“常微分方程”教学模式和方法的探讨——以初中起点六年制公费师范生小学教育(数学与应用数学)专业为例

“常微分方程”教学模式和方法的探讨———以初中起点六年制公费师范生小学教育（数学与应用数学）专业为例胡玲a ，汪政b（湖南第一师范学院 a.数学与计算科学学院，b.信息科学与工程学院，湖南长沙410205）摘要：初中起点六年制公费师范生因其特殊性导致小学教育（数学与应用数学）专业的学生基础薄弱，应用知识能力匮乏。

因此，在“常微分方程”课程教学中可采取合理选取教学内容、适当增加实例教学环节、尝试多种教学方法和手段以及培养学生自主学习能力的措施提高教学质量。

关键词：初中起点六年制；小学教育数学班；常微分方程；教学模式；教学方法中图分类号：G642文献标识码：A文章编号：1674-831X （2018）02-0071-04“常微分方程”是高等院校数学专业的一门重要核心基础课程，对培养学生数学思维能力和提高应用数学解决问题能力有重要指导意义，它也是学生进一步学习数学建模、微分几何等课程的前期基础。

许多学者就此课程的有效教学模式和方法进行了深入的探讨[1-2]。

有别于一般本科师范院校的数学与应用数学专业，湖南第一师范学院的初中起点六年制公费师范生是为支持湖南基础教育，面向小学教学而培养的定向师范生，其培养目标和培养模式具有鲜明特点。

为加强小学教师培养，输送小学优质师资，解决小学教师尤其是农村小学教师数量短缺、结构不合理等问题，促进城乡义务教育均衡发展和教育公平，从2010年起，在总结小学教师培养多年实践经验的基础上，湖南省在全国率先开展了初中起点六年制农村小学教师公费定向培养计划（以下简称“六年制”），为农村乡镇及以下小学定向培养本科学历的小学教师，并明确由享有“千年学府，百年师范”美誉的湖南第一师范学院（以下简称“湖南一师”）承担培养任务。

这项举措改革创新了小学教师培养模式，成为我国教师教育领域内的一项创举，被确定为国家教育体制改革试点项目[3]。

所谓“六年制”公费师范生，采用“初中起点，六年一贯，分科培养，综合发展”的培养模式，招生对象为应届初中毕业生，学制六年，学历层次为本科。

学籍管理“二四分段”，即前两年主要学习高中阶段的基础文化课，两年期满后参加当年普通高校招生对口升学考试，成绩合格者升入本科层次学习四年[4]。

时至今日，这一特色培养方式已赢得了专家学者们的广泛认可，为教育相对落后的广大农村乡镇输送了一批优秀的小学教师。

然而，六年制学生较之通过高考录取的本科生（以下简称高招生）年龄偏小，有着不同于高招生的心理和生理特点，所接受教育的背景也不相同。

面对这样的学生，如何真正做到因材施教，进一步深入完善这种创新的培养模式，是值得所有一师人思考的问题。

作为初中起点六年制本科小学教育（数学与应用数学）专业的核心必修课，“常微分方程”通常在六年制专业第四学年上学期讲授。

笔者作为长期从事该课程教学的一线教师，将结合六年制本科小学教育专业数学方向学生的特点，具体探讨适合该专业学生“常微分方程”课程的教学方法和模式。

收稿日期：2017-12-15作者简介：胡玲（1980-），女，湖南岳阳人，湖南第一师范学院讲师，主要从事小波理论分析与研究；汪政（1975-），男，湖南益阳人，湖南第一师范学院讲师，主要从事计算机应用研究。

Hunan First Normal 湖南学院学报71湖南学院学报第2期2018年一、初中起点六年制本科小学教育（数学与应用数学）专业“常微分方程”课程教学存在的问题“常微分方程”是六年制学生们普遍感觉比较难的一门课程，在实际教与学中，存在着许多问题和矛盾，这与该课程的特点以及六年制学生特殊的教育背景密切相关。

