2019高考数学大一轮复习 43三角函数的图象与性质课件 理 苏教版精品文档
高考数学大一轮复习 4.3三角函数的图象与性质教师用书 理 苏教版
§4.3 三角函数的图象与性质1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)． 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)常函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．( √ ) (2)y ＝sin x 在x ∈[0，π2]上是增函数．( √ )(3)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数．( × ) (4)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数．( × ) (5)y ＝k sin x ＋1(x ∈R )，则y max ＝k ＋1.( × ) (6)若sin x >22，则x >π4.( × )1．(2014·陕西改编)函数f (x )＝cos(2x －π6)的最小正周期是________．答案 π解析 最小正周期为T ＝2πω＝2π2＝π.2．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________. 答案 32解析 ∵f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时，y ＝sin ωx 是减函数． 由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∴ω＝32.3．(2013·湖北改编)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是________． 答案π6解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )，它关于y 轴对称可得 sin(π3＋m )＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵m >0，∴m 的最小值为π6.4．函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为________________． 答案 {x |－3≤x <－π2或0<x <π2}解析 由⎩⎪⎨⎪⎧sin 2x >0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<2x <2k π＋π，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x <－π2或0<x <π2.∴函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为 {x |－3≤x <－π2或0<x <π2}.题型一 求三角函数的定义域和值域例1 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________．(2)函数y ＝1tan x －1的定义域为_____________________．答案 (1)2－ 3 (2){x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z }解析 (1)利用三角函数的性质先求出函数的最值． ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1.∴y ∈[]－3，2，∴y max ＋y min ＝2－ 3. (2)要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z .故函数的定义域为{x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z }．思维升华 (1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：①形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋k 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；②形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；③形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(1)函数y ＝sin x －cos x 的定义域是________．(2)(2013·天津改编)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为________．答案 (1){x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋54π，k ∈Z } (2)－22解析 (1)要使函数有意义，必须有sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x ，同一坐标系中作出y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示．结合图象及正、余弦函数的周期是2π知，函数的定义域为{x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z }．(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π4，令y ＝2x －π4，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＝sin y 在y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－22. 题型二 三角函数的单调性、周期性 例2 写出下列函数的单调区间及周期： (1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3；(2)y ＝|tan x |.解 (1)y ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的增区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的减区间，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z .故所给函数的减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ；增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z .最小正周期T ＝2π2＝π.(2)观察图象可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，减区间是⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z .最小正周期T ＝π.思维升华 (1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”．(3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．(2014·北京)求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值． 解 ∵⎝⎛⎭⎪⎫π3＋4x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－4x ＝π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－4x＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x .∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，周期T ＝2π4＝π2. 当－π2＋2k π≤4x ＋π3≤π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递增，∴函数的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π24＋k π2，π24＋k π2 (k ∈Z )．当π2＋2k π≤4x ＋π3≤3π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递减， ∴函数的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z )．当x ＝π24＋k π2 (k ∈Z )时，y max ＝2；当x ＝－5π24＋k π2 (k ∈Z )时，y min ＝－2.题型三 三角函数的奇偶性和对称性例3 (1)已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|≤π2的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值为________． (2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________． 答案 (1)π6 (2)π6解析 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，y ＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ图象关于x ＝0对称， 即f (x ＋φ)为偶函数．∴π3＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝k π＋π6，k ∈Z ， 又∵|φ|≤π2，∴φ＝π6.(2)由题意得3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z ，取k ＝0，得|φ|的最小值为π6.思维升华 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大值或最小值． 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0. 如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π (k ∈Z )，求x .如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π (k ∈Z )即可．(1)若函数f (x )＝sin ax ＋cos ax (a >0)的最小正周期为1，则它的图象的对称中心为________．