−sin xsin x+cos x=3cos x−cos x=−3.故答案为−3.14．在区间[−3,5]上随机取一个数a,则使函数f(x)=x2+2ax+4无零点的概率是．【答案】12【解析】本题主要考查与长度有关几何概型.若使函数f(x)=x2+2ax+4无零点,则∆=4a2−16<0,解得−2<a<2,则使函数f(x)=x2+2ax+4无零点的概率是P=2−(−2)5−(−3)=12.故答案为12.15．用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:按照上面的规律,第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数是．【答案】6n+2【解析】本题主要考查归纳推理.由图形可知,第1个金鱼的火柴棒为6+2=8根,第2个金鱼的火柴棒比第1个多6根;第3个金鱼的火柴棒比第2个多6根;∴第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数是6n+2．故答案为6n+2.16．若函数f(x)=xx−2+kx2,x≤0lg x,x>0有且只有2个不同零点,则实数k的取值范围是．【答案】k≥0【解析】本题主要考查分段函数与函数的零点的综合应用.当x>0时,f x为增函数,f(1)=0,故1是函数f(x)的零点;∴当x≤0时,f x有且只有一个零点,又f0=0,∴y=1x−2+kx没有零点,若1x−2+kx=0,(x<0),则k=−1x(x−2)<0,∴y=1x−2+kx没有零点时,k≥0.故答案为k≥0.三、解答题：共7题17．ΔABC中,内角A,B,C对边分别为a,b,c,且满足(2b−a)⋅cos C=c⋅cos A.(1)求角C的大小;(2)设y=−43sin2A2+2sin(C−B),求y的最大值并判断y取最大值时ΔABC的形状. 【答案】(1)由正弦定理(2sin B−sin A)cos C=sin C cos A,即得,2sin B cos C=sin A cos C+ sin C cos A=sin(A+C)=sin B,∵sin B≠0,∴cos C=12,∵C∈(0,π),∴C=π3(2)y=−43sin2A2+2sin(C−B)=−23(1−cos A)+2sin(A−π3)=−23(1−cos A)+sin A−3cos A=sin A+3cos A−23=2sin A+π3−23,由A∈(0,2π3)得,当A=π6时,y取得最大值2−23,此时B=π2.ΔABC为直角三角形.【解析】本题主要考查正弦定理、倍角公式、两角和与差的正弦公式、正弦函数的性质.(1)利用正弦定理将已知条件中的边化为角,利用两角和的正弦公式及诱导公式化简整理得cos C,得角C的大小;(2)利用倍角公式、两角和与差的正弦公式化简函数解析式,根据正弦函数的性质可以求得函数的最大值及此时三角形的形状.18．某学校的篮球兴趣小组为调查该校男女学生对篮球的喜好情况,用简单随机抽样方法调查了该校100名学生,调查结果如下:(1)该校共有500名学生,估计有多少学生喜好篮球?(2)能否有99%的把握认为该校的学生是否喜欢篮球与性别有关?说明原因;(3)已知在喜欢篮球的12名女生中,6名女生(分别记为P1,P2,P3,P4,P5,P6同时喜欢乒乓球,2名女生(分别记为B1,B2)同时喜欢羽毛球,4名女生(分别记为V1,V2,V3,V4同时喜欢排球, 现从喜欢乒乓球、羽毛球、排球的女生中各取1人,求P1,B2不全被选中的概率．附:K2=n(ad−bc)2(a+b)(a+c)(b+d)(c+d),n=a+b+c+d．参考数据:【答案】(1)喜好篮球的学生有500×35+12100=235(名)(2)H0假设喜欢篮球与性别无关,且两者相互独立K2=100(35×28−25×12)2(35+12)(25+28)(35+25)(12+28)≈7.735>6.635.∴P K2≥6.635=0.01 ∴1−0.01=0.99=99%.∴有99%的把握认为该校的学生是否喜欢篮球与性别有关(3)从喜欢乒乓球、羽毛球、排球的女生中各取1人共有6×2×4=48种,而P1,B2全被选中的情况有P1,B2,V1,P1,B2,V2,P1,B2,V3,(P1,B2,V4)共有4种,∴P P1,B2全被选中=448=112. ∴P P1,B2不全被选中=1−112=1112答:P1,B2不全被选中的概率为1112.【解析】本题主要考查简单随机抽样、独立性检验,考查随机事件及对立事件概率的求法.(1)由简单随机抽样中,每个个体被抽到的几率相等估计喜好篮球的学生数;(2)计算K2的观测值k,对照临界值表可得结论.(3)求出从喜欢乒乓球、羽毛球、排球的女生中各取1人的一切可能的结果组成的基本事件数,列出P1,B2全被选中的事件数,由对立事件的概率公式可得结论.19．如图,四边形ABCD是梯形,四边形CDEF是矩形,且平面ABCD⊥平面CDEF,∠BAD=∠CDA=90°,AB=AD=DE=12CD=2,M是线段AE上的动点．(1)试确定点M的位置,使AC∥平面MDF,并说明理由;(2)在(1)的条件下,求平面MDF将几何体ADE−BCF分成的上下两部分的体积之比．