（一）学生先修课程基础薄弱“常微分方程”是“数学分析”“高等代数”和“解析几何”的应用和发展，对六年制学生前期课程的学习要求较高，但学生先修课程基础薄弱。

事实上，大部分六年制学生前期课程掌握情况非常不好，究其原因，主要有以下几个方面：1.薄弱的高中数学知识基础。

初中起点的六年制本科小学教育专业学习高中数学知识的时间被压缩成了两年，再加上相对普通高中更为宽松的学习环境（没有参加全国高考的压力）以及这个年龄段特殊的认知特点，学生在数学学习的态度以及时间投入上都远不及高招学生，一些基础而重要的数学知识因为课时量的限制得不到足够的重视甚至被删减，学生们的计算和推理能力没有得到非常充分的训练。

2.本科阶段前期所修基础课程底子薄。

数学分析、高等代数等高等数学知识是六年制学生在本科阶段首先学习的基础课程，然而，相对薄弱的高中数学基础，初入大学时学习环境的不适应以及学习方法和主动性的欠缺等诸多因素，造成六年制学生学习高等代数、数学分析等基础课程时的困难和知识掌握的不牢固，进一步影响了后续课程“常微分方程”的学习。

例如在求解各类微分方程时，要求学生能熟练计算函数的各阶导数，快速准确地使用各种积分技巧，但实际情况是，许多学生尚不能熟练计算一些比较常见的函数积分，计算准确度非常低。

常微分方程许多基本定理，如齐次线性微分方程（组）的通解结构，是建立在代数基本定理如线性方程组的相关理论之上，可是对于这些经典的代数理论如线性方程组解的结构等，很多学生已经模糊不清甚至完全不懂。

基础课程的薄弱成为制约六年制学生学习的最大困难，严重挫伤了学习该课程的兴趣和积极性，造成学习过程中的困难。

（二）课程难度大，教学方法不恰当“常微分方程”课程自身理论性强，内容抽象，具有严密的逻辑性，六年制学生学习难度大，部分任课教师教学未能根据学生实际情况正确处理教学内容和使用适合的教学方法。

虽然计算在“常微分方程”的教学内容中占了很大比例，但是其自身的理论和思想依然十分重要，这是深入理解该课程体系的关键。

例如一阶微分方程解的存在唯一性定理，线性微分方程（组）的通解结构等知识点，对于学生的逻辑和理论水平要求较高，这些定理六年制学生掌握起来有相当大的难度。

然而部分教师没有依据学生具体情况对教材相关内容进行适当处理，内容偏难。

例如有些任课老师在课堂上只是简单复述一下解的存在唯一性定理的主要内容，然后板书一下定理证明的五个步骤，没有阐述清楚为什么要分五步证明，也没有着重强调它与微分方程组或高阶微分方程解存在唯一性的相互关系。

教师讲课形式单一，主要采用传统的黑板讲授，老师讲、学生听的方式，课堂较沉闷。

教学设计初衷是想通过足够的理论熏陶让学生深入地理解课程内容，实际却事与愿违，造成学生学起来感到更加枯燥和吃力，没有达到最初的教学目标。

如何深入浅出地让六年制专业学生掌握这些逻辑性强而又抽象的定理，是教学中非常值得深入探讨的问题。

（三）学生应用知识能力匮乏在高等数学众多抽象的专业课程中，较之其他基础课程，“常微分方程”具有应用广泛的鲜明特点，该特点在教与学中易被忽视，学生应用知识能力匮乏。

常微分方程是自然科学、社会科学中精确描述各种基本定律和相关问题的重要工具和手段，是数学理论联系实际的重要渠道之一。

因此通过本课程的学习不仅应使学生了解和掌握微分方程自身的理论体系，还应该具备一定的应用微分方程解决实际问题的能力，为后继的各课程准备解决问题的方法和工具。

然而，在实际教与学中，往往忽视了常微分方程的应用特点。

任课教师只注重讲解微分方程的基本定理，强调一阶或者高阶微分方程的计算方法和技巧，甚少结合实际应用问题讲授如何分析、求解常见的微分方程模型。

有些任课教师虽会讲解少量的应用问题，但选取的内容要么具有过于复杂的应用背景，需要大量补充相关内容，导致教学节奏难以掌控，重难点不突出，要么过于简单，仅局限于几何方面的应用，无法真正充分展现常微分方程的应用特性。

