设计】2018-2019学年高二数学北师大版必修5学案：3.1.1-1.2 不等关系 不等关系与不等式(一)
2019年高二数学必修5 第三章1.1、1.2 不等关系 不等关系与不等式 作业2 Word版含解析
, [学生用书单独成册])[A.基础达标]1．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M ＞NB ．M ＝NC ．M ＜ND ．与x 有关解析：选A.M －N ＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34＞0. 所以M ＞N .2．若－1＜α＜β＜1，则下列各式中恒成立的是( )A ．－2＜α－β＜0B ．－2＜α－β＜－1C ．－1＜α－β＜0D ．－1＜α－β＜1解析：选A.由－1＜α＜1，－1＜β＜1，得－1＜－β＜1，所以－2＜α－β＜2.但α＜β，故－2＜α－β＜0.3．如果log a 3>log b 3，且a ＋b ＝1，那么( )A ．0<a <b <1B ．0<b <a <1C ．1<a <bD ．1<b <a解析：选A.因为a ＋b ＝1，a ，b >0，所以0<a <1，0<b <1.因为log a 3>log b 3，所以lg 3lg a >lg 3lg b. 所以lg a <lg b ．所以0<a <b <1.4．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则2α－β3的范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，56π B.⎝⎛⎭⎫－π6，56π C ．(0，π) D.⎝⎛⎭⎫－π6，π 解析：选D.0＜2α＜π，0≤β3≤π6， 所以－π6≤－β3≤0，由同向不等式相加得到－π6＜2α－β3＜π. 5．已知a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( )A ．若a ＞b ，c ＞b ，则a ＞cB ．若a ＞－b ，则c －a ＜c ＋bC ．若a ＞b ，c ＜d ，则a c ＞b dD ．若a 2＞b 2，则－a ＜－b解析：选B.选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立，选项C 不满足倒数不等式的条件，如a ＞b ＞0，c ＜0＜d 时，不成立；选项D 只有a ＞b ＞0时才可以．否则如a ＝－1，b ＝0时不成立，故选B.6．比较大小：a 2＋b 2＋c 2________2(a ＋b ＋c )－4.解析：a 2＋b 2＋c 2－[2(a ＋b ＋c )－4]＝a 2＋b 2＋c 2－2a －2b －2c ＋4＝(a －1)2＋(b －1)2＋(c －1)2＋1＞0，故a 2＋b 2＋c 2＞2(a ＋b ＋c )－4.答案：＞7．某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，每种邮票至少买两套，则用不等式表示上述不等关系为________．解析：设买票面8角的x 套，买票面2元的y 套，由题意列不等式组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ∈N ＋，y ≥2，y ∈N ＋，0.8×5x ＋2×4y ≤50.即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ∈N ＋，y ≥2，y ∈N＋，2x ＋4y ≤25.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ∈N ＋，y ≥2，y ∈N ＋，2x ＋4y ≤258．已知三个不等式：①ab ＞0，②－c a ＜－d b，③bc ＞ad .以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成________个正确的命题．解析：若①、②成立，则ab ⎝⎛⎭⎫－c a ＜ab ⎝⎛⎭⎫－d b ， 即－bc ＜－ad .所以bc ＞ad .即③成立；若①、③成立，则bc ab ＞ad ab ，所以c a ＞d b. 所以－c a ＜－d b，即②成立； 若②、③成立，则由②得c a ＞d b， 即bc －ad ab＞0. 由③得bc －ad ＞0，则ab ＞0，即①成立．答案：39．在等比数列{a n }和等差数列{b n }中，a 1＝b 1＞0，a 3＝b 3＞0，a 1≠a 3，试比较a 5与b 5的大小．解：设等比数列{a n }的公比为q ，等差数列{b n }的公差为d ，因为a 1＝b 1＞0，a 3＝a 1q 2，b 3＝b 1＋2d ，又a 3＝b 3，所以a 1q 2＝a 1＋2d ，所以2d ＝a 1(q 2－1)．因为a 1≠a 3，所以q 2≠1.而b 5－a 5＝(a 1＋4d )－a 1q 4＝a 1＋2a 1(q 2－1)－a 1q 4＝－a 1q 4＋2a 1q 2－a 1＝－a 1(q 2－1)2＜0，所以b 5＜a 5.10．某中学为加强现代信息技术教学，拟投资建一个初级计算机房和一个高级计算机房，每个计算机房只配置1台教师用机，若干台学生用机．其中初级机房教师用机每台8 000元，学生用机每台3 500元；高级机房教师用机每台11 500元，学生用机每台7 000元．已知两机房购买计算机的总钱数相同，且每个机房购买计算机的总钱数不少于20万元也不超过21万元．则该校拟建的初级机房、高级机房各应有多少台计算机？