(2)设函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ∈(－π2，π2))的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论：①图象关于点(π4，0)对称；②图象关于点(π3，0)对称；③在[0，π6]上是增函数；④在[－π6，0]上是增函数中，所有正确结论的编号为________．答案 (1)(k 2－π8，0)(k ∈Z ) (2)②④解析 (1)由条件得f (x )＝2sin(ax ＋π4)，又函数的最小正周期为1，故2πa＝1，∴a ＝2π，故f (x )＝2sin(2πx ＋π4)．则2πx ＋π4＝k π，k ∈Z ，x ＝k 2－π8，k ∈Z .∴函数f (x )图象的对称中心为(k 2－π8，0)(k ∈Z )．(2)∵T ＝π，∴ω＝2.又2×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋π3(k ∈Z )．∵φ∈(－π2，π2)，∴φ＝π3，∴y ＝sin(2x ＋π3)，由图象及性质可知②④正确．三角函数的单调性、对称性、周期性典例：(1)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是________．(2)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b 的值为________．(3)(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________．思维点拨 (1)(π2，π)为函数f (x )某个单调减区间的子集；(2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可得函数的对称轴，应用函数在对称轴处的性质求解即可；(3)利用正弦型函数图象的对称性求周期． 解析 (1)由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知(π2ω＋π4，πω＋π4)⊆[π2，3π2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54. (2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3.(3)∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性， ∴T 2≥π2－π6， ∴T ≥2π3.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3， ∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3.∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 答案 (1)[12，54] (2)－1或3 (3)π温馨提醒 (1)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题：首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象与其对称轴的交点是最值点.方法与技巧1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质． 失误与防范1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，尽量化成ω>0时的情况． 3．三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得，直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．下列函数中，周期为π且在[0，π2]上是减函数的是________．(填序号)①y ＝sin(x ＋π4);②y ＝cos(x ＋π4)；③y ＝sin 2x; ④y ＝cos 2x .答案 ④解析 对于函数y ＝cos 2x ，T ＝π，当x ∈[0，π2]时，2x ∈[0，π]，y ＝cos 2x 是减函数．2．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的单调递减区间是________．答案 [k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )解析 由f (π8)＝－2得f (π8)＝－2sin(2×π8＋φ)＝－2sin(π4＋φ)＝－2，所以sin(π4＋φ)＝1.因为|φ|<π，所以φ＝π4. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递减区间为[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )． 3．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0，则ω的最小值是________． 答案 2解析 根据题意平移后函数的解析式为y ＝sin ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4， 将⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0， 故ω的最小值为2.4．给出下列四个命题，其中不正确的命题为______．(填序号)①若cos α＝cos β，则α－β＝2k π，k ∈Z ；②函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于x ＝π12中心对称； ③函数y ＝cos(sin x )(x ∈R )为偶函数；④函数y ＝sin|x |是周期函数，且周期为2π.答案 ①④解析 命题①：若α＝－β，则cos α＝cos β，假命题；命题②：x ＝π12，cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝cos π2＝0，故x ＝π12是y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的对称中心；命题④：函数y ＝sin|x |不是周期函数．5．函数y ＝cos 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是________．答案 [0,1]解析 y ＝cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1－cos 2x 2＝1＋cos 2x 2. ∵cos 2x ∈[－1,1]，∴y ∈[0,1]．6．函数y ＝cos(π4－2x )的单调减区间为________．答案 [k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z ) 解析 由y ＝cos(π4－2x )＝cos(2x －π4)得 2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )， 故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )． 所以函数的单调减区间为[k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )． 7．设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．答案 2解析 f (x )＝3sin(π2x ＋π4)的周期T ＝2π×2π＝4， f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值，故|x 1－x 2|的最小值为T 2＝2.8.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝________. 答案 3 解析 由题中图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即最小正周期为π2， 所以ω＝2.由题意可知，图象过定点(3π8，0)， 所以0＝A tan(2×3π8＋φ)， 即3π4＋φ＝k π(k ∈Z )， 所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )， 又|φ|<π2，所以φ＝π4. 又图象过定点(0,1)，所以A ＝1.综上可知，f (x )＝tan(2x ＋π4)，故有f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3. 9．设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π＋π4，k ∈Z ， 又－π<φ<0，则φ＝－3π4. (2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4， 令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ， 可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ， 因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . 10．设函数f (x )＝sin(πx 4－π6)－2cos 2πx 8＋1. (1)求f (x )的最小正周期．(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，43]时，y ＝g (x )的最大值．解 (1)f (x )＝sin πx 4cos π6－cos πx 4sin π6－cos πx 4＝32sin πx 4－32cos πx 4＝3sin(πx 4－π3)， 故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8. (2)方法一 在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))，它关于x ＝1的对称点(2－x ，g (x ))．由题设条件，知点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上，从而g (x )＝f (2－x )＝3sin[π4(2－x )－π3]＝3sin[π2－πx 4－π3]＝3cos(πx 4＋π3)． 当0≤x ≤43时，π3≤πx 4＋π3≤2π3， 因此y ＝g (x )在区间[0，43]上的最大值为 g (x )max ＝3cos π3＝32. 方法二 区间[0，43]关于x ＝1的对称区间为[23，2]， 且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为 y ＝f (x )在[23，2]上的最大值．