格林公式及其应用重新学习
格林公式的应用
格林公式的应用格林公式是数学中的一个重要定理，它描述了二维平面区域内的曲线积分与对应的面积积分之间的关系。
格林公式的应用非常广泛，涉及到物理、工程、地理等多个领域。
本文将介绍格林公式的基本概念和原理，并探讨其在实际问题中的应用。
格林公式是由德国数学家格林（Green）于1828年提出的，它建立了曲线积分与面积积分之间的联系。
在二维平面上，设D是一个有界闭区域，边界为C，f(x, y)和g(x, y)在D上具有一阶连续偏导数，则有格林公式：∮<sub>C</sub> (f(x, y)dx + g(x, y)dy) = ∬<sub>D</sub> (∂g/∂x - ∂f/∂y) dxdy其中，∮<sub>C</sub>表示沿着曲线C的曲线积分，∬<sub>D</sub>表示在区域D上的面积积分，∂f/∂x和∂g/∂y分别表示f 和g对x和y的偏导数。
格林公式的应用可以帮助我们求解各种与曲线积分和面积积分相关的问题。
下面将通过几个具体的例子来说明格林公式在实际中的应用。
**例1：计算曲线积分**考虑曲线C：x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> = 1，逆时针方向，要计算曲线积分∮<sub>C</sub> (x<sup>2</sup>dx +y<sup>2</sup>dy)。
首先，根据格林公式，我们可以将曲线积分转化为面积积分。
设D 为曲线C所围成的区域，那么根据格林公式，有：∮<sub>C</sub> (x<sup>2</sup>dx + y<sup>2</sup>dy) =∬<sub>D</sub> (∂y<sup>2</sup>/∂x - ∂x<sup>2</sup>/∂y) dxdy 计算偏导数，得到∂y<sup>2</sup>/∂x = 0，∂x<sup>2</sup>/∂y = 0，因此面积积分为0。
第三节格林公式
2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域 , 如图 y
Q P D x y d xd y Q P Q P ( )dxdy ( )dxdy x y x y D D
1
G A
L3 D3
F
C
D1
D2
0
r
例4. 计算
其中L为一无重点且不过原点 该方法俗称 “ 挖洞法 。”
y L
D
的分段光滑正向闭曲线.
(1) 当( 0, 0) D 时, xd y yd x Q P ( )dxdy L x 2 y 2 x y D (2) 当 ( 0,0) D 时,
解: 记L所围闭区域为D，
P Q 证: 将格林公式分为: dxdy Pdx， dxdy Qdy D y L D x L
1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 d
x 1 ( y)
y
E D
C
x 2 ( y)
A
B
bx
c
2 ( y ) Q Q d 则 d xd y d y dx D x 1 ( y) x c
Q 0, P y , 则有 A ydx
L
例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明 证: 令 P 2x y , Q x 2 , 则
L
2x y d x x 2 d y 0
利用格林公式 , 得
L
2x y d x x 2 d y 0d x d y 0
A
D
y
L
o
x
B
L B O O A x dy L x dy x dy x dy x dy L BO OA 在BO上， y = 0 , d y 0, B O x dy 0
格林公式的使用
格林公式的使用在数学和物理领域，格林公式（Green's theorem）是一种重要的工具，用于计算曲线和曲面之间的积分关系。
它由英国数学家格林（George Green）于19世纪提出，并在向量分析和微积分中得到广泛应用。
本文将介绍格林公式的基本原理和使用方法，并探讨它在实际问题中的应用。
格林公式是关于向量场和曲线/曲面积分之间的重要定理。
它提供了一种将曲线积分转化为曲面积分的方法，或者将曲面积分转化为曲线积分的方法。
格林公式有两种形式，一种是平面形式，另一种是曲面形式。
平面形式的格林公式表达了一个二维向量场经过封闭曲线的环量与该向量场在曲线包围的区域上的散度之间的关系。