解：设该校拟建的初级机房有x 台计算机、高级机房有y 台计算机，则⎩⎪⎨⎪⎧0.8＋0.35（x －1）＝1.15＋0.7（y －1），20≤0.8＋0.35（x －1）≤21，20≤1.15＋0.7（y －1）≤21，x ，y ∈N ＋，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，5567≤x ≤5857，271314≤y ≤29514，x ，y ∈N ＋. 因为x 、y 为整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝56，y ＝28或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝58，y ＝29.即该校拟建的初级机房、高级机房各应有56、28或58、29台计算机．[B.能力提升]1．设a ＞1＞b ＞－1，则下列不等式中恒成立的是( )A.1a ＜1bB.1a ＞1bC ．a 2＞2bD ．a ＞b 2解析：选D.A 错，例如a ＝2，b ＝－12时，1a ＝12，1b ＝－2，此时，1a ＞1b；B 错，例如a ＝2，b ＝12时，1a ＝12，1b ＝2，此时，1a ＜1b ；C 错，例如a ＝54，b ＝1516时，a 2＝2516，2b ＝3016，此时a 2＜2b ；由a ＞1，b 2＜1得a ＞b 2正确．2．若x ∈(e －1，1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a解析：选C.因为1e＜x ＜1，所以－1＜ln x ＜0. 令t ＝ln x ，则－1＜t ＜0.所以a －b ＝t －2t ＝－t ＞0，所以a ＞b .c －a ＝t 3－t ＝t (t 2－1)＝t (t ＋1)(t －1)，又因为－1＜t ＜0，所以0＜t ＋1＜1，－2＜t －1＜－1，所以c －a ＞0，所以c ＞a .所以c ＞a ＞b .3．给出下列条件：①1＜a ＜b ；②0＜a ＜b ＜1；③0＜a ＜1＜b .其中，能推出log b 1b ＜log a 1b＜log a b 成立的条件的序号是________(填所有可能的条件的序号)．解析：log b 1b＝－1. 若1＜a ＜b ，则1b ＜1a＜1＜b ， 则log a 1b ＜log a 1a＝－1，故条件①不可以； 若0＜a ＜b ＜1，则b ＜1＜1b ＜1a， 则log a b ＞log a 1b ＞log a 1a ＝－1＝log b 1b，故条件②可以；若0＜a ＜1＜b ，则0＜1b＜1， 则log a 1b＞0，log a b ＜0，故条件③不可以． 答案：②4．已知|a |＜1，则11＋a与1－a 的大小关系为________． 解析：由|a |＜1，得－1＜a ＜1.所以1＋a ＞0，1－a ＞0.即11＋a 1－a ＝11－a 2， 因为0＜1－a 2≤1，所以11－a 2≥1，所以11＋a≥1－a . 答案：11＋a≥1－a 5．甲、乙两位采购员同去一家销售公司买了两次粮食，且两次粮食的价格不同，两位采购员的购粮方式也不同．其中，甲每次购粮1 000 kg ，乙每次购粮用去1 000元钱，谁的购粮方式更合算？解：设两次粮食的价格分别为a 元/kg 与b 元/kg ，且a ≠b .则甲采购员两次购粮的平均单价为1 000（a ＋b ）2×1 000＝a ＋b 2元/kg ， 乙采购员两次购粮的平均单价为2×1 0001 000a ＋1 000b＝2ab a ＋b 元/kg. 因为a ＋b 2－2ab a ＋b ＝（a ＋b ）2－4ab 2（a ＋b ）＝（a －b ）22（a ＋b ）， 又a ＋b ＞0，a ≠b ，(a －b )2＞0，所以（a －b ）22（a ＋b ）＞0，即a ＋b 2＞2ab a ＋b. 所以乙采购员的购粮方式更合算．6．已知f (x )＝ax 2－c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5.求f (3)的取值范围． 解：由⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝a －c ，f （2）＝4a －c .得 ⎩⎨⎧a ＝13[f （2）－f （1）]，c ＝－43f （1）＋13f （2）.所以f (3)＝9a －c ＝83f (2)－53f (1)．因为－1≤f (2)≤5，所以－83≤83f (2)≤403. 因为－4≤f (1)≤－1，所以⎝⎛⎭⎫－53×(－1)≤－53f (1)≤⎝⎛⎭⎫－53×(－4)． 所以53≤－53f (1)≤203， 所以－83＋53≤83f (2)－53f (1)≤403＋203， 即－1≤f (3)≤20.即f (3)的取值范围是[－1，20]．。
2022-2021学年高二数学北师大版必修5练习：3.1.1-1.2 不等关系 不等关系与不等式
第三章 不等式 1.1 不等关系1.2 不等关系与不等式课时目标 1.初步学会作差法比较两实数的大小.2.把握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．1．比较实数a ，b 的大小 (1)文字叙述假如a －b 是正数，那么a ____b ； 假如a －b 等于____，那么a ＝b ；假如a －b 是负数，那么a ____b ，反之也成立． (2)符号表示a －b >0⇔a ____b ； a －b ＝0⇔a ____b ； a －b <0⇔a ____b .2．常用的不等式的基本性质 (1)a >b ⇔b ____a (对称性)；(2)a >b ，b >c ⇒a ____c (传递性)； (3)a >b ⇒a ＋c ____b ＋c (可加性)；(4)a >b ，c >0⇒ac ____bc ；a >b ，c <0⇒ac ____bc ； (5)a >b ，c >d ⇒a ＋c ____b ＋d ； (6)a >b >0，c >d >0⇒ac ____bd ；(7)a >b >0，n ∈N ，n ≥2⇒a n ____b n ； (8)a >b >0，n ∈N ，n ≥2⇒n a ____nb .