由(1)知f (x )＝3sin(πx 4－π3)， 当23≤x ≤2时，－π6≤πx 4－π3≤π6. 因此y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为 g (x )max ＝3sin π6＝32. B 组 专项能力提升(时间：20分钟)1．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0且|φ|<π2)在区间[π6，2π3]上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y 轴交点的纵坐标为________．答案 12解析 函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最大值为1，最小值为－1，由该函数在区间[π6，2π3]上单调递减，且函数值从1减小到－1，可知2π3－π6＝π2为半周期，则周期为π，ω＝2πT ＝2ππ＝2，此时原函数式为y ＝sin(2x ＋φ)，又由函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象过点(π6，1)，且|φ|<π2.代入可得φ＝π6，因此函数为y ＝sin(2x ＋π6)，令x ＝0，可得y ＝12.2．已知函数f (x )＝2m sin x －n cos x ，直线x ＝π3是函数f (x )图象的一条对称轴，则n m＝________.答案 －233解析 由x ＝π3是函数f (x )图象的对称轴易得 f (0)＝f (2π3)， ∴－n ＝2m sin 2π3－n cos 2π3， ∴－n ＝3m ＋n 2， ∴3m ＝－32n ， ∴n m ＝－233. 3．函数y ＝tan(2x ＋π4)的图象与x 轴交点的坐标是__________________________. 答案 (k π2－π8，0)(k ∈Z ) 解析 由2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得， x ＝k π2－π8(k ∈Z )． ∴函数y ＝tan(2x ＋π4)的图象与x 轴交点的坐标是(k π2－π8，0)(k ∈Z )． 4．给出下列命题：①函数f (x )＝4cos(2x ＋π3)的一个对称中心为(－5π12，0)； ②已知函数f (x )＝min{sin x ，cos x }，则f (x )的值域为[－1，22]； ③若α、β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β.其中所有真命题的序号是________．答案 ①②解析 对于①，令x ＝－512π，则2x ＋π3＝－56π＋π3＝－π2，有f (－512π)＝0，因此(－512π，0)为f (x )的一个对称中心，①为真命题；对于②，结合图象知f (x )的值域为[－1，22]，②为真命题；对于③，令α＝390°，β＝60°，有390°>60°，但sin 390°＝12<sin 60°＝32，故③为假命题，所以真命题为①②. 5．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间． 解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ， 其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时， g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。
江苏高考数学理一轮复习课件4.3三角函数的图象与性质
π 2kπ－ ，2kπ 2
π kπ＋ ，0 2 ____________
kπ ，0 2
kπ x＝____
无
单调性
π 增 ＋ 为___； 2
π 2kπ＋ ，2kπ 2
2kπ－π，2kπ
法三
sin x－cos x＝
π 2sinx－4 ≥0，
π 将 x－ 视为一个整体， 由正弦函数 y＝sin x 的图象和性质可知 4 π 2kπ≤x－ ≤π＋2kπ，k∈Z， 4 π 5π 解得 2kπ＋ ≤x≤ ＋2kπ，k∈Z. 4 4 π 5π 所以定义域为x2kπ＋4≤x≤ 4 ＋2kπ，k∈Z . (2)因为 y＝2cos2x－sin x＝2－2sin2x－sin x 2 1 2 ＝－2sin x－sin x＋2＝－2 sin x＋2sin x＋2 12 17 ＝－2sin x＋4 ＋ ，且－1≤sin x≤1， 8 17 所以－1≤y≤ . 8 17 故所求函数的值域为－1， 8
答案
π
5．如果函数
4π y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点 3 ，0中心
对称，那么|φ|的最小值为________． 4π π 13π 解析 2× ＋φ＝ ＋kπ，k∈Z，∴φ＝－ ＋kπ，k 3 2 6
π ∈Z，∴|φ|的最小值为 . 6
答案 π 6
考向一
三角函数的定义域、值域
【助学· 微博】 两条规律
(1)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正 2π π 周期为 ，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为 . |ω| |ω|
(2)奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或
2019-2020年高考数学大一轮复习 4.3三角函数的图象与性质学案 理 苏教版
2019-2020年高考数学大一轮复习 4.3三角函数的图象与性质学案理 苏教版导学目标： 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．自主梳理 1．周期函数(1)周期函数的定义 对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得定域内的每一个x 值，都满足__________，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数____叫做这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个________________，那么这个________________就叫做f (x )的最小正周期．2．三角函数的图象和性质 函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域 值域 周期性 奇偶性单调性在______________上增，在______________上减在_____________上增，在_____________上减在定义域的每一个区间____________________内是增函数对称性 对称中心(k π，0) (k ∈Z ) (k π＋π2，0) (k ∈Z ) (k π2，0)(k ∈Z )对称轴 x ＝k π＋π2，(k ∈Z )x ＝k π， (k ∈Z )无1．设点P 是函数f (x )＝sin ωx (ω≠0)的图象C 的一个对称中心，若点P 到图象C 的对称轴的距离的最小值是π4，则f (x )的最小正周期是________．2．函数y ＝3－2cos(x －π4)的最大值为________，此时x ＝________.3．函数y ＝tan(π4－x )的定义域是________．4．比较大小：sin(－π18)________sin(－π10)．5．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为________．探究点一 求三角函数的定义域例1 求函数y ＝＋tan x 的定义域．变式迁移1 函数y ＝1－2cos x ＋lg(2sin x －1)的定义域为________________________．探究点二 三角函数的单调性例2 求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调区间．变式迁移2 (1)求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间； (2)求函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的周期及单调区间．探究点三 三角函数的值域与最值例3 已知函数f (x )＝2a sin(2x －π3)＋b 的定义域为[0，π2]，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值．变式迁移3 设函数f (x )＝a cos x ＋b 的最大值是1，最小值是－3，试确定g (x )＝b sin(ax ＋π3)的周期．转化与化归思想例 (14分)求下列函数的值域：(1)y ＝－2sin 2x ＋2cos x ＋2；(2)y ＝3cos x －3sin x ，x ∈[0，π2]；(3)y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x . 【答题模板】解 (1)y ＝－2sin 2x ＋2cos x ＋2＝2cos 2x ＋2cos x＝2(cos x ＋12)2－12，cos x ∈[－1,1]．当cos x ＝1时，y max ＝4，当cos x ＝－12时，y min ＝－12，故函数值域为[－12，4]．[4分](2)y ＝3cos x －3sin x ＝23cos(x ＋π6)．∵x ∈[0，π2]，∴π6≤x ＋π6≤2π3，∵y ＝cos x 在[π6，2π3]上单调递减，∴－12≤cos(x ＋π6)≤32，∴－3≤y ≤3，故函数值域为[－3，3]．[9分](3)令t ＝sin x ＋cos x ，则sin x cos x ＝t 2－12，且|t |≤ 2.∴y ＝t ＋t 2－12＝12(t ＋1)2－1，∴当t ＝－1时，y min ＝－1；当t ＝2时，y max ＝12＋ 2.∴函数值域为[－1，12＋2]．[14分]【突破思维障碍】1．对于形如f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈[a ，b ]的函数在求值域时，需先确定ωx ＋φ的范围，再求值域．同时，对于形如y ＝a sin ωx ＋b cos ωx ＋c 的函数，可借助辅助角公式，将函数化为y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，从而求得函数的最值．2．关于y ＝a cos 2x ＋b cos x ＋c (或y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c )型或可化为此型的函数求值域，一般可化为二次函数在闭区间上的值域问题．给你提个醒！不论用什么方法，切忌忽略函数的定义域．1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义、图象和性质是研究三角问题的基础，三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域实质上就是解最简单的三角不等式(组)．