【解析】【2014青岛市一模】山东省青岛市2014届高三3月统一质量检测 数学(理)
【解析版】【2014潍坊市一模】山东省潍坊市2014届高三3月模拟考试 数学(理)试题
山东省潍坊市2014届高三3月模拟考试数学（理科）试题第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1．若复数2满足z(1+i )=2i ，则在复平面内z 对应的点的坐标是( ) (A)(1，1) (B)(1，-l) (C)(-l ，1) (D)(-l ，-l)2．设全集U=R ，集合A={|21xx >}，B={||2|3x x -≤}，则U ()A B ð等于( ) (A)[-1，0) (B)(0，5] (C)[-1，0] (D)[0，5]3．已知命题p 、q ，“p ⌝为真”是“p q ∧为假”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件4．若圆C 经过(1，0)，(3，0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( )(A) 22(2)(2)3x y -+±= (B) 22(2)(3x y -+=(C) 22(2)(2)4x y -+±= (D) 22(2)(4x y -+±= 【答案】D 【解析】试题分析：因为圆C 经过(1，0)，(3，0)两点，所以圆心在直线2x =，又圆与y 轴相切，所以半径2r =，设圆心坐标为()2,b ，则()22213b -+=，23,3b b ==±，所以答案应选D.考点：圆的标准方程.5．运行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为( ) (A) 1007 (B) 1008 (C) 2013 (D) 2014【答案】A6．函数||x y a =与sin y ax =(0a >且1a ≠)在同一直角坐标系下的图象可能是( )7．三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，又SA=AB= BC=1，则球O的表面积为( )(B) 32π (C) 3π (D) 12π【答案】C 【解析】试题分析：因为AB BC ⊥，所以AC 是ABC ∆所在截面圆的直径， 又因为SA ⊥平面ABC ，所以SAC ∆所在的截面圆是球的大圆 所以SC 是球的一条直径由题设1SA AB BC ===，由勾股定理可求得：AC SC ==所以球的半径R =所以球的表面积为243ππ⨯= 所以应选C.考点：1、圆内接几何体的特征；2、球的表面积公式. 8．设0(sin cos )k x x dx π=-⎰，若8280128(1)...kx a a x a x a x -=++++，则1238...a a a a ++++=( )(A) -1 (B) 0 (C) l (D) 256 【答案】B 【解析】 试题分析：()00(sin cos )cos sin |k x x dx x x ππ=-=--⎰=cos sin cos 0sin 02ππ--++=9．对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：,1,, 1.b a b a b a a b -≥⎧⊗=⎨-<⎩设2()(1)(4)f x x x =-⊗+，若函数()y f x k =+的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是( ) (A)(-2，1) (B)[0，1] (C)[-2，0) (D)[-2，1)考点：1、新定义；2、分段函数；3、数形结合的思想.10．如图，已知直线l ：y =k(x +1)(k>0)与抛物线C ：y 2=4x 相交于A 、B 两点，且A 、B 两点在抛物线C 准线上的射影分别是M 、N ，若|AM|=2|BN|，则k 的值是( )(A)13第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为12．若x、y满足条件y2||11xy x≥-⎧⎨≤+⎩，则z=x+3y的最大值为【答案】11【解析】试题分析：不等式组在直角坐标平面内所对应的区域如下图阴影部分所示：13．若(0,)2πα∈，则22sin 2sin 4cos ααα+的最大值为 ． 【答案】12【解析】试题分析：()0,,tan 0,2παα⎛⎫∈∴∈+∞ ⎪⎝⎭22222sin 22sin cos 2tan sin 4cos sin 4cos tan 4ααααααααα⋅∴==+++=2142tan tan αα≤=+当且仅当4tan tan αα=，即tan 2α=时，等号成立 所以，答案应填12考点：1、同角三角函数的基本关系；2、二倍角公式；3、基本不等式.14．如图，茎叶图表示甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中的得分，其中一个数字被污损，则甲的平均得分不超过乙的平均得分的概率为 ．15．已知函数()y f x =为奇函数，且对定义域内的任意x 都有(1)(1)f x f x +=--．当(2,3)x ∈时，2()log (1)f x x =-给出以下4个结论：①函数()y f x =的图象关于点(k ，0)(k ∈Z)成中心对称； ②函数|()|y f x =是以2为周期的周期函数； ③当(1,0)x ∈-时，2()log (1)f x x =--； ④函数(||)y f x =在(k ，k+1)( k ∈Z)上单调递增． 其一中所有正确结论的序号为 【答案】①②③ 【解析】试题分析：由题设()y f x =为奇函数，其图象关于原点中心对称，又对定义域内的任意x 都有(1)(1)f x f x +=--，所以其图象还关于点()1,0，据此可判断函数()f x 为周期函数，最小正周期2T =，又当(2,3)x ∈时，2()log (1)f x x =-，因此可画出函数()f x 的图象大致如下图一所示，函数|()|y f x =的图象如下图二所示，函数(||)y f x =的图象如下图三所示，由图象可知①②正确，④不正确； 另外，当()1,0x ∈-时，()22,3x -∈所以，()()()222log 21log 1f x x x -=--=- 又因为()f x 是以2这周期的奇函数 所以，()()()2f x f x f x -=-=- 所以，()()2log 1f x x -=-所以，()()()2log 1,1,0f x x x =--∈-，所以③也正确 故答案应填：①②③考点： 函数的图象与性质的综合应用三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．(本小题满分l2分) 已知函数()sin cos f x x x =+．(I)求函数()y f x =在[0,2]x π∈上的单调递增区间；(Ⅱ)在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知m =(a ，b)，n =(f (C),1)且m //n ，求B ． 【答案】(I)0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；(Ⅱ) 4B π=又[]0,2,x π∈()f x ∴在[]0,2π上的单调递增区间为0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， (6)分17．(本小题满分12分)如图，在四棱锥E-ABCD 中， EA ⊥平面ABCD ，AB//CD ，AD=BC=12AB ，∠ABC=3π． (I)求证：∆BCE 为直角三角形；(II)若AE=AB ，求CE 与平面ADE 所成角的正弦值．【答案】(1)证明过程详见解析 【解析】试题分析：(I)由于EA ⊥平面ABCD ,可证EA BC ⊥,欲证BCE ∆为直角三角形,只需证AC BC ⊥;在ABC ∆,根据现有条件,利用余弦定理不难证明.(II)由(I)知：,AC BC AE ⊥⊥平面ABCD ，以点C 为坐标原点，,,CA CB AE的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系C xyz -……………………………………………………5分设BC a =，则2,AE AB a AC ===，如图2，在等腰梯形ABCD 中，过点C 作CG AB ⊥于G ，则1,22GB a CD AB GB a =∴=== 过点D 作DH BC ⊥于H ，由(I)知，60DCH ∠=,,022aa DH CH D ⎫∴==∴-⎪⎪⎭………………………………………………7分18．（本小题满分12分）某次数学测验共有l0道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对l道题得5分，不选或选错得0分．某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道题能排除两个错误选项，另2道只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响．(I)求该考生本次测验选择题得50分的概率；(Ⅱ)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望．(Ⅱ)该考生所得分数30,35,40,45,50X =…………………………………………………………5分()22111301239P X ⎛⎫⎛⎫==⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭……………………………………………………………………6分()222112212112135232333P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅+⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭………………………………………………7分()22222112212112111340232332336P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅=⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭…………………………8分()222112211112145232336P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅+⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (9)分()22111502336P X ⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 所以，该考生所得分数X 的分布列为…………………………………………………………………………………………………………10分111311115303540455093366363EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=……………………………………12分考点：1、独立重复试验；2、离散型随机变量的分布列与数学期望.19．(本小题满分12分)已知数列{n a }的前n 项和21n n S a n =+-，数列{n b }满足113(1)n n n n b n a na ++⋅=+-，且13b =．(I)求n a ，n b ；(Ⅱ)设n T 为数列{n b }的前n 项和，求n T ，并求满足n T <7时n 的最大值．()()()114331232143,3n n n nn b n n n n n b +++∴⋅=++-+=+∴=当2n ≥时，1413n n n b --=，又13b =适合上式，1413n n n b --∴=……………………6分(Ⅱ)由(I)知1413n n n b --=，2213711454113333n n n n n T ----∴=+++++ …………①………………………………7分231137114541333333n n n n n T ---=+++++ …………②………………………………8分20．(本小题满分l3分)已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦距为，其一条渐近线的倾斜角为θ，且tan θ=．以双曲线C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E ． ( I )求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设点A 是椭圆E 的左顶点，P 、Q 为椭圆E 上异于点A 的两动点，若直线AP 、AQ 的斜率之积为14-，问直线PQ 是否恒过定点?若恒过定点，求出该点坐标；若不恒过定点，说明理由．【答案】( I ) 22143x y += ； (Ⅱ) 直线PQ 恒过定点()1,0. 【解析】试题分析：( I ) 由双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为，可得：c =由tan θ=可得：b a =，结合222a b c +=易求224,3a b ==，从而由题意可得椭圆E 的标准方程.(Ⅱ) 在( I )的条件下，当直线PQ 的斜率存在时，设直线PQ 的方程为y kx m =+由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()2223484120,k x kmx m +++-=： 设()()1122,,,P x y Q x y 则21212228412,3434km m x x x x k k--+=⋅=++…………………………6分 又()2,0A -,由题意知12121224AP AQ y y k k x x ⋅=⋅=-++ 则()()12122240,x x y y +++=且122x x ≠-…………………………………………7分21．(本小题满分14分)已知函数3()f x x x =--．(I)求函数()y f x =的零点的个数；(Ⅱ)令()lng x x =+，若函数()y g x =在(0，1e )内有极值，求实数a 的取值范围；(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，对任意(1,),(0,1)t s ∈+∞∈，求证：1()()2.g t g s e e->+- 【答案】(I) 2 (Ⅱ) 12a e e>+- 【解析】试题分析：(I)首先确定函数的定义域,并利用导数研究函数3()f x x x =-的单调性,结合函数的特殊值,由函数零点存在性定理可判定零点的个数.(Ⅱ) 首先确定函数()y g x =的定义域,化简其解析表达式，并求其导数，根据可导函数极值存在的条件将问题转化为()y g x = 的导函数在区间10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内有零点，可利用一元二次方程的根的分布理论去解决.(Ⅲ)要证对任意(1,),(0,1)t s ∈+∞∈1()()2.g t g s e e->+-即证()y g x =在(1,)+∞上的最小值m 与()y g x =在(0,1)上的最小值M 之间满足关系12.m M e e->+-对此只要利用导数分别研究函数上述两个区间上的最值即可.试题解析：(I) ()00f = ，0x ∴=为()y f x =的一个零点…………………………………1分当0x >时，()21,f x x x⎛=--⎝设()21x x ϕ=-()()20,x x x ϕϕ'=+>∴在()0,+∞单调递增.……………………………………………………2分 又()()110,230ϕϕ=-<=>故()x ϕ在()1,2内有唯一零点. 因此()y f x =在[)0.+∞有且仅有2个零点.………………………………………………………………4分(Ⅲ)由 (Ⅱ)可知,当()21,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减,()2,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增,故()y g x =在()1,+∞内的最小值为()2g x即当()1,t ∈+∞时,()()2g t g x ≥………………………………………………………………10分又当()10,x x ∈时,()0g x '>,()g x 单调递增,()1,1x x ∈时,()0g x '<,()g x 单调递减, 故函数()y g x =在()0,1内的最大值为()1g x即对任意()0,1s ∈，()()1g s g x ≤………………………………………………………………11分。
2014年高考数学二轮复习精品资料-高效整合篇专题04 平面向量(理)(预测)
