第三节 1向量组的秩
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向量组的秩
经过一系列初等行变换 考虑以下
四个向量形式的线性方程组
则 ①
与 同解， ②当 则 关组 有零解, 而
与
同解. 为 的极大无关组时， 有解，因 可由极大无 仅 线性表示；从而
仅有零解,
有解；所以
10
2010年秋季四川大学邓传现
线性无关，且对任意的 可由向量组 向量组 极大无关组. ② 推论 设 ① 同理可证. 为列向量组，若 初等行变换 则
可相互线性表示，称向量
与向量组
反身性 向量组 对称性 若 传递性 若 则 与 与 与
与 与
等价； 等价，
定理 若 示且 , 则 证明 考查方程组 由于 可由 使得
可由 线性相关.
线性表
线性表示，则存在数
因
那么如下齐次线性方程组
3
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中方程数少于未知变量数，故有非零解 我们将证明， 满足 . 事实上，
这表明，方程组 组 线性相关.
也有非零解
4
，所以向量
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推论1 若 表示且
可由 线性无关，那么 .
线性
推论2 任意 个 证明 因任意 基本向量组 由定理知， 证明 设
维向量线性相关. 个 维向量 均可由 线性表示且 线性相关. 和 是两
推论3 等价的线性无关向量组含有向量的个数必相同. 个等价的线性无关向量组，由推论1知 所以 .
若
为行向量组，令
（2）
一系列初等行变换
阶梯形矩阵
的非零行的行数 （3） 则 的非零首元所在的列，是 无关组，并且对应 向量组
16
的一个列极大
的一个列极大无关组，即 的一个极大无关组.
§3 向量组的秩——线性代数
E : e1 , e2 ,
, en
n 中任意n+1个向量都线性相关， R 又 线性无关.
n R 且 的秩 因此向量组E是的一个最大无关组，
等于n.
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7 7
第四章 向量组的线性相关性
例2 设有矩阵
2 1 1 1 1 1 2 1 A 4 6 2 2 3 6 9 7
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3 3
第四章 向量组的线性相关性
证明 只要证向量组A中任意r+1个向量线性相关. 设 b1 , b2 , , br 1 是A中任意r+1个向量， 由条件(2) 从而有 知这r+1个向量能由向量组 A0线性表示，
又 RA = RB， 则有RA = RB =R(A,B) 所以向量组A与向量组B等价.
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1313
R(b1 , b2 , , br 1 ) R(a1 , a2 , , ar ) r
所以r+1个向量 b1 , b2 , , br 1线性相关. 因此向量组
A0 是向量组A的最大无关组.
说明 (1)最大无关组不唯一； (2)向量组与它的最大无关组等价.
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, am 也记作 R(a1 , a2 ,
, am )或 RA .
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向量组的秩的定义
向量组的秩的定义向量组的秩为线性代数的基本概念，它表示的是一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数。
由向量组的秩可以引出矩阵的秩的定义。
一个向量组的极大线性无关组所包含的向量的个数，称为向量组的秩；若向量组的向量都是0向量，则规定其秩为0。
定理根据向量组的秩可以推出一些线性代数中比较有用的定理1、向量组α1，α2，···，αs线性毫无关系等价于r{α1，α2，···，αs}=s。
2、若向量组α1，α2，···，αs可被向量组β1，β2，···，βt线性表出，则r{α1，α2，···，αs}小于等于r{β1，β2，···，βt}。
3、等价的向量组具备成正比的秩。
4、若向量组α1，α2，···，αs线性无关，且可被向量组β1，β2，···，βt线性表出，则s小于等于t。
5、向量组α1，α2，···，αs可以被向量组β1，β2，···，βt线性表出来，且s\uet，则α1，α2，···，αs线性相关。
6、任意n+1个n维向量线性相关。
矩阵的秩有向量组的秩的概念可以引出矩阵的秩的概念。
一个m行n列的矩阵可以看做是m个行向量构成的行向量组，也可看做n个列向量构成的列向量组。