一、选择题1．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1b B ．a 2>b 2 C.ac 2＋1>bc 2＋1D ．a |c |>b |c | 2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( )A ．a >a b >a b 2 B.a b 2>a b >aC.a b >a >a b 2D.a b >a b2>a 3．已知a 、b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( ) A ．a 2<b 2 B ．a 2b <ab 2 C.1ab 2<1a 2b D.b a <a b4．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <a <c D ．b <c <a5．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( )A ．b －a >0B ．a 3＋b 3<0C ．a 2－b 2<0D ．b ＋a >0 6．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( ) A ．ab >ac B ．ac >bc C ．a |b |>c |b | D ．a 2>b 2>c 2二、填空题7．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围为___________________________． 8．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是________．9．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________．10．设n >1，n ∈N ，A ＝n －n －1，B ＝n ＋1－n ，则A 与B 的大小关系为________．三、解答题11．设a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －ba ＋b的大小．12．设f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，其中x ＞0且x ≠1，试比较f (x )与g (x )的大小．力气提升13．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.1214．设x ，y ，z ∈R ，试比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小．1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了． a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b . 2．作差法比较的一般步骤 第一步：作差；其次步：变形，常接受配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”；第三步：定号，就是确定作差的结果是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分状况争辩) 最终得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不行想当然．1．1 不等关系1．2 不等关系与不等式 答案学问梳理1．(1)> 0 < (2)> ＝ < 2.(1)< (2)> (3)> (4)> < (5)> (6)> (7)> (8)> 作业设计1．C [对A ，若a>0>b ，则1a >0，1b <0，此时1a >1b ，∴A 不成立；对B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，∴B 不成立；对C ，∵c 2＋1≥1，且a>b ，∴a c 2＋1>bc 2＋1恒成立，∴C 正确；对D ，当c ＝0时，a|c|＝b|c|，∴D 不成立．]2．D [取a ＝－2，b ＝－2，则a b ＝1，a b 2＝－12，∴a b >ab 2>a.]3．C [对于A ，当a<0，b<0时，a 2<b 2不成立；对于B ，当a<0，b>0时，a 2b>0，ab 2<0，a 2b<ab 2不成立；对于C ，∵a<b ，1a 2b 2>0，∴1ab 2<1a 2b；对于D ，当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝ab＝－1.]4．C [∵1e <x<1，∴－1<ln x<0.令t ＝ln x ，则－1<t<0. ∴a －b ＝t －2t ＝－t>0，∴a>b. c －a ＝t 3－t ＝t(t 2－1)＝t(t ＋1)(t －1)， 又∵－1<t<0，∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1， ∴c －a>0，∴c>a.∴c>a>b.]5．D [由a>|b|得－a<b<a ，∴a ＋b>0，且a －b>0.∴b －a<0，A 错，D 对．a 3＋b 3＝(a ＋b)(a 2－ab ＋b 2)＝(a ＋b)[(a －b 2)2＋34b 2]∴a 3＋b 3>0，B 错．