具体而言，设有一个向量场F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y))，其中P 和Q 是函数关于x 和y 的偏导数，而 C 是一个简单的、光滑的、逆时针方向的曲线，那么格林公式可以表达为：∮C P(x, y)dx + Q(x, y)dy = ∬D (Qx - Py)dA其中，∮C 表示曲线 C 的环量，∬D 表示曲线 C 所围成的区域 D 上的曲面积分，dA 表示微元面积。
右侧的(Qx - Py) 是向量场的散度。
曲面形式的格林公式是平面形式的推广，适用于三维空间中的曲面和曲线积分之间的关系。
设有一个向量场F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，其中P、Q 和R 是函数关于x、y 和z 的偏导数，而S 是一个封闭曲面，曲面的边界是一条简单、光滑的、逆时针方向的曲线，那么格林公式可以表达为：∮S (Pdydz + Qdzdx + Rdxdy) = ∭V (∇·F)dV其中，∮S 表示曲面S 的曲面积分，∭V 表示曲面S 所围成的体积V 上的体积积分，(∇·F) 是向量场的散度，dV 表示微元体积。
格林公式的应用非常广泛，在实际问题中，格林公式可以用于解决各种与曲线和曲面积分相关的计算和应用。
格林公式的应用
格林公式的应用格林公式是数学中的一个重要定理，它描述了二维平面区域内的曲线积分与面积积分之间的关系。
格林公式的应用涉及到多个领域，包括物理学、工程学和地理学等。
本文将介绍格林公式的基本概念，以及在不同领域中的具体应用。
格林公式最基本的形式可以表述为：设D是一个平面区域，边界为C，f(x, y)和g(x, y)在D上具有一阶连续偏导数，则有如下等式成立：∬(∂f/∂y - ∂g/∂x)dxdy = ∮(f dx + g dy)其中，左侧是曲线积分的面积分，右侧是曲线C的环绕积分。
这个公式的应用涉及到对平面区域内函数的积分运算，可以帮助我们求解各种问题。
在物理学中，格林公式常常用于描述电场和磁场的分布情况。
通过格林公式，我们可以计算电场或磁场在一个闭合曲线上的环绕积分，从而得到场的总量。
这对于分析电磁场的性质和相互作用至关重要。
格林公式的应用使得我们能够更准确地描述电磁场的分布规律，为电磁学的研究提供了重要的数学工具。
在工程学中，格林公式常常用于求解流体力学和热力学中的问题。
例如，在流体力学中，我们可以利用格林公式计算流体在一个闭合曲线上的环绕积分，从而得到流体的流量。
这对于设计管道系统、风力发电机等工程项目具有重要意义。
格林公式的应用使得工程师能够更好地分析和优化工程设计，提高工程项目的效率和可靠性。
在地理学中，格林公式常常用于描述地形和地势的特征。
通过格林公式，我们可以计算地形图上不同区域的坡度和高程变化，从而揭示地表的地貌特征。
格林公式的应用使得地理学家能够更准确地理解地球表面的形态和结构，为地质勘探和自然灾害预测提供重要依据。
总之，格林公式作为数学中的重要定理，在物理学、工程学和地理学等领域都有着广泛的应用。
通过对格林公式的理解和运用，我们能够更深入地研究自然现象和工程问题，为科学研究和工程实践提供有力支持。
希望本文能够帮助读者更好地理解格林公式的应用及其重要性。
11-(3)格林公式及其应用(重新学习)
区域 ) 高等数学A(下）
34 - 2
2020年1月20日
一、 格林公式 2、边界曲线的正向
L1
D
L2
L1
D
L2
L由L1与L2连成
L由L1与L2组成
边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,
区域D总在他的左边.
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2020年1月20日
一、 格林公式
定理1. 设区域 D 是由分段光滑曲线 L 围成,函数 在 D 上具有一阶连续偏导数, 则有
例4. 计算 ( x2 2xy)dx ( x2 y4 )dy.其中 L 为 L
由点O(0, 0)到点B(1, 1)的曲线弧 y sin x .
2
解 P ( x2 2xy) 2x
y y
P Q ，
Q ( x2 y4 ) 2x
y x
D1
y
L
l D1
or
x
高等数学A(下）
2π 0
r 2 cos2 r 2 sin2
r2
d
2π
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二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 , 函数
在D 内
具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 L Pdx Qdy 0.