2．三角函数的值域问题，实质上是含有三角函数的复合函数的值域问题．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看作一个整体，利用y ＝sin x 的单调区间来求．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分) 1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.2．(xx·江苏6校高三联考)已知函数y ＝tan ωx (ω>0)与直线y ＝a 相交于A 、B 两点，且|AB |最小值为π，则函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx 的单调增区间是________．3．(xx·江苏四市联考)若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在[－2π3，2π3]上单调递增，则ω的最大值为________．4．把函数y ＝cos(x ＋4π3)的图象向左平移φ(φ>0)个单位，所得的函数为偶函数，则φ的最小值是________．5．关于函数f (x )＝4sin(2x ＋π3)(x ∈R )有下列命题：(1)由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍；(2)y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos(2x －π6)；(3)y ＝f (x )的图象关于点(－π6，0)对称；(4)y ＝f (x )的图象关于x ＝－π6对称．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确的命题序号都填上) 6．(xx·泰州调研)定义函数f (x )＝{ sin x ，sin x ≥cos x ，x ，sin x <cos x ，给出下列四个命题：①该函数的值域为[－1,1]；②当且仅当x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，该函数取得最大值；③该函数是以π为最小正周期的周期函数；④当且仅当2k π＋π<x <2k π＋3π2(k ∈Z )时，f (x )<0.上述命题中正确的个数为________． 7．函数f (x )＝2sin x4对于任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为________．8．(xx·江苏)定义在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数y ＝6cos x 的图象与y ＝5tan x 的图象的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．二、解答题(共42分)9．(14分)(xx·福建改编)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋π6)＋a (ω>0)与g (x )＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调递减区间；(3)当x ∈[0，π2]时，f (x )的最小值为－2，求a 的值．10．(14分)已知函数f (x )＝2cos 4x －3cos 2x ＋1cos 2x，求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性．11．(14分)(xx·宿迁高三二模)已知向量a ＝(sin x ，23sin x )，b ＝(2cos x ，sin x )，定义f (x )＝a·b － 3.(1)求函数y ＝f (x )，x ∈R 的单调递减区间；(2)若函数y ＝f (x ＋θ) (0<θ<π2)为偶函数，求θ的值．答案 自主梳理1．(1)f (x ＋T )＝f (x ) T (2)最小的正数 最小的正数2．R R {x |x ≠k π＋π2，k ∈Z } [－1,1] [－1,1] R 2π 2π π 奇函数 偶函数 奇函数 [2k π－π2，2k π＋π2] (k ∈Z ) [2k π＋π2，2k π＋32π](k ∈Z ) [2k π－π，2k π] (k ∈Z ) [2k π，2k π＋π] (k ∈Z ) (k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )自我检测1．π 2.5 5π4＋2k π(k ∈Z ) 3.{x |x ≠k π＋3π4，k ∈Z }4．> 5.π6课堂活动区例1 解题导引 求三角函数的定义域时，需要转化为三角不等式(组)求解，常常借助于三角函数的图象和周期解决，求交集时可以利用单位圆，对于周期相同的可以先求交集再加周期的整数倍即可．解 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧2＋log 12x ≥0，x >0，tan x ≥0，x ≠k π＋π2k ∈Z ，得⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤4，k π≤x <k π＋π2k ∈Z所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0<x <π2或π≤x ≤4.变式迁移1 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z 解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥02sin x －1>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤12sin x >12，解得⎩⎪⎨⎪⎧π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π，k ∈Z π6＋2k π<x <5π6＋2k π，k ∈Z ，即x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z .例2 解题导引 求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ωx ＋φ (ω>0)”视为一个“整体”；②A >0 (A <0)时，所列不等式的方向与y ＝sin x (x ∈R )，y ＝cos x (x ∈R )的单调区间对应的不等式方向相同(反)．解 方法一 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 化成y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4.∵y ＝sin u (u ∈R )的递增、递减区间分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 (k ∈Z )、⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2(k ∈Z )， ∴令2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )，令2k π－π2≤x －π4≤2k π＋π2 (k ∈Z )，解得2k π－π4≤x ≤2k π＋3π4 (k ∈Z )．∴函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递减区间、单调递增区间分别为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π4，2k π＋3π4(k ∈Z )、⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4 (k ∈Z )． 方法二 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 可看作是由y ＝2sin u 与u ＝π4－x 复合而成的．又∵u ＝π4－x 为减函数，∴由2k π－π2≤u ≤2k π＋π2(k ∈Z )，即2k π－π2≤π4－x ≤2k π＋π2 (k ∈Z )，得－2k π－π4≤x ≤－2k π＋3π4 (k ∈Z )，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2k π－π4，－2k π＋3π4(k ∈Z )为 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的递减区间． 由2k π＋π2≤u ≤2k π＋3π2 (k ∈Z )，即2k π＋π2≤π4－x ≤2k π＋3π2 (k ∈Z )，得－2k π－5π4≤x ≤－2k π－π4 (k ∈Z )，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2k π－5π4，－2k π－π4(k ∈Z )为 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间． 综上可知，y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2k π－5π4，－2k π－π4(k ∈Z )； 递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2k π－π4，－2k π＋3π4 (k ∈Z )． 变式迁移2 解 (1)由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ， 得y ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－π，π]，∴－π≤x ≤－712π，－π12≤x ≤512π，1112π≤x ≤π.∴函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－712π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，512π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1112π，π. (2)函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的周期T ＝π⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14＝4π.