而a 2－b 2＝(a －b)(a ＋b)>0，∴C 错．]6．A [由a>b>c 及a ＋b ＋c ＝0知a>0，c<0，又∵a>0，b>c ，∴ab>ac.] 7．[－1,6]解析 ∵－1≤b ≤2，∴－2≤－b ≤1，又1≤a ≤5，∴－1≤a －b ≤6. 8．f(x)>g(x)解析 ∵f(x)－g(x)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，∴f(x)>g(x)．9.x 1＋x 2≤12解析 ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 22(1＋x 2)＝－(x －1)22(1＋x 2)≤0，∴x 1＋x 2≤12.10．A>B 解析 A ＝1n ＋n －1，B ＝1n ＋1＋n.∵n ＋n －1<n ＋1＋n ，并且都为正数，∴A>B.11．解 方法一 作差法a 2－b 2a 2＋b 2－a －b a ＋b ＝(a ＋b )(a 2－b 2)－(a －b )(a 2＋b 2)(a 2＋b 2)(a ＋b )＝(a －b )[(a ＋b )2－(a 2＋b 2)](a 2＋b 2)(a ＋b )＝2ab (a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2) ∵a>b>0，∴a ＋b>0，a －b>0,2ab>0.∴2ab (a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2)>0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b.方法二 作商法∵a>b>0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>0，a －ba ＋b >0.∴a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b ＝(a ＋b )2a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2aba 2＋b 2>1. ∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 12．解 f(x)－g(x)＝1＋log x 3－2log x 2＝log x3x 4， ①当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，3x 4＞1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，0＜3x 4＜1，即1＜x ＜43时，log x 3x4＜0，∴f(x)＜g(x)；②当3x 4＝1，即x ＝43时，log x 3x4＝0，即f(x)＝g(x)；③当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，0＜3x 4＜1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，3x 4＞1，即0＜x＜1，或x＞43时，log x3x4＞0，即f(x)＞g(x)．综上所述，当1＜x＜43时，f(x)＜g(x)；当x＝43时，f(x)＝g(x)；当0＜x＜1，或x＞43时，f(x)＞g(x)．13．A[特殊值法．令a1＝14，a2＝34，b1＝14，b2＝34，则a1b1＋a2b2＝1016＝58，a1a2＋b1b2＝616＝38，a1b2＋a2b1＝616＝38，∵58>12>38，∴最大的数应是a1b1＋a2b2.]14．解∵5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，当且仅当x＝y＝12且z＝1时取到等号．。
高中数学北师大版高二必修5第三章1.1、1.2不等关系不等关系与不等式作业2word版含解析
,[学生用书单独成册])[A.基础达标]1．设M ＝x 2，N ＝－x －1，则M 与N 的大小关系是( )A ．M ＞NB ．M ＝NC ．M ＜ND ．与x 有关解析：选A.M －N ＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34＞0. 所以M ＞N .2．若－1＜α＜β＜1，则下列各式中恒成立的是( )A ．－2＜α－β＜0B ．－2＜α－β＜－1C ．－1＜α－β＜0D ．－1＜α－β＜1解析：选A.由－1＜α＜1，－1＜β＜1，得－1＜－β＜1，所以－2＜α－β＜2.但α＜β，故－2＜α－β＜0.3．如果log a 3>log b 3，且a ＋b ＝1，那么( )A ．0<a <b <1B ．0<b <a <1C ．1<a <bD ．1<b <a解析：选A.因为a ＋b ＝1，a ，b >0，所以0<a <1，0<b <1.因为log a 3>log b 3，所以lg 3lg a >lg 3lg b. 所以lg a <lg b ．所以0<a <b <1.4．设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则2α－β3的范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，56π B.⎝⎛⎭⎫－π6，56π C ．(0，π) D.⎝⎛⎭⎫－π6，π 解析：选D.0＜2α＜π，0≤β3≤π6， 所以－π6≤－β3≤0，由同向不等式相加得到－π6＜2α－β3＜π. 5．已知a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( )A ．若a ＞b ，c ＞b ，则a ＞cB ．