充分条件必要条件
充分条件与必要条件
§1.4 充分条件与必要条件 充分条件与必要条件学习目标 1.理解充分条件、必要条件的概念．2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系．3.能通过充分性、必要性解决简单的问题．4.理解充要条件的意义．5.会判断一些简单的充要条件问题．6.能对充要条件进行证明．知识点一 充分条件与必要条件“若p ，则q ”为真命题“若p ，则q ”为假命题推出关系p ⇒q p ⇏q条件关系p 是q 的充分条件q 是p 的必要条件p 不是q 的充分条件 q 不是p 的必要条件定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件思考1 若p 是q 的充分条件，这样的条件p 唯一吗？答案 不唯一．例如“x >1”是“x >0”的充分条件，p 可以是“x >2”“x >3”或“2<x <3”等．思考2 p 是q 的充分条件与q 是p 的必要条件所表示的推出关系是否相同？ 答案 相同，都是p ⇒q .思考3 以下五种表述形式：①p ⇒q ；②p 是q 的充分条件；③q 的充分条件是p ；④q 是p 的必要条件；⑤p 的必要条件是q .这五种表述形式等价吗？ 答案 等价． 知识点二 充要条件1．如果“若p ，则q ”和它的逆命题“若q ，则p ”均是真命题，即既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，就记作p ⇔q ，此时，p 既是q 的充分条件，也是q 的必要条件，我们说p 是q 的充分必要条件，简称为充要条件．2．如果p 是q 的充要条件，那么q 也是p 的充要条件．概括地说，如果p ⇔q ，那么p 与q 互为充要条件．思考4 若p 是q 的充要条件，则命题p 和q 是两个相互等价的命题．这种说法对吗？答案正确．若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q，故此说法正确．思考5“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？答案(1)p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．(2)p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．1．若条件p：两个三角形相似，q：两个三角形全等，则p是q的________条件．答案必要解析因为两个三角形全等，所以这两个三角形相似，即q⇒p，所以p是q的必要条件．2．已知A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的________条件．答案充分解析因为A⊆B，所以x∈A⇒x∈B，所以“x∈A”是“x∈B”的充分条件．3．p：|x|＝|y|，q：x＝y，则p是q的________条件．答案必要解析∵x＝y⇒|x|＝|y|，即q⇒p，∴p是q的必要条件．4．p：a＝0，q：ab＝0，则p是q的________条件．答案充分解析因为当a＝0时，一定有ab＝0成立，即p⇒q，所以p是q的充分条件．5．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的________条件．答案必要不充分解析设命题p：(2x－1)x＝0，命题q：x＝0，则命题p：x＝0或x＝1 2，故p是q的必要不充分条件．6．△ABC是锐角三角形是∠ABC为锐角的________条件．答案充分不必要7．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的________条件．答案充要解析因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r，所以p是r的充要条件．一、充分条件的判断例1指出下列哪些命题中p是q的充分条件？(1)在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB；(2)已知x∈R，p：x>1，q：x>2.解(1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C⇒AC>AB，所以p是q的充分条件．(2)方法一由x>1⇏x>2，所以p不是q的充分条件．方法二设集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>2}，所以B⊆A，所以p不是q的充分条件．反思感悟充分条件的判断方法(1)判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题．(2)除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件．跟踪训练1“x>2”是“x2>4”的________条件．答案充分解析x>2⇒x2>4，故x>2是x2>4的充分条件．二、必要条件的判断例2指出下列哪些命题中q是p的必要条件？(1)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；(2)p：A⊆B，q：A∩B＝A；(3)p：a>b，q：ac>bc.解(1)因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件．(2)因为p⇒q，所以q是p的必要条件．(3)因为p⇏q，所以q不是p的必要条件．反思感悟必要条件的判断方法(1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件．(2)也可利用集合的关系判断，如条件甲“x ∈A ”，条件乙“x ∈B ”，若A ⊇B ，则甲是乙的必要条件．跟踪训练2 指出下列哪些命题中q 是p 的必要条件？ (1)p ：∠A 和∠B 是对顶角，q ：∠A ＝∠B ； (2)p ：|x |>2，q ：x >2.解 (1)因为对顶角相等，所以p ⇒q ，所以q 是p 的必要条件．(2)因为当|x |>2时，x >2或x <－2，所以p ⇏q ， 所以q 不是p 的必要条件． 三、充分条件与必要条件的应用例3 已知p ：实数x 满足3a <x <a ，其中a <0；q ：实数x 满足－2≤x ≤3.若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解 p ：3a <x <a ，即集合A ＝{x |3a <x <a }．q ：－2≤x ≤3，即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}． 因为p ⇒q ，所以A ⊆B ， 所以3a ≥－2，a ≤3，a <0⇒－23≤a <0，所以a 的取值范围是－23≤a <0. 延伸探究将本例中条件p 改为“实数x 满足a <x <3a ，其中a >0”，若p 是q 的必要条件，求实数a 的取值范围．解 p ：a <x <3a ，即集合A ＝{x |a <x <3a }． q ：－2≤x ≤3，即集合B ＝{x |－2≤x ≤3}． 因为q ⇒p ，所以B ⊆A ， 所以3a >3，a <－2，a >0⇒a ∈∅.反思感悟 充分条件与必要条件的应用技巧(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．(2)求解步骤：先把p ，q 等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．跟踪训练3 已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |1<x <3}，“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，则实数a 的取值范围是________． 答案 －1≤a ≤5解析 因为“x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件，所以Q ⊆P ，所以a －4≤1，a ＋4≥3，即a ≤5，a ≥－1，所以－1≤a ≤5. 四、充分、必要、充要条件的判断例4 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)． (1)p ：x ＝1，q ：x －1＝x －1； (2)p ：－1≤x ≤5，q ：x ≥－1且x ≤5； (3)p ：x ＋2≠y ，q ：(x ＋2)2≠y 2； (4)p ：a 是自然数；q ：a 是正数． 解 (1)当x ＝1时，x －1＝x －1成立；当x －1＝x －1时，x ＝1或x ＝2. ∴p 是q 的充分不必要条件． (2)∵－1≤x ≤5⇔x ≥－1且x ≤5， ∴p 是q 的充要条件． (3)由q ：(x ＋2)2≠y 2，得x ＋2≠y ，且x ＋2≠－y ，又p ：x ＋2≠y ， 故p 是q 的必要不充分条件．(4)0是自然数，但0不是正数，故p ⇏q ；又12是正数，但12不是自然数，故q ⇏p . 故p 是q 的既不充分又不必要条件．反思感悟 判断充分条件、必要条件及充要条件的三种方法 (1)定义法：直接判断“若p ，则q ”以及“若q ，则p ”的真假． (2)集合法：即利用集合的包含关系判断．(3)传递法：充分条件和必要条件具有传递性，即由p 1⇒p 2⇒…⇒p n ，可得p 1⇒p n ；充要条件也有传递性．跟踪训练4 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)．(1)p：x2>0，q：x>0；(2)p：a能被6整除，q：a能被3整除；(3)p：A∩B＝A，q：∁U B⊆∁U A.解(1)p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，故p是q的必要不充分条件．(2)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分不必要条件．(3)∵A∩B＝A⇔A⊆B⇔∁U B⊆∁U A，∴p是q的充要条件．五、充要条件的证明例5设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.证明必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，则x20＋2ax0＋b2＝0，x20＋2cx0－b2＝0.两式相减，得x0＝b2c－a，将此式代入x20＋2ax0＋b2＝0，可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°.充分性：∵∠A＝90°，∴b2＝a2－c2.①将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0.将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0.故两方程有公共根x＝－(a＋c)．∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.反思感悟充要条件证明的两个思路(1)直接法：证明p是q的充要条件，首先要明确p是条件，q是结论；其次推证p⇒q是证明充分性，推证q⇒p是证明必要性．(2)集合思想：记p：A＝{x|p(x)}，q：B＝{x|q(x)}，若A＝B，则p与q互为充要条件．跟踪训练5 求证：一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象过原点的充要条件是b ＝0. 证明 ①充分性：如果b ＝0，那么y ＝kx ，当x ＝0时，y ＝0，函数图象过原点．