(一)选择题（12*5=60分）1.【广东省惠州市2014届高三第一次调研考试】已知平面向量a ()1,2=-，b()4,m =，且a b ⊥ ，则向量53a b -=( )A. (7,16)--B.(7,34)--C.(7,4)--D.(7,14)-2. 【河北省唐山市2013-2014学年度高三年级摸底考试】已知点(6,2)A ，(1,14)B ，则与AB共线的单位向量为（ ）A ．125(,)1313-或125(,)1313- B ．512(,)1313- C ．512(,)1313-或512(,)1313- D ．512(,)1313-3. 【河南中原名校2013－2014学年上学期期中联考】已知向量a r＝（cosθ，sinθ），向量b r1）,则｜2a r －b r｜的最大值与最小值的和是（ ）A ．B ．6C ．4D ．16 【答案】C 【解析】因为|2|a b -===，故其最大值为416=，最小值为088=+-，它们的和为4，选C.4．【浙江温州市十校联合体2014届高三上学期期初联考数学】 已知()211||1,22a ab a b=⋅=-= ，,则a 与b 的夹角等于（ ） A ．30°B.45°C. 60°D. 120°5．【山东省青岛市2014届高三上学期期中考试】向量1(,tan )3a α= ，(cos ,1)b α=，且a ∥b ，则cos()2πα+=（ ）A.13 B. 13-C. 3-D. 3-6．【河北衡水中学2014届高三上学期期中考试】平面向量a 与b 的夹角为60°，(2,0),1,==a b 则2+=a b （ ）B. C.4D.127．【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学】在平面直角坐标系中，A ，B 点是以原点O 为圆心的单位圆上的动点，则||OA OB +的最大值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．18．【山东省青岛市2014届高三上学期期中考试】设a 、b都是非零向量,下列四个条件中,一定能使0||||a b a b +=成立的是（ ）A ．13a b =-B ．//a bC ．2a b =D ．a b ⊥9．【河北衡水中学2013～2014学年度上学期二调高三数学试卷】在ABC △中，3==BC AB ，︒=∠30ABC ，AD 是边BC 上的高，则⋅的值等于（ ）A ．0B ．49C ．4D ．49-10．【江西省2014届新课程高三第三次适应性测试】在等比数列{}n a 中，7a 是89,a a 的等差中项，公比q 满足如下条件：OAB ∆（O 为原点）中，(1,1)OA = ，(2,)OB q =，A∠为锐角，则公比q 等于（ ）A ．1B ．－1C ．－2D ．12-11．【山西省山大附中2014届高三9月月考数学】已知ABC ∆的外接圆半径为1，圆心为O ，且3450OA OB OC ++= ，则 OC AB ⋅的值为（ ）A. 15-B. 15C. 65-D.6512．【浙江省温州八校2014届高三上学期期初联考数学试题】ABC ∆的三个内角A 、B 、C成等差数列，()0BA BC AC +⋅=，则ABC ∆一定是 （ ）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．非等边锐角三角形D ．钝角三角形（二） 填空题（4*5=20分）13．【湖北省武汉市2014届高三10月调研测试数学】已知△ABC 是边长为1的等边三角形，P 为边BC 上一点，满足→PC ＝2→BP ，则→AB ·→AP ＝ ．14．【浙江温州市十校联合体2014届高三上学期期初联考数学】P 是ABC ∆所在平面上的一点，满足02=++PC PB PA ，若ABC ∆的面积为1，则ABP ∆的面积为__________.15．【浙江省嘉兴一中2014届高三上学期入学摸底数学】在平面四边形ABCD 中，点F E ,分别是边BC AD ,的中点，且2=AB ，1=EF ，3=CD ．若15=⋅BC AD ，则BDAC ⋅的值为____ ．16．【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】设O 是ABC ∆的三边中垂线的交点，,,a b c 分别为角,,A B C 对应的边，已知2220b b c -+=，则BC AO --→--→⋅的范围是_____________.因2220,c b b =->解得02b <<,结合2BC AD b b ⋅=- 可求得1<24BC AD -≤⋅ .（三）解答题（10+5*12=70分）17. 【江苏启东中学2014届上学期期中模拟高三数学】已知,,a b c是同一平面内的三个向量，其中(1,2)a =（1）若||c =//c a ，求：c 的坐标（2）若||b = 2a b + 与2a b - 垂直，求a 与b 的夹角18. 【浙江省温州市十校联合体2014届高三10月测试数学试题】 已知)),1(),-1,0(),1,-1(R m mOC OB OA ∈===（． （1）若C B A ,,三点共线，求实数m 的值；（2）证明：对任意实数m ，恒有 1CA CB ⋅≥成立所以恒有1CA CB ⋅≥.19．【山东省文登市2014届高三上学期期中统考】已知()2c o s ,2s i n a αα= ，()cos ,sin b ββ=，02αβπ<<<. （1）若a b ⊥，求2a b - 的值；（2）设()2,0c = ，若2a b c +=，求α、β的值.20．【2013年普通高等学校统一考试江苏卷】已知)sin ,(cos )sin ,(cos ββαα=b a ，＝，0βαπ<<<.（1）若2||=-b a ，求证：b a ⊥；（2）设)1,0(=c ，若c b a =+，求α，β的值.21．【苏州市2014届高三暑假自主学习测试】已知向量(cos ,sin )A A =-m ，(cos ,sin )B B =n ，cos2C ⋅=m n ，其中,,A B C 为ABC ∆的内角．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若6AB =，且18CA CB ⋅=，求,AC BC 的长．22.【2013---2014学年第一学期赣州市十二县（市）期中联考】已知向量22,cos )m x x =+ ，(1,2cos )n x =，设函数n m x f ⋅=)(，x ∈R .（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期与最大值；（Ⅱ）在ABC ∆中， c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，若ABC b A f ∆==,1,4)(的面积为23，求a 的值.（四）附加题（15分）已知,A B 为抛物线22(0)x py p =>上两点，直线AB 过焦点F ，交抛物线与,A B 两点（1） 求OA OB ⋅的值；（2） 过点,A B 分别作抛物线的切线，设两切线交点为P ，求FP AB ⋅ ；第11 页共11 页。
【2014淄博市一模】山东省淄博市2014届高三3月模拟考试 理科数学 Word版含答案
保密★启用并使用完毕前淄博市2013—2014学年度高三模拟考试试题理 科 数 学本试卷，分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．共4页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：1．答题前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|02}A x x =<<，{|(1)(1)0}B x x x =-+>，则A B =A ．()01，B ．()12，C ．(,1)(0,)-∞-+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞ 2．在复平面内，复数2ii+ 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知tan =2α，那么sin 2α的值是A ．45-B ． 45C ．35-D ．354．在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则753a a +=A ．10B ．18C ．20D ．285．执行如图所示的程序框图，若输入的x 的值为2，则输出的x 的值为A ．3B ．126C ．127D ．1286．如图所示，曲线12-=x y ，2,0,y=0x x ==围成的阴影部分的面积为A ．dx x ⎰-202|1| B ．|)1(|22dx x ⎰-C ．dx x⎰-202)1( D ．122201(1)(1)x dx x dx -+-⎰⎰7．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，形成的三棱锥A BCD -的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为ABCD8．下列说法正确．．的是 A ．“p q ∨为真”是“p q ∧为真”的充分不必要条件； B ．已知随机变量()22,X N σ，且()40.84P X ≤=，则()00.16P X ≤=；C ．若[],0,1a b ∈，则不等式2214a b +<成立的概率是4π； D ．已知空间直线,,a b c ，若a b ⊥，b c ⊥，则//a c ．9．过抛物线24y x =焦点F 的直线交其于A ，B 两点，O 为坐标原点．若||3AF =，则AOB ∆的面积为A ．22B ．2C ．223 D ．22 10．若函数()f x 的导函数在区间(),a b 上的图像关于直线2a bx +=对称，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是A ．①④B ．②④C ．②③D ．③④第Ⅱ卷(共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．不等式|1||2|5x x ++-≤的解集为 ．12．已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤+-≤-+0101205x y x y x ，则2z x y =+的最大值是 ．13．在直角三角形ABC 中，090C ∠=，2AB =，1AC =，若32AD AB =，则CD CB ⋅=．14．从0,1,2,3,4中任取四个数字组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数是 (用数字作答）．15．已知在平面直角坐标系中有一个点列：()12220,1,(,)P P x y ，……，()*(,)n n n P x y n ∈N ．若点(,)n n n P x y 到点()111,n n n P x y +++的变化关系为：11n n nn n nx y x y y x ++=-⎧⎨=+⎩()*n ∈N ，则||20142013P P 等于 ． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．（本题满分12分）已知向量)sin cos ),32(cos(x x x a +-=π，)sin cos ,1(x x b -= ，函数b a x f ⋅=)(．（Ⅰ）求函数)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知23)(=A f ，2=a ，3B π=，求ABC ∆的面积S ． 17．（本题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形， AB ∥CD ，060ABC ∠=，22AB CB ==．在梯形ACEF 中，EF ∥AC ，且=2AC EF ，EC ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）求证：BC AF ⊥；（Ⅱ）若二面角D AF C --为045，求CE 的长．18．（本题满分12分）中国男子篮球职业联赛总决赛采用七场四胜制(即先胜四场者获胜)．进入总决赛的甲乙两队中，若每一场比赛甲队获胜的概率为23，乙队获胜的概率为13，假设每场比赛的结果互相独立．现已赛完两场，乙队以2:0暂时领先．（Ⅰ）求甲队获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设比赛结束时两队比赛的场数为随机变量X ，求随机变量X 的分布列和数学期望EX ． 19．(本题满分12分)若数列{}n A 满足21n n A A +=，则称数列{}n A 为“平方递推数列”．已知数列{}n a 中，19a =，点1(,)n n a a +在函数2()2f x x x =+的图象上，其中n 为正整数．（Ⅰ）证明数列{}1n a +是“平方递推数列”，且数列{}lg(1)n a +为等比数列； （Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前n 项积为n T ， 即12(1)(1)(1)n n T a a a =+++ ，求lg n T ； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记lg lg(1)nn n T b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n S，并求使4026n S >的n 的最小值．20．（本题满分13分）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的焦距为2，且过点（1），右焦点为2F ．设A ，B 是C 上的两个动点，线段AB 的中点M 的横坐标为12-，线段AB 的中垂线交椭圆C 于P ，Q 两点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求22F P F Q ⋅的取值范围． 21．（本题满分14分） 已知函数()ln(2)x mf x ex -=-．（Ⅰ）设1x =是函数)(x f 的极值点，求m 的值并讨论)(x f 的单调性； （Ⅱ）当2≤m 时，证明：)(x f ＞ln 2-．一模数学试题参考答案及评分说明2014.3一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．B 2．D 3．B 4．C 5．C 6．A 7．D 8．B 9．C 10．D 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（理科）[2,3]- 12．9 13．（理科）9214．（理科）60 15．（理科）10062三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（理科 本题满分12分）解：（Ⅰ）x x x b a x f 22sin cos )32cos()(-+-=⋅=πcos(2)cos 2cos 2cos sin 2sin cos 2333x x x x xπππ=-+=++312cos 2sin 22))223x x x x x π=+=+=+…………3分 令222232k x k πππππ-+≤+≤+()Z k ∈，得51212k x k ππππ-+≤≤+()Z k ∈, 所以，函数)(x f 的单调递增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. …………6分（Ⅱ）由23)(=A f ，得21)32sin(=+πA ，因为A 为ABC ∆的内角，由题意知π320<<A ，所以πππ35323<+<A ， 因此ππ6532=+A ，解得4π=A , …………………………… 8分又2=a ，3B π=，由正弦定理BbA a sin sin =， 得6=b ,……………… 10分 由4π=A ，3π=B ，可得)sin())(sin(sin B A B AC +=+-=π1=sin cos cos sin 2222A B A B +=⋅+426+=,…………………11分 所以，ABC ∆的面积C ab S sin 21=4266221+⨯⨯⨯==233+ .…12分 17．（理科 本题满分12分）解证：（Ⅰ）证明：在ABC ∆中,2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅= 所以222AB AC BC =+,由勾股定理知90ACB ∠= 所以 BC AC ⊥． ……2分 又因为 EC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD所以 BC EC ⊥． ………………………4分 又因为AC EC C = 所以 BC ⊥平面ACEF ，又AF ⊂平面ACEF所以 BC AF ⊥． ………………………6分 （Ⅱ）因为EC ⊥平面ABCD ，又由（Ⅰ）知BC AC ⊥，以C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 C xyz -. 设=CE h ，则()0,0,0C,)0,0A,F h ⎫⎪⎪⎝⎭，1,022D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,1,02AD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，AF h ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. …………………………8分设平面DAF 的法向量为1(,,)x y z =n ，则110,0.AD AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以10,20.x y x hz ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩令x =所以133)2h=-，n . ……………………………9分 又平面AFC 的法向量2(0,1,0)=n ……………………………10分所以1212cos 45⋅==⋅n n n n ，解得h = ． ……………………11分 所以CE的长为4． ……………………………………12分 18．（理科 本题满分12分）解: （Ⅰ）设甲队获胜为事件A ,则甲队获胜包括甲队以4:2获胜和甲队以4:3获胜两种情况.设甲队以4:2获胜为事件1A ,则()41216381P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ……………………2分设甲队以4:3获胜为事件2A ,则()312412264333243P A C ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭ ………4分()()()12166411281243243P A P A P A =+=+=…………………………… 6分 （Ⅱ）随机变量X 可能的取值为4567，，，.