行向量组的秩成为行秩，列向量组的秩成为列秩，容易证明行秩等于列秩，所以就可成为矩阵的秩。
矩阵的秩在线性代数中有着很大的应用，可以用于判断逆矩阵和线性方程组解的计算等方面。
§3向量组的秩
x1 3 4 x 2 2 c c 3 x3 1 1 2 0 0 1 x4
试求全体解向量构成的向量组 S 的秩．
2 1 1 1 1 1 2 1 例：求矩阵 A 4 6 2 2 3 6 9 7
1 1 2 1 r 1 1 1 0 A0 (a1 , a2 , a4 ) ~ 4 6 2 0 6 7 0 3
1 1 0 0
1 1 B0 1 0
R(A0) = 3，计算 A0的前 3 行构成的子式
2 1
2 1 1 1 1 1 2 1 例：求矩阵 A 4 6 2 2 3 6 9 7
2 4 的秩，并求 A 的一个 4 9
最高阶非零子式．
解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵．
1 2 1 1 1 1 2 1 A 4 6 2 2 6 9 7 3 2 1 4 r 0 ~ 4 0 9 0 1 2 1 4 1 1 1 0 0 0 1 3 0 0 0 0
行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故R(A) = 3 ． 第二步求 A 的最高阶非零子式．选取行阶梯形矩阵中非零行 ，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、 的第一个非零元所在的列 二、四列． 1 1 1 1 2 1 r 0 1 1 1 1 1 B ~ A0 (a1 , a2 , a4 ) 0 4 6 2 0 0 1 6 7 0 0 0 3
行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故R(A) = 3 ． 第二步求 A 的最高阶非零子式．选取行阶梯形矩阵中非零行 ，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、 的第一个非零元所在的列 二、四列． 1 1 1 1 2 1 r 0 1 1 1 1 1 B ~ A0 (a1 , a2 , a4 ) 0 4 6 2 0 0 1 6 7 0 0 0 3
向量组的秩
Th 3.7 ( P .132 )
个向量线性相关， → r + 1个向量线性相关，
又因（ ）线性无关， 又因（II）线性无关， （II）是极大无关组。 ）是极大无关组。
由定义 →
显然：向量组（ ）与极大无关组（ ）等价。 显然：向量组（I）与极大无关组（II）等价。
3
（二）向量组的秩 定义3.9 定义 极大无关组（ ） 极大无关组（II）中向量个数 r ， 称为向量组 （I）的秩，记为 ： ）
⋯ α1，α 2， ，α s ( A), 极大无关组 α1，α 2， ，α r ( A′) ⋯ 1 ⋯ β 1，β 2， ，β t ( B ), 极大无关组 β 1，β 2， ，β r2 ( B′ ) ⋯
定理3.12 (P.139) 定理 若（A）与（B）等价 ） ）
证 可由(B)表示及例 由(A)可由 表示及例 知 r1 ≤ r2 ， 可由 表示及例2知 又由(B)可由 表示及例 又由 可由(A)表示及例 知 r1 ≥ r2 , 可由 表示及例2知
求极大无关组、秩及用极大无关组表示其余向量的方法 极大无关组、 用极大无关组表示其余向量的方法
α1，α 2， ，α s ⋯
A = (α 1，α 2， ，α s ) ⋯
列向量行变换！ 列向量行变换！ 行变换
列向量
初等行 初等行变换 ( β 1，β 2， ，β s ) ⋯
=B
可证： 可证：P.137 (1) r( α1，α 2， ，α s ) = r ( B ) （已证） ⋯ 已证）
r ( AB ) ≤ r ( A ), r ( AB ) ≤ r ( B ) 即证： 即证： 证 设 A = (α 1 α 2 ⋯α n ), B = (bij ), AB = C = (γ 1 γ 2 ⋯γ s ) b1 j b1 s b11 b2 j b2 s AB = C = (γ 1 γ 2 ⋯γ s ) = (α1 α 2 ⋯α n ) b21 ⋮ ⋯ ⋮ ⋯ ⋮ b bnj bns n1
个向量线性相关， → r + 1个向量线性相关，
又因（ ）线性无关， 又因（II）线性无关， （II）是极大无关组。 ）是极大无关组。
由定义 →
显然：向量组（ ）与极大无关组（ ）等价。 显然：向量组（I）与极大无关组（II）等价。
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（二）向量组的秩 定义3.9 定义 极大无关组（ ） 极大无关组（II）中向量个数 r ， 称为向量组 （I）的秩，记为 ： ）