②必要性：因为y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象过原点， 所以当x ＝0时，y ＝0，得0＝k ·0＋b ，所以b ＝0.综上，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象过原点的充要条件是b ＝0. 六、充要条件的应用例6 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的必要不充分条件， 所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m } {x |－2≤x ≤10}，故有1－m ≥－2，1＋m <10或1－m >－2，1＋m ≤10， 解得m ≤3. 又m >0，所以实数m 的取值范围为{m |0<m ≤3}． 延伸探究1．若本例中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围．解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． 因为p 是q 的充分不必要条件，设p 代表的集合为A ，q 代表的集合为B ， 所以A B .所以 1－m ≤－2，1＋m >10或1－m <－2，1＋m ≥10.解不等式组得m >9或m ≥9， 所以m ≥9，即实数m 的取值范围是m ≥9.反思感悟 应用充分不必要、必要不充分及充要条件求参数值(范围)的一般步骤 (1)根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系．(2)根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解．跟踪训练6已知当a<0时，设p：3a<x<a，q：x<－4或x≥－2.若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解设A＝{x|3a<x<a，a<0}，B＝{x|x<－4或x≥－2}．因为p是q的充分不必要条件，所以A B，∴a≤－4或3a≥－2，即a≤－4或a≥－2 3.又∵a<0，∴a≤－4或－23≤a<0，即实数a的取值范围为a≤－4或－23≤a<0.1．“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的()A．充分条件C．既是充分条件又是必要条件B．必要条件D．既不是充分条件也不是必要条件2．使x>3成立的一个充分条件是()A．x>4 B．x>0 C．x>2 D．x<2 3．“x>0”是“x≠0”的()A．充分不必要条件C．充要条件B．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件4．“a<b”是“a b<1”的()A．必要不充分条件C．充要条件B．充分不必要条件D．既不充分又不必要条件5．已知命题p：a是末位是0的整数，q：a能被5整除，则p是q的________条件；q 是p的________条件．(用“充分”“必要”填空)6．若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________．7．已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的________条件．8．函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是________．【答案与解析】 1、答案 B解析 因为正方形的四条边相等，但四条边相等的四边形不一定是正方形，所以“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的必要条件． 2、答案 A解析 只有x >4⇒x >3，其他选项均不可推出x >3. 3、答案 A解析 由“x >0”⇒“x ≠0”，反之不一定成立． 因此“x >0”是“x ≠0”的充分不必要条件． 4、答案 D 解析 暂无 5、答案 充分 必要解析 因为p ⇒q ，所以p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 6、答案 a ≤1解析 因为x >1⇒x >a ，所以a ≤1. 7、答案 充要解析 因为a >0，b >0，所以a ＋b >0，ab >0， 所以充分性成立；因为ab >0，所以a 与b 同号，又a ＋b >0，所以a >0且b >0，所以必要性成立． 故“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的充要条件． 8、答案 m ＝－2解析 函数y ＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称， 则－m2＝1，即m ＝－2； 反之，若m ＝－2，则y ＝x 2－2x ＋1的图象关于直线x ＝1对称．1．知识清单：(1)充分条件、必要条件的概念． (2)充要条件概念的理解．(3)充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系．(4)充分条件、必要条件的判断．(5)充分条件与必要条件的应用．(6)充要条件的证明．(7)充要条件的应用．2．方法归纳：等价转化．3．常见误区：充分条件、必要条件不唯一；求参数范围能否取到端点值；条件和结论辨别不清．。
充分和必要条件的概念
充分和必要条件的概念一、引言充分和必要条件是数学中的重要概念，它们在证明定理和推理过程中起着至关重要的作用。
在数学中，我们常常需要判断某个命题是否成立，而充分和必要条件就是帮助我们做出这种判断的工具。
本文将从定义、性质、应用等方面分析充分和必要条件的概念。
二、定义1. 充分条件：如果一个命题P能够推出另一个命题Q，则称P是Q的充分条件。