C
B
Q(x, y) x2 y2
D
则Q 2 x, P x
x
y
O
Ax
( x3 xy)dx ( x2 y2 )dy L
(2x x)dxdy
数学物理方法12格林函数
泊 第一类边界条件：第一边值问题(狄里希利问题)
松 方
第二类边界条件：第二边值问题(诺依曼问题)
程
第三类边界条件：第三边值问题
2、格林函数的引入及其物理意义
引入：为了求解泊松方程的定解问题，我们必须定 义一个与此定解问题相应的格林函数 G(r, r0)
它满足如下定解问题，边值条件可以是第一、二、三类 条件：
这就是第三边值问题解的积分表示式．
右边第一个积分表示区域 T 中分布的源 f (r0 ) 在 r
点产生的场的总和. 第二个积分则代表边界上的状况对 r
点场的影响的总和．两项积分中的格林函数相同．这说明 泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的 场．
对于拉普拉斯方程
f (r0 ) 0
第一边值问题的解为
构建格林函数为
G(x,
y
|
x0 ,
y0 )
1 4π
(x ln[
(x
x0 )2 x0 )2
(y (y
y0 )2 y0 )2
]
边界外法线方向为负 y 轴，故有
G n
|
G y
|y0
=
1 2π
(x
y0 x0 )2
y02
1 π
y0 (x x0 )2
y02
1 π
(x
y0 x0 )2
y02
代入到拉普拉斯第一边值问题解的公式（14.2. 13），拉普拉斯 方程的自由项 f 0 ,则由
G(r,
r0
)
1 2π
ln
|
r
1
r0
|
1 2π
ln
|
r
1
r1
|
格林公式的讨论及其应用
格林公式的讨论及其应用格林公式是矢量分析中的重要定理之一，它描述了向量场在一个闭合曲面上面的流量与该向量场的散度在该闭合曲面所围成的空间体积之间的关系。
格林公式广泛应用于电磁学、流体力学、热力学等领域，下面将对格林公式进行详细讨论及应用。
格林公式可以用数学的方式描述为：对于一个可微的矢量场F，它的散度为div(F)，则该矢量场F通过一个闭合曲面S的流量为∬F⋅ds，该闭合曲面S所围成的体积为∭div(F)dV，格林公式表达了这两者之间的关系，即：∬F⋅ds = ∭div(F)dV其中，∬表示曲面积分，∭表示体积积分，F⋅ds表示矢量场F与ds 的内积，div(F)表示矢量场F的散度。
1.流体力学中的应用格林公式在流体力学中有着广泛的应用。
例如，可以通过格林公式计算流体在一个闭合曲面上的流量，这对于流体的体积流量和质量流量的计算有重要意义。
另外，格林公式还可以用来推导流体的连续性方程和Navier-Stokes方程等重要方程。
2.电磁学中的应用格林公式在电磁学中也有着重要的应用。
例如，可以利用格林公式计算电磁场在一个闭合曲面上的通量，这对于计算电场和磁场的电荷和磁荷的分布有着重要意义。
此外，通过格林公式还可以推导出麦克斯韦方程组中的一些重要方程，如高斯定律、安培环路定理等。
3.热力学中的应用格林公式在热力学中也有着重要的应用。
例如，可以通过格林公式计算热场在一个闭合曲面上的通量，这对于计算热量的传递和热功的计算有着重要意义。
此外，格林公式还可用于推导出热传导方程等重要方程。
除了上述应用之外，格林公式还广泛应用于流场分析、电磁场分析、电力系统分析等领域。
在实际应用中，可以利用格林公式对复杂的问题进行推导和计算，从而得到更加精确的结果。
总结起来，格林公式是矢量分析中的重要定理之一，描述了向量场在一个闭合曲面上面的流量与该向量场的散度在该闭合曲面所围成的空间体积之间的关系。
它在流体力学、电磁学、热力学等领域都有重要的应用。
13格林公式及其应用
§10.3 格林公式及其应用一、格林公式一元微积分学中最基本的公式 — 牛顿、莱布尼兹公式'=-⎰F x dx F b F a ab ()()()表明：函数'F x ()在区间[,]a b 上的定积分可通过原函数F x ()在这个区间的两个端点处的值来表示。
无独有偶,在平面区域D 上的二重积分也可以通过沿区域D 的边界曲线L 上的曲线积分来表示,这便是我们要介绍的格林公式。
1、单连通区域的概念设D 为平面区域,如果D 内任一闭曲线所围的部分区域都属于D ,则称D 为平面单连通区域；否则称为复连通区域。
通俗地讲,单连通区域是不含“洞”(包括“点洞”)与“裂缝”的区域。
2、区域的边界曲线的正向规定设L 是平面区域D 的边界曲线,规定L 的正向为:当观察者沿L 的这个方向行走时,D 内位于他附近的那一部分总在他的左边。
简言之:区域的边界曲线之正向应适合条件,人沿曲线走,区域在左手。
3、格林公式【定理】设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成,函数P x y (,)及Q x y (,)在D 上具有一阶连续偏导数,则有()∂∂∂∂Q x Py dxdy Pdx Qdy DL -=+⎰⎰⎰ (1)其中L 是D 的取正向的边界曲线。
公式(1)叫做格林(green)公式。
【证明】先证 -=⎰⎰⎰∂∂Py dxdy Pdx D L假定区域D 的形状如下(用平行于y 轴的直线穿过区域,与区域边界曲线的交点至多两点)易见,图二所表示的区域是图一所表示的区域的一种特殊情况,我们仅对图一所表示的区域D 给予证明即可。
D a x b x y x :,()()≤≤≤≤ϕϕ12[]-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰∂∂∂∂ϕϕϕϕP y dxdy dx P y dy P x y dx D a b x x abx x 1212()()()()(,)=--⎰{[,()][,()]}P x x P x x dxabϕϕ21另一方面,据对坐标的曲线积分性质与计算法有Pdx Pdx Pdx Pdx PdxLABBCCEEA⎰⎰⎰⎰⎰=+++弧弧=+++⎰⎰P x x dx P x x dx ab ba[,()][,()]ϕϕ1200=--⎰{[,()][,()]}P x x P x x dxabϕϕ21因此 -=⎰⎰⎰∂∂Py dxdy Pdx D L再假定穿过区域D 内部且平行于x 轴的直线与的D 的边界曲线的交点至多是两点,用类似的方法可证∂∂Qx dxdy Qdx D L ⎰⎰⎰=综合有当区域D 的边界曲线与穿过D 内部且平行于坐标轴( x 轴或y 轴 )的任何直线的交点至多是两点时,我们有-=⎰⎰⎰∂∂P y dxdy Pdx D L , ∂∂Q x dxdy Qdx D L ⎰⎰⎰=同时成立。
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P Q 2x y 证: 设 P x y , Q x y, 则 y x
由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使
一、 格林公式 2、边界曲线的正向
L1
L1
D
L2
D
L2
L由L1与L2连成
L由L1与L2组成
边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时, 区域D总在他的左边.