【答案】(1)当M是线段AE的中点时,AC∥平面MDF．证明如下:连结CE ,交DF 于N ,连结MN ,由于M ,N 分别是AE 、CE 的中点,所以MN ∥AC , 由于MN ⊂平面MDF ,又AC ⊄平面MDF , 所以AC ∥平面MDF .(2)如图,将几何体ADE −BCF 补成三棱柱ADE −B 1CF ,三棱柱ADE −B 1CF 的体积为V =S ΔADE ⋅CD =12×2×2×4=8,则几何体ADE −BCF 的体积V ADE−BCF =V ADE−B 1CF −V F−BB 1C =8−13×(12×2×2)×2=203 三棱锥F −DEM 的体积V F−DEM =V M−DEF =43, 故两部分的体积之比为43:(203−43)=14【解析】本题主要考查线面平行的判定、柱体和椎体的体积公式.(1)根据图形,得到M 是线段AE 的中点时,AC ∥平面MDF ;由三角形中位线定理及线面平行的判定可得结论;(2)利用割补法,将几何体补成三棱柱,利用柱体和椎体的体积公式可得结论.20．已知各项均为正数的数列{a n }满足:3a n =2s n +1,其中s n 为数列{a n }的前n 项和.等差数列{b n }满足:b 4=5,b 8=17. (1)求数列{a n }和{b n }的通项公式;(2)对于任意的n ∈N ∗,(s n +12)⋅k ≥b n +1恒成立,试求实数k 的取值范围. 【答案】(1)由题可得,a 1=1,当n ≥2时,3a n =2s n +1,3a n−1=2s n−1+1, ∴3a n −3a n−1=2 s n −s n−1 =2a n ,∴a n =3a n−1. ∴a n =3n−1.又b 4=5,b 8=17,∴b 8−b 4=4d =17−5=12,∴d =3. ∴b n =b 4+ n −4 d =3n −7. ∴a n =3n−1,b n =3n −7. (2)s n =3n −12,原不等式整理得k ≥2(3n−6)3n对n ∈N 成立.令c n =2(3n−6)3n,则c n −c n−1=−12n +423n(n ≥2),当n≤3时,c n>c n−1,当n≥4时,c n<c n−1,c3=29,c4=427,∴k≥29.【解析】本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和公式,考查数列的单调性和最值.(1)利用递推式求出首项,令n=n−1得另一递推式,二式相减,可得{a n}是等比数列,利用等比、等差数列的通项公式即可求出;(2)利用等比数列的前n项公式求出s n,将不等式转化为k≥2(3n−6)3n对n∈N恒成立,令c n=2(3n−6)3n,求出数列c n的单调性和最值即得结论.21．设函数f(x)=x2−m ln x, (x)=x2−x+a.(1)当a=0时,f(x)≥ (x)在(1,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;(2)当m=2时,若函数k(x)=f(x)− (x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数a的取值范围;(3)是否存在实数m,使函数f(x)和函数 (x)在公共定义域上具有相同的单调性?若存在,求出m的值,若不存在,说明理由.【答案】(1)当a=0,由f(x)≥ (x)可得−m ln x≥−x,即m≤xln x,记φx=xln x,则f x≥ x在1,+∞上恒成立等价于m≤φx min,φ′x=ln x−1ln2x,当x∈(1,e)时,φ′x<0;当x∈(e,+∞)时,φ′x>0,故φx在x=e处取得极小值,也是最小值,即φx min=φe=e,故m≤e.(2)函数k(x)=f(x)− (x)在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程x−2ln x=a,在[1,3]上恰有两个相异实根.令g(x)=x−2ln x,则g′x=1−2x,当x∈[1,2)时,g′x<0,当x∈(2,3]时,g′x>0,g(x)在[1,2]上是单调递减函数,在(2,3]上是单调递增函数.故g x min=g2=2−ln2,又g(1)=1,g(3)=3−2ln3,∵g(1)>g(3),∴只需g(2)<a≤g(3),故a的取值范围是(2−2ln2,3−2ln3].(3)存在m=12,使得函数f(x)和函数 (x)在公共定义域上具有相同的单调性,f′x min=2x−mx =2x2−mx,函数f(x)的定义域为(0,+∞),若m≤0,则f′x≥0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,不合题意;若m>0,由f′x>0可得2x2−m>0,解得x>m2或x<−m2(舍去),故m>0时,函数的单调递增区间为(m2,+∞),单调递减区间为(0,m2),而 (x)在(0,+∞)上的单调递减区间是(0,12),单调递增区间是12,+∞ ,故只需m2=12,解得m=12,即当m=12时,函数f(x)和函数 (x)在其公共定义域上具有相同的单调性.