()211439P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ …………………………… 7分()121214533327P X C ==⨯⨯⨯=……………………………… 8分 ()24131212286333381P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ …………… …………… 9分()314123273381P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭ …………………………………… 10分（或者()3313441212123264327++=33333324324381P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭）1428324884567927818181EX =⨯+⨯+⨯+⨯=……………………………12分 19．(理科 本题满分12分)解证:（Ⅰ）由题意得：212n n n a a a +=+，即 211(1)n n a a ++=+， 则{}1n a +是“平方递推数列”．……………………………………………2分对211(1)n n a a ++=+两边取对数得 1lg(1)2lg(1)n n a a ++=+，所以数列{}lg(1)n a +是以{}1lg(1)a +为首项，2为公比的等比数列．………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知 111lg(1)lg(1)22n n n a a --+=+⋅= ……………………………5分1212lg lg(1)(1)(1)lg(1)lg(1)lg(1)n n n T a a a a a a =+++=++++++1(12)2112n n ⋅-==-- ……………………………………8分(Ⅲ）11lg 2112()lg(1)22n n n n n n T b a ---===-+ ………………………………9分 111122221212n n n S n n --=-=-+- ……………………………………10分 又4026n S >，即111224026,201422n n n n --+>+> …………………11分又1012n <<，所以min 2014n =． …………………………………12分20．（理科 本题满分13分）解：（Ⅰ） 因为焦距为2，所以221a b -=．因为椭圆C 过点（1，2）， 所以221112a b+=．故22a =，21b =… 2分 所以椭圆C 的方程为2212x y += …………4分（Ⅱ） 由题意，当直线AB 垂直于x 轴时，直线AB 方程为12x =-，此时(),0P、)Q，得221F P F Q ⋅=-．……… 5分当直线AB 不垂直于x 轴时，设直线AB 的斜率为k (0k ≠)，1(,)2M m -(0m ≠)，()11,A x y ，()22,B x y由 221122221,21,2x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得()()1212121220y y x x y y x x -+++⋅=-，则140mk -+=， 故41mk =． ………………………………………… 6分 此时，直线PQ 斜率为14k m =-，PQ 的直线方程为142y m m x ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭． 即4y mx m =--．联立22412y mx m x y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，整理得2222(321)16220m x m x m +++-=． 设()33,P x y ，()44,Q x y所以234216321m x x m +=-+，234222321m x x m -=+． ……………………………9分 于是()()()()()22343434343411144F P F Q x x y y x x x x mx m mx m ⋅=--+=-+++++()()()2223434411611m x x m x x m =-+++++2222222(116)(22)(41)(16)1321321m m m m m m m +---=+++++22191321m m -=+．…… 11分 由于1(,)2M m -在椭圆的内部，故2708m << 令2321t m =+，129t <<，则2219513232F P F Q t⋅=-． …………… 12分 又129t <<，所以221251232F P F Q -<⋅< ．综上，F F 22⋅的取值范围为1251,232⎡⎫-⎪⎢⎣⎭． …………………… 13分 21．（理科 本题满分12分） 解证：（Ⅰ）1()x mf x e x-'=-，由1x =是)(x f 的极值点得(1)0f '=， 即110me--=，所以1m =． ………………………………２分于是1()ln(2)0x f x e x x -=->，（），11()x f x e x-'=-， 由121()0x f x ex-''=+>知 ()f x '在(0,)x ∈+∞上单调递增，且(1)0f '=， 所以1x =是()0f x '=的唯一零点． ……………………………４分 因此，当(0,1)x ∈时，()0f x '<；当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，所以，函数)(x f 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增． ……………………………６分 （Ⅱ）解法一：当2≤m ，(0,)x ∈+∞时，2x mx ee --≥，故只需证明当2m =时，)(x f ＞ln 2-． ………………………………８分 当2m =时，函数21()x f x e x-'=-在(0,)+∞上单调递增， 又(1)0,(2)0f f ''<>，故()0f x '=在(0,)+∞上有唯一实根0x ，且0(1,2)x ∈．…………………10分 当0(0,)x x ∈时，()0f x '<；当0(,)x x ∈+∞时，()0f x '>， 从而当0x x =时， )(x f 取得最小值且0()0f x '=． 由0()0f x '=得021x ex -=,00ln 2x x =-．…………………………………12分 故0()()f x f x ≥020()ln(2)x f x e x -=-=01x 0ln 22x --+=2ln 2-ln 2>-． 综上，当2≤m 时，)(x f ln 2>-． …………………………14分 解法二：当2≤m ，(0,)x ∈+∞时，2x mx ee --≥，又1+≥x e x ,所以12-≥≥--x e e x m x ． ………………………………………８分取函数()1ln(2)(0)h x x x x =-->)0(>x ，xx h 11)('-=，当10<<x 时，0)('<x h ，)(x h 单调递减；当1>x 时，0)('>x h ，)(x h 单调递增，得函数()h x 在1=x 时取唯一的极小值即最小值为(1)ln 2h =-． ……12分 所以2()ln(2)ln(2)1ln(2)ln 2x mx f x ex e x x x --=-≥-≥--≥-，而上式三个不等号不能同时成立，故)(x f ＞ln 2-．…………………………………14分。
2014青岛一模文科数学试题含答案及评分标准
山东省青岛市2014届高三第一次模拟考试试题文 科 数 学第Ⅰ卷（共75分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合要求的．1. 若集合2{|02},{|1}A x x B x x =≤≤=>，则A B = ( ) A ．{|01}x x ≤≤ B ．{|0x x >或1}x <- C ．{|12}x x <≤D ．{|02}x x <≤2. 已知向量(1,2)a =- ,(3,)b m = ,R m ∈,则“6m =-”是“//()a a b +”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 3. 右图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，样本 重量均在[5,20]内，其分组为[5,10)，[10,15)，[15,20]， 则样本重量落在[15,20]内的频数为( )A ．10B ．20C ．30D ．404. 双曲线22145x y -=的渐近线方程为( )A ．54y x =±B ．52y x =± C ．55y x =±D ．255y x =± 5. 执行右图所示的程序框图，则输出的结果是( ) A ．5 B ．7 C ．9D ．116. 函数22sin y x =图象的一条对称轴方程可以为( )A ．4x π=B ．3x π= C ．34x π= D ．x π=7. 函数22)(3-+=x x f x在区间(0,2)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．38. 已知实数y x ,满足约束条件04340x x y y >⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z y x =-的最小值是 ( )A ．1-B ．0C ．1D ．839. 设,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则能得出a b ⊥的是A ．a α⊥，//b β，αβ⊥B ．a α⊥，b β⊥，//αβC ．a α⊂，b β⊥，//αβD ．a α⊂，//b β，αβ⊥10. 在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意的,R a b ∈，a b *为唯一确定的实数，且具有以下性质：① 对任意R a ∈，0a a *=； ② 对任意,R a b ∈，(0)(0)a b ab a b *=+*+*. 则函数1()()x x f x e e=*的最小值为 A ．2B ．3C ．6D ．8二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 复数12z i=+（其中i 为虚数单位）的虚部为 ； 12. 从等腰Rt ABC ∆的底边BC 上任取一点D ，ABD ∆为锐角三角形的概率为 ；13. 直线21y x =+被圆221x y +=截得的弦长为 ；14. 右图是一个四棱锥的三视图，则其体积为 ；15. 已知函数213,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ ，若对任意的R x ∈，不等式23()4f x m m ≤-恒成立，则实数m 的取值范围为 .20?S <开始1S =是否2S S k =+2k k =+输出k 结束1k =俯视图侧视图主视图2222山东省青岛市2014届高三第一次模拟考试试题文 科 数 学第Ⅱ卷（共75分）三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本小题满分12分）在ABC ∆中, c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且2cos cos 12sin sin A C A C +=. （Ⅰ）求B 的大小; （Ⅱ）若332a c +=，3b =,求ABC ∆的面积.17．（本小题满分12分）某公司销售A 、B 、C 三款手机，每款手机都有经济型和豪华型两种型号，据统计12月份共销售1000部手机（具体销售情况见下表）A 款手机B 款手机C 款手机经济型 200 x y 豪华型150 160 z已知在销售1000部手机中，经济型B 款手机销售的频率是21.0.（Ⅰ）现用分层抽样的方法在A 、B 、C 三款手机中抽取50部，求在C 款手机中抽取多少部？ （Ⅱ）若133,136≥≥z y ，求C 款手机中经济型比豪华型多的概率. 18．（本小题满分12分）如图几何体中,四边形ABCD 为矩形，36AB BC ==，2====DE AE CF BF ，4EF =，//EF AB ，G 为FC 的中点，M 为线段CD 上的一点，且2CM =. （Ⅰ）证明：//AF 面BDG ；（Ⅱ）证明：面BGM ⊥面BFC ； （Ⅲ）求三棱锥F BMC -的体积V .19．（本小题满分12分）已知{}n a 是等差数列，公差为d ，首项31=a ，前n 项和为n S . 令(1)(n n n c S n *=-∈,{}n c 的前20项和20330T =. 数列}{n b 满足n b =212(2)2n n a d---+，R a ∈. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若1n n b b +≤，n *∈N ，求a 的取值范围.20．（本小题满分13分）已知椭圆221121:1(1)x C y a a +=>与222222:1(01)x C y a a +=<<的离心率相等. 直线l :: (01)l y m m =<<与曲线1C 交于, A D 两点（A 在D 的左侧），与曲线2C 交于, B C 两点（B 在C 的左侧）,O 为坐标原点，(0,1)N -．（Ⅰ）当m =32，54AC =时，求椭圆12, C C 的方程； （Ⅱ）若2||||ND AD ND AD ⋅=⋅，且AND ∆和BOC ∆相似，求m 的值．21．（本小题满分14分）已知函数322()233f xx ax x =--. （Ⅰ）当0a =时，求曲线)(x f y =在点(3,(3))f 的切线方程；（Ⅱ）对一切()+∞∈,0x ,2()4ln 31af x a x x a '+≥--恒成立,求实数a 的取值范围； （Ⅲ）当0a >时，试讨论()f x 在(1,1)-内的极值点的个数.山东省青岛市2014届高三第一次模拟考试文科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分． C A B B C D B A C B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11. 15- 12. 12 13.455 14．4 15．14m ≤-或1m ≥三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16. （本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∴1cos()2A C +=-，……4分 3B π∴=……………6分（Ⅱ）22()2122a c ac b ac +--∴=，……8分， ∴54ac =……10分115353sin 224216ABC S ac B ∆∴==⨯⨯=. …………………12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ） 210x =……2分 y+z=280…… 3分14280100050=⨯（部）.……5分 （Ⅱ）设C 款手机中经济型比豪华型多为事件A ，因为280y z +=，*,N y z ∈，满足事件133,136≥≥z y 的基本事件有：(136,144)，(137,143)，(138,142)，(139,141)，(140,140)，(141,139)，(142,138)， (143,137)，(144,136)，(145,135)，(146,134)，(147,133) 共12个事件A 包含的基本事件为(141,139)，(142,138)，(143,137)，(144,136)，(145,135)，(146,134)，(147,133) 共7个所以P (A )= 712………………………………12分18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）连接AC 交BD 于O 点，则O 为AC 的中点，连接OG ,因为点G 为CF 中点，所以OG 为AFC ∆的中位线,所以//OG AF ，…………2分 AF ⊄面BDG ， OG ⊂面BDG ，∴//AF 面BDG , ………………………4分（Ⅱ）连接FM 2BF CF BC === ，G 为CF 的中点 BG CF ∴⊥ 2CM = ，4DM ∴=//EF AB ，ABCD 为矩形 //EF DM ∴， 又4EF = ，EFMD ∴为平行四边形 2FM ED ∴==，FCM ∴∆为正三角形 MG CF ∴⊥，MG BG G = CF ∴⊥面BGMCF ⊂ 面BFC ∴面BGM ⊥面BFC …………………8分 （Ⅲ）11233F BMC F BMG C BMG BMG BMG V V V S FC S ---=+=⨯⨯=⨯⨯ 因为3GM BG ==，22BM = 所以122122BMG S =⨯⨯=所以22233F BMC BMC V S -=⨯=………………………………12分19．（本小题满分12分）解：(Ⅰ)设等差数列的公差为d ，因为(1)n n n c S =- 所以20123420330T S S S S S =-+-+++=则24620330a a a a ++++= ……………………………………………………………3分 则10910(3)23302d d ⨯++⨯= 解得3d =所以33(1)3n a n n =+-= ………………………………………………………………6分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知n b =212(2)32n n a ---+1n n b b +-1212(2)32[2(2)32]n n n n a a ---=-+--+214(2)32n n a --=-+221243[(2)()]23n n a --=⋅-+由1n n b b +⇔≤212(2)()023n a --+≤2122()23n a -⇔≤- …………………………10分因为2122()23n --随着n 的增大而增大，所以1n =时，2122()23n --最小值为54所以54a ≤…………………………………………………………………………………12分20．