复变函数2.2,2.3

15
例2 求 Ln 2, Ln( −1) 以及与它们相应的主值 . 解
因为 Ln 2 = ln 2 + 2kπi , π
所以 Ln2 的主值就是 ln2. 因为 Ln( −1) = ln 1 + iArg( −1)
= ( 2k + 1)πi ( k为整数 ) 所以 Ln( −1) 的主值就是 πi .
e
x
x x = 1 + x + + L + + L n! 2!
2
n
−1 x3 x5 x 2 m−1 m −1 sin x = x − + + L + (−1) +L 3! 5! (2m − 1)!
2 4 2m
x x 2m x cos x = 1 − + + L + ( − 1) +L 2! 4! ( 2 m )!
e z = e x ≠ 0, 因此 e z ≠ 0. z x x (2) e = e (cos y + i sin y ), u = e cos y ,
v = e sin y
x
在全平面可微 , 又 ∂u ∂ v ∂u ∂v x x = e cos y = , = − e sin y = − , ∂y ∂y ∂x ∂x
=e
p p ln a + i ( arga + 2 kπ ) q q
一对多
p ln a q
p p cos q (arga + 2kπ ) + i sin q (arga + 2kπ )
a b具有 q 个值, 即取 k = 0,1,2,L, (q − 1)时相应的值 .
23
特殊情况: 特殊情况 1) 当 b = n (正整数 )时,
则e z 解析且(e z )' = e3; iy1 , z2 = x2 + iy2 , 则 e z1 e z2 = e x1 (cos y1 + i sin y1 ) ⋅ e x2 (cos y2 + i sin y2 )
= e x1 + x2 [cos( y1 + y2 ) + i sin( y1 + y2 )]
若 推论 ： u, v在( x, y )处一阶偏导数连续且满足C − R方程,
则f ( z ) = u + iv在 z = x + iy 处可导.
6
2.2 初等函数及其解析性
一、指数函数 二、对数函数 三、乘幂 ab 与幂函数 四、三角函数和双曲函数 五、反三角函数和反双曲函数 六、小结与思考
回 顾
e z 是一个周期函数，即多对一函数。
10
(5)lime 不存在 ( lim e = +∞ , lim e = 0 ) .
z
z
z
z→∞
z = x →+∞
z = x →−∞
这些性质表明复变函数 的指数函数保留了实的 指数 函数的全部优点 . 证明 (1) 当x 为实数时，e x ≠ 0, 故当 z = x + iy 时，
Lnz = Ln ( e w ) = Ln ( e x ) + Ln ( e i ( y + 2 k π ) ) = x + i ( y + 2 k π ) = ln z + iArgz
一对多
1. 定义
满足方程 e w = z ( z ≠ 0) 的函数 w = f ( z ) 称为对数函数, 记为 w = Lnz , 易见:Lnz = ln z + iArgz.
z2
( x + iy )2
x2 − y2
=e
x 2 − y 2 + 2 xyi
,
e
z2
=e
;
−y x +i 2 2 x2 + y2 x + y
( 3) e = e
1 z
1 z
1 x + yi
=e
,
Re(e ) = e
x x2 + y2
y cos 2 . 2 x +y
13
二、对数函数
设z = ew
多对一
1 即 (ln z )' = z
∴ ω = ln z除原点及负实轴外是解 析的 .
19
Lnz 的每个分支除了原点和 负实轴外均是解析的， 负实轴外均是解析的， 1 且( Lnz )' = z
例 2 ：解方程 （1）e = i , （2）e = e
z z
i
1 解：(1） z = Lni = ln1 + ( + 2 k π )i = ( + 2 k )π i 2 2
由于 Arg z 为多值函数 , 所以对数函数 w = f ( z ) 也是多值函数 , 并且每两值相差 2 πi的整数倍 .