【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值、不等式恒成立,函数与方程.(1)分离参数,恒成立可转化为m≤xln x ,利用导数求出xln x的最小值即可得实数m的取值范围;(2)问题转化为方程x−2ln x=a,在[1,3]上恰有两个相异实根,构造函数,利用导数求出其最值,即得a的取值范围;(3)确定 x的单调区间,利用导数,讨论f(x)的单调区间,根据它们在公共定义域上具有相同的单调性,即可确定m的值.22．直角坐标系xOy的原点和极坐标系OX的极点重合,x轴正半轴与极轴重合,单位长度相同．在直角坐标系下,曲线C的参数方程为x=4cosφy=2sinφ(φ为参数)．(1)在极坐标系下,曲线C与射线θ=π4和射线θ=−π4分别交于A,B两点,求ΔAOB的面积;(2)在直角坐标系下,直线l的参数方程为x=62−2ty=t−2(t为参数),求曲线C与直线l的交点坐标．【答案】(1)曲线C在直角坐标系下的普通方程为x216+y24=1,将其化为极坐标方程为ρ2cos2θ16+ρ2sin2θ4=1,分别代入θ=π4和θ=−π4,得|OA|2=|OB|2=325,因为∠AOB=π2,故ΔAOB的面积S=12|OA|⋅|OB|=165(2)将l的参数方程代入曲线C的普通方程,得(t−22)2=0,即t=22,代入l的参数方程,得x=22,y=2,所以曲线C与直线l的交点坐标为(22,2)．【解析】本题主要考查把参数方程化为普通方程,普通方程化为极坐标方程,考查极坐标方程的几何意义和直线参数方程中参数的几何意义.(1)消去参数可得C的普通方程;把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入可得C的极坐标方程,将射线的方程代入可得|OA|2、|OB|2,利用直角三角形面积公式可得结论;(2)将l的参数方程代入曲线C的普通方程求出t,代入l的参数方程可得曲线C与直线l的交点坐标.23．已知函数f(x)=|2x+3|+|2x−1|.(1)求不等式f(x)≤8的解集;(2)若关于x的不等式f(x)≤|m+1|的解集非空,求实数m的取值范围.【答案】法一:(1)原不等式为:|2x+3|+|2x−1|≤8当x≤−32时,原不等式可化为−4x−2≤8,即−52≤x≤−32;当−32<x<12时,原不等式可化为4≤8,恒成立,即−32<x<12;当x≥12时,原不等式可化为4x+2≤8,即12≤x≤32,∴原不等式的解集为{x|−52≤x≤32}．(2)由函数f(x)=−4x−2,x≤−324,−32<x<124x+2,x≥12,可得函数y=f(x)的最小值为4∴|m+1|≥4,解得:m≤−5或m≥3【解析】本题主要考查绝对值不等式的求解.(1)利用绝对值的意义,分段讨论,化简函数解析式,求出每个不等式组的解集,再取并集,即得所求;(2)利用(1)的结论求得函数f(x)的最小值,问题转化为不等式有解,易得结论.。
湖北省荆州中学2015-2016学年高二下学期第一次(3月)质量检测数学(文)试题(word含答案)
荆州中学高二年级下学期第一次质量检测数学卷（文科）命题人： 审题人：一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知b 是实数，若i bi -+21是纯虚数，则b=( ) A ．2 B ．﹣2 C ．21 D ．21- 2.已知命题P ：∃x 0∈R ，x 02+2x 0+2≤0，则￢p 是( )A ．∃x 0∈R ，x 02+2x 0+2＞0B ．∀x ∈R ，x 2+2x+2≤0C ．∀x ∈R ，x 2+2x+2＞0D ．∀x ∈R ，x 2+2x+2≥03.我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为( )A ．2B ．3C ．4D ．54.且回归方程是=0.95x+2.6，则t=( )A ．4.7B ．4.6C ．4.5D ．4.45.下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( )①y=cosx（x ∈R ）是三角函数；②三角函数是周期函数；③y=cosx（x ∈R ）是周期函数．A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③②①6.过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），如果x 1+x 2=6，那么|AB|=( )A ．8B ．10C ．6D ．47. 函数f （x ）=e x sinx 的图象在点（0，f （0））处的切线的倾斜角为（ ）A ．0B ．C ．1D ．8.对于曲线C ：11422=-+-k y k x ，给出下面四个命题： （1）曲线C 不可能表示椭圆；（2）若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则251<<k ； （3）若曲线C 表示双曲线，则k ＜1或k ＞4；（4）当1＜k ＜4时曲线C 表示椭圆，其中正确的是( )A ．（2）（3）B ．（1）（3）C ．（2）（4）D ．