若a ＞－b ，则c －a ＜c ＋bC ．若a ＞b ，c ＜d ，则a c ＞b dD ．若a 2＞b 2，则－a ＜－b解析：选B.选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立，选项C 不满足倒数不等式的条件，如a ＞b ＞0，c ＜0＜d 时，不成立；选项D 只有a ＞b ＞0时才可以．否则如a ＝－1，b ＝0时不成立，故选B.6．比较大小：a 2＋b 2＋c 2________2(a ＋b ＋c )－4.解析：a 2＋b 2＋c 2－[2(a ＋b ＋c )－4]＝a 2＋b 2＋c 2－2a －2b －2c ＋4＝(a －1)2＋(b －1)2＋(c －1)2＋1＞0，故a 2＋b 2＋c 2＞2(a ＋b ＋c )－4.答案：＞7．某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，每种邮票至少买两套，则用不等式表示上述不等关系为________．解析：设买票面8角的x 套，买票面2元的y 套，由题意列不等式组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ∈N ＋，y ≥2，y ∈N ＋，0.8×5x ＋2×4y ≤50.即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ∈N ＋，y ≥2，y ∈N ＋，2x ＋4y ≤25.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ∈N ＋，y ≥2，y ∈N ＋，2x ＋4y ≤258．已知三个不等式：①ab ＞0，②－c a ＜－d b，③bc ＞ad .以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成________个正确的命题．解析：若①、②成立，则ab ⎝⎛⎭⎫－c a ＜ab ⎝⎛⎭⎫－d b ， 即－bc ＜－ad .所以bc ＞ad .即③成立；若①、③成立，则bc ab ＞ad ab ，所以c a ＞d b. 所以－c a ＜－d b，即②成立； 若②、③成立，则由②得c a ＞d b， 即bc －ad ab＞0. 由③得bc －ad ＞0，则ab ＞0，即①成立．答案：39．在等比数列{a n }和等差数列{b n }中，a 1＝b 1＞0，a 3＝b 3＞0，a 1≠a 3，试比较a 5与b 5的大小．解：设等比数列{a n }的公比为q ，等差数列{b n }的公差为d ，因为a 1＝b 1＞0，a 3＝a 1q 2，b 3＝b 1＋2d ，又a 3＝b 3，所以a 1q 2＝a 1＋2d ，所以2d ＝a 1(q 2－1)．因为a 1≠a 3，所以q 2≠1.而b 5－a 5＝(a 1＋4d )－a 1q 4＝a 1＋2a 1(q 2－1)－a 1q 4＝－a 1q 4＋2a 1q 2－a 1＝－a 1(q 2－1)2＜0，所以b 5＜a 5.10．某中学为加强现代信息技术教学，拟投资建一个初级计算机房和一个高级计算机房，每个计算机房只配置1台教师用机，若干台学生用机．其中初级机房教师用机每台8 000元，学生用机每台3 500元；高级机房教师用机每台11 500元，学生用机每台7 000元．已知两机房购买计算机的总钱数相同，且每个机房购买计算机的总钱数不少于20万元也不超过21万元．则该校拟建的初级机房、高级机房各应有多少台计算机？解：设该校拟建的初级机房有x 台计算机、高级机房有y 台计算机，则⎩⎪⎨⎪⎧0.8＋0.35（x －1）＝1.15＋0.7（y －1），20≤0.8＋0.35（x －1）≤21，20≤1.15＋0.7（y －1）≤21，x ，y ∈N ＋，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ，5567≤x ≤5857，271314≤y ≤29514，x ，y ∈N ＋. 因为x 、y 为整数，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝56，y ＝28或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝58，y ＝29.即该校拟建的初级机房、高级机房各应有56、28或58、29台计算机．[B.能力提升]1．设a ＞1＞b ＞－1，则下列不等式中恒成立的是( )A.1a ＜1bB.1a ＞1bC ．a 2＞2bD ．a ＞b 2解析：选D.A 错，例如a ＝2，b ＝－12时，1a ＝12，1b ＝－2，此时，1a ＞1b ；B 错，例如a ＝2，b ＝12时，1a＝12，1b ＝2，此时，1a ＜1b ；C 错，例如a ＝54，b ＝1516时，a 2＝2516，2b ＝3016，此时a 2＜2b ；由a ＞1，b 2＜1得a ＞b 2正确．2．若x ∈(e －1，1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a解析：选C.因为1e＜x ＜1，所以－1＜ln x ＜0. 令t ＝ln x ，则－1＜t ＜0.所以a －b ＝t －2t ＝－t ＞0，所以a ＞b .c －a ＝t 3－t ＝t (t 2－1)＝t (t ＋1)(t －1)，又因为－1＜t ＜0，所以0＜t ＋1＜1，－2＜t －1＜－1，所以c －a ＞0，所以c ＞a .所以c ＞a ＞b .3．给出下列条件：①1＜a ＜b ；②0＜a ＜b ＜1；③0＜a ＜1＜b .其中，能推出log b 1b ＜log a 1b＜log a b 成立的条件的序号是________(填所有可能的条件的序号)．