2. 必要条件：如果一个命题Q成立是P成立的前提，则称P是Q的必要条件。
三、性质1. 充分必要条件：如果P是Q的充分条件，同时P也是Q的必要条件，则称P与Q等价。
2. 充分非必要条件：如果P是Q的充分条件，但不是Q的必要条件，则称P比Q强。
3. 非充分必要条件：如果P不是Q的充分条件，但是Q的必要条件，则称P比Q弱。
4. 非充非必要条件：如果既不满足P是Q的充分条件，也不满足P是Q的必要条件，则称两者无关。
四、应用1. 定理证明：在证明定理时，我们需要找到该定理的充分条件和必要条件，从而得出结论。
2. 推理过程：在推理过程中，我们需要判断某个命题是否成立，这时就可以利用充分和必要条件来进行判断。
3. 实际问题：在实际问题中，我们常常需要找到某个条件对于结果的影响，这时就可以利用充分和必要条件进行分析。
五、举例说明1. 定理证明：对于一个正整数n，如果n是偶数，则n的平方也是偶数。
其中，“n是偶数”是n平方为偶数的充分条件，“n的平方是偶数”是n为偶数的必要条件。
2. 推理过程：如果一个人能够通过高考，则他一定具备高中文化水平。
其中，“通过高考”是“具备高中文化水平”的充分条件，“具备高中文化水平”是“通过高考”的必要条件。
3. 实际问题：如果一辆汽车速度超过80公里/小时，则其行驶距离会增加。
其中，“速度超过80公里/小时”是“行驶距离增加”的充分条件，“行驶距离增加”是“速度超过80公里/小时”的必要条件。
六、总结在数学中，充分和必要条件是重要的概念，它们在定理证明、推理过程和实际问题中都有广泛的应用。
充分条件与必要条件通俗理解
充分条件与必要条件通俗理解
充分条件与必要条件是数学和逻辑学中基本的的概念,用于描述两个事件之间是否相互依赖。
通俗地说,如果一个事件能够发生,那么另一个事件也必须发生,否则它们就不会相互依赖。
充分条件是指,如果一个事件能够发生,那么另一个事件也一定能够发生,二者之间是必然联系。
例如,“下雨天气会导致出门旅行”是一个充分条件,因为如果下雨,就必然不能出门旅行,因此旅行事件必须发生,下雨事件才能发生。
必要条件是指,如果一个事件不能发生,那么另一个事件就不能发生,二者之间是必要联系。
例如,“没有鞋子的人无法出门旅行”是一个必要条件,因为如果没有鞋子,就无法出门,因此旅行事件必须发生,没有鞋子事件才能发生。
在实际应用中,充分条件和必要条件经常用于推理和决策。
例如,在制定旅行计划时,我们需要考虑天气因素,以确保旅行计划可以安全进行。
在投资时,我们需要评估风险和收益,以确定投资是否值得进行。
在做出决策时,我们需要根据充分条件和必要条件来做出正确的判断。
除了充分条件和必要条件,还有其他类型的条件,例如关联规则、条件概率和条件熵等。
这些概念在实际应用中也非常重要。
充分条件和必要条件是数学和逻辑学中基本概念之一,可以用于描述两个事件之间是否相互依赖。
在实际应用中,了解充分条件和必要条件的应用,可以帮助我们做出更加明智的决策和推理。
充分条件和必要条件
2014-2015学年高二数学选修学习目标1. 理解必要条件和充分条件的意义；课后作业A1．已知集合A，B，则“A⊆B”是“A∩B＝A”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件A2．“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A3．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的条件．A4．(2014·湛江一模)“x>2”是“(x－1)2>1”的(B)A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件B5．求不等式ax2＋2x＋1>0恒成立的充要条件．B6．已知p：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，q：2x2－3x－2≥0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．B7．(2013·深圳二模)设x，y∈R，则“x≥1且y≥2”是“x＋y≥3”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B8．(2014·北京卷)设a、b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件B9．(2013·福建卷)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件课堂小结1、充分条件、必要条件的定义；2、判断充分条件、必要条件的步骤。
作业课本P12 A组第三题2。
必要和充分条件怎么判断两者的关系是什么
必要和充分条件怎么判断两者的关系是什么充分条件：如果A能推出B，那么A就是B的充分条件。
必要条件：必要条件是数学中的一种关系形式。
充分必要条件，又称充要条件，是数学中的一种关系形式，即如果能从命题p推出命题q，而且也能从命题q推出命题p，则称p是q的充分必要条件，且q也是p 的充分必要条件。
必要和充分条件怎么判断充分条件：如果A能推出B，那么A就是B的充分条件。
其中A 为B的子集，即属于A的一定属于B，而属于B的不一定属于A，具体的说若存在元素属于B的不属于A，则A为B的真子集；若属于B 的也属于A，则A与B相等。
必要条件：必要条件是数学中的一种关系形式。
如果没有A，则必然没有B；如果有A而未必有B，则A就是B的必要条件，记作B→A，读作“B含于A”。
数学上简单来说就是如果由结果B能推导出条件A，我们就说A是B的必要条件。
充分条件和必要条件的关系1、充分条件：如果条件A是结论B的充分条件：A与其他条件是并连关系，即A、C、D….中任意一个存在都可以使得B成立（就像是个人英雄主义）。