这些原因导致了六年制学生学习时只注重计算和定理的证明，应用知识的能力没有得到足够的训练。

事实上，应用知识的能力本身就是六年制学72第2期2018年生的短板所在，许多学生见到应用型问题就产生畏难心理，逃避甚至放弃相关问题的学习。

然而，作为未来的小学教师，六年制专业的学生们只有自身应用知识的能力得到足够的培养和提高，才有能力在以后的教学生涯中构建更为符合素质教育的教学方式，将学以致用的理念贯穿整个教学过程，培养出热爱思考、综合素质高的小学生们。

二、初中起点六年制本科小学教育（数学与应用数学）专业“常微分方程”课程教学的改进（一）明确培养模式，根据培养目标和对象合理选取教学内容六年制人才培养“定格在本科，定性在教育，定向在小学”[3]。

根据这一目标，六年制学生的“常微分方程”课程教学内容应该与其他数学专业，如高招应用数学专业、信科专业的教学内容有所区别，目的是培养他们作为未来小学乡村小学教师所具备的基本专业素养和思想。

此外，如前所述，六年制学生数学基础相对较弱，年龄偏小。

故在教学过程中不能简单地将他们当作普通的数学专业本科生对待，讲课过于偏难偏抽象。

教学的目的不在于教给学生多少知识，而在于学生实际接受和掌握了多少知识。

第一，需结合实际情况，选择合适的优秀教材。

好的教材能让教与学少走弯路，事半功倍。

王高雄等编著的《常微分方程》（第三版）是目前国内大多数本科院校所使用的一本优秀教材[5]，内容丰富，涵盖常微分方程所有经典内容，叙述深入浅出，理论体系完善，同时提供了大量的实例模型和习题。

该教材配有包含详细课后习题解答、各章节重难点解析以及多种不同层次习题等丰富内容的辅导手册[6]，可以作为教材的良好补充和延续，为自主学习提供了有力帮助。

经实践证明，该教材适合六年制学生“常微分方程”课程的教学。

然而，这并不意味着不加斟酌的全盘讲授该教材内的所有内容，在实际教学中应特别注重讲授与小学教师基本数学素养的培养最为密切相关的内容，强调基本知识和技能的掌握，弱化或者舍去教材中较为前沿或难度较大的部分内容。

例如教材中的第六章关于定性和稳定性部分，虽为常微分理论体系中非常重要的部分，但难度和深度较之课程前部分内容有了进一步的提升，一般是为后续深入学习常微分方程做铺垫。

舍去该部分，不影响六年制学生对于整个课程基本知识和思想的理解。

第二，处理教学内容时还需要注意与先修课程的密切衔接，对于部分内容可以采用复习回顾与讲授新知识相结合的方法。

六年制学生自主学习能力较差，非常依赖任课教师，因此，在具体的教学过程中需要教师适时帮助学生对先修课程进行查漏补缺，教学节奏适当放慢。

例如在学习一阶微分方程求解方法时，可以首先简单复习回顾基本积分公式，结合具体的例题复习常用的积分方法和技巧。

在讲授线性微分微分方程（组）时，简要回顾代数线性方程解的性质，引导学生将线性微分方程（组）的解与代数线性方程组的解进行类比，分析异同。

（二）结合课程应用性特点，适当增加实例教学环节为充分展现“常微分方程”课程的应用特性，利用具体的实例教学，能使学生理论联系实际，更直观地理解微分方程中的基本理论知识，提高学生分析与解决问题的能力，增加学生学习兴趣。