（3）（4）9.设函数f （x ）在x=x 0处可导，则hx f h x f h )()(000lim-+→( ) A ．与x 0，h 都有关 B ．仅与x 0有关而与h 无关C ．仅与h 有关而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关10.若函数ax x x x f -+=22ln )(存在与直线2x-y=0平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ）A.(]6,-∞-B. (][)+∞⋃-∞-,26,C.[)+∞,2D.()()+∞⋃-∞-,26, 11.若方程x 3﹣3x+m=0在[0，2]上只有一个解，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[﹣2，2]B ．（0，2]C ．[﹣2，0）∪{2}D ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） 12.已知双曲线C 1：)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点F 也是抛物线C 2：)0(22>=p px y 的焦点，C 1与C 2的一个交点为P ，若PF ⊥x 轴，则双曲线C 1的离心率为( )A ．12+B ．22C ．122-D ．13+二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）13.函数f （x ）=（x 2+x+1）e x （x ∈R ）的单调减区间为 ．14.正偶数列有一个有趣的现象：（1）2+4=6；（2）8+10+12=14+16；（3）18+20+22+24=26+28+30，按照这样的规律，则72在第 个等式中.15.定义在R 上的函数f （x ）满足：f ′（x ）＞1﹣f （x ），f （0）=6，f ′（x ）是f （x ）的导函数，则不等式e x f （x ）＞e x +5（其中e 为自然对数的底数）的解集为 ．16.已知椭圆)2(12:222>=+a y a x C 的左右焦点分别为21,F F ,离心率为e ,直线a ex y l +=:,P 为点1F 关于直线l 对称的点,若21F PF ∆为等腰三角形,则a 的值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.（本题10分）已知命题p ：方程11222=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆； 命题q ：m 2﹣15m ＜0，若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求m 的取值范围.18.（本题12分）某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示．若130～140分数段的人数为2人．（1）求这组数据的平均数M ；（2）现根据初赛成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）中任意选出两人，形成帮扶学习小组．若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率．19.（本题12分）某电视台推出某种游戏节目，规则如下:选手面对1-8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段流行歌曲，选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金.在一次场外调査中，得到如下2x2列联表（Ⅰ）判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称与年龄有关，说明你的理由；（Ⅱ）若在这次场外调査中按年龄段用分层抽样的方法选取6名选手，并从中抽取两名幸运选手，求两名幸运选手不在同一年龄段的概率.(视频率为概率） （参考公式：其中22(),.()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++）20. （本题12分）观察下题的解答过程：已知正实数b a ,满足1=+b a ，求1212+++b a 的最大值. 解：2322)12(21222+=++≤⋅+a a a ,23221221222+=++≤⋅+b b b 相加得43)1212(2212212=++≤+++=⋅++⋅+b a b a b a ,221212≤+++∴b a 等号在21==b a 时取得， 即1212+++b a 的最大值为22 请类比上题解法，使用综合法证明下题：已知正实数z y x ,,满足2=++z y x ，求证：21121212≤+++++z y x21.（本题12分）设M 是焦距为2的椭圆E ： +=1（a ＞b ＞0）上一点，A 、B 是椭圆E 的左、右顶点，直线MA 与MB 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1k 2=﹣．