2、必要条件：条件A是结论B的必要条件：A与其他条件是串联关系，即条件A必须存在，且条件C、D….也全部存在才可能导致B结论。
（团结的力量）。
3、充分必要条件，又称充要条件，是数学中的一种关系形式，即如果能从命题p推出命题q，而且也能从命题q推出命题p，则称p 是q的充分必要条件，且q也是p的充分必要条件。
充分条件和必要条件哪个范围大一些充分条件大，充分条件：有A这个条件一定能推出B这个结果，但是有B这个结果不一定能推出A这个唯一条件。
必要条件：有B这个结果一定能推出A这个条件，但是A这个条件不能推出B这个结果。
充要条件”包含了“充分条件”和“必要条件”，范围比两者都要更大，而“充分条件”和“必要条件”则包含了小部分条件不是完整的。
相互推理不同：“充分条件”不能推理出“必要条件”和“充要条件”；“必要条件”不能推理出“充分条件”和“充要条件”；“充要条件”可以推理出一定满足“充分条件”和“必要条件”。
充分条件和必要条件的概念
充分条件和必要条件的概念
如果A能推出B，那么A就是B的充分条件。如果没有A，则必然没有B；如果有A而
未必有B，则A就是B的必要条件。
充分条件：如果a能推出b，那么a就是b的充分条件。其中a为b的子集，即属于
a的一定属于b，而属于b的不一定属于a，具体的说若存在元素属于b的不属于a，则a
为b的`真子集；若属于b的也属于a，则a与b相等。
必要条件：必要条件就是数学中的一种关系形式。如果没a，则必然没b；如果存有a
而未必存有b，则a就是b的必要条件，记作b→a，读成“b镰形a”。数学上直观来说
就是如果由结果b能够推论出来条件a，我们就说道a就是b的必要条件。
充分和必要条件的概念
充分和必要条件的概念
充分和必要条件是概率论、集合论、逻辑学、数学分析等学科中经常用到的概念。
在数学中，充分条件和必要条件是通常是表示一个命题成立的两个条件，其中必要条件是指在命题成立的情况下所必须具备的条件，是使得命题成立的充分条件，也可以理解为充分条件的反面，也就是如果必要条件不成立，则充分条件肯定不成立；充分条件则是指当条件成立时命题也成立，具有充足性，也就是成立的必要条件，如果充分条件成立，则必要条件也会成立。
在实际应用中，充分和必要条件的判断是非常重要的，能够有效的帮助人们理清问题之间的关系和证明问题。
以数学举例来说，比如判断一个数是否为偶数，我们知道必要条件是这个数能够被2整除，充分条件则是如果这个数能够被
2整除，则这个数必定为偶数。
再比如，判断一个数是否为素数，必要条件是这个数只能被1
和本身整除，而充分条件则是如果这个数只能被1和本身整除，则这个数必定为素数。
在实际生活中，也有很多场景涉及到了充分和必要条件的判断，比如我们需要判断一个人是否能够胜任某个工作，必要条件是符合工作的基本要求，充分条件则是拥有相关工作经验或专业知识等。
在逻辑推理中，充分和必要条件的判断也是非常重要的。
例如，如果我们要证明一个结论的正确性，就需要找到其必要条件和充分条件，从而通过证明其必要条件和充分条件的正确性来证明整个结论的正确性。
总之，充分和必要条件是非常重要的概念，能够有效帮助我们理清问题的关系和进行逻辑推理。
在日常生活和各个领域的研究中，都有广泛的应用。
充分条件与必要条件知识点
充分条件与必要条件知识点充分条件与必要条件是高中数学的重要概念,因其抽象而成为学生难于理解的内容,下面是高一数学充分条件与必要条件的知识点.（一）充分条件、必要条件和充要条件1.充分条件：如果A成立，那么B成立，即AnB,则条件A是B成立的充分条件；2.必要条件：如果A成立，那么B成立，即AnB,这时B是A的必然结果，则条件B是A成立的必要条件；3.充要条件：如果有事物情况A,则必然有事物情况B；如果没有事物情况A,则必然没有事物情况B,A就是B的充分必要条件,简称充要条件.简单地说，满足A,必然B；不满足A,必然不B,则A 是B的充分必要条件；反之，如果有事物情况B,则必然有事物情况A；如果没有事物情况B,则必然没有事物情况A,B就是A的充分必要条件,简称充要条件.简单地说，满足B,必然A；不满足B,必然不A,则B是A的充分必要条件.即A可以推导出B,且B也可以推导出A.或者说，如果A既是B成立的充分条件，又是B成立的必要条件，即AoB,则A是B成立的充要条件；同时B也是A成立的充要条件.（二）充分条件、必要条件与充要条件的判断命题“若…，则…”，其条件与结论之间的逻辑关系如下，其中符号“n”叫做推出，符号“会”叫做推不出或叫做不能推出，符号“o”叫做互相推出.1.若AnB且B弃A成立，则A是B成立的充分条件，B是A成立的必要条件；2.若AnB且B=^>Λ成立，则A是B成立的充分且不必要条件，B是A成立必要且非充分条件;3.若A=母B且BnA成立，则B是A成立的充分条件，A是B成立的必要条件；4.若A=B且B=A成立，即A=B成立，则A、B互为充要条件.证明A是B的充要条件，分两步：①充分性：把A当作已知条件，结合命题的前提条件推出B；②必要性：把B当作己知条件，结合命题的前提条件推出A.5.若A弃B且B=M>A成立，则A是B的既不充分也不必要条件.6.若B=e>A且A=e>B成立，则B是A的既不充分也不必要条件.即：由条件能推出结论，但由结论推不出这个条件，这个条件就是充分条件；能由结论推出条件，但由条件推不出结论；此条件为必要条件；既能由结论推出条件，又能有条件推出结论，此条件为充要条件；由条件推不出结论，由结论推不出这个条件，这个条件就是即不充分也不必要条件;充分条件、必要条件的常用判断法L定义法：判断B是A的条件，实际上就是判断BnA或者AnB是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判断即可.2.