⋯ α1，α 2， ，α s ( A), 极大无关组 α1，α 2， ，α r ( A′) ⋯ 1 ⋯ β 1，β 2， ，β t ( B ), 极大无关组 β 1，β 2， ，β r2 ( B′ ) ⋯
定理3.12 (P.139) 定理 若（A）与（B）等价 ） ）
证 可由(B)表示及例 由(A)可由 表示及例 知 r1 ≤ r2 ， 可由 表示及例2知 又由(B)可由 表示及例 又由 可由(A)表示及例 知 r1 ≥ r2 , 可由 表示及例2知
求极大无关组、秩及用极大无关组表示其余向量的方法 极大无关组、 用极大无关组表示其余向量的方法
α1，α 2， ，α s ⋯
A = (α 1，α 2， ，α s ) ⋯
列向量行变换！ 列向量行变换！ 行变换
列向量
初等行 初等行变换 ( β 1，β 2， ，β s ) ⋯
=B
可证： 可证：P.137 (1) r( α1，α 2， ，α s ) = r ( B ) （已证） ⋯ 已证）
r ( AB ) ≤ r ( A ), r ( AB ) ≤ r ( B ) 即证： 即证： 证 设 A = (α 1 α 2 ⋯α n ), B = (bij ), AB = C = (γ 1 γ 2 ⋯γ s ) b1 j b1 s b11 b2 j b2 s AB = C = (γ 1 γ 2 ⋯γ s ) = (α1 α 2 ⋯α n ) b21 ⋮ ⋯ ⋮ ⋯ ⋮ b bnj bns n1
向量组的秩
书例11 书例
三、向量空间的基、维数与向量的坐标 向量空间的基、
在n维向量空间Rn中，n维单位坐标向量组： E：e1，e2，……，en 线性无关，并且Rn的任意向量能由向量组E线性表示。由 此，引出如下定义： 定义8：设V为向量空间.如果V的向量组a1,a2,……,ar满足 定义8 为向量空间.如果V的向量组a 线性无关； （1） a1,a2,……,ar线性无关； 中任意向量都能由a 线性表示； （2） V中任意向量都能由a1,a2,……,ar线性表示； 称为向量空间V的一个基， 那么向量组 a1,a2,……,ar称为向量空间V的一个基，r称为向 量空间V的维数，记作r=dimV,并称V 维向量空间. r=dimV,并称 量空间V的维数，记作r=dimV,并称V为r维向量空间.
（５）矩阵Ａ的列向量组的秩称为Ａ的列秩，它的 行向量组的秩称为Ａ的行秩．
定理７ 矩阵的秩等于它的列向量组的秩, 也等于它的行向量组 的秩. 证明 设A=( a1, a2, ⋅⋅⋅, am), R(A)=r, 并设r阶子式Dr≠0. 由Dr≠0知Dr所在的 列线性无关 又由A中所有r+1阶子式 所在的r列线性无关 列线性无关; 均为零, 知A中任意 +1个列向量都线性相关 因此Dr所在的r 任意r+ 个列向量都线性相关. 任意 个列向量都线性相关 列是A的列向量组的一个最大无关组, 所以A的列向量组的秩 等于r. 类似可证矩阵A的行向量组的秩也等于R(A). 注: 由上述证明可知, 若Dr是矩阵A的一个最高阶非零子式, 则Dr所在的r列即是A的列向量组的一个最大无关组, Dr所在 的r行即是A的行向量组的一个最大无关组.
二、向量组极大无关组的性质
• 向量组A与它的极大线性无关组A0等 价。 • 一个向量组的两个极大线性无关组是等 价的。
三、向量空间的基、维数与向量的坐标 向量空间的基、
在n维向量空间Rn中，n维单位坐标向量组： E：e1，e2，……，en 线性无关，并且Rn的任意向量能由向量组E线性表示。由 此，引出如下定义： 定义8：设V为向量空间.如果V的向量组a1,a2,……,ar满足 定义8 为向量空间.如果V的向量组a 线性无关； （1） a1,a2,……,ar线性无关； 中任意向量都能由a 线性表示； （2） V中任意向量都能由a1,a2,……,ar线性表示； 称为向量空间V的一个基， 那么向量组 a1,a2,……,ar称为向量空间V的一个基，r称为向 量空间V的维数，记作r=dimV,并称V 维向量空间. r=dimV,并称 量空间V的维数，记作r=dimV,并称V为r维向量空间.
（５）矩阵Ａ的列向量组的秩称为Ａ的列秩，它的 行向量组的秩称为Ａ的行秩．
定理７ 矩阵的秩等于它的列向量组的秩, 也等于它的行向量组 的秩. 证明 设A=( a1, a2, ⋅⋅⋅, am), R(A)=r, 并设r阶子式Dr≠0. 由Dr≠0知Dr所在的 列线性无关 又由A中所有r+1阶子式 所在的r列线性无关 列线性无关; 均为零, 知A中任意 +1个列向量都线性相关 因此Dr所在的r 任意r+ 个列向量都线性相关. 任意 个列向量都线性相关 列是A的列向量组的一个最大无关组, 所以A的列向量组的秩 等于r. 类似可证矩阵A的行向量组的秩也等于R(A). 注: 由上述证明可知, 若Dr是矩阵A的一个最高阶非零子式, 则Dr所在的r列即是A的列向量组的一个最大无关组, Dr所在 的r行即是A的行向量组的一个最大无关组.