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）∵12,C C 的离心率相等， ∴2122111a a a -=-,∴121a a =，………………………………………………………2分32m =Q ，将32y =分别代入曲线12,C C 方程，CA BD E FGMO由212131142A x x a a +=⇒=-， 由222231142C x x a a +=⇒=. ∴当m =32时，13(,)22a A -,23(,)22a C ．又∵54AC =,12115224a a ∴+=.由12121152241a a a a ⎧+=⎪⎨⎪=⎩ 解得12212a a =⎧⎪⎨=⎪⎩.∴12,C C 的方程分别为2214x y +=，2241x y +=． ……………………………………5分 （Ⅱ）将m y =代入曲线1:C 22211x y a +=得211,A x a m =--211,D x a m =-将m y =代入曲线2:C 22221x y a +=得221B x a m =--，221C x a m =-由于121a a =，所以21(1,)A a m m --,21(1,)D a m m -，211(1,)B m m a --，211(1,)C m m a -． 2||||ND AD ND AD ⋅=⋅ ，1cos cos ,2||||ND AD ADN ND AD ND AD ⋅∴∠=<>==⋅，3ADN π∴∠=………………………………………………………………………………8分根据椭圆的对称性可知：ND NA =，OB OC =， 又AND ∆和BOC ∆相似，3ADN BCO π∴∠=∠=，tan tan 3ADN BCO ∴∠=∠=，221113111m m a mm a +⇒==--由22111111m ma m m a +=--化简得211m a m += 代入2221(1)3(1)m a m +=-得34m = ………………………………………………………13分21．（本小题满分14分） 解：(Ⅰ) 由题意知32()33f x x x =-,所以2()23f x x '=- 又(3)9f =，(3)15f '=所以曲线)(x f y =在点(3,(3))f 的切线方程为15360x y --=………………………4分(Ⅱ)由题意:221ln ax x +≥,即2ln 12x a x-≥设221ln )(x x x g -=,则32ln 23)(x xx g -=' 当230e x <<时,0)(>'x g ；当23e x >时, 0)(<'x g 所以当32x e =时，()g x 取得最大值max 31()4g x e= 故实数a 的取值范围为31[,)4e+∞. ……………………………………………………9分 (Ⅲ)2()243f x x ax '=-- ，)41(4)1(-=-'a f ，)41(4)1(+-='a f①当14a >时, ∵'1(1)4()041(1)4()04f a f a ⎧'-=->⎪⎪⎨⎪=-+<⎪⎩∴存在),1,1(0-∈x 使得0)(0='x f因为342)(2--='ax x x f 开口向上，所以在0(1,)x -内()0f x '>,在0( ,1)x 内()0f x '<即()f x 在0(1,)x -内是增函数, ()f x 在0( ,1)x 内是减函数 故14a >时，()f x 在(1,1)-内有且只有一个极值点, 且是极大值点. ………………11分 ②当104a <≤时,因 '1(1)4()041(1)4()04f a f a ⎧'-=-≤⎪⎪⎨⎪=-+<⎪⎩又因为342)(2--='ax x x f 开口向上所以在(1,1)-内()0,f x '<则()f x 在(1,1)-内为减函数，故没有极值点…………13分综上可知：当14a >，()f x 在(1,1)-内的极值点的个数为1； 当104a <≤时, ()f x 在(1,1)-内的极值点的个数为0. ………………14分。
【解析版】【2014菏泽市一模】山东省菏泽市2014届高三3月模拟考试 数学(文)试题
第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1．设集合{|2sin ,[5,5]}M y y x x ==∈-，2{|log (1)}N x y x ==-，则M N = （ ）A ．{|15}x x <≤B ．{|10}x x -<≤C ．{|20}x x -≤≤D ．{|12}x x <≤2．已知复数21iz =-+，则 （ ）A ．||2z =B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为﹣1D ．z 的共轭复数为1+i3．下列命题中的真命题是（ ）A ．对于实数a 、b 、c ，若a b >，则22ac bc >B ． x 2＞1是x ＞1的充分而不必要条件C ．,R αβ∃∈ ，使得sin()sin sin αβαβ+=+成立D ．,R αβ∀∈，tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-⋅成立4．某几何体的三视图如图1所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的x 的值是（ ） A ． 2 B.92 C. 32D. 3【答案】C 【解析】试题分析：解:由三视图可知,该几何体是底面上底为1,下底为2,高为2的直角梯形的四棱锥,且棱锥的高为x , 底面积为()112232S =⨯+⨯= , 32V =由13V Sh = 得:3333232V x h S ⨯==== 故选C.考点：1、空间几何体的三视图；2、棱锥的体积.5. 某程序框图如图2所示，现将输出(,)x y 值依次记为：1122(,),(,),,(,),n n x y x y x y 若程序运行中输出的一个数组是 (,10),x -则数组中的x = （ ） A ．32B ．24C ．18D ．16【答案】A 【解析】试题分析：解:运行第一次,输出()1,0 ,3n = ,2x = ,2y =- 运行第二次,输出()2,2,5,4,4n x y -===- 运行第三次,输出()4,4,7,8,6n x y -===-运行第四次,输出()8,6,9,16,8n x y -===- 运行第五次,输出()16,8,11,32,10n x y -===- 运行第六次,输出()32,10,13,64,12n x y -===- 所以选A. 考点：循环结构.6．下列四个图中，函数10ln 11x y x +=+的图象可能是（ ）BC D7．定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x -=-，且在[0,1]上是增函数，则有（ ） A ．113()()()442f f f <-< B ．113()()()442f f f -<< C ．131()()()424f f f <<-D ． 131()()()424f f f -<<【答案】B 【解析】试题分析：解:由题设知：()()()22f x f x f x =--=- ，所以函数()f x 的图象关于直线1x =对称；函数()f x 是奇函数，其图象关于坐标原点对称，由于函数()f x 在[]0,1上是增函数，所以函数()f x 在[]1,0-上也是增函数，综上函数函数()f x 在[]1,1-上是增函数，函数()f x 在[]1,3上是减函数； 又3312222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，111111,442442f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-<<∴-<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，答案应选B.考点：函数的奇偶性及其与单调性的关系；8．为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：附：22n(ad bc )K (a b )(c d )(a c )(b d )-=++++ 参照附表，得到的正确结论是 （ ）A ．在犯错误的概率不超过l ％的前提下，认为“该市居民能否做到…光盘‟与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过l ％的前提下，认为“该市居民能否做到…光盘‟与性别无关”C ．有90％以上的把握认为“该市居民能否做到…光盘‟与性别有关”D ．有90％以上的把握认为“该市居民能否做到…光盘‟与性别无关”9．已知函数2014sin (01)()log (1)x x f x x x π≤≤⎧=⎨>⎩，若a 、b 、c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a ＋b＋c 的取值范围是（ ） A ．（1，2014）B ．（1，2015）C ．（2，2015）D ．[2，2015]10．已知抛物线24y x =的准线过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点且与双曲线交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 的面积为32，则双曲线的离心率为 （ ）A ．32B ．4C ．3D ．2【答案】D 【解析】试题分析：解:抛物线24y x =的准线方程为:1x =-,由题意知,双曲线的左焦点坐标为()1,0-,即1c =且22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为△AOB 的面积为32，所以，2132122b a ⨯⨯⨯=，即：2b a 32=所以，2132a a -=，解得：12a =，1212c e a ∴===故应选D.考点：1、抛物线的标准方程；2、双曲线的标准方程及简单几何性质.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．设32()32f x ax x =++，若f (x )在x =1处的切线与直线330x y ++=垂直，则实数a 的值为 ．12．设关于x ，y 的不等式组210,0,0.x y x m y m -+>⎧⎪-<⎨⎪+>⎩表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0=2，则m 的取值范围是.13．在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,已知222a c b -=,且sin cos 3cos sin A C A C =，则b = .14．如图，A 是半径为5的圆O 上的一个定点，单位向量AB在A 点处与圆O 相切，点P是圆O 上的一个动点，且点P 与点A 不重合，则AP ·AB的取值范围是 .15．函数()f x 的定义域为A ,若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =,则称()f x 为单函数.例如,函数()1()f x x x =+∈R 是单函数.下列命题:①函数2()2()f x x x x =-∈R 是单函数;②函数2log ,2,()2,x x f x x x ≥⎧=⎨-<2.⎩是单函数;③若()f x 为单函数, 12,x x A ∈且12x x ≠,则12()()f x f x ≠;④若函数()f x 在定义域内某个区间D 上具有单调性,则()f x 一定是单函数. 其中真命题是 (写出所有真命题的编号).三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（本小题满分12分）已知函数2()2sin cos f x x x x ωωω=+0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求函数()f x 的单调增区间； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象；若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值． 【答案】（Ⅰ）5[,],Z 1212k k k ππππ-+∈（Ⅱ）5912π【解析】试题分析：（Ⅰ）由2()2sin cos f x x x x ωωω=+⇒()2sin(2)3f x x πω=-根据函数()y f x = 的周期T π= ，可得2ω= ，从而确定()y f x =的解析式，再根据正弦函数的单调性求出()f x 的单调区间；Ⅱ）y =2sin(2)3x π-6y π−−−−−−→=向左平移个单位2sin 21x + ，选求出函数在长度为一个周期的区间[]0,π 内的零点，再根据函数的周期性求出原点右侧第十个零点，从而确定b 的取值范围. 试题解析：（Ⅰ）由题意得：()f x =22sin cos x x x ωωω+17. （本小题满分12分）如图, 已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形，AD ∥BC ,CE ∥BG ，且2BCD BCE π∠=∠=，平面ABCD ⊥平面BCEG ，BC =CD =CE =2AD =2BG =2.（Ⅰ）求证: EC ⊥CD ； （Ⅱ）求证：AG ∥平面BDE ； （III ）求：几何体EG-ABCD 的体积.【答案】(1)证明过程详见解析;(2)证明过程详见解析;（III ）73【解析】试题分析：（Ⅰ）要证EC CD ⊥ ，只要证EC ⊥平面ABCD ；而由题设平面ABCD ⊥平面BCEG 且EC BC ⊥ ，所以EC ⊥平面ABCD ，结论得证；（Ⅰ）证明：由平面ABCD ⊥平面BCEG ，平面ABCD ∩平面BCEG =BC , ,CE BC CE ⊥⊂平面BCEG , ∴EC ⊥平面ABCD ，…………3分又CD ⊂平面BCDA , 故 EC ⊥CD …………4分（Ⅱ）证明：在平面BCDG 中，过G 作GN ⊥CE 交BE 于M ，连 DM ，则由已知知；MG =MN ，MN ∥BC ∥DA ,且12MN AD BC ==∴MG ∥AD ,MG =AD ， 故四边形ADMG 为平行四边形， ∴AG ∥DM ……………6分∵DM⊆平面BDE，AG⊄平面BDE，∴AG∥平面BDE…………………………8分（III）解：1133EG ABCD D BCEG G ABD BCEG ABDV V V S DC S BG---∆=+=⋅+⋅…………………… 10分1211172212132323+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=…………………………………………12分考点：1、直线与平面垂直、平行的判定与性质；2、空间几何体的体积.18．（本小题满分12分）对一批共50件的某电器进行分类检测，其重量（克）统计如下：规定重量在82克及以下的为“A”型，重量在85克及以上的为“B”型，已知该批电器有“A”型2件（Ⅰ）从该批电器中任选1件，求其为“B”型的概率；（Ⅱ）从重量在［80,85)的5件电器中，任选2件，求其中恰有1件为“A”型的概率.其中恰有1件为”A”型的情况有ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，共6种．………… 10分所以263()105P A ==.所以从重量在[80,85)的5件电器中，任选2件电器，其中恰有1件为”A”型的概率为35. …………………………………………………………………………12分考点：古典概型.19．（本小题满分12分）已知数列{a n }，15a =-,22a =-,记12()n A n a a a =++⋅⋅⋅+,231()n B n a a a +=++⋅⋅⋅+，342()(*)n C n a a a n N +=++⋅⋅⋅+∈,若对于任意*n N ∈,A (n )，B (n )，C (n )成等差数列.（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式; （Ⅱ）求数列{|a n |}的前n 项和. 试题解析：解:（Ⅰ）根据题意A (n ), B (n ), C (n )成等差数列, ∴A (n )+ C (n )=2 B (n ); ...................2分 整理得2121253n n a a a a ++-=-=-+= ,∴数列{a n }是首项为5-,公差为3的等差数列. …………………………………………4分∴53(1)38n a n n =-+-=-;.....................……………………………………………….....6分（Ⅱ）38,2||38,3n n n a n n -+≤⎧=⎨-≥⎩ , 记数列{}||n a 的前n 项和为S n . 当2n ≤时,2(583)313222n n n n S n +-==-+ ;…………………………………9分当3n ≥时,2(2)(138)313714222n n n n S n -+-=+=-+ ;…………………….11分综上，223132,2231314 3.22n n n n S n n n ⎧-+≥⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩.…………………………………………..12分 考点：1、等差数列的通项公式与前n 项和公式；2、等差中项的性质.20．（本小题满分13分）已知关于x 的函数()(0)exax af x a -=≠ （Ⅰ）当1a =-时，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）若函数()()1F x f x =+没有零点，求实数a取值范围.当1a =-时，()f x ,'()f x 的情况如下表：所以，当1a =-时，函数()f x 的极小值为2()e f x -=-. ……………………………6分 （Ⅱ）(2)()()exa x F x f x --''==. ---7分①当0a <时，(),'()F x F x 的情况如下表：（或：当2x >时，()F x =()111,e xa x -+>当2x <时，令()F x =()110,exa x -+<即()1e 0,xa x -+<由于()()21e 1e ,x a x a x -+<-+令()21e 0,a x -+<得21e x a <-，即21e x a<-时()0F x <，即2x <时()F x 存在零点.）综上所述，所求实数a 的取值范围是2e 0a -<<.………………………………13分考点：1、导数的求法；2、利用导数研究函数的单调性与最值；3、分类讨论的思想.21．（本小题满分14分）如图；.已知椭圆C: 22221(0)x y a b a b+=>>圆的左顶点T 为圆心作圆T:2222)(0),x y r r ++=>（设圆T 与椭圆C 交于点M 、N. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求TM TN ⋅的最小值，并求此时圆T 的方程;（Ⅲ）设点P 是椭圆C 上异于M ,N 的任意一点，且直线MP ,NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点。