（1）求椭圆E 的方程；（2）已知椭圆E ： +=1（a ＞b ＞0）上点N （x 0，y 0）处切线方程为+=1，若P 是直线x=2上任意一点，从P 向椭圆E 作切线，切点分别为C 、D ，求证直线CD 恒过定点，并求出该定点坐标．22.（本题12分）已知函数f （x ）=x ﹣alnx （a ∈R ）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线f （x ）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）设函数h （x ）=f （x ）+，求函数h （x ）的单调区间；荆州中学高二年级下学期第一次质量检测数学卷（文科）参考答案1-5ACBCB,6-10 ABABC.11-12 CA.13.[]1,2-- 14.6 15.()+∞,0 16.317解：命题p 为真命题时，将方程11222=--m y m x 改写为11222=-+my m x ， 只有当1﹣m ＞2m ＞0，即310<<m 时，方程表示的曲线是焦点在y 轴上的椭圆， 若命题q 为真命题时，0＜m ＜15，∵p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，∴p ，q 中有一真一假；当p 真q 假时，无解；当p 假q 真时，，解得1531<≤m综上：m 的取值范围为1531<≤m 18.解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知：90～100分的频率为0.1，100～110分的频率为0.25，110～120分的频率为0.45，120～130分的频率为0.15，130～140分的频率为0.05；∴这组数据的平均数M=95×0.1+105×0.25+115×0.45+125×0.15+135×0.05=113（分）（Ⅱ）∵第五组130～140分数段的人数为2人，频率为0.05；故参加的总人数为 2÷0.05=40人． 第一组共有40×0.01×10=4人，记作A 1、A 2、A 3、A 4；第五组共有2人，记作B 1、B 2从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法：{A 1，A 2}、{A 1，A 3}、{A 1，A 4}、{A 2，A 3}、{A 2，A 4}、{A 3，A 4}；{A 1，B 1}、{A 2，B 1}、{A 3，B 1}、{A 4，B 1}；{A 1，B 2}、{A 2，B 2}、{A 3，B 2}、{A 4，B 2}；{B 1，B 2}．共有15种结果，设事件A ：选出的两人为“黄金搭档组”．若两人成绩之差大于20，则两人分别来自于第一组和第五组，共有8种选法，故P （A ）=158． 18. (1）由所以有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关。
荆州高三文科数学质量测试题
荆州中学2012届高三第一次质量检查数 学 试 卷（文科卷）一、选择题（本题共10个小题，每小题5分，共50分 在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的）1.已知集合{}0,1,2M =，{}|2,N x x a a M ==∈，则集合M N =I ( ) A.{0，1} B.{0，2} C.{1，2} D.{0}2.若点（a ,9）在函数3xy =的图像上，则tan6a π的值为（ ） A.0B.3C.13.若函数()f x =，则函数()f x 的定义域为（ ）A.(,)1-02B.(,]1-02 C.(,)1-+∞2D.(,)0+∞ 4.设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ）A.()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 B.()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C.()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 D.()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 5.设11333124log ,log ,log ,,,233a b c a b c ===则的大小关系是（ ）A.a b c <<B.c b a <<C.b a c <<D.b c a <<6.根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：分钟）为, (),,x Axf xx AA<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩（A，c为常数）.已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是（）A.75,25B.75,16C.60,25D.60,167.