解析：log b 1b＝－1. 若1＜a ＜b ，则1b ＜1a＜1＜b ， 则log a 1b ＜log a 1a＝－1，故条件①不可以； 若0＜a ＜b ＜1，则b ＜1＜1b ＜1a， 则log a b ＞log a 1b ＞log a 1a ＝－1＝log b 1b， 故条件②可以；若0＜a ＜1＜b ，则0＜1b＜1， 则log a 1b＞0，log a b ＜0，故条件③不可以． 答案：②4．已知|a |＜1，则11＋a与1－a 的大小关系为________．解析：由|a |＜1，得－1＜a ＜1.所以1＋a ＞0，1－a ＞0.即11＋a 1－a ＝11－a 2， 因为0＜1－a 2≤1，所以11－a 2≥1，所以11＋a≥1－a . 答案：11＋a≥1－a 5．甲、乙两位采购员同去一家销售公司买了两次粮食，且两次粮食的价格不同，两位采购员的购粮方式也不同．其中，甲每次购粮1 000 kg ，乙每次购粮用去1 000元钱，谁的购粮方式更合算？解：设两次粮食的价格分别为a 元/kg 与b 元/kg ，且a ≠b .则甲采购员两次购粮的平均单价为1 000（a ＋b ）2×1 000＝a ＋b 2元/kg ， 乙采购员两次购粮的平均单价为2×1 0001 000a ＋1 000b＝2ab a ＋b 元/kg. 因为a ＋b 2－2ab a ＋b ＝（a ＋b ）2－4ab 2（a ＋b ）＝（a －b ）22（a ＋b ）， 又a ＋b ＞0，a ≠b ，(a －b )2＞0，所以（a －b ）22（a ＋b ）＞0，即a ＋b 2＞2ab a ＋b. 所以乙采购员的购粮方式更合算．6．已知f (x )＝ax 2－c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5.求f (3)的取值范围． 解：由⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝a －c ，f （2）＝4a －c .得 ⎩⎨⎧a ＝13[f （2）－f （1）]，c ＝－43f （1）＋13f （2）.所以f (3)＝9a －c ＝83f (2)－53f (1)． 因为－1≤f (2)≤5，所以－83≤83f (2)≤403. 因为－4≤f (1)≤－1，所以⎝⎛⎭⎫－53×(－1)≤－53f (1)≤⎝⎛⎭⎫－53×(－4)． 所以53≤－53f (1)≤203， 所以－83＋53≤83f (2)－53f (1)≤403＋203， 即－1≤f (3)≤20.即f (3)的取值范围是[－1，20]．。
2019-2020学年度北师大版高中数学必修五学案：第三章 1.2 不等关系与不等式(一)
——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度北师大版高中数学必修五学案：第三章 1．2不等关系与不等式（一）______年______月______日____________________部门学习目标 1.实数比较大小的方法.2.通过解决具体问题，培养严谨的思维习惯．知识点一作差法比较两个实数大小的原理思考2x与x2＋1谁大谁小容易确定吗？x2＋1－2x与0的大小关系呢？梳理一般地，可以通过比较a－b与0的大小来比较a与b的大小，其原理是：a>b⇔a－b>0，a＝b⇔a－b＝0，a<b⇔a－b<0.知识点二比较两个实数大小的依据思考有同学借助一个中间量：x－1<x<x＋1来比较x－1与x＋1的大小，这种方法对吗？依据是什么？梳理一般地，比较两个实数的大小，常需要对两个实数变形．为不改变它们的大小关系，需遵循不等式的性质进行变形．常用的依据有：(1)如果a>b，那么a＋c>b＋c.加法性质(2)如果a>b，c>0，那么ac>bc.(3)如果a>b，c<0，那么ac<bc.乘法性质类型一比较大小命题角度1 作差法比较大小例1 已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．反思与感悟比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．作差法比较实数的大小的一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．跟踪训练1 已知x＜1，试比较x3－1与2x2－2x的大小．命题角度2 作商法比较大小例 2 若0＜x＜1，a＞0且a≠1，试比较|loga(1－x)|与|loga(1＋x)|的大小关系．反思与感悟作商法的依据：若b＞0，则＞1⇔a＞b.跟踪训练2 若a＞b＞0，比较aabb与abba的大小．类型二作差法在数学中的应用例3 利用作差法证明下列问题．(1)函数y＝x2在(0，＋∞)上是增函数．(2)若a1>0,0<q<1，则等比数列{an}是递减数列．反思与感悟作差法判断函数的增减性在数学中有着广泛的应用．跟踪训练3 设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1an}为递减数列，则( )A．d<0 B．d>0C．a1d<0 D．a1d>0类型三作差法在实际问题中的应用例4 一般的人，下半身长与全身长的比值在0.57～0.60之间，当这个比值越接近黄金分割值0.618时，人的身材就越好．设某人下半身长为b(cm)，全身长为a(cm)，请问这个人穿上m(cm)的高跟鞋后，下半身长与全身长的比值会增加吗？反思与感悟用数学方法解决实际问题，通常要先把条件目标用式子表示出来，把问题抽象成数学模型，再予以解决．跟踪训练4 甲、乙两人同时从A地出发沿同一路线走到B地，所用时间分别为t1和t2，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n 行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，且m≠n.