2014年山东省青岛市高考数学一模试卷(文科)(第2套)
2014年山东省青岛市高考数学一模试卷（文科）（第2套）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.复数（i是虚数单位）的虚部是（）A.1B.-1C.iD.-i【答案】A【解析】解：复数===1+i，∴复数的虚部是1，故选A．首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成整式形式，写出复数的标准形式，虚部就是i的系数，得到结果．本题考查复数概念，在考查概念时，题目要先进行乘除运算，复数的加减乘除运算是比较简单的问题，在高考时有时会出现．2.已知全集U=R，集合A={x|x2-x＞0}，B={x|lnx≤0}，则（∁U A）∩B=（）A.（0，1]B.（-∞，0）∪（1，+∞）C.∅D.（0，1）【答案】A【解析】解：由A中的不等式变形得：x（x-1）＞0，得到：x＞1或x＜0，即A=（-∞，0）∪（1，+∞），∵全集U=R，∴∁U A=[0，1]，由B中的不等式变形得：lnx≤ln1，即0＜x≤1，∴B=（0，1]，则（∁U A）∩B=（0，1]．故选：A．分别求出A与B中不等式的解集，求出A补集与B的交集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．3.某中学高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，现从中抽取一个容量为200人的样本，则高中二年级被抽取的人数为（）A.28B.32C.40D.64【答案】D【解析】解：∵高中一年级有400人，高中二年级有320人，高中三年级有280人，∴取一个容量为200人的样本，则高中二年级被抽取的人数为，故选：D．根据分层抽样的定义，即可得到结论．本题主要考查分层抽样的定义和应用，比较基础．4.命题“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是（）A.“任意x∈R，均有x2+x+1＜0”B.“任意x∈R，均有x2+x+1≥0”C.“存在x∈R，使得x2+x+1≥0”D.“不存在x∈R，使得x2+x+1≥0”【答案】B【解析】解：∵命题“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”是特称命题，∴否定命题为：任意x∈R，均有x2+x+1≥0，故选B．根据特称命题“∃x∈A，p（A）”的否定是“∀x∈A，非p（A）”，结合已知中命题“存在x∈R，使得x2+x+1＜0”是一个特称命题，即可得到答案．本题主要考查全称命题与特称命题的转化，属于基础题．5.曲线y=x3-2x在点（1，-1）处的切线方程是（）A.x-y-2=0B.x-y+2=0C.x+y+2=0D.x+y-2=0【答案】A【解析】解：由题意得，y′=3x2-2，∴在点（1，-1）处的切线斜率是1，∴在点（1，-1）处的切线方程是：y+1=x-1，即x-y-2=0，故选A．先求导公式求出导数，再把x=1代入求出切线的斜率，代入点斜式方程再化为一般式．本题考查了导数的几何意义，即在某点处的切线斜率是该点处的导数值，以及直线方程的点斜式和一般式．6.抛物线y=8x2的焦点坐标是（）A.（2，0）B.（-2，0）C.（0，）D.（0，）【答案】C【解析】解：抛物线y=8x2的标准方程为x2=y，p=，开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为（0，），故选C．把抛物线y=8x2的方程化为标准形式，确定开口方向和p值，即可得到焦点坐标．本题考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用；把抛物线y=8x2的方程化为标准形式，是解题的关键．7.函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，为了得到y=sin2x的图象，只需将f（x）的图象（）A.向右平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向左平移个单位【答案】B【解析】解：由函数f（x）=A sin（ωx+φ），＞，＞，＜的图象可得A=1，T==2=π，∴ω=2．再由五点法作图可得2×+φ=0，∴φ=．故函数的f（x）的解析式为f（x）=sin（2x+）=sin2（x+）．故把f（x）=sin2（x+）的图象向右平移个单位长度，可得g（x）=sin2x的图象，故选：B．由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的f（x）的解析式．再根据函数y=A sin（ωx+φ）的图象的变换规律，可得结论．本题主要考查由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=A sin（ωx+φ）的图象的变换规律，属于中档题．8.设z=x+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则z的最小值为（）A.-3B.-6C.3D.6【答案】B【解析】解：可行域如图：由得：A（k，k），目标函数z=x+y在x=k，y=k时取最大值，即直线z=x+y在y轴上的截距z最大，此时，12=k+k，故k=6．∴得B（-12，6），目标函数z=x+y在x=-12，y=6时取最小值，此时，z的最小值为z=-12+6=-6，故选B．先画出可行域，得到角点坐标．再利用z的最大值为12，通过平移直线z=x+y得到最大值点A，求出k值，即可得到答案．本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义．9.现有四个函数：①y=xsinx，②y=xcosx，③y=x|cosx|，④y=x•2x的部分图象如下，但顺序被打乱了，则按照从左到右将图象对应的函数序号排列正确的一组是（）A.①②③④B.②①③④C.③①④②D.①④②③【答案】D【解析】解：研究发现①是一个偶函数，其图象关于y轴对称，故它对应第一个图象②③都是奇函数，但②在y轴的右侧图象在x轴上方与下方都存在，而③在y轴右侧图象只存在于x轴上方，故②对应第三个图象，③对应第四个图象，④与第二个图象对应，易判断．故按照从左到右与图象对应的函数序号①④②③故选：D．依据函数的性质与图象的图象对应来确定函数与图象之间的对应关系，对函数的解析式研究发现，四个函数中有一个是偶函数，有两个是奇函数，还有一个是指数型递增较快的函数，由这些特征接合图象上的某些特殊点判断即可．本题考点是正弦函数的图象，考查了函数图象及函数图象变化的特点，解决此类问题有借助两个方面的知识进行研究，一是函数的性质，二是函数值在某些点的符号即图象上某些特殊点在坐标系中的确切位置．10.若A i（i=1，2，3，…，n）是△AOB所在的平面内的点，且．给出下列说法：①；②的最小值一定是；③点A、A i在一条直线上；④向量及在向量的方向上的投影必相等．其中正确的个数是（）A.1个．B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】解：由，可得||•||cos∠A i OB=||•||cos∠AOB，故有||cos∠A i OB=||cos∠AOB，即和在上的投影相等，即点A、A i在同一条垂直于直线OB的直线l上，如图所示，故③④正确，①不正确．再根据无最小值，故②不正确，故选：B．由条件利用两个向量的数量积的定义，可得和在上的投影相等，从而得出结论．本题主要考查两个向量的数量积的定义，一个向量在另一个向量上的投影，属于中档题．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.已知x＞4，则的最小值______ ．【答案】6【解析】解：∵x＞4，x-4＞0∴，=6．当且仅当x-4=，即x=5时，等号成立．故答案为：6．化简=，利用基本不等式即可求解．本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题．12.圆C：x2+y2-2x-4y+4=0的圆心到直线3x+4y+4=0的距离d= ______ ．【答案】3【解析】解：圆心（1，2）到直线3x+4y+4=0距离为．故答案为：3先求圆心坐标，然后求圆心到直线的距离即可．考查点到直线距离公式，圆的一般方程求圆心坐标，是基础题．13.已知，则= ______ ．【答案】【解析】解：==．故答案为：．利用即可得出．本题考查了诱导公式的应用，属于基础题．14.如图是某算法的程序框图，若任意输入[1，19]中的实数x，则输出的x大于49的概率为______ ．【答案】【解析】解：由程序框图知：第一次运行x=2x-1，n=2；第二次运行x=2×（2x-1）-1．n=2+1=3；第三次运行x=2×[2×（2x-1）-1]-1，n=3+1=4，不满足条件n≤3，程序运行终止，输出x=8x-（4+2+1）=8x-7，由输出的x大于49，得x＞7，∴输入x∈（7，19]，数集的长度为12，又数集[1，19]的长度为18，∴输出的x大于49的概率为．故答案为：．根据框图的流程，依次计算运行的结果，直到不满足条件n≤3，求出输出x的值，再根据输出的x大于49，求出输入x的范围，根据几何概型的概率公式计算．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解答此类问题的关键．15.如果对定义在R上的函数f（x），对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“H函数”．给出下列函数①y=x2；②y=e x+1；③y=2x-sinx；④．以上函数是“H函数”的所有序号为______ ．【答案】②③【解析】解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，∴不等式等价为（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数．①函数y=x2在定义域上不单调．不满足条件．②y=e x+1为增函数，满足条件．③y=2x-sinx，y′=2-cosx＞0，函数单调递增，满足条件．④f（x）=，，．当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．综上满足“H函数”的函数为②③，故答案为：②③．不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.已知向量=（sinx，sinx），=（sinx，-cosx），设函数f（x）=•，若函数g（x）的图象与f（x）的图象关于坐标原点对称．（1）求函数g（x）在区间[-，]上的最大值，并求出此时x的取值；（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（-）+g（+）=-，b+c=7，bc=8，求边a的长．【答案】解：（Ⅰ）由向量，，，，且，得，，∴．∵，，∴，，∴当，即时，函数g（x）在区间，上的最大值为；（Ⅱ）∵，，由，得，∴．又∵0＜A＜π，解得：或，由题意知：bc=8，b+c=7，∴a2=b2+c2-2bccos A=（b+c）2-2bc（1+cos A）=33-16cos A，则a2=25或a2=41，故所求边a的长为5或．【解析】（Ⅰ）由向量的数量积运算求得f（x）的解析式，化简后取x=-x，y=-y求得g（x）的解析式，则函数g（x）在区间，上的最大值及取得最大值时的x的值可求；（Ⅱ）由求得角A的正弦值，利用同角三角函数的基本关系求得角A的余弦值，在利用余弦定理求边a的长．本题考查了平面向量数量积的运算，考查了三角函数的对称变换，训练了余弦定理的应用，是中档题．17.在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．【答案】解：（Ⅰ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人，所以该考场有10÷0.25=40人，所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为：40×（1-0.375-0.375-0.15-0.025）=40×0.075=3人；（Ⅱ）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为：×[1×（40×0.2）+2×（40×0.1）+3×（40×0.375）+4×（40×0.25）+5×（40×0.075）]=2.9；（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A，所以还有2人只有一个科目得分为A，设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为：Ω={{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6个基本事件．设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个，则P（B）=．【解析】（Ⅰ）根据“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生人数，结合样本容量=频数÷频率得出该考场考生人数，再利用频率和为1求出等级为A的频率，从而得到该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数．（Ⅱ）利用平均数公式即可计算该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分．（Ⅲ）通过列举的方法计算出选出的2人所有可能的情况及这两人的两科成绩等级均为A的情况；利用古典概型概率公式求出随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A的概率．本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布直方图、平均数及古典概型等内容．18.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，E、F分别为BD、PD的中点，EA=EB．（Ⅰ）证明：PB∥面AEF；（Ⅱ）证明：AD⊥PB．【答案】（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为E、F分别为BD、PD的中点，所以EF∥PB…（2分）因为EF⊂面AEF，PB⊄面AEF所以PB∥面AEF…（5分）（Ⅱ）证明：因为PA⊥面ABCD，所以PA⊥AD…（7分）因为EA=EB，所以∠ABE=∠BAE，又因为E为BD的中点，所以∠ADE=∠DAE，所以2（∠BAE+∠DAE）=180°，得∠BAE+∠DAE=90°，即BA⊥AD，…（10分）因为PA∩AB=A，所以AD⊥面PAB，所以AD⊥PB．…（12分）【解析】（Ⅰ）由已知条件得知一角形中位线定理推导出EF∥PB，由此能证明PB∥面AEF．（Ⅱ）由PA⊥面ABCD，PA⊥AD，由EA=EB，E为BD的中点，推导出AD⊥面PAB，由此能证明AD⊥PB．本题考查直线与平面平行的证明，考查异面直线垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19.在数列{a n}（n∈N*）中，其前n项和为S n，满足．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】解：（Ⅰ）由题设得：，∴∴a n=S n-S n-1=1-n（n≥2）…（2分）当n=1时，a1=S1=0，∴数列{a n}是a1=0为首项、公差为-1的等差数列，∴a n=1-n．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，∴T n=b1+b2+b3+…+b n=1•20+2•2-1+3•2-2+4•2-3+…+n•21-n…（8分）两式相减得：=．∴．…（12分）【解析】（Ⅰ）由，求出，再由a n=S n-S n-1，能求出数列{a n}的通项公式．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，由此利用错位相减法能求出数列{b n}的前n项和T n．本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．20.已知函数f（x）=x2-2lnx，h（x）=x2-x+a．