由y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4 得y ＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6， 由－π2＋k π<x 4－π6<π2＋k π得－43π＋4k π<x <83π＋4k π，k ∈Z ， ∴函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 4的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π＋4k π，83π＋4k π (k ∈Z )． 例3 解题导引 解决此类问题，首先利用正弦函数、余弦函数的有界性或单调性求出y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的最值，再由方程的思想解决问题．解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤23π，∴－32≤sin(2x －π3)≤1， 若a >0，则⎩⎨⎧ 2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得⎩⎨⎧ a ＝12－63b ＝－23＋123；若a <0，则⎩⎨⎧2a ＋b ＝－5－3a ＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－12＋63b ＝19－123.综上可知，a ＝12－63，b ＝－23＋12 3 或a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.变式迁移3 解 ∵x ∈R ，∴cos x ∈[－1,1]．若a >0，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1－a ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝－1；若a <0，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝－3－a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－1.所以g (x )＝－sin(2x ＋π3)或g (x )＝sin(2x －π3)，周期为π.课后练习区 1．3解析 由图可知，T ＝2π3，∴ω＝2πT＝3.2.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z ) 3.34 4.2π3解析 向左平移φ个单位后的解析式为y ＝cos(x ＋4π3＋φ)，当4π3＋φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝cos(x ＋4π3＋φ)为偶函数， ∴φ＝k π－4π3(k ∈Z )．当k ＝2时，φmin ＝2π3.5．(2)(3)解析 (1)不正确．可举反例，如f (－π6)＝f (π3)＝0但－π6－π3＝－π2.(2)正确．∵y ＝4sin(2x ＋π3)＝4cos[π2－(2x ＋π3)]＝4cos(－2x ＋π6)＝4cos(2x －π6)．(3)正确．∵f (－π6)＝0，∴y ＝f (x )的图象与x 轴交于(－π6，0)点．(4)不正确．∵f (－π6)既不是y 的最大值也不是y 的最小值．故答案为(2)(3)．6．1解析 当2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )时，sin x ≥cos x ，所以f (x )＝sin x ，f (x )∈[－22，1]；x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，该函数取得最大值； 当且仅当2k π＋π<x <2k π＋5π4(k ∈Z )时，f (x )<0.当2k π－3π4<x <2k π＋π4(k ∈Z )时，sin x <cos x ，所以f (x )＝cos x ，f (x )∈[－22，1]； x ＝2k π(k ∈Z )时，该函数取得最大值；当且仅当2k π－3π4<x <2k π－π2(k ∈Z )时，f (x )<0.综合得：①②错误，④正确，周期还是2π，所以③错误． 7．4π解析 由f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)知，f (x 1)、f (x 2)分别为f (x )的最小值和最大值，而当x4＝2k π－π2，即x ＝8k π－2π (k ∈Z )时，f (x )取最小值；而x 4＝2k π＋π2，即x ＝8k π＋2π(k ∈Z )时，f (x )取最大值，∴|x 1－x 2|的最小值为4π. 8.23解析 线段P 1P 2的长即为sin x 的值，且其中的x 满足6cos x ＝5tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，解得sin x ＝23.所以线段P 1P 2的长为23.9．解 (1)∵f (x )和g (x )的对称轴完全相同，∴二者的周期相同，即ω＝2，f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a ，…………………………………(3分)∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. …………………………………………………………(5分)(2)当2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，即k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )时，函数f (x )单调递减，故函数f (x )的单调递减区间为[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )．………………………………………………………………(10分)(3)当x ∈[0，π2]时，2x ＋π6∈[π6，7π6]，…………………………………………………(12分)∴当x ＝π2时，f (x )取得最小值，∴2sin(2·π2＋π6)＋a ＝－2，∴a ＝－1.……………………………………………………(14分)10．解 由题意知cos 2x ≠0，得2x ≠k π＋π2，解得x ≠k π2＋π4(k ∈Z )．∴f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π2＋π4，k ∈Z }．……………………………………………(4分)又f (x )＝2cos 4x －3cos 2x ＋1cos 2x ＝2x －2x －2cos 2x －1＝cos 2x －1＝－sin 2x ，……………………………………………………………………(8分)又∵定义域关于原点对称，∴f (x )是偶函数．…………………………………………(10分)显然－sin 2x ∈[－1,0]，又∵x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，∴－sin 2x ≠－12. ∴原函数的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |－1≤y <－12或－12<y ≤0.……………………………………………………………(14分)11．解 f (x )＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3＝sin 2x ＋23·1－cos 2x 2－ 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.………………………………………………………(4分)(1)令2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z 解得单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z .………………………………………(8分)(2)f (x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π3. 根据三角函数图象性质可知，y ＝f (x ＋θ) ⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π2在x ＝0处取最值， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝±1， ∴2θ－π3＝k π＋π2，θ＝k π2＋5π12，k ∈Z .……………………………………………………(12分)又0<θ<π2，解得θ＝5π12.…………………………………………………………………(14分)。
2019版高考数学大一轮复习第四章三角函数解三角形4.3三角函数的图象与性质教师用书文苏教版
4.3 三角函数的图象与性质1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0).余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1). 2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质【知识拓展】 1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期. 2.奇偶性若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z ). 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数.( × )(2)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期.( √ ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (5)y ＝sin |x |是偶函数.( √ ) (6)若sin x >22，则x >π4.( × )1.函数f (x )＝cos(2x －π6)的最小正周期是________.答案 π。
高三数学一轮复习 3-3三角函数的周期性、三角函数的图象与性质课件 文 苏教版
R
[－1,1] 偶函数 最小正周期为2π 在[－π＋2kπ，2kπ]内 递增(k∈Z)；在[2kπ， π＋2kπ)内递减(k∈Z]
{x|x≠
＋kπ，k∈Z}
R 奇函数
最小正周期为π 在开区间(－ ＋kπ， ＋kπ)，(k∈Z) 内，函 数单调递增
在[－
单调性
＋2kπ，
＋2kπ]
＋2kπ]内递增(k∈Z)； 在[ ＋2kπ， 内递减(k∈Z)
答案：关于x轴对称 3．函数y＝tan x(|x|≤ 且x≠0)的值域是________．
解析：∵－
≤x≤
，∴－1≤tan x≤1，又x≠0，
∴tan x≠0，∴y∈[－1,0)∪(0,1]．
答案：[－1,0)∪(0,1]
4． 已知函数f(x)＝ 是________．
(sin x＋cos x)－
|sin x－cos x|，则f(x)的值域
变式2：函数y＝
＋lg(2sin x－1)的定义域为______．
解析：由
，得
即x∈
，k∈Z.