(1)令路程为1，请用m，n表示出t1和t2；(2)判断谁先到达B地．1．若a>b且c>d，则a＋c与b＋d的大小关系是________________．2．已知M＝2(a2＋b2)，N＝2a－4b＋2ab－7，且a，b∈R，则M，N的大小关系为________________．3．已知a≠1，试比较与1＋a的大小．1．比较大小：(1)步骤：作差→变形→判断符号→下结论．(2)关键点：“变形”是作差比较大小的关键，“变形”的目的在于判断差的符号，而不必考虑差的值是多少．“变形”的常用方法有通分、配方、因式分解等．2．应用：应用比较大小的知识来解决实际生活中的问题，要先把条件目标用式子表示出来，并注意实际问题对式子范围的影响．答案精析问题导学知识点一思考因为2x与x2＋1两个式子都在变化，谁大谁小不容易确定．而x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，大小关系容易确定．知识点二思考这种方法对．其依据是不等式的传递性：若a>b，b>c，则a>c.题型探究例1 解∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)．当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2.综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2.跟踪训练1 解∵(x3－1)－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)[(x－)2＋]，∵(x－)2＋＞0，x－1＜0，∴(x－1)[(x－)2＋]＜0，∴x3－1＜2x2－2x.例2 解1－x|,|loga1＋x|)＝1－x,loga1＋x)))＝1＋x1－x))，∵0＜x＜1，∴1－x))＝－log(1＋x)(1－x)＝log(1＋x)，∵1－x2＝(1＋x)(1－x)＜1，且1－x＞0，∴1＋x＜，∴log(1＋x)＞1，即1－x|,|loga1＋x|)＞1，∴|loga(1＋x)|＜|loga(1－x)|.跟踪训练2 解＝aa－bbb－a＝()a－b，∵a＞b＞0，∴＞1，a－b＞0，∴()a－b＞1，即＞1，又∵a＞b＞0，∴aabb＞abba.例3 证明(1)对于任意的x2>x1>0，有y1－y2＝x－x＝(x1－x2)(x1＋x2)．∵0<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋x2>0，∴(x1－x2)(x1＋x2)<0，即y1－y2<0，∴函数y＝x2在(0，＋∞)上是增函数．(2)∵a1>0,0<q<1，∴an＋1－an＝a1qn－a1qn－1＝a1qn－1(q－1)<0(n∈N＋)，故等比数列{an}是递减数列．跟踪训练3 C [设bn＝2a1an，则bn＋1＝2a1an＋1，由于{2a1an}是递减数列，则bn>bn＋1，即2a1an>2a1an＋1.∵y＝2x是单调增函数，∴a1an>a1an＋1，∴a1an－a1(an＋d)>0，∴a1(an－an－d)>0，即a1(－d)>0，∴a1d<0.]例4 解没穿高跟鞋前下半身与全身长之比为，穿高跟鞋后下半身与全身长之比为，已知a，b，m都是正数，且a>b，则b＋m－＝b＋ma－a＋mb,a＋ma)a＋m＝a＋ma)＝a－b,a＋ma).∵a，b，m都是正整数，且a>b，∴m>0，m＋a>0，a>0，a－b>0，∴－>0，故>，即穿上高跟鞋后，下半身长与全身长的比值会增加．跟踪训练4 解(1)t1×m＋t1×n＝1⇒t1＝，t2＝＋＝.(2)t1－t2＝－m＋n2mn＝m＋n2,2mnm＋n)＝－m－n2,2mnm＋n)<0，故t1<t2，即甲先到达B地．当堂训练1．a＋c>b＋d 2.M>N3．解－(1＋a)＝.①当a＝0时，＝0，∴＝1＋a.②当a<1且a≠0时，>0，∴>1＋a.③当a>1时，<0，∴<1＋a.综上所述，当a＝0时，＝1＋a；当a<1且a≠0时，>1＋a；当a>1时，<1＋a.。
北师版数学高二-必修5课件 -1.2 不等关系 不等关系与不等式(一)
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4.某市政府准备投资1 800万元兴办一所中学.经调查，班级数量 以20至30个为宜，每个初中、高中班硬件配置分别为28万元与58 万元，该学校的规模(初中、高中班级数量)所满足的条件是什么？ 解 设该校有初中班x个，高中班y个，
20≤x＋y≤30， 则有28x＋58y≤1 800，
A.a－b>0
B.a－b<0
C.a－b≥0
D.a－b≤0
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2.某隧道入口竖立着“限高4.5 m”的警示牌，是指示司 机要安全通过隧道，应使车载货物高度h满足关系为( C ) A.h<4.5 B.h>4.5 C.h≤4.5 D.h≥4.5
3.比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小. 解 ∵(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4) ＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0. ∴(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4).