设函数1()8(0)3()(0)x xf xx x-<=≥⎧⎪⎨⎪⎩，若f（a）＞1，则实数a的取值范围是（）A.(2,1)- B.(,2)-∞-∪(1,)+∞ C.（1，+∞） D.(,1)-∞-∪（0，+∞）8.若函数()()()101x xf x k a a a a-=-->≠且在R上既是奇函数，又是减函数，则函数()()logag x x k=+的图像是（）9.已知函数2()1,()43xf x eg x x x=-=-+-，若有()()f ag b=，则b的取值范围为（）A.22,22⎡⎤-+⎣⎦ B.(22,22)-+C.[]1,3 D.()1,310.设双曲线的左准线与两条渐近线交于,A B两点，左焦点在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为（）A.(0,2)B.(1,2)C.2(,1)2D.(2，)+∞二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填在答题卷相应位置上．11.已知()f x为奇函数,()()9,(2)3,(2)g x f x g f=+-==则．12.双曲线22x y=1P46436-上一点到双曲线右焦点的距离是，那么点P到左准线的距离是 . 13.已知关于x 的方程2x －(2 m －8)x +2m －16 = 0的两个实根 12x x 、满足 1x ＜23＜2x ，则实数m 的取值范围_______________.14.设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于15.若函数()y f x =(R x ∈)满足(2)()f x f x +=且[1,1]x ∈-时，2()1f x x =-,函数lg (0)()1(0)x x g x x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩,则函数()()()h x f x g x =-在区间[ 5 , 5]-内零点的个数有___ 个 三、解答题：本大题共6小题，共计74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16.（1）先化简,再求值232aba b ab其中256,2011a b ==；（2）化简：)sin()360cos()810tan()450tan(1)900tan()540sin(00000x x x x x x --⋅--⋅--17 .已知函数1cos sin 32sin cos )(22++-=x x x x x f .（1）求)(x f 的最小正周期及)(x f 的最小值；（2）若()2f α=,且,42ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求α的值.18.某民营企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查和预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元）（1）分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式。
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n =n +2
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荆州中学高三年级第一次质检数学文科卷
命题人：李祥知 审题人：陈 侃
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1.已知集合{}2430A x x x =-+<，{B x y ==，则（ ） A ．φ=⋂B A B ．B A ⊆ C ．A B ⊆ D ． B A =
2.下列函数是奇函数的是（ ）
A. x x x f =)(
B.x x f lg )(=
C.x x x f -+=22)(
D.1)(3-=x x f
3.已知R b a ∈,，i 是虚数单位，若bi i i a =++)1)((，则=+bi a ( )
A. i 21+-
B. i 21+
C. i 21-
D. i +1
4.下列说法正确的是( )
A. 若,a R ∈则“
11a
<”是“1a >”的必要不充分条件 B . “p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的必要不充分条件 C. 若命题:p “,sin cos x R x x ∀∈+≤”，则p ⌝是真命题 D. 命题“0,x R ∃∈使得20
0230x x ++<”的否定是“2,230x R x x ∀∈++>” 5.在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，豆子落在该正方形内切圆的四分之一圆(如图阴影部分)中的概率是( )
A ．π4
B ．π8
C ．π16
D ．π32
6.执行如右图所示的程序框图，输出S 的值为( )
A ．0