答案：
，k ∈Z
1．准确记忆三角函数的单调区间是求复合三角函数单调区间的基础．
2．形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间，基本思路是把
ωx＋φ看作一个整体，由－ ＋2kπ≤ωx＋φ≤
≤x≤2kπ＋
，k∈Z，
即函数y＝c，k∈Z
从等式f(x＋T)＝f(x)来看，应强调的是自变量x本身加的常数才是周期，如 f(2x＋T)＝f(2x)，T不是周期，而应写成f(2x＋T)＝f 则 是f(x)的周期． ＝f(2x)，
【例1】定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，
高考数学大一轮复习第四章三角函数第4课时三角函数的图像与性质课件文
题型三 三角函数的对称性 (1)求函数 f(x)＝sin(2x－π6)的对称中心和对称轴方程． (2)设函数 y＝sin2x＋acos2x 的图像关于直线 x＝－π6对称，求 实数 a 的值． (3)求函数 y＝tan(x2＋π3)的图像的对称中心．
【解析】 (1)思路：利用三角函数的图像，把 2x－π6看做一 个变量，用换元的方法求对称中心或对称轴方程，也可以考虑 y ＝sinx 与 y＝sin(2x－6π)的关系，利用变换的思想求对称轴与对称 中心．
_T__＝__π___ 奇函数
递增区间 ______________
___________ ____________
递减区间 ________________ _____________
对称中心
_(_k_π_，_0_)___
___________
无 (k2π，0)
对称轴方程 ______________
∵一个周期内有一个最小值点，∴ 1≥49T＋34T＝1949T＝1949·2ωπ. ∴ω≥1929π.
【答案】 ω≥1929π 【讲评】 ω 的值与周期有关，熟练掌握一个周期内的单调性、 最值性、对称性等性质．
题型二 三角函数的奇偶性 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝sin(2x＋π2)； (2)f(x)＝tan(x－3π)； (3)f(x)＝sin(52π＋3x)sin(－π＋x)； (4)f(x)＝ 2sin2x－1； (5)f(x)＝lg(sinx＋ 1＋sin2x)．
课前自助餐
用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数 y＝sinx，x∈[0，2π ]的图像上，五个关键点 是：(0，0)，(π2，1)，(π，0)，________，(2π，0)． (2)在余弦函数 y＝cosx，x∈[0，2π ]的图像上，五个关键点 是：(0，1)，(π2，0)，_(π_，__－_1_)__，(32π，0)，(2π，1)．
(江苏版)2019年高考数学一轮复习 专题4.4 三角函数图像与性质(讲)
（江苏版）2019年高考数学一轮复习 专题4.4 三角函数图像与性质（讲）【考纲解读】【直击考点】题组一 常识题1． 函数y ＝2sin 12x －3的最小正周期是________．【解析】最小正周期T ＝2π12＝4π.2． 函数y ＝A sin x ＋1(A >0)的最大值是5，则它的最小值是________．【解析】依题意得A ＋1＝5，所以A ＝4，所以函数y ＝4sin x ＋1的最小值为－4＋1＝－3. 3.判断函数y ＝2cos x 在[－π，0]上的单调性：____________．(填“增函数”或“减函数”) 【解析】由余弦函数的单调性，得函数y ＝2cos x 在[－π，0]上是增函数． 4.不等式2sin x >3的解集为______________________________． 【解析】不等式2sin x >3，即sin x >32，由函数y ＝sin x 的图像得所求解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x π3＋2k π<x <2π3＋2k π，k ∈Z .题组二 常错题5．函数y ＝1－2cos x 的单调递减区间是___________________________．【解析】函数y ＝1－2cos x 的单调递减区间即函数y ＝－cos x 的单调递减区间，也即函数y ＝cos x 的单调递增区间，即[2k π－π，2k π](k ∈Z )．6．若动直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 和g (x )＝cos x 的图像分别交于M ，N 两点，则|M N |的最大值为________．【解析】设直线x ＝a 与函数f (x )＝sin x 的图像的交点为M (a ，y 1)，直线x ＝a 与函数g (x )＝cos x的图像的交点为N (a ，y 2)，则|MN |＝|y 1－y 2|＝|sin a －cos a |＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫a －π4≤2，7．函数f (x )＝2sin x4对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值为________．题组三 常考题8．定义在区间[0，2π]上的函数y ＝sin 2x 的图像与y ＝sin x 的图像的交点个数是________． 【解析】由sin 2x ＝sin x 得sin x ＝0或cos x ＝12，因为x ∈[0，2π]，所以x ＝0，π3，π，5π3，2π，交点个数是5.9． 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|sin x |，③y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5中，最小正周期为π的所有函数是________．(填序号)【解析】函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝sin x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻折至x 轴上方，即可得到y ＝|sin x |的图像，所以其最小正周期为π，②正确；函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的最小正周期为π，③正确；函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的最小正周期为π2，④不正确．【知识清单】1． 正弦、余弦、正切函数的图像与性质 1.三角函数线三角函数线是通过有向线段直观地表示出角的各种三角函数值的一种图示方法。
