15.1.2 图形平移的特征
平移基本性质三个要点平移作图的步骤平移只改变图形的位置方向和大小都不变
一、平移作图的步骤（1）找出能表示图形的关键点；（2）确定平移的方向和距离；（3）按平移的方向和距离确定关键点平移后的对应点；（4）按原图的顺序，连结各对应点。
二、平移定义：将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
平移是图形变换的一种基本形式。
平移不改变图形的形状和大小，平移可以不是水平的。
1、定义：将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。
平移是图形变换的一种基本形式。
平移不改变图形的形状和大小，平移可以不是水平的。
2、性质：经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；注：平移变换不改变图形的形状、大小和方向（平移前后的两个图形是全等形）。
三、平移基本性质：经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；平移变换不改变图形的形状、大小和方向(平移前后的两个图形是全等形)。
（1）图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化;（2）图形平移后，对应点连成的线段平行（或在同一直线上）且相等（3）多次连续平移相当于一次平移。
（4）偶数次对称后的图形等于平移后的图形。
（5）平移是由方向和距离决定的。
这种将图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的位置移动，叫做图形的平移运动，简称为平移平移的条件：确定一个平移运动的条件是平移的方向和距离。
四、平移的三个要点1 原来的图形的形状和大小和平移后的图形是全等的。
2 平移的方向。
（东南西北，上下左右,东偏南n度，东偏北n度，西偏南n度，西偏北n度）3 平移的距离。
（长度，如7厘米，8毫米等）五、平移作用：1.通过简单的平移可以构造精美的图形。
也就是花边，通常用于装饰，过程就是复制平移粘贴。
2.平移长于平行线有关,平移可以将一个角,一条线段,一个图形平移到另一个位置,是分散的条件集中到一个图形上,使问题得到解决。
几何变换的特点认识平移旋转和对称的性质
几何变换的特点认识平移旋转和对称的性质几何变换的特点：认识平移、旋转和对称的性质几何变换是数学中对图形进行变换、移动或者改变形状的操作。
它是研究几何性质和图像的重要方法之一。
本文将重点讨论几何变换中的平移、旋转和对称三种基本变换，并阐述它们的特点和性质。
一、平移平移是指将图形在平面上沿着某个方向移动一定的距离，保持图形内部各点之间的相对位置不变。
平移的特点有：1. 平移是保形变换，即图形的形状不发生改变，只是位置发生了移动。
例如，一个正方形经过平移后仍然是一个正方形。
2. 平移是等距变换，即原图形和移动后的图形之间的距离保持不变。
例如，一个直角三角形经过平移后，各边之间的夹角大小不变。
3. 平移满足能够叠加的性质，即若干次平移变换的次序可以改变，但最终的结果是相同的。
例如，图形先向右平移再向上平移，与先向上平移再向右平移的结果是相同的。
二、旋转旋转是指将图形围绕某个点进行旋转，使得图形的各点相对于旋转中心点保持一定的角度不变。
旋转的特点有：1. 旋转同样是保形变换，即图形的形状不发生改变，只是位置和旋转方向发生变化。
例如，一个正三角形经过旋转后仍然是一个正三角形。
2. 旋转是等角变换，即旋转前后的角度大小保持不变。
例如，一个矩形经过旋转后，各个顶点之间的角度大小仍然相等。
3. 旋转也满足能够叠加的性质，即若干次旋转变换的次序可以改变，但最终的结果是相同的。
例如，图形先顺时针旋转90°再逆时针旋转90°，与先逆时针旋转90°再顺时针旋转90°的结果是相同的。
在旋转中，旋转中心点的选择对于结果有重要影响。
三、对称对称是指图形围绕某条直线或者点对称，使得图形在这条直线或者点上的两侧是完全相同的。
对称的特点有：1. 对称是保形变换，即图形的形状不发生改变，只是位置发生了变化。