（1）其求函数f（x）的极值；（2）设函数k（x）=f（x）-h（x），若函数k（x）在[1，3]上恰有两个不同零点求实数a的取值范围．【答案】解：（Ⅰ）∵f′（x）=2x-，令f′（x）=0，∵x＞0，∴x=1，所以f（x）的极小值为1，无极大值．（Ⅱ）∵又∵k（x）=f（x）-g（x）=-2lnx+x-a，∴k′（x）=-+1，若k′（x）=0，则x=2当x∈[1，2）时，f′（x）＜0；当x∈（2，3]时，f′（x）＞0．故k（x）在x∈[1，2）上递减，在x∈（2，3]上递增．（10分），∴＞，∴2-2ln2＜a≤3-2ln3．∴＜＞所以实数a的取值范围是：（2-2ln2，3-2ln3]（15分）【解析】（I）先在定义域内求出f′（x）=0的值，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值；（II）先求出函数k（x）的解析式，然后研究函数k（x）在[1，3]上的单调性，根据函数k（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，建立不等关系＜，最后解之即可．＞本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数的零点等有关基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．21.已知点P在椭圆C：＞＞上，以P为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F2，且，∠，其中O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点M（-1，0），设Q是椭圆C上的一点，过Q、M两点的直线l交y轴于点N，若，求直线l的方程；（Ⅲ）作直线l1与椭圆D：交于不同的两点S，T，其中S点的坐标为（-2，0），若点G（0，t）是线段ST垂直平分线上一点，且满足，求实数t的值．【答案】（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意知，在△OPF2中，PF2⊥OF2，由∠，得：∠，设r为圆P的半径，c为椭圆的半焦距，∵，∴，又，∠，解得：，，∴点P的坐标为，，…（2分）∵点P在椭圆C：＞＞上，∴，又a2-b2=c2=2，解得：a2=4，b2=2，∴椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆C的方程为，由题意知直线l的斜率存在，故设其斜率为k，则其方程为y=k（x+1），N（0，k），设Q（x1，y1），∵，∴（x1，y1-k）=2（-1-x1，-y1），∴，，…（7分）又∵Q是椭圆C上的一点，∴，解得k=±4，∴直线l的方程为4x-y+4=0或4x+y+4=0．…（9分）（Ⅲ）由题意知椭圆D：，由S（-2，0），设T（x1，y1），根据题意可知直线l1的斜率存在，设直线斜率为k，则直线l1的方程为y=k（x+2），把它代入椭圆D的方程，消去y，整理得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2-4）=0，由韦达定理得，则，y1=k（x1+2）=，所以线段ST的中点坐标为，，（1）当k=0时，则有T（2，0），线段ST垂直平分线为y轴，∴，，，，由，解得：．…（11分）（2）当k≠0时，则线段ST垂直平分线的方程为y-=-（x+），∵点G（0，t）是线段ST垂直平分线的一点，令x=0，得：，∴，，，，由，解得：，代入，解得：，综上，满足条件的实数t的值为或．…（14分）【解析】（Ⅰ）由已知条件推导出PF2⊥OF2，设r为圆P的半径，c为椭圆的半焦距，由，∠，求出，，再由点P，在椭圆，求出a2=4，b2=2，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x+1），由N（0，k），Q（x1，y1），，能求出直线l的方程．（Ⅲ）由题意知椭圆D：，设直线l1的方程为y=k（x+2），把它代入椭圆D的方程得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2-4）=0，利用韦达定理能求出满足条件的实数t 的值．本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．。
2014年山东省青岛市中考数学试卷(含答案和解析)
2014年山东省青岛市中考数学试卷一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．1．（3分）（2014?青岛）﹣7的绝对值是（）A．﹣7 B．7C．﹣D．2．（3分）（2014?青岛）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）（2014?青岛）据统计，我国2013年全年完成造林面积约6090000公顷．6090000用科学记数法可表示为（）A．6.09×106B．6.09×104C．609×104D．60.9×1054．（3分）（2014?青岛）在一个有15万人的小镇，随机调查了3000人，其中有300人看中央电视台的早间新闻．据此，估计该镇看中央电视台早间新闻的约有（）A．2.5万人B．2万人C．1.5万人D．1万人5．（3分）（2014?青岛）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是2和4，O1O2=5，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）A．内含B．内切C．相交D．外切6．（3分）（2014?青岛）某工程队准备修建一条长1200m的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20%，结果提前2天完成任务．若设原计划每天修建道路xm，则根据题意可列方程为（）A．﹣=2 B．﹣=2C．﹣=2 D．﹣=27．（3分）（2014?青岛）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF的长为（）A．4B．3C．4.5 D．58．（3分）（2014?青岛）函数y=与y=﹣kx 2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9．（3分）（2014?青岛）计算：=_________．10．（3分）（2014?青岛）某茶厂用甲、乙两台分装机分装某种茶叶（每袋茶叶的标准质量为200g）．为了监控分装质量，该厂从它们各自分装的茶叶中随机抽取了50袋，测得它们的实际质量分析如下：平均数（g）方差甲分装机200 16.23乙分装机200 5.84则这两台分装机中，分装的茶叶质量更稳定的是_________（填“甲”或“乙”）．11．（3分）（2014?青岛）如图，△ABC的顶点都在方格线的交点（格点）上，如果将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°，那么点B的对应点B′的坐标是_________．12．（3分）（2014?青岛）如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC=110°．连接AC，则∠A的度数是_________°．13．（3分）（2014?青岛）如图，在等腰梯形ABCD中，AD=2，∠BCD=60°，对角线AC平分∠BCD，E，F分别是底边AD，BC的中点，连接EF．点P是EF上的任意一点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为_________．14．（3分）（2014?青岛）如图，是由一些小立方块所搭几何体的三种视图，若在所搭几何体的基础上（不改变原几何体中小立方块的位置），继续添加相同的小立方块，以搭成一个大正方体，至少还需要_________个小立方块．三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．15．（4分）（2014?青岛）已知：线段a，∠α．求作：△ABC，使AB=AC=a，∠B=∠α．四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）16．（8分）（2014?青岛）（1）计算：÷；（2）解不等式组：．17．（6分）（2014?青岛）空气质量状况已引起全社会的广泛关注，某市统计了2013年每月空气质量达到良好以上的天数，整理后制成如下折线统计图和扇形统计图．根据以上信息解答下列问题：（1）该市2013年每月空气质量达到良好以上天数的中位数是_________天，众数是_________天；（2）求扇形统计图中扇形A的圆心角的度数；（3）根据以上统计图提供的信息，请你简要分析该市的空气质量状况（字数不超过30字）．18．（6分）（2014?青岛）某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘（如图，转盘被均匀分为20份），并规定：顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券30元．（1）求转动一次转盘获得购物券的概率；（2）转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？19．（6分）（2014?青岛）甲、乙两人进行赛跑，甲比乙跑得快，现在甲让乙先跑10米，甲再起跑．图中l1和l2分别表示甲、乙两人跑步的路程y（m）与甲跑步的时间x（s）之间的函数关系，其中l1的关系式为y1=8x，问甲追上乙用了多长时间？20．（8分）（2014?青岛）如图，小明想测山高和索道的长度．他在B处仰望山顶A，测得仰角∠B=31°，再往山的方向（水平方向）前进80m至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE=39°．（1）求这座山的高度（小明的身高忽略不计）；（2）求索道AC的长（结果精确到0.1m）．（参考数据：tan31°≈，sin31°≈，tan39°≈，sin39°≈）21．（8分）（2014?青岛）已知：如图，?ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．（1）求证：△AOD≌△EOC；（2）连接AC，DE，当∠B=∠AEB=_________°时，四边形ACED是正方形？请说明理由．22．（10分）（2014?青岛）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）23．（10分）（2014?青岛）数学问题：计算+++…+（其中m，n都是正整数，且m≥2，n≥1）．探究问题：为解决上面的数学问题，我们运用数形结合的思想方法，通过不断地分割一个面积为1的正方形，把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并采取一般问题特殊化的策略来进行探究．探究一：计算+++…+．第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为+；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，…；…第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分，所有阴影部分的面积之和为+++…+，最后空白部分的面积是．根据第n次分割图可得等式：+++…+=1﹣．探究二：计算+++…+．第1次分割，把正方形的面积三等分，其中阴影部分的面积为；第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，阴影部分的面积之和为+；第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续三等分，…；…第n次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后三等分，所有阴影部分的面积之和为+++…+，最后空白部分的面积是．根据第n次分割图可得等式：+++…+=1﹣，两边同除以2，得+++…+=﹣．探究三：计算+++…+．（仿照上述方法，只画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并写出探究过程）解决问题：计算+++…+．（只需画出第n次分割图，在图上标注阴影部分面积，并完成以下填空）根据第n次分割图可得等式：_________，所以，+++…+=_________．拓广应用：计算+++…+．24．（12分）（2014?青岛）已知：如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC=12cm，BD=16cm．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，直线EF从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s，EF⊥BD，且与AD，BD，CD分别交于点E，Q，F；当直线EF停止运动时，点P也停止运动．连接PF，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．解答下列问题：（1）当t为何值时，四边形APFD是平行四边形？（2）设四边形APFE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使S四边形APFE：S菱形ABCD=17：40？若存在，求出t的值，并求出此时P，E两点间的距离；若不存在，请说明理由．2014年山东省青岛市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分．1．（3分）（2014?青岛）﹣7的绝对值是（）A．﹣7 B．7C．﹣D．考点：绝对值．分析：根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．解答：解：|﹣7|=7，故选：B．点评：本题考查了绝对值，负数的绝对值是它的相反数．2．（3分）（2014?青岛）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．解答：解：A、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；B、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；C、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．故选：D．点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．3．（3分）（2014?青岛）据统计，我国2013年全年完成造林面积约6090000公顷．6090000用科学记数法可表示为（）A．6.09×106B．6.09×104C．609×104D．60.9×105考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：解：将6090000用科学记数法表示为： 6.09×106．故选：A．点评：此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（3分）（2014?青岛）在一个有15万人的小镇，随机调查了3000人，其中有300人看中央电视台的早间新闻．据此，估计该镇看中央电视台早间新闻的约有（）A．2.5万人B．2万人C．1.5万人D．1万人考点：用样本估计总体．分析：求得调查样本的看早间新闻的百分比，然后乘以该镇总人数即可．解答：解：该镇看中央电视台早间新闻的约有15×=1.5万，故选B．点评：本题考查了用样本估计总体的知识，解题的关键是求得样本中观看的百分比，难度不大．5．（3分）（2014?青岛）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是2和4，O1O2=5，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）A．内含B．内切C．相交D．外切考点：圆与圆的位置关系．分析：由⊙O1、⊙O2的半径分别是2、4，O1O2=5，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．解答：解：∵⊙O1、⊙O2的半径分别是2、4，∴半径和为：2+4=6，半径差为：4﹣2=2，∵O1O2=5，2＜6＜6，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是：相交．故选C．点评：此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．6．（3分）（2014?青岛）某工程队准备修建一条长1200m的道路，由于采用新的施工方式，实际每天修建道路的速度比原计划快20%，结果提前2天完成任务．若设原计划每天修建道路xm，则根据题意可列方程为（）A．﹣=2 B．﹣=2C．﹣=2 D．﹣=2考点：由实际问题抽象出分式方程．分析：设原计划每天修建道路xm，则实际每天修建道路为（1+20%）xm，根据采用新的施工方式，提前2天完成任务，列出方程即可．解答：解：设原计划每天修建道路xm，则实际每天修建道路为（1+20%）xm，由题意得，﹣=2．故选D．点评：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．7．（3分）（2014?青岛）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB=6，BC=9，则BF的长为（）A．4B．3C．4.5 D．5考点：翻折变换（折叠问题）．分析：先求出BC′，再由图形折叠特性知，C′F=CF=BC﹣BF=9﹣BF，在直角三角形C′BF中，运用勾股定理BF 2+BC′2=C′F2求解．