高考数学一轮复习 第四章 第3讲 三角函数的图象与性质课件 理 苏教版
3 ，则 φ 的 2
最小值为________． π 3 解析 由点 ， 在 y＝sin 2(x－φ)上， 2 3
得
2π sin 3 －2φ＝
3 π ，所以 φ＝ －kπ 或 φ＝－kπ(k∈Z)．又 2 6
第3讲 三角函数的图象与性质
考点梳理
1．“五点法”作图 (1)y＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为
π 3π (0,0)，2，1，(π，0)， 2 ，－1，(2π，0)．
(2)y＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为
π 3π (0,1)，2，0，(π，－1)， 2 ，0，(2π，1)
答案
π
5．如果函数
4π y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点 3 ，0中心
对称，那么|φ|的最小值为________． 4π π 13π 解析 2× ＋φ＝ ＋kπ，k∈Z，∴φ＝－ ＋kπ，k 3 2 6
π ∈Z，∴|φ|的最小值为 . 6
答案 π 6
考向一
三角函数的定义域、值域
【助学· 微博】 两条规律
(1)周期性：y＝Asin(ωx＋φ)和 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正 2π π 周期为 ，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为 . |ω| |ω|
(2)奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或
y＝Atan ωx，偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．
π φ>0，所以 φ 的最小值为 . 6 π 答案 6
4．设点 P 是函数 f(x)＝sin ωx(ω≠0)图象 C 上的一个对称 π 中心，若点 P 到图象 C 的对称轴的距离的最小值是 ， 4 则 f(x)的最小正周期是________．
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∴y∈－ 3，2，
∴ymax＋ymin＝2－ 3.
题型一 求三角函数的定义 域和值域
例 1 (1)函 数 y＝2sinπ6x－3π (0≤x≤9)的最大值与最小值之
和为__2_－___3__.
解析
答案
思维升华
间及周期：
解析
思维升华
故所给函数的减区间为
kπ－1π2，kπ＋51π2，k∈Z； 增区间为
(1)y＝sin－2x＋π3；
kπ＋51π2，kπ＋1112π，k∈Z. 最小正周期 T＝22π＝π.
题型二 三角函数的单调性、 周期性
例 2 写出下列函数的单调区
点是：(0,1)，π2 ( ，0)，π，( －1)，( 32π，0)，(2π，1).
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域 值域
R______ [－1,1]
—————————
_R _
[－1,1]
—————————
{x|x∈R且x≠π2＋kπ，k∈Z} ______________________________________________________
对称轴 _x_＝__π2_＋__k_π_(k_∈__Z_)_ 方程
_x_＝__k_π_(k_∈__Z__)
周期
2_π_
_2_π
_π_
思考辨析 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)常函数f(x)＝a是周期函数，它没有最小正周期.( √ ) (2)y＝sin x在x∈[0，π]上是增函数.( √ )
解 ∵π3＋4x＋π6－4x＝π2， ∴cos4x－π6＝cosπ6－4x ＝cosπ2－π3＋4x＝sinπ3＋4x.
跟踪训练 2 (2014·北京)求函数 y＝sinπ3＋4x＋cos4x－π6 的周期、单调区间及最大、最小值.
即xx≠ ≠π4π2＋ ＋kkππ， ，kk∈ ∈ZZ， .
例1 (2)函数y＝ 1 的定义 tan x－1
域为_______________________
.
解析
答案
思维升华
故函数的定义域为 {x|x≠4π＋kπ 且 x≠π2＋kπ， k∈Z}.
例1 (2)函数y＝ 1 的定义 域为__{_x_|_x≠__4π_＋__k_taπ_n_且_x_－x_≠_1_π2_＋__k_π_，
解析
答案
思维升华
故函数的定义域为
k∈Z}.
{x|x≠4π＋kπ 且 x≠π2＋kπ，
k∈Z}.
例1 (2)函数y＝ 1 的定义 域为__{_x_|_x≠__4π_＋__k_taπ_n_且_x_－x_≠_1_π2_＋__k_π_， k∈Z}.
解析
答案
思维升华
(1) 求 三 角 函 数 的 定 义 域实际上是解简单的三 角不等式，常借助三角
解析
例1 (2)函数y＝ 1 的定义 tan x－1
域为_______________________
.
答案
思维升华
例1 (2)函数y＝ 1 的定义 tan x－1
域为_______________________
.
解析
答案
思维升华
要使函数有意义， tan x－1≠0，
必须有x≠π2＋kπ，k∈Z，
数学 苏（理）
第四章 三角函数、解三角形
§4.3 三角函数的图象与性质
基础知识·自主学习 题型分类·深度剖析 思想方法·感悟提高 练出高分
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点 是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(32π，－1)，(2π，0). 余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键
和为________.