转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价装换，例如改用其逆否命题进行判断.3集合法在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，可从集合的角度考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B,则:若AGB,则P是q的充分条件,q是P的必要条件；若A3B,则P是q的必要条件，q是P的充分条件；i A=B,则P是q的充要条件；若A不包含于B,且B不包含于A,则P是q的既不充分也不必要条件.从集合与集合间的关系看，若p：χ∈Λ,q：x∈B.①若AqB,则P是q的充分条件，q是P的必要条件；②若A是B的真子集，则P是q的充分不必要条件；③若A=B,则p、q互为充要条件；④若A 不是B的子集且B不是A的子集，则P是q的既不充分也不必要条件.4.充分必要条件的常见集合表示：设A、B是两个集合.①如果A是B的充分条件，那么满足A的必然满足B,表示为AqB；②如果A是B的必要条件，那么满足B的必然满足A,表示为B G A,或A33；③如果A是B的充分不必要条件，那么A是B的真子集；④如果A是B的必要不充分条件，那么B是A的真子集；⑤如果A是B的充分必要条件，那么A、B等价，表示为A=B.5.充分条件与必要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：①确定哪是条件，哪是结论；②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件，④最后判断条件是结论的什么条件.充分条件与必要条件的内涵.1.充分条件:指根据提供的现有条件可以直接判断事物的运行发展结果.充分条件是事物运行发展的必然性条件，体现必然性的内涵.如母亲与女儿的关系属于亲情关系吗？答案是必然属于.2.必要性条件:事物的运行发展有其规律性，必要性条件是指一些外在或内在的条件符合该事物的运行规律的要求，但不能推动事物规律的最终运行.如亲情关系与母女关系，亲情关系符合母女关系的一种现象表达，但不能推出亲情关系属于母女关系.题型解释充分条件与必要条件相关知识例1：（I）A"三角形三条边相等”；B二“三角形三个角相等”；（2）A“某人触犯了刑律”；B二”应当依照刑法对他处以刑罚”；（3）A“付了足够的钱"；B二“能买到商店里的东西”.解：A都是B的充分必要条件：其一，A必然导致B；其二，A是B发生必需的.例2：（I）A.天下雨了，B.地面一定湿；（2）A.地面一定湿,B.天下雨了解：天下雨地面一定湿，但是地面湿不一定是下雨造成的，即A=B且B=e>A成立，所以A是B充分条件；（2）天下雨地面一定湿，但是地面湿不一定是下雨造成的，即A=B>B且BnA成立，以B是A必要条件；例3：已知P:xi,X2是方程x>5χ-6=O的两根，Q:X I+X2=-5,则P是Q的（）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：∙.∙χι,X2是方程X2+5X-6=0的两根，,Xi,X2的值分别为1,-6,1∙X I+X2=1-6=-5,故选A.例4：P是Q的充要条件的是（）A.P:3x+2>5,Q：-2x-3>-5B.P:a>2,b<2,Q:a>bC.P:四边形的两条对角线互相垂直平分，Q:四边形是正方形D.Pra≠O,Q:关于X的方程ax=l有唯――解解：对于A,P:3x+2>5=>x>l,Q L2X-3>-5=>X V1,,P推不出Q,Q推不出P,P是Q既不充分也不必要条件；对于B,P:a>2,b<2zz>Q:a>b；但Q推不出P,故P是Q的充分不必要条件；对于C,若“两条对角线互相垂直平分”成立今“四边形是正方形"；反之，若“四边形是正方形”成立n“两条对角线互相垂直平分”成立，故P是Q的必要条件；对于D,P:a¥0QQ:关于X的方程ax=l有唯一解，故P是Q的充分必要条件；故选D.例5：若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是A 成立的（）A.充分条件B.必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：TA是B的充分条件，,A=B①，YD是C成立的必要条件，,CnD②，C<z>B③，由①③得AnC④，由②④得A=D,,D是A成立的必要条件，故选B.例6：设命题甲为：0<x<5,命题乙为：∣χ-2∣V3,那么甲是乙的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解：解不等式|x-2V3,得TVxV5,「0VxV5,-l<x<5,但TVxV5,0VxV5,二•甲是乙的充分不必要条件，故选A.说明：一般情况下，如果条件甲为x∈A,条件乙为x∈B.当且仅当A=B时•，甲为乙的充要条件.例7：给出下列各组条件：（l）P：ab=O,Q:a2+b2=0；⑵P:xy2O,Q:∣x∣+∣y∣=∣x+y|；（3）P:m>0,Q：方程χ2-x-iTFO有实根；（4）P:IXTl>2,Q:x<-1.其中P是Q的充要条件的有（）A.1组B.2组C.3组D.4组解：（DP是Q的必要条件；（2）P是Q充要条件；（3）P是Q的充分条件；（4）P是Q的必要条件，故选A.。
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充分条件与必要条件 一、教案背景 1.面向学生：高中 学科：数学 2.课时：1 3.学生课前准备： （1）自学教材； （2）理解充分条件与必要条件的概念。 二、设计理念 著名教育学家布鲁纳说过:“知识的获得是一个主动过程. 学习者不应该是信息的被动接受者，而应是知识获取的主动参与者.”《数学课程标准》又提出数学教育要以有利于学生的全面发展为中心；以提供有价值的数学和倡导有意义的学习方式为基本点. 本节课的设计正是以此为理念，在整个授课过程中努力体现学生的主体地位，使学生亲自参与获取知识和技能的全过程，亲身体验知识的发生和发展过程，从而激发学生学习数学的兴趣，培养学生运用数学的意识和能力.