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一、 格林公式
定理1. 设区域 D 是由分段光滑曲线 L 围成,函数 在 D 上具有一阶连续偏导数, 则有
Chapter 11
第三节
格林公式及其应用
一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径 无关的 等 价 条件
一、 格林公式
1、区域连通性的分类
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的 部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为 多连通区域.
D
D
单连通区域
多连通区域
单连通区域 ( 无“洞”区域 )，多连通区域 ( 有“洞” 区域 ) 34 - 2 高等数学A(下） Thursday, January 03, 2019
2 4
x 由点O(0, 0) 到点 B(1, 1)的曲线弧 y sin . 2
解
P 2 ( x 2 xy) 2 x y y Q 2 ( x y4 ) 2 x x x
1 2 1 4
P Q ， y x 原积分与路径无关
故原式
0
23 x dx 0 (1 y )dy . 15
0 x 1 L: , 取正向。 0 y 1
3
L
y C D O A x
解
P ( x, y ) x xy, Q ( x, y ) x 2 y 2 Q P 则 2 x, x x y
3 2 2
B
L ( x xy)dx ( x y )dy 1 1 1 ( 2 x x )dxdy dx xdy 0 0 2
d 2 π
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二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 , 函数 具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价: (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 Pd x Qd y 0 .
L
在D 内
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 Pd x Qd y
其中L为一无重点且不过原点
则当x 2 y 2 0时,
设 L 所围区域为D,
y L
D
(1) 当(0,0) D时, 由格林公式知
o
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x
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例4. 计算
其中L为一无重点且不过原点
的分段光滑正向闭曲线. (2) 当(0,0) D时, 在D 内作圆周l : x 2 y 2 r 2 ,取逆时 针方向, 记 L 和 l ¯ 所围的区域为 D1 , 对区域 D1 应用格 林公式 , 得
L
与路径无关, 只与起止点有关.
(3) 在 D 内是某一函数 的全微分,
d u( x, y) P d x Q d y P Q . (4) 在 D 内每一点都有 y x
即
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例4. 计算
(x
L
2
2 xy)dx ( x y )dy .其中 L 为
D
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例3. 计算
y2
其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解: 令P 0, Q x e ,则
y
B(0,1) A(1,1)
D
利用格林公式 , 有
yx
O
y2
证: 令 P 2x y , Q x 2 , 则
利用格林公式 , 得
L
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2x y d x x 2 d y 0 d x d y 0
D
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例 2 计算 ( x 3 xy)dx ( x 2 y 2 )dy ,其中曲线
x
1 x2 0
e
D
y2
dxdy
OA AB BO
xe
dy xe
OA
y2
dy xe
dxBiblioteka 也可以直接用二重积分来计算
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1 (1 e 1 ). 2
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例4. 计算 的分段光滑正向闭曲线. 解: 令
OA
2
2
( x 2 3 y ) d x ( y 2 x) d y
4 2 x dx 0
4 d xd y
D
y
L D Ax
64 8π 3
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O
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例6. 验证 出这个函数.
2 2
是某个函数的全微分, 并求
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例5. 计算 圆周
其中L 为上半
从 O (0, 0) 到 A (4, 0).
解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 AO , 它与L 所围 区域为D , 则
原式
L AO
( x 3 y ) d x ( y x) d y
Q P d xd y Pd x Qd y ( 格林公式 ) x y D L
其中L是D的取正向的边界曲线。
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例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
L
2x y d x x 2 d y 0
xd y yd x 2 l x y2 xd y yd x 2 0 d xd y 0 2 L l D1 x y
高等数学A(下）
y
L
l
D1
o
r2
r
x
2π 0
r 2 cos 2 r 2 sin 2
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