解答：解：∵点C′是AB边的中点，AB=6，∴BC′=3，由图形折叠特性知，C′F=CF=BC﹣BF=9﹣BF，在直角三角形C′BF中，BF2+BC′2=C′F2，∴BF2+9=（9﹣BF）2，解得，BF=4，故选：A．点评：本题考查了折叠问题及勾股定理的应用，综合能力要求较高．同时也考查了列方程求解的能力．解题的关键是找出线段的关系．8．（3分）（2014?青岛）函数y=与y=﹣kx 2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．考点：二次函数的图象；反比例函数的图象．分析：本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．解答：解：由解析式y=﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，错误；B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，正确；C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，错误；D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，错误．故选：B．点评：本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k 取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）9．（3分）（2014?青岛）计算：=2+1．考点：二次根式的混合运算．专题：计算题．分析：根据二次根式的除法法则运算．解答：解：原式=+=2+1．故答案为2+1．点评：本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．10．（3分）（2014?青岛）某茶厂用甲、乙两台分装机分装某种茶叶（每袋茶叶的标准质量为200g）．为了监控分装质量，该厂从它们各自分装的茶叶中随机抽取了50袋，测得它们的实际质量分析如下：平均数（g）方差甲分装机200 16.23乙分装机200 5.84则这两台分装机中，分装的茶叶质量更稳定的是乙（填“甲”或“乙”）．考点：方差．分析：根据方差的意义，方差越小数据越稳定，比较甲，乙两台包装机的方差可判断．解答：解：∵=16.23，=5.84，∴＞，∴这两台分装机中，分装的茶叶质量更稳定的是乙．故答案为：乙．点评：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．11．（3分）（2014?青岛）如图，△ABC的顶点都在方格线的交点（格点）上，如果将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°，那么点B的对应点B′的坐标是（1，0）．考点：坐标与图形变化-旋转．专题：数形结合．分析：先画出旋转后的图形，然后写出B′点的坐标．解答：解：如图，将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°，点B的对应点B′的坐标为（1，0）．故答案为（1，0）．点评：本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．12．（3分）（2014?青岛）如图，AB是⊙O的直径，BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC=110°．连接AC，则∠A的度数是35°．考点：切线的性质．分析：首先连接OC，由BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，且∠BDC=110°，可求得∠BOC的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．解答：解：连接OC，∵BD，CD分别是过⊙O上点B，C的切线，∴OC⊥CD，OB⊥BD，∴∠OCD=∠OBD=90°，∵∠BDC=110°，∴∠BOC=360°﹣∠OCD﹣∠BDC﹣∠OBD=70°，∴∠A=∠BOC=35°．故答案为：35．点评：此题考查了切线的性质以及圆周角定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．13．（3分）（2014?青岛）如图，在等腰梯形ABCD中，AD=2，∠BCD=60°，对角线AC平分∠BCD，E，F分别是底边AD，BC的中点，连接EF．点P是EF上的任意一点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为2．考点：轴对称-最短路线问题；等腰梯形的性质．分析：要求PA+PB的最小值，PA、PB不能直接求，可考虑转化PA、PB的值，从而找出其最小值求解．解答：解：∵E，F分别是底边AD，BC的中点，四边形ABCD是等腰梯形，∴B点关于EF的对称点C点，∴AC即为PA+PB的最小值，∵∠BCD=60°，对角线AC平分∠BCD，∴∠ABC=60°，∠BCA=30°，∴∠BAC=90°，∵AD=2，∴PA+PB的最小值=AB?tan60°=．故答案为：2．点评：考查等腰梯形的性质和轴对称等知识的综合应用．综合运用这些知识是解决本题的关键．14．（3分）（2014?青岛）如图，是由一些小立方块所搭几何体的三种视图，若在所搭几何体的基础上（不改变原几何体中小立方块的位置），继续添加相同的小立方块，以搭成一个大正方体，至少还需要54个小立方块．考点：由三视图判断几何体．分析：首先根据该几何体的三视图确定需要的小立方块的块数，然后确定搭成一个大正方体需要的块数．解答：解：由俯视图易得最底层有7个小立方体，第二层有2个小立方体，第三层有1个小立方体，那么共有7+2+1=10个几何体组成．若搭成一个大正方体，共需4×4×4=64个小立方体，所以还需64﹣10=54个小立方体，故答案为：54．点评：考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．15．（4分）（2014?青岛）已知：线段a，∠α．求作：△ABC，使AB=AC=a，∠B=∠α．考点：作图—复杂作图．分析：首先作∠ABC=α，进而以B为圆心a的长为半径画弧，再以A为圆心a为半径画弧即可得出C的位置．解答：解：如图所示：△ABC即为所求．点评：此题主要考查了复杂作图，得出正确的作图顺序是解题关键．四、解答题（本题满分74分，共有9道小题）16．（8分）（2014?青岛）（1）计算：÷；（2）解不等式组：．考点：解一元一次不等式组；分式的乘除法．分析：（1）首先转化为乘法运算，然后进行约分即可；（2）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．解答：解：（1）原式===；（2）解不等式①，得x＞．解不等式②，得x＜3．所以原不等式组的解集是＜x＜3．点评：本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x ＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．17．（6分）（2014?青岛）空气质量状况已引起全社会的广泛关注，某市统计了2013年每月空气质量达到良好以上的天数，整理后制成如下折线统计图和扇形统计图．根据以上信息解答下列问题：（1）该市2013年每月空气质量达到良好以上天数的中位数是14天，众数是13天；（2）求扇形统计图中扇形A的圆心角的度数；（3）根据以上统计图提供的信息，请你简要分析该市的空气质量状况（字数不超过30字）．考点：折线统计图；扇形统计图；中位数；众数．分析：（1）利用折线统计图得出各数据，进而求出中位数和众数；（2）利用（1）中数据得出空气为优的所占比例，进而得出扇形A的圆心角的度数；（3）结合空气质量进而得出答案．解答：解：（1）由题意可得，数据为：8，9，12，13，13，13，15，16，17，19，21，21，最中间的是：13，15，故该市2013年每月空气质量达到良好以上天数的中位数是14天，众数是13天故答案为：14，13；（2）由题意可得：360°×=60°．答：扇形A的圆心角的度数是60°．（3）该市空气质量为优的月份太少，应对该市环境进一步治理，合理即可．点评：此题主要考查了折线统计图以及中位数和众数的概念，利用折线统计图分析数据是解题关键．18．（6分）（2014?青岛）某商场为了吸引顾客，设立了可以自由转动的转盘（如图，转盘被均匀分为20份），并规定：顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色、绿色区域，那么顾客就可以分别获得200元、100元、50元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券30元．（1）求转动一次转盘获得购物券的概率；（2）转转盘和直接获得购物券，你认为哪种方式对顾客更合算？考点：概率公式．分析：（1）由转盘被均匀分为20份，转动一次转盘获得购物券的有10种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先求得指针正好对准红色、黄色、绿色区域的概率，继而可求得转转盘的情况，继而求得答案．解答：解：（1）∵转盘被均匀分为20份，转动一次转盘获得购物券的有10种情况，∴P（转动一次转盘获得购物券）==．（2分）（2）∵P（红色）=，P（黄色）=，P（绿色）==，∴（元）∵40元＞30元，∴选择转转盘对顾客更合算．（6分）点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19．（6分）（2014?青岛）甲、乙两人进行赛跑，甲比乙跑得快，现在甲让乙先跑10米，甲再起跑．图中l1和l2分别表示甲、乙两人跑步的路程y（m）与甲跑步的时间x（s）之间的函数关系，其中l1的关系式为y1=8x，问甲追上乙用了多长时间？考点：一次函数的应用．分析：设l2表示乙跑步的路程y（m）与甲跑步的时间x（s）之间的函数关系为y2=kx+b，代入（0，10），（2，22）求得函数解析式，进一步与l1的关系式为y1=8x联立方程解决问题．解答：解：设y2=kx+b（k≠0），代入（0，10），（2，22）得解这个方程组，得所以y2=6x+10．当y1=y2时，8x=6x+10，解这个方程，得x=5．答：甲追上乙用了5s．点评：本题考查了一次函数的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意结合图象说出其图象表示的实际意义，这样便于理解题意及正确的解题．20．（8分）（2014?青岛）如图，小明想测山高和索道的长度．他在B处仰望山顶A，测得仰角∠B=31°，再往山的方向（水平方向）前进80m至索道口C处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE=39°．（1）求这座山的高度（小明的身高忽略不计）；（2）求索道AC的长（结果精确到0.1m）．（参考数据：tan31°≈，sin31°≈，tan39°≈，sin39°≈）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：（1）过点A作AD⊥BE于D，设山AD的高度为xm，在Rt△ABD和Rt△ACD中分别表示出BD和CD的长度，然后根据BD﹣CD=80m，列出方程，求出x的值；（2）在Rt△ACD中，利用sin∠ACD=，代入数值求出AC的长度．解答：解：（1）过点A作AD⊥BE于D，设山AD的高度为xm，在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，tan31°=，∴BD=≈=x，在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，tan39°=，∴CD=≈=x，∵BC=BD﹣CD，∴x﹣x=80，解得：x=180．即山的高度为180米；（2）在Rt△ACD中，∠ADC=90°，sin39°=，∴AC==≈282.9（m）．答：索道AC长约为282.9米．点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是利用仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．21．（8分）（2014?青岛）已知：如图，?ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．（1）求证：△AOD≌△EOC；（2）连接AC，DE，当∠B=∠AEB=45°时，四边形ACED是正方形？请说明理由．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的判定．分析：（1）根据平行线的性质可得∠D=∠OCE，∠DAO=∠E，再根据中点定义可得DO=CO，然后可利用AAS证明△AOD≌△EOC；（2）当∠B=∠AEB=45°时，四边形ACED是正方形，首先证明四边形ACED是平行四边形，再证对角线互相垂直且相等可得四边形ACED是正方形．解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠D=∠OCE，∠DAO=∠E．∵O是CD的中点，∴OC=OD，在△ADO和△ECO中，，∴△AOD≌△EOC（AAS）；（2）当∠B=∠AEB=45°时，四边形ACED是正方形．∵△AOD≌△EOC，∴OA=OE．又∵OC=OD，∴四边形ACED是平行四边形．∵∠B=∠AEB=45°，∴AB=AE，∠BAE=90°．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．∴∠COE=∠BAE=90°．∴?ACED是菱形．∵AB=AE，AB=CD，∴AE=CD．∴菱形ACED是正方形．故答案为：45．点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及正方形的判定，关键是掌握对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．22．（10分）（2014?青岛）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？（每天的总成本=每件的成本×每天的销售量）考点：二次函数的应用．分析：（1）根据“利润=（售价﹣成本）×销售量”列出方程；（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；（3）把y=4000代入函数解析式，求得相应的x值；然后由“每天的总成本不超过7000元”列出关于x的不等式50（﹣5x+550）≤7000，通过解不等式来求x的取值范围．解答：解：（1）y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]=（x﹣50）（﹣5x+550）=﹣5x 2+800x﹣27500∴y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；（2）y=﹣5x2+800x﹣27500=﹣5（x﹣80）2+4500∵a=﹣5＜0，∴抛物线开口向下．∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，∴当x=80时，y最大值=4500；（3）当y=4000时，﹣5（x﹣80）2+4500=4000，解得x1=70，x2=90．∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．。
【2014烟台市一模】山东省烟台市2014届高三3月模拟数学(文)试题含解析