三、教材分析 1. 本节教材的地位、作用 数学活动离不开对问题进行等价转化与非等价转化, 充分条件、必要条件、充要条件及有关知识是进行这些转化的逻辑基础，它们是研究命题的条件与结论之间逻辑关系的重要工具，是中学数学中最重要的数学概念之一,虽然经过初中的学习，学生已经具备了一定的逻辑推理能力，但只有掌握了充分、必要条件的知识,并灵活运用它们进行推理判断，才可以说是建立起了保证数学活动顺利进行的完整的逻辑结构.为了提高这部分内容的学习质量， 教师在进行这一内容的教学时,不可拔高要求,追求一步到位,而要在今后的教学中滚动式逐步深化,使之与学生的知识结构同步发展、完善.
2．教学目标 ⑴ 知识与技能： 初步理解充分条件与必要条件以及充要条件的概念；基本掌握判断充要关系的方法与步骤.
⑵ 过程与方法： 从实例探究中感知概念；从原命题及逆否命题的对比分析中形成概念；从发散练习题的构造中理解概念；从集合的角度深化概念.
⑶ 情感、态度与价值观： 在对命题的条件与结论间逻辑关系的探究中培养学生思维的严谨性；在师生间平等、和谐的交流中，激发学生学习数学的热情.
3．教学重点、难点 本节课介绍了充分条件、必要条件和充要条件三个概念,这三个概念本身是重点.由于这些概念较抽象,与学生的原有思维习惯又有差异. 因此,对三个概念的理解以及运用它们解决相关问题也是本节内容的难点.
重点：⑴ 充分条件、必要条件、充要条件概念的理解； ⑵ 初步判断给定命题的条件与结论之间的关系. 难点：⑴ 在pq中，q是p的必要条件的理解； ⑵ 如何判断p是q的什么条件； ⑶ 在判断命题的条件与结论之间的关系时，条件p的确定.
四、教学方法和手段
1. 教学方法 基于本节课的特点，在教学中主要采用探究式教学法. 师生互动探究、逆向思维探究等
2. 教学手段 由于这是充要条件的概念起始课,文字信息量较普通的数学课要大,因此用软件自制了课件,以简化教师板书工作,增加课堂教学的信息容量,保证学生的活动空间和思维空间，努力提高单位教学效益.
五、教学程序
教 学 过 程 设计意图 教 学 内 容 教师导拨
与学生活动 教学
用具
一、感知概念
⒈ 判断下列“若p则q”形式命题的真假，并研究其逆命题的真假. ⑴ p：小明是陕西人，q：小明是中国人； ⑵ p：5x ， q：0x ；
⑶ p： 22xy， q：xy； ⑷ p：ABA， q：AB；
⑸ p： ab， q：22a>b；
原命题 逆命题 ⑴ 真 假 ⑵ 真 假 ⑶ 假 真 ⑷ 真 真
⑸ 假 假
⒉ 写出⑴的逆否命题，并判断真假. 答：“qp若则” 即：小明不是中国人则小明就不是陕西人. 真命题.（可以根据逆否命题与原命题等价判断）. ⒊ 感知概念、引出课题 问题：能否改变⑴中的条件p，使原命题仍是真命题？ 命题中的条件与结论之间应该具备某种关系，那么这种关系又是什么呢? 这是本节课要讨论的中心问题——充分条件与必要条件.
上课时教师首先给出问题，之后给学生时间思考.学生根据已经学过的知识很容易回答. 电脑 显示 题目 和表 格. 从具体问题出发来引出数学概念更符合学生的认知规律.1、2两组问题在这里可以起到承上启下的作用，既复习了前面所学知识，又找准了学生知识结构上的生长点，为后面充分条件和必要条件定义的学习做准备.