二、向量组极大无关组的性质
• 向量组A与它的极大线性无关组A0等 价。 • 一个向量组的两个极大线性无关组是等 价的。
线性代数课件chap33向量组的秩(2020)
命题
1. 向量组 1 , 2 ,..., m 线性无关
r 1 , 2 ,..., m m
2. 向量组 1 , 2 ,..., m
线性相关
r 1 , 2 ,..., m m
3. 等价向量组必有相同的秩
4. 若 r 1 , 2 ,..., m r则向量组中
的任意k行与B 的相应的k行具有相同的相关
性
即，矩阵的列变换不改变行的线性相关关系
例、 求向量组的秩和一个极大线性无关组，
并将其它向量用所求的极大线性无关组
线性表示。
1
1
0
1
2
1
2
1
3
6
1 , 2 , 3 4 5
1 1 0 2
0 0 1 3
0 0 0 0
1 2 3 4 5
所以， , , , , =
, , 为一个极大无关组
= + , = − − +
命题 设向量组 1 , 2 ,..., m
（3）设A，B均为m×n矩阵， 则
R(A+B) ≦ R(A)＋R(B)。
（4）设A，B均为m×n矩阵， 则
R(A-B) ？
例 设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，n<m,
证明：(AB)X=0有非零解。
例 设矩阵 Anm , Bmn 满足 AB E ，
且 n<m. 证明： B 的列向量线性无关。
证明 其中任意m个向量构成的向量组的ห้องสมุดไป่ตู้ ≥r+m-s
三、向量组的秩与矩阵秩的关系
经济数学课件 12.3 向量组的秩
的线性相关性。
解 分别以向量 1, 2 , 3为行构造矩阵
A
1 2 3
1
3
பைடு நூலகம்
2
4 1 3
5 7 0
0
11 5
1 4 5 0 行0 1 2 1
0 0 0 0
所以，秩(A) = 2，即向量组 1, 2 , 3的秩为2。由此
得 1, 2 , 3线性相关。
▌
定理 设A是方阵，则A是可逆矩阵的充分必要条 件是：A的行（列）向量组线性无关。
的秩为___。
例 向量组 , （ , ）的秩为___。
定理 向量组 1, 2, …, m 线性相关的充分必要 条件是：秩{1, 2, …, m } < m。
定义 设向量组 1, 2, …, m 的秩为 r，则 1, 2, …, m 中任意 r 个线性无关的向量都称为向量组 1, 2, …, m 的极大线性无关部分组，简称为极大无关
例 已知向量组
1 (1,1,1), 2(1,2,4), 3 (1,3,9)
证明：1,2 ,3 线性无关。
证明 令
1 1 1
A [1,2,3] 1 2 3
1 4 9
经验证 A满秩，所以 1, 2 , 3线性无关。
▌
例 已知向量组 1, 2 ,, n ，求它的秩及一个
极大无关组。
解 令 A [1, 2,, n ] ，设
即
k1 0, k2 0, , km 0
由此得 1, 2,, m 线性无关。
▌
作业:
习题12-3 1. 2
但任意两个行向量
i (aib1,aib2,,aibn), j (a jb1,a jb2,,a jbn)
均线性相关，这是因为 a j i ai j ，而 ai , a j
解 分别以向量 1, 2 , 3为行构造矩阵
A
1 2 3
1
3
பைடு நூலகம்
2
4 1 3
5 7 0
0
11 5
1 4 5 0 行0 1 2 1
0 0 0 0
所以，秩(A) = 2，即向量组 1, 2 , 3的秩为2。由此
得 1, 2 , 3线性相关。
▌
定理 设A是方阵，则A是可逆矩阵的充分必要条 件是：A的行（列）向量组线性无关。
的秩为___。
例 向量组 , （ , ）的秩为___。
定理 向量组 1, 2, …, m 线性相关的充分必要 条件是：秩{1, 2, …, m } < m。
定义 设向量组 1, 2, …, m 的秩为 r，则 1, 2, …, m 中任意 r 个线性无关的向量都称为向量组 1, 2, …, m 的极大线性无关部分组，简称为极大无关
例 已知向量组
1 (1,1,1), 2(1,2,4), 3 (1,3,9)
证明：1,2 ,3 线性无关。
证明 令
1 1 1
A [1,2,3] 1 2 3
1 4 9
经验证 A满秩，所以 1, 2 , 3线性无关。
▌
例 已知向量组 1, 2 ,, n ，求它的秩及一个
极大无关组。
解 令 A [1, 2,, n ] ，设
即
k1 0, k2 0, , km 0
由此得 1, 2,, m 线性无关。
▌
作业:
习题12-3 1. 2
但任意两个行向量
i (aib1,aib2,,aibn), j (a jb1,a jb2,,a jbn)
均线性相关，这是因为 a j i ai j ，而 ai , a j