B ．1-
C ．12-
D ．32- 7.函数31-=+x a y )1,0(≠>a a 过定点A ，若点A 在直线
2-=+ny mx ()0,0>>n m 上，则n
m 11+的最小值为 ( ) A ．3 B ．22 C ．2223+ D ．2223- 8.对于函数()f x ，若存在非零常数a ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有
()()2f x f a x =-，则称()f x 为准偶函数. 下列函数中是准偶函数的是( )
A.(
)f x = B.()2f x x = C.()tan f x x = D.()()cos 1f x x =+
9.我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求。
音量大小的单位是 分贝)(dB ,对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算： 0
lg 10I I =η(其中0I 是人耳能听到的声音的最低声波强度)，则dB 70的声音强度1I 是 dB 60的声音强度2I 的 ( ) A ．67倍
B ．67
10 倍 C ．10倍 D ．67ln 倍 10.已知点A 为抛物线:C 24x y =上的动点(不含原点)，过点A 的切线交x 轴于点B ，设抛
物线C 的焦点为F ，则ABF Ð( )
A ．一定是直角
B ．一定是锐角
C ．一定是钝角
D ．上述三种情况都可能
11.已知点)1,0(A ，曲线x a y C ln :=恒过定点B ，P 为曲线C 上的动点且AB AP ⋅的最小 值为2，则=a ( )
A. 2-
B. -1
C. 2
D. 1
12.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当01x ≤≤时，()2
f x x =，当0x >时，()()()11f x f x f +=+，若直线y kx =与函数()y f x =的图象恰有11个不同的公共点，则实数k 的取值范围为（ ）
A ．（
－2，
－4） B ．
＋2
）
C ．（
＋2，
＋4） D
．4,6)-
二、 填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上.) 13.若b a bx ax x f +++=3)(2是偶函数，其定义域是[]a a 2,1-，则)(x f 的最大值为 ． 若右图为某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去一部分后的直观图
与三视图中的侧视图、俯视图，则其正视图的面积为 ，
三棱锥D －BCE 的体积为 ．
15. 已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且31=
∠PF F ，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率2e ，则=+22
2131e e ．
16．定义：如果函数)(x f y =在定义域内给定区间],[b a 上存在0x )(0b x a <<，满足
a
b a f b f x f --=)()()(0，则称函数)(x f y =是],[b a 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点，例如2x y =是]1,1[-上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数
mx x x f +=3)(是]1,1[-上的平均值函数，则实数m 的取值范围是 ．
三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
17．(本小题满分10分）设命题p ：函数()()22lg 4f x x x a =-+的定义域为R ；命题q ：
对任意[]1,1m ∈-，不等式253a a --≥
“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围．
18．(本小题满分12分）已知f （x ）=|x+l|+|x ﹣2|，g （x ）=|x+1|﹣|x ﹣a|+a （a ∈R ）． （Ⅰ）解不等式f （x ）≤5；
（Ⅱ）若不等式f （x ）≥g （x ）恒成立，求a 的取值范围．
19.(本小题满分12分）学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图像，当(]0,12x ∈时，图像是二次函数图像的一部分，其中顶点(10,80)A ，过点(12,78)B ；当[]12,40x ∈时，图像是线段BC ，其中(40,50)C ，根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳.
(Ⅰ）试求()y f x =的函数关系式；
（Ⅱ）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？
请说明理由.。