例如，一个圆经过对称后仍然是一个圆。
2. 对称是等距变换，即对称前后图形内部各点之间的距离保持不变。
15.1.2平移和特征
15.1.2平移的特征教学目标：1、知道平移后的图形与原图形的对应角相等；对应线段平行且相等；2、对应点的连线平行且相等；对应线段也可能在一条直线上；3、对应点的连线也可能在一条直线上。
复习导入：我们已经知道平移的定义：。
还知道，平移是由移动的和移动的决定的。
那么，平移后的图形有何特征呢？课堂研讨：你能用自己的话说一说平移的特征吗？概括：平移的特征：平移后的图形与原来的图形的对应线段，对应角，图形的形状与都没有发生变化。
注意：对应线段也可能在一条直线上。
（如图中的B´C´与BC）。
探索1：观察下图，△ABC沿着PQ的方向平移到△A’B’C’的位置，除了对应线段平行并且相等以外，你还发现了什么现象？点的平移：A→A´，B→B´，C→C´。
AA´//（）// （）；AA´=（）=（）。
平移后对应点所连的线段等。
探索2：用平移方法说明怎样得出平行四边形的面积公式S=ah。
你还有何发现呢?结论：对应点所连的线段也可能在一条直线上。
（如BC和EF）当堂检测：1、在如图的方格中，画出ΔABC向右平移5格后的ΔA´B´C´，然后再画出ΔA´B´C´向上平移2格的ΔA´´B´´C´´，ΔA´´B´´C´´是否可以看成是ΔABC经过一次平移而得到的呢？如果是，那么平移的方向和距离分别是什么呢？2、如图,在纸上画∆ABC和两条平行的对称轴m、n,画出∆ABC关于直线m对称的∆A'B'C ',再画出∆A'B'C'关于直线n对称的∆A”B”C”。
观察∆ABC和∆A”B”C”,你能发现这两个三角形有什么关系吗?归纳总结：平移后的图形与原图形的：1、对应角；2、对应线段；3、对应点的连线；4、对应线段也可能在上；5、对应点的连线也可能在上。
图形的平移应注意什么规律
图形的平移应注意什么规律图形的平移是指沿着平行方向将图形的每个点移动相同的距离。
在进行图形平移时，需要注意以下几个规律：1. 平移向量的选择：平移向量是指平移的方向和距离。
对于二维平面上的图形平移，平移向量通常用一个有序对表示，即(Δx,Δy)。
其中Δx表示在x轴方向的平移距离，Δy表示在y轴方向的平移距离。
根据平移向量的选择不同，图形的平移效果也会有所不同。
2. 物体的每个顶点都沿着平行方向移动：在进行图形平移时，要确保图形的每个顶点都按照相同的平移向量进行移动，以保持图形的整体形状不变。
如果只有部分点进行平移，那么最终的结果将不是一个平移的图形。
3. 平移前后的距离关系保持不变：进行图形平移时，图形上各个点之间的距离关系应保持不变。
平移不会改变图形内部的角度和比例关系，只是改变了图形的位置。
4. 平移后的图形与平移前的图形相似：进行图形平移后，平移前后的图形应该是相似的。
两个相似的图形在形状上是一致的，只是大小和位置不一样。
平移只改变图形的位置，不改变其形状。
5. 平移是一个可逆操作：平移操作是可以逆向操作的，即平移的逆操作就是反向平移。
如果已知平移后的图形，可以通过反向平移将其恢复到原来的位置。
6. 平移法则：平移操作满足平移法则，即两次平移操作可以用一次平移来表示。
比如，将一个图形先向右平移a单位，再向上平移b单位，等效于将该图形向右上平移(a,b)单位。
7. 平面上的任意点都可以视为一个平移变换的结果：根据平移的定义，平面上的任意点都可以视为一个图形平移到该点的结果。
这是因为图形平移仅仅是将每个点按照平移向量进行移动，而无需在平面上的特定位置上存在一个图形。
8. 平移变换可以与其他变换组合：平移变换可以与其他变换如旋转、缩放等组合使用，组合变换后的效果是将图形在平移的基础上进行了其他变换。
总之，图形的平移是对图形进行移动的一种操作。
在进行图形平移时，需要注意选择适当的平移向量，确保图形的每个顶点都按照相同的平移向量进行移动，保持距离关系和形状的不变性，以及了解平移操作的基本性质和规律。
平移教案
华师大版八年级数学上册15.1.2《平移的特征》教案教学目标：（一）知识与技能目标1.理解平移的特征。
2.能根据所给条件作简单的平面图形平移后的图形。