以此让学生认识到命题中的条件与结论之间应该具备某种关系，为下面探究活动提出了问题，并引出课题
二、形成概念
答: 教 学 过 程 设计意图 教 学 内 容 教师导拨
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用具
师生互动探究活动 ⒈ 学生活动 让学生阅读教材第一段，用“”和“”符号表示上述题组1 中的原命题与逆命题 .
学生完成.
培养学生的阅读能力，理解“”符号的含义，为引出定义奠定知识基础.
⒉ 点评学生活动，引出定义 命题⑴、⑵、⑷中，“pq”，即只要有条件p就一定能“充分”保证结论 q成立，这时我们称条件p是 q成立的充分条件，在⑶、⑸中“pq” 则p不是 q成立的充分条件；同时，对于命题⑴，根据逆否命题 “qp” 我们知道，即如果没有q成立，就一定没有p成立，q成立是p成立“必须要有”的条件，我们把q叫p的必要条件.
定义：如果pq，那么p是 q成立的充分条件，同时，q是 p成立的必要条件.
⒊ 尝试初步运用 探究问题： ① 如果p是q的必要条件，那么应该有 pq还是qp？ ②如何判断p是q的什么条件？
结论:p可能是q的充分条件，也可能是必要条件.因此要判断能否有pq或qp.
再回到前面的题组1. ① 判断p是q的什么条件. ② 判断q是p的什么条件. 答：⑴、⑵ pq且qp，则p是 q的充分非必要条件；q是p的必要非充分条件；
⑶pq
，qp，则 p是 q的必要非
充分条件，q是p的充分非必要条件； ⑷pq且 qp，则p是 q的充要条件，q也p是的充要条件； ⑸pq且qp
，则 p是 q的既不充
分也不必要条件. q也是p的既不充分也不必要条件. 师生共同探究充分条件、必要条件的定义，使学生认识到条件和结论是相对的. 探究的结果：学生给出充分、必要条件的定义， 学生讨论问题的结果. 由学生解决，解决的同时又会发现新的知识点，在学习前面知识的基础上，学生完全可以自己得出充要条件的定义. 电脑 显示 问题 电脑 显示 题组 1 . 通过研究原命题得出建立在学生原有认知水平上“充分”这个感性化的词汇，通过研究逆否命题,理解q是p成立的“必须要有”的条件，这就使充分、必要条件概念的引入顺理成章，水到渠成,帮助突破难点1. 以问题的形式引导学生初步明确如何判断充要条件关系,帮助学生突破难点2. 当学生的视线再回到题组1 时，他们的认识已螺旋式上升，到达新的境界，题组1既加深对定义的理解，又让学生感受在具体问题中如何判断充要关系，同时归纳出充分非必要、必要非充分及充要条件. 教 学 过 程 设计意图 教 学 内 容 教师导拨
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用具
定义：如果 p是 q的充分条件, 同时p又是 q的必要条件，则称 p是 q的充分必要条件,简称充要条件. 显然q也是p的充要条件.记作：“pq”.
归纳总结： 通过上面问题，我们发现命题“若p则q”
例1：
例2： 图1中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件？（充分非必要条件）
学生给出定义，教师板 书. 学生总结，之后填表. 由学生完成，在学生讲解的过程中教师引导学生总结出判断步骤. 学生思考解决. 电脑 显示 表格
电脑 显示 题目
电脑 显示 电路 图1.
由学生在实例中发现，并自己给出充要条件的定义，更符合学生的认知规律.
用表格的形式帮助学生明确如何判断充要关系.
在理解定义的基础上解决简单问题，同时归纳判断充要关系的方法与步骤，并强化判断时先要确定谁是条件p,促进学生
养成正确的思维习惯，帮助学生突破难点3. 同时例1也作为课内的操作评价，让学生充分暴露思维障碍，帮助教师了解学生获取知识的现状，以便调整教学节奏.
通过简单模型,将抽象的充分条件概念具体化.
三、 理解概念
A B A是B的什么条件 B是A的 什么条件
两个角相等 两个角是对顶角
ab ab
xAxB且 xAB
0ab 0a
m是4的倍数 m是6的倍数
判别步骤：Ⅰ)认清条件和结论. Ⅱ)考察是否有pq和qp 即原命题和逆命题的真假.
图1 A C C
B
原命题 逆命题 p是q的 (真) (假) 充分非必要条件 (假) (真) 必要非充分条件 (真) (真) 充要条件 (假) (假) 既不充分也不必要条件
pq pq pq
pq
qp qp
qp
qp