山东省烟台市高三统一质量检测考试数学（文科）试卷第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合}032|{2<--=x x x M ，2{|log 0}N x x =<，则N M 等于（ ） A ．)0,1(-B ．)1,1(-C ．)1,0(D ．)3,1(2.若复数z 的实部为1，且||2z =，则复数z 的虚部是（ ）A ．．． D3.若命题:p α∃∈R ，cos()cos παα-=；命题:q ∀R ∈x ，012>+x . 则下面结论正确的是（ ）A.p 是假命题B.q ⌝是真命题 C.p ∧q 是假命题 D.p ∨q 是真命题 【答案】D 【解析】试题分析：由cos()cos παα-=得，cos cos ,cos 0,,2k k Z πααααπ-===+∈，所以，p 是真命题；又012>+x 恒成立，所以，q 是真命题；因此，p ∨q 是真命题，故选D ．考点：简单逻辑联结词，存在性命题，全称命题.4.若函数()21,1ln ,1x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩， 则((e))f f =（其中e 为自然对数的底数） （ ）A ．0B ．1C ．2 D.2ln(e 1)+5.若一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】D 【解析】试题分析：观察三视图可知，该三棱锥底面BCD 是直角三角形，CD BC ⊥,侧面,ABC ABD 是直角三角形；由CD BC ⊥，CD AB ⊥,知CD ABC ⊥平面，CD AD ⊥，侧面ACD 也是直角三角形， 故选D ..考点：三视图，几何体的结构特征.6.在等差数列}{n a 中，12012a =- ，其前n 项和为n S ，若2012102002201210S S -=，则2014S 的值等于 （ ） A.2011 B. -2012 C.2014 D. -20137.如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[)4050，，[)5060，，[)6070，，[)7080，，[)8090，，[]90100，，则图中x 的值等于 （ ）A ．0.12B ．0.18．0.012 D ．0.018【答案】D 【解析】试题分析：由频率分布直方图，(0.0060.0060.010.0540.006)101x +++++⨯=， 所以，0.018x =，故选D ． 考点：频率分布直方图8.函数x x y sin =在[]ππ,-上的图象是（ ）【答案】A 【解析】试题分析：函数x x y sin =是偶函数，所以，其图象关于y 轴对称，排除D ； 由x π=时，0y =，排除C ； 由 2x π=时，2y π=，排除B ；选A .考点：函数的奇偶性，函数的图象.9.若函数()2sin()(214)84f x x x ππ=+-<<的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点，则=⋅+)(（其中O 为坐标原点） （ ）A ．32-B ．32C ．72-D ．7210.对任意实数,m n ，定义运算m n am bn cmn *=++，其中c b a ,,为常数，等号右边的运算是通常意义的加、乘运算．现已知12=4*，23=6*，且有一个非零实数t ，使得对任意实数x ，都有x t x *=，则t =（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.若直线10ax by -+=平分圆22:241C x y x y ++-+0=的周长,则ab 的取值范围是 .12.若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的i 值为 .13.已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥≤+-042042k y x y y x ，且目标函数y x z +=3的最小值为1-，则实常数=k .【答案】9 【解析】试题分析：画出可行域及直线03=+y x ，如图所示.平移直线03=+y x 可知，当其经过直线2y =与直线40x y k -+=的交点(8,2)A k -时，y x z +=3的最小值为1-，所以3(8)21,9k k -+=-=故答案为9．考点：简单线性规划的应用14.对大于或等于2的正整数的幂运算有如下分解方式：3122+= 53132++= 753142+++= … 5323+= 119733++= 1917151343+++= …根据上述分解规律，若115312++++= m ，3p 的分解中最小的正整数是21，则=+p m .∵3p 的分解中最小的数是21， ∴33p 5p 5==，，m p 6511∴+=+=,故答案为11.考点：归纳推理，等差数列的求和.15.已知抛物线24y x =的准线与双曲线22221x y a b-=的两条渐近线分别交于A ，B两点，且||AB =，则双曲线的离心率e 为.三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）全国第十二届全国人民代表大会第二次会议和政协第十二届全国委员会第二次会议，2014年3月在北京开幕．期间为了了解国企员工的工资收入状况，从108名相关人员中用分层抽样方法抽取若干人组成调研小组，有关数据见下表：（单位：人）（1）求x ，y ；（2）若从中层、高管抽取的人员中选2人，求这二人都来自中层的概率．选中的2人都来自中层的事件包含的基本事件有：12(,)b b ，13(,)b b ，23(,)b b 共3种. 由古典概型概率的计算公式即得.17.（本小题满分12分）已知函数27()sin 22sin 1()6f x x x x π⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭R ， （1）求函数()f x 的周期及单调递增区间；（2）在ABC ∆中，三内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，已知函数()f x 的图象经过点1,,,,2A b a c ⎛⎫ ⎪⎝⎭成等差数列，且9AB AC ⋅=，求a 的值. 【答案】（1）最小正周期：22T ππ==， 递增区间为：[,]()36k k k Z ππππ-+∈;（2）a =【解析】试题分析：首先应用和差倍半的三角函数公式，化简得到()f x sin(2)6x π=+（1）最小正周期：22T ππ==，利用“复合函数的单调性”，求得()f x 的单调递增区间[,]()36k k k Z ππππ-+∈; （2）由1()sin(2)62f A A π=+=及0<A<π可得3A π=, 根据,,b a c 成等差数列，得2a b c =+， 根据1cos 9,2AB AC bc A bc ⋅=== 得18bc =，应用余弦定理即得所求. 试题解析：2711()sin(2)2sin 1cos 22cos 2cos 2262222f x x x x x x x x π=--+=-++=+ sin(2)6x π=+ ………………………………………………3分18.（本题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90,ADC BA BC ∠==.把BAC ∆沿AC 折起到PAC ∆的位置，使得P 点在平面ADC 上的正投影O 恰好落在线段AC 上，如图2所示，点E F 、分别为棱PC CD 、的中点.（1）求证：平面//OEF 平面APD ；（2）求证：CD ⊥平面POF ；（3）若3,4,5AD CD AB ===，求四棱锥E CFO -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.（3【解析】试题分析：（1）因为点P 在平面ADC 上的正投影O 恰好落在线段AC 上，所以PO ⊥平面ABC ，PO ⊥AC ；由AB BC =，知O 是AC 中点，得到//OE PA ， //OE PAD 平面；同理//OF PAD 平面；根据,OE OF O OE OF OEF =⊂、平面，得到平面//OEF 平面PDA .所以平面//OEF 平面PDA …………………5分19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a +=，数列{}n b 满足11b =，且12n n b b +=+.（1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式；（2）设1(1)1(1)22n nn n n c a b --+-=-，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．∴{}n a 是等比数列，公比为2，首项12a =， ∴2n n a =. ………3分由12n n b b +=+，得{}n b 是等差数列，公差为2. ……………………4分 又首项11=b ，∴ 21n b n =-. ……………………………6分（2）2(21)n n c n ⎧=⎨--⎩ 为偶数为奇数n n ……………………8分3212222[37(41)]n n T n -=+++-+++- ……………10分 2122223n n n +-=--． ……………………………12分 考点：等差数列、等比数列的通项公式及其求和公式，“分组求和法”.20.（本小题满分13分）已知函数+1()ln +1a f x x ax x=+-. （1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；（2）当102a -≤≤时，讨论()f x 的单调性. 【答案】（1）ln20x y -+=（2）当0a =时，在(0,1),()f x 单调递减，在'(1,)()0f x +∞>,()f x 单调递增； 当12a =-时,在(0,)+∞单调递减 当102a -<<时，在1(0,1),(,)a a +-+∞()f x 单调递减，()f x 在1(1,)a a -单调递增； 【解析】试题分析：（1）利用切点处的导函数值是切线的斜率，应用直线方程的点斜式即得；（2）2'222111(1)(1)()a ax x a ax a x f x a x x x x ++--++-=+-==， ……6分 当0a =时，'21()x f x x-=，此时，在'(0,1)()0f x <,()f x 单调递减， 在'(1,)()0f x +∞>,()f x 单调递增； …………………………… 8分 当102a -≤<时，'21()(1)()a a x x a f x x++-=， 当11a a +-=即12a =-时2'2(1)()02x f x x-=-≤在(0,)+∞恒成立， 所以()f x 在(0,)+∞单调递减； …………………………………10分 当102a -<<时，11a a +->，此时在'1(0,1),(,)()0a f x a+-+∞<,()f x 单调递减，()f x 在'1(1,)()0a f x a->单调递增； ………………………………12分 综上所述：当0a =时，()f x 在(0,1)单调递减，()f x 在(1,)+∞单调递增； 当102a -<<时， ()f x 在1(0,1),(,)a a -+∞单调递减，()f x 在1(1,)a a-单调递增； 当12a =-时()f x 在(0,)+∞单调递减. ……………………………………13分 考点：应用导数研究函数的单调性，导数的几何意义，直线方程的点斜式.21.(本题满分l4分) 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 经过点(1,2P ，且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若线段AB 的垂直平分线经过点1(0,)2-，求AOB ∆ （O 为原点）面积的最大值.试题解析：（1）∵椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的两焦点与短轴的两个端点的连线构成正方形，∴a =， ∴222212x y b b+=， …………2分又∵椭圆经过点P ，代入可得21b =， ∴故所求椭圆方程为22 1.2x y += …………4分12|||AB x x =-=所以1=||||2AOB S AB d ∆考虑到2212k t +=且02t <<化简得到AOB S ∆…………………13分 因为02t <<，所以当1t =时，即k =时，AOB S ∆综上，AOB ∆面积的最大值为. …………………14分 考点：椭圆的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，三角形面积公式.。
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第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若集合2{|02},{|1}A x x B x x =≤≤=>，则A B = （ ） A ．{|01}x x ≤≤
B ．{|0x x >或1}x <-
C ．{|12}x x <≤
D ．{|02}x x <≤
2.已知向量(1,2)a =- ,(3,)b m =
,R m ∈,则“6m =-”是“//()a a b + ”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
3.右图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为（ ）
A ．11
B ．11.5
C ．12
D ．12.5
4.双曲线
22
145
x y -=的渐近线方程为（ ）
A ．y x =
B ．y x =
C ．y x =
D ．y x =
5.执行右图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）
A ．5
B ．7
C ．9
D ．11
6.函数2
2cos ()2
y x π
=+图象的一条对称轴方程可以为（ ）
A ．4
x π
=
B ．3
x π
=
C ．3
4
x π=
D ．x π=
7.过点(1P 作圆221O x y ：＋＝的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长||AB =（ ）
A
B ．2 C
D ．4
8.已知实数y x ,满足约束条件0
4340
x x y y >⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，则1y w x +=的最小值是（ ）
A ．2-
B ．2
C ．1-
D ．1
观察图形可知PA 的斜率最小为
10
101
--=-，故选D . 考点：简单线性规划的应用，直线的斜率计算公式.
9.由曲线1xy =，直线,3y x x ==所围成封闭的平面图形的面积为 （ ） A ．
32
9
B ．4ln 3-
C ．4ln 3+
D ．2ln 3-
10.在实数集R 中定义一种运算“*”，对任意,R a b ∈，a b *为唯一确定的实数，且具有性质： （1）对任意R a ∈，0a a *=；
（2）对任意,R a b ∈，(0)(0)a b ab a b *=+*+*．
关于函数1
()()x
x f x e e
=*
的性质，有如下说法：①函数)(x f 的最小值为3；②函数)(x f 为偶函数；③函数)(x f 的单调递增区间为(,0]-∞．
其中所有正确说法的个数为（ ） A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C 【解析】
试题分析：由题意可知1111()()1x
x x x
x x x x
f x e e e e e e e e =*
=++=++.
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11.已知
2a i
b i i
+=+（R a b ∈，），其中i 为虚数单位，则a b += .
12.已知随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，若(1)P a ξ>=，a 为常数,则(10)P ξ-≤≤= .
13.二项式6
2
1()x x -展开式中的常数项为 . 【答案】15 【解析】
14.如图所示是一个四棱锥的三视图，则该几何体的体积为 .
15.已知函数21
3
,1()log , 1x x x f x x x ⎧-+≤⎪
=⎨>⎪⎩ ，()|||1|g x x k x =-+-，若对任意的12,R x x ∈，都有12()()
f x
g x ≤成立，则实数k 的取值范围为
.
三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16.（本小题满分12分）在ABC ∆中, c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且2cos cos (tan tan 1)1A C A C -=.
（Ⅰ）求B 的大小; （Ⅱ）若2
a c +=
，b =求ABC ∆的面积.
∴
1
cos
2
B=，又0Bπ
<<
17.（本小题满分12分）2013年6月“神舟”发射成功．这次发射过程共有四个值得关注的环节，即发
射、实验、授课、返回．据统计，由于时间关系，某班每位同学收看这四个环节的直播的概率分别为3
4
、
1
3
、
1 2、
2
3
，并且各个环节的直播收看互不影响．
（Ⅰ）现有该班甲、乙、丙三名同学，求这3名同学至少有2名同学收看发射直播的概率; （Ⅱ）若用X表示该班某一位同学收看的环节数,求X的分布列与期望．
18.（本题满分12分） 如图几何体中，四边形ABCD 为矩形，24AB BC ==，DE AE CF BF ===，
2EF =，//EF AB ，CF AF ⊥.
（Ⅰ）若G 为FC 的中点，证明：//AF 面BDG ； （Ⅱ）求二面角A BF C --的余弦值.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
1
5 .
19.（本小题满分12分）已知{}n a 是等差数列，首项31=a ，前n 项和为n S .令(1)(N )n n n c S n *=-∈,{}n c 的前20项和20330T =.数列}{n b 是公比为q 的等比数列，前n 项和为n W ，且12b =，39q a =. （Ⅰ）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （Ⅱ）证明：1(31)(N )n n n W nW n *
++≥∈. 【答案】(Ⅰ) 3n a n =，1
23
n n b -=⋅；(Ⅱ)见解析.
下面用数学归纳法证明：当2n ≥时，321n
n >+
20.（本小题满分13分） 已知椭圆1C 的中心为原点O ，离心率e =，其一个焦点在抛物线2:C 22y px =
的准线上，若抛物线2C 与直线: 0l x y -=相切． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）当点(,)Q u v 在椭圆1C 上运动时，设动点(,)P v u u v 2-+的运动轨迹为3C ．若点T 满足：
OT MN OM ON =+2+u u u r u u u r u u u r u u u r ，其中,M N 是3C 上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为1
-2
，试说明：是否存
在两个定点,F F 12，使得TF TF 12+为定值？若存在，求,F
F 12的坐标；若不存在，说明理由．
21.（本小题满分14分）
已知函数()ln f x ax x =+，函数()g x 的导函数()x
g x e '=，且(0)(
1)g g e '=，其中e 为自然对数的底数．
（Ⅰ）求()f x 的极值；
（Ⅱ）若(0,)x ∃∈+∞，使得不等式()g x
<
成立，试求实数m 的取值范围； （Ⅲ） 当0a =时，对于(0,)x ∀∈+∞，求证：()()2f x g x <-．。