答案
思维升华
题型一 求三角函数的定义 域和值域
例 1 (1)函 数 y＝2sinπ6x－3π (0≤x≤9)的最大值与最小值之
和为________.
解析
答案
思维升华
利用三角函数的性质先求
出函数的最值. ∵0≤x≤9， ∴－3π≤6πx－π3≤76π，
∴sinπ6x－π3∈－ 23，1.
∴y＝2sin4x＋π3，周期 T＝24π＝π2. 当－2π＋2kπ≤4x＋π3≤2π＋2kπ (k∈Z)时，函数单调递增， ∴函数的递增区间为－52π4＋k2π，2π4＋k2π (k∈Z).
它的增区间是 y＝
sin2x－π3的减区间， 它的减区间是 y＝
sin2x－π3的增区间.
题型二 三角函数的单调性、 周期性
例 2 写出下列函数的单调区
间及周期： (1)y＝sin－2x＋π3；
解析
思维升华
由 2kπ－2π≤2x－π3≤2kπ
＋π2，k∈Z， 得 kπ－1π2≤x≤kπ＋51π2，
解析
答案
思维升华
②形如y＝asin2x＋bsin x ＋c的三角函数，可先设 sin x＝t，化为关于t的二 次函数求值域(最值)； ③ 形 如 y ＝ asin xcos x ＋ b(sin x±cos x)＋c的三角 函数，可先设t＝sin x ± cos x，化为关于t的二次 函数求值域(最值).
R_____
[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z) _(－__π2_＋__k_π_，__π2
单调 上递增；
上递增；
_＋__k_π_)_(k_∈__Z_ )
性 [π2＋2kπ，32π＋2kπ](k∈Z) [2kπ， π＋ 2kπ](k∈Z) _上__递__增_
上递减
解析
sin 2x>0， 由9－x2≥0，
2kπ<2x<2kπ＋π，k∈Z，
得－3≤x≤3.
∴－3≤x<－2π或
π 0<x<2.
∴函数 y＝lg sin 2x＋ 9－x2的定义域为
{x|－3≤x<－2π或
π 0<x<2}.
解析
题型一 求三角函数的定义
域和值域
例 1 (1)函 数 y＝2sinπ6x－3π (0≤x≤9)的最大值与最小值之
k∈Z.
题型二 三角函数的单调性、 周期性
例 2 写出下列函数的单调区
间及周期： (1)y＝sin－2x＋π3；
解析
思维升华
由 2kπ＋2π≤2x－π3≤2kπ ＋32π，k∈Z，
得 kπ＋51π2≤x≤kπ＋1112π， k∈Z.
题型二 三角函数的单调性、 周期性
例 2 写出下列函数的单调区
次函数求值域(最值)； ③ 形 如 y ＝ asin xcos x ＋
b(sin x±cos x)＋c的三角
函数，可先设t＝sin x ±
cos x，化为关于t的二次
函数求值域(最值).
跟踪训练1 (1)函数y＝ sin x－cos x 的定义域是
____________________.
解析 要使函数有意义，必须有sin x－cos x≥0， 即sin x≥cos x，同一坐标系中作出y＝sin x，y＝cos x， x∈[0,2π]的图象如图所示.
间及周期： (1)y＝sin－2x＋π3；
解析
思维升华
(1)求形如y＝Asin(ωx＋φ)
或 y ＝ Acos(ωx ＋ φ)( 其 中
ω>0)的单调区间时，要视
“ωx＋φ”为一个整体，
通过解不等式求解.但如
果ω<0，那么一定先借助
诱导公式将ω化为正数，
防止把单调性弄错.
题型二 三角函数的单调性、 周期性
例 2 写出下列函数的单调区
间及周期： (1)y＝sin－2x＋π3；
解析
思维升华
(2)求函数的单调区间应 遵循简单化原则，将解 析式先化简，并注意复 合函数单调性规律“同 增异减”.
例2 (2)y＝|tan x|.
解析
思维升华
例2 (2)y＝|tan x|.
解析
思维升华
解 观察图象可知，y＝|tan x| 的 增 区 间 是 kπ，kπ＋π2 ， k∈Z，
跟踪训练1 (1)函数y＝ sin x－cos x 的定义域是 {_x_|_2k_π_＋__π4_≤__x_≤_2_k_π_＋__54_π_，_k_∈__Z_}_.
结合图象及正、余弦函数的周期是2π知，
函数的定义域为{x|2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π，k∈Z}.
(2)(2013·天津改编)函数 的最小值为__－__2_2___.
f(x)＝sin2x－π4在区间0，π2上
解析 ∵x∈0，π2，
∴－4π≤2x－π4≤34π，令 y＝2x－π4，
则 sin2x－π4＝sin y 在 y∈－π4，34π上的最小值为 sin－4π
＝－
2 2.
函数线或三角函数图象
来求解.
解析
答案
思维升华
例1 (2)函数y＝ 1 的定义 (2)求解三角函数的值域(最 域为__{_x_|_x≠__4π_＋__k_taπ_n_且_x_－x_≠_1_π2_＋__k_π_， 值)常见到以下几种类型的
题目：
k∈Z}.
①形如y＝asin x＋bcos x＋
k的三角函数化为y＝
例2 (2)y＝|tan x|.
解析
思维升华
减 区 间 是 kπ－π2，kπ ， k∈Z.
最小正周期T＝π.
例2 (2)y＝|tan x|.
解析
思维升华
求含有绝对值的三角函 数的单调性及周期时， 通常要画出图象，结合 图象判定.