14
如果将 Lnz = ln z + iArgz 中 Argz 取主值 arg z ,
为一单值函数， 那末 Lnz 为一单值函数， 记为 ln z， 称为 Lnz 的主值 .
a n = e nLna = e Lna +Lna +L+ Lna = e Lna ⋅ e Lna ⋅ L ⋅ e Lna = a ⋅ a ⋅L⋅ a. 1 2) 当 b = (分数 )时, n
(2) 注意到 e z 为周期函数，故有 z = i + 2 k π i
或者
π
z = Lnei = Ln(cos1 + i sin1)
= ln 1 + i (1 + 2kπ ) = i (1 + 2kπ )
20
注解
1、对数函数w = Lnz是定义在整个复平面减 去原点上的多值函数; 2、对数函数的代数性质（运算性质）： Ln( z1 z 2 ) = Lnz1 + Lnz 2 Ln( z1 / z 2 ) = Lnz1 − Lnz 2 和幅角的加法一样上面 的等式应该理解为
(4) e 2π i
= e ( x1 + x2 )+ i ( y1 + y2 ) = e z1 + z2 . = cos 2π + i sin 2π = 1, 由(3)知
e z + 2π i = e z ⋅ e 2π i = e z . 例1 证明 e z = e z .
证 设z = x + iy , 则 e z = e x + iy = e x cos y + ie x sin y = e x cos y − ie x sin y = e [cos( − y ) + ie sin( − y )] = e
z1 Ln( ) = Ln z1 − Ln z2 z2
17
一般地 Ln z n ≠ n Ln z; 1 n Ln z ≠ Ln z , n 其中n为大于1的正整数。
2)连续性 : ln z在除去原点与负实轴外 处处连续 .
主值 : ln z = ln z + i arg z ,
其中 ln z 除原点外在其它点均连 续;
复习与回顾
1
一、复变函数的导数与微分
1.导数的定义 导数的定义: 导数的定义
设函数 w = f ( z ) 定义于区域 D , z0 为D 中的一 点, 点 z0 + ∆z 不出 D 的范围,
f ( z0 + ∆z ) − f ( z 0 ) 如果极限 lim 存在, ∆z → 0 ∆z 那末就称 f ( z ) 在z0可导 .这个极限值称为 f ( z ) 在 z0
的导数 ,
记作
f ′( z0 ) =
dw f ( z0 + ∆ z ) − f ( z 0 ) . = lim dz z = z0 ∆z → 0 ∆z
2 2
评论：
1. 与实函数的可导定义形式相同。 与实函数的可导定义形式相同。 2. 复杂性在于
z0 + ∆z → z0 (即∆z → 0)的方式是任意的 .
3. f(z) 在点可导则 在此点连续 反之不对 在点可导则f(z)在此点连续 反之不对. 在此点连续,
3
f ( z ) 在一点解析 f ( z ) 在一点可导
此点和其某领域内点点满足 导数定义 ·
仅在此点满足导数定义
·
·
一点可导， 一点解析 ⇒ 一点可导，反之不对
4
因为区域为开集， 因为区域为开集，故点点可导
b
设 a 为不等于零的一个复数 , b 为任意一个 复数, 乘幂 a b 定义为 e bLna ,
注意: 注意:
即 a b = e bLna .
由于 Lna = ln a + i (arga + 2kπ) 是多值的, 因而 a 也是多值的 . (1) 当 b 为整数时 , a = e
b bLna
b
=e
欧拉公式
e
iπ
+1 = 0
9
一、 指数函数
定义复变函数的指数函 数 e z = exp z = e x + iy = e x (cos y + i sin y )
这时 e z = e x , Arge z = y + 2kπ ( k ∈ Z )
( 2.1)
( 2.2)
定理1 指数函数e z具有下述性质 : (1) e z ≠ 0; (2) e z 在全平面解析且( e z )′ = e z ; (3) e z1 ⋅ e z2 = e z1 + z2 ; (4) e 2π i = 1, e z + 2π i = e z ,即e z是以2π i为周期的周期函数.