（二）过程与方法目标经历欣赏，观察，探索，操作等活动探索平移的基本特征，并加以理解。
（三）情感、态度与价值观目标在观察，操作，推理等探索过程中体验数学活动充满探索性和创造性。
通过运用平移等手段进行图案设计，认识和欣赏这些图形变换在现实生活中的应用。
教学重点：探索理解平移的特征。
教学难点：将图形按指定要求进行平移变换。
教学准备：（一）教具多媒体课件活页练习（二）学具直尺或三角板教学过程：（一）.创设情境，导入新课。
多媒体展示两组运用平移手段制作的图片，学生仔细欣赏图片，产生“美”的共鸣。
师问：这么美丽的图片是怎样设计出来的呢？（或怎么用“平移”这一基本的图形变换来设计美丽的图片呢？）老师：今天我们学习了《平移的特征》这节课，就能利用平移设计出美丽的图案了。
【板书课题：15.1.2 平移的特征】（二）观察理解，探索规律。
1.多媒体演示用直尺和三角板画平行线。
学生观察图形，思考问题：（1）△A'B'C'是△ABC经过怎样的图形变换得到的？学生回答.【板书：平移】师问：经过平移，图形的形状、大小、位置是否发生变化？学生回答.【板书：图形的形状、大小不变位置改变】老师：平移前后，两个图形的对应元素又有什么关系呢？请同学们认真观察图形，找出平移前后两个图形对应线段、对应角。
师问：两个图形之间的对应线段有什么位置关系？有什么数量关系？两个图形之间的对应角有什么关系？学生思考，合作交流后，找代表回答，再找其他同学补充。
【老师板书：平移后的图形与原图形的对应线段平行（或在同一条直线上），并且相等；对应角相等。
】2.多媒体演示△ABC沿着由P到Q的方向平移到△A'B'C'的位置。
学生观察图形，老师提问：对应点所连的线段AA'、BB'、CC'之间有什么位置关系？有什么数量关系？学生思考，合作交流后，找代表回答，再找其他同学补充。
平移的特点有哪三种不变
平移的特点有哪三种不变
平移前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变。
新图形与原图形的对应点所连的线段平行且相等(或在同一直线上）。
新图形与原图形的对应线段平行且相等，对应角相等。
1
(1)图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化。
(2)图形平移后，对应点连成的线段平行（或在同一直线上）且相等。
(3)多次连续平移相当于一次平移。
(4)偶数次对称后的图形等于平移后的图形。
(5)平移是由方向和距离决定的。
(6)经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行（或共线）且相等。
2
(1)原来的图形的形状和大小和平移后的图形是全等的。
(2)平移的方向。
（东南西北，上下左右，东偏南n度，东偏北n 度，西偏南n度，西偏北n度）
(3)平移的距离。
（长度，如7厘米，8毫米等）。
中考数学《轴对称》知识点：图形的平移定义
中考数学《轴对称》知识点：图形的平移定义
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中考数学《轴对称》知识点：图形的平移定义
(1)平移的定义：在平面内，将一个图形整体沿某一方向由一个位置平移到另一个位置，图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移，平移前后互相重合的点叫做对应点。
(2)平移的性质：
①对应点的连线平行(或共线)且相等
②对应线段平行(或共线)且相等，平移前后的两条对应线段的四个端点所围成的四边形为平行四边形(四个端点共线除外)
③对应角相等，对应角两边分别平行，且方向一致。
(3)用坐标表示平移：如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，纵坐标不变，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长;如果把一个图形各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，横坐标不变，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长。
(4)平移的条件：图形的原来位置、方向、距离。
平移的特征
§15.1.2 平移的特征一、教学目标：1.通过动手操作，探索确定平移后的图形与原图形的三个特征：（1）对应线段平行（或在一条直线上）且相等；对应角相等，（2）对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等，（3）图形在平移后形状和大小都不变；2.利用平移的特征，能将一些简单的图形，按要求平移到适当的位置。
二、教学重点、难点重点：探索确定平移后的图形与原图形的三个特征。
难点：平移特征的应用，体会数学学习中“转化”思想的重要性三、教学方法本节课采用“观察演示，引导发现”的方法来进行教学，教会学生自主探索的学习方法。
四、教具准备多媒体课件五、教学过程1.【创设情境】请同学们欣赏课件演示，由学生指出这就是物体的平移，并回顾旧知识。
2.【导入新课】：那么，物体的平移还具有怎样的特征呢？这节课我们继续来探讨平移的特征。
（通过欣赏图片，使学生带着对问题的兴趣进入本课的学习，同时将数学和生活联系在一起，让学生体会“数学知识来源于生活”）3.【展示学习目标】4．【引导探究】（课件展示问题1）平移后的图形和原来的图形对应线段位置关系如何？长度如何？对应角什么关系？平移后图形的形状、大小、位置都改变了吗？（1）独立思考；（2）前后四人为一小组进行讨论、交流并相互补充；①图形中有一些很容易观察出的结论，学生自己就能看出，因此先让学生独立思考，便于让每个同学都能在自己的探索过程中找到一定的成就感，从而获得进一步探索的信心和勇气。
②学生交流后进一步由学生概括出平移的特征。
平移后的图形与原来的图形的对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等；平移后图形的形状和大小都不变.（课件展示问题2）观察图15.1.6课本P68探索△ABC沿着PQ的方向平移到△A′B′C′的位置，除了对应线段平行且相等外，你还发现有哪些线段平行且相等？由学生概括得出平移的特征：平移后的图形与原来的图形对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；课件展示平移的三个特征。
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小结 :
平移的特征
(1)经平移运动后的图形 形状和大小不 经平移运动后的图形: 形状和大小不
图形的位置发生变化 变,图形的位置发生变化 图形的位置发生变化.
(2)平移后的图形与原来的图形的对应 平移后的图形与原来的图形的对应
线段平行并且相等(或在一条直线上 ， 线段平行并且相等 或在一条直线上)， 或在一条直线上 对应点所连的线段平行并且相等(或在一 对应点所连的线段平行并且相等 或在一 条直线上),对应角相等 对应角相等. 条直线上 对应角相等
经过多次平 移后的图形， 移后的图形， 可以通过一次 平移直接得到。 平移直接得到。 C″
试一试
A′ B′ C′ B″
A″
如图，在纸上画△ 和两条平行的 做 如图，在纸上画△ABC和两条平行的 对称轴m、 画出 画出△ 关于直线m对 关于直线 一 对称轴 、 n.画出△ABC关于直线 对 称的△ 再画出△ 做 称的△A′ B′ C′ ，再画出△A′ B′ C′关于 直线n对称的 对称的△ n 直线 对称的△A″ B″ C″A″ ．
2. 先将方格纸中的图形向左平移 格， 先将方格纸中的图形向左平移5格 然后再向下平移3格． 然后再向下平移 格
3. 将所给图形沿着 方向平移，平移 将所给图形沿着PQ方向平移 方向平移， 的距离为线段PQ的长 的长． 的距离为线段 的长．画出平移后的 新图形． 新图形．
P Q
利用平移设计图案、画图
探究新知
动手做一做：用三角板、直尺画平行线。 A 注意：直尺 是倾斜放置，用三角板 注意：直尺PQ是倾斜放置 是倾斜放置，
能否画出平行线？ 能否画出平行线？
P
B C B’ C’ Q
A’ 观察：线段AB与 观察：线段 与A’B’的 的
位置关系与数量关系， 位置关系与数量关系， ∠B与∠B’ 的关系呢？ 与 的关系呢？
在如图的方格纸中， 在如图的方格纸中，画出将图中的 △ABC向右平移 格后的△A′ B′ C′ ，然后再画 向右平移5格后的△ 向右平移 格后的 出将△ 向上平移2格后的 格后的△ 出将△A′ B′ C′向上平移 格后的△A″ B″ C″ . 是否可以看成是△ △A″ B″ C″是否可以看成是△ABC 经过一次平 移而得到的呢? 如果是， 移而得到的呢 是 如果是，那么平移的方向和 AA”, 距离分别是什么呢? 方向为AA 距离为根号29 距离分别是什么呢 方向为AA ,距离为根号29
练习
1. 如图，在长方形 如图，在长方形ABCD中，对角线 与 中 对角线AC与 BD相交于点 ，画出△AOB平移后的三角 相交于点O，画出△ 相交于点 平移后的三角 其平移方向为射线AD的方向 的方向， 形，其平移方向为射线 的方向，平移的 距离为线段AD的长 的长． 距离为线段 的长．
A O B C (B′ ) D (A′ ) (O′ )
A
从中发现:
P B C B’ A’
(1)AB∥A’B’ , AB=A’B’,A’C’, AC=A’C’, ∠C= ∠C’ ∥
Q
(3)BC与B’C’在同一直线上，且BC=B’C’， 与 在同一直线上， 在同一直线上 ， ∠A=∠A’
概括
平移后的图形与原来的图形的对应线段平行且 相等，对应角相等； 在平移过程中，对应线段也可能在一条直线上， 如BC与B’C’； 平移后图形的形状与大小都没有变化； 平移的方向是直尺PQ倾斜放置的方向， 平移的距离是BB’的长度。
探索
沿着PQ的方向平移到 的位置， △ABC沿着 的方向平移到 △A`B`C`的位置，除 沿着 的位置 了对应线段平行且相等外，你还发现了什么现象？ 了对应线段平行且相等外，你还发现了什么现象？
P A Q R
A′
B′
A
A`
B
M
M`
C S
C′
BC的中点 B` B 的中点 M平移到什 C 平移到什 C` 么地方去 S AA`//____//____ 了吗？ 了吗？ CC` BB`′′ A BB` CC` AA`=____=____
A
A′
B′
B C
C′
回顾
1. 什么叫平移 平移有何特点？ 什么叫平移?平移有何特点 平移有何特点？ (1)平移的定义 平移的定义 在平面内， 在平面内，将一个图形沿某个方向 平行移动一定的距离 这样的图形运动 一定的距离， 平行移动一定的距离，这样的图形运动 称为平移。 移动的方向和 称为平移。由移动的方向和移动的距离 所决定. 所决定 (2)平移的特点 平移的特点 经平移运动后的图形: 形状和大小不 经平移运动后的图形 形状和大小不 图形的位置发生变化 变,图形的位置发生变化 图形的位置发生变化.
m
A′
A C B C′ B′ B″
C″
观察△ 观察△ABC和△A″ B″ C″ ，你能发现这两个三 和 角形有什么关系吗? 角形有什么关系吗
△ABC和△A″ B″ C″是互相平移得到的 即经过偶数次轴对 和 ″ ″ ″ 互相平移得到的,即经过偶数次轴对 称的图形相当于经过一次平移而得. 称的图形相当于经过一次平移而得
C ′′
B′′
平移后对应点的连线平行且相等 平移后对应点的连线平行且相等
平移的特征： 平移的特征：
经过平移:对应线段平行且相等 或在一条 经过平移 对应线段平行且相等 (或在一条 直线上); 对应角相等. 直线上 对应角相等 对应点所连的线段平行且相等 (或在一条直线上 或在一条直线上); 或在一条直线上
D A E B
C
F
如图， 经过平移到△ 例 如图，△ABC经过平移到△A′ B′ C′的位 经过平移到 指出平移的方向，并量出平移的距离． 置．指出平移的方向，并量出平移的距离．
C′ B′ A′
由于点A与点 是一对对应点，因此， 与点A 解 由于点 与点 ′是一对对应点，因此，如 连结AA 平移的方向就是点A到点 到点A 图，连结 ′ ，平移的方向就是点 到点 ′的 方向，且平移的距离就是线段AA 的长度， 方向，且平移的距离就是线段 ′的长度，约 2.2厘米． 厘米． 厘米