3.比较实数a，b大小的依据
(1)文字叙述：如果a－b是 正数 ，那么a>b；如果a－b
等于零 ，那么a＝b；如果aபைடு நூலகம்b是负数 ，那么a<b.反过来也
对.
a>b
a＝b
(2)符号表示a<：ba－b>0⇔ ；a－b＝0⇔
；
a－b<0⇔ .
要点一 用不等式(组)表示不等关系
例1 2008年春节前夕，我国南方大部分地区遭受特大雪冻天 气.灾区学生小李家中经济发生困难，为帮助小李解决开学费 用问题，小李所在班级学生(小李除外)决定承担这笔费用.若 每人承担12元人民币，则多出84元；若每人承担10元，则不 够；若每人承担11元，又多出40元以上.若该班除小李外共有x 人，这笔开学费用共用y元，用不等式(组)表示上述不等关系.
北师版数学高二北师大版必修5课件 -1.2 不等关系 不等关系与不等式(一)
思考3 通常，“如果p，则q”为正确命题，则简记为 p⇒q；如果p⇒q且q⇒p都是正确的命题，记为p⇔q.那么a －b的结果与a，b的大小关系如何表示？ 答 a－b>0⇔a>b，a－b<0⇔a<b，a－b＝0⇔a＝b.
小结 (1)对于任意两个实数a，b，在a＞b，a＝b，a<b 三种关系中有且仅有一种成立. (2)a>b⇔a－b>0；a＝b⇔a－b＝0；a<b⇔a－b<0.
(2)若m＞0，比较mm与2m的大小. 解 m2mm＝m2 m.当m2 ＝1，即 m＝2 时，m2 m＝1， ∴mm＝2m；当m2 ＞1，即 m＞2 时，m2mm＞1，∴mm＞2m； 当 0<m2 <1，即 0<m<2 时，0<m2mm<1，
∴mm<2m.
当堂测·查疑缺
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1.下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是( C )
明目标、知重点
跟踪训练3 (1)已知a，b∈R＋.试利用作差法比较a3＋b3与 a2b＋ab2的大小. 解 ∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2) ＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2) ＝(a－b)2(a＋b) 当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2； 当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2.
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4.某市政府准备投资1 800万元兴办一所中学.经调查，班级 数量以20至30个为宜，每个初中、高中班硬件配置分别为 28万元与58万元，该学校的规模(初中、高中班级数量)所满 足的条件是什么？ 解 设该校有初中班x个，高中班y个，
20≤x＋y≤30， 则有
高中数学_3.1.1 不等关系与不等式教学设计学情分析教材分析课后反思
一、教材分析1、教材所处地位、作用本节课是高中新课程人教B版必修5第三章第一节第一课时的内容.本节的内容是继学习等量关系之后，在实际生活中存在的又一新的关系-----不等关系。
不等关系在现实世界与日常生活中大量存在，在数学研究和数学应用中与等量关系同样起着重要的作用，它是学习不等式性质及解法的基础，又是构造方程、不等式与函数的基石；因此本节具有重要的奠基作用.不等式与方程、函数、三角等内容有着密切的联系，在高考题中不等式常与其他知识交汇呈现，因此不等式在高考中占有比较重要的基础地位。
而本节课是不等式的起始课，学好本节课是学习本章的基础。
通过学习有助于学生认识到学习不等关系及不等式的必要性和重要性,在具体情境中感受并由此产生用数学研究不等关系的强烈愿望,并且为进一步学习后面的内容起了良好的铺垫作用.2、教学目标根据教学大纲要求、高考考试大纲说明、新课程标准精神和学生心理认知特征，我确定了三个层面的教学目标：知识与技能：使学生感受现实世界中存在大量的不等关系；理解不等式（组）的实际背景；掌握作差比较法。
过程与方法：经历从实际情景的不等关系中抽象出不等式模型的过程,学会从实际问题分析问题、解决问题的方法，掌握作差比较法。
情感态度与价值观：则是让学生感受数学源于生活，用于生活，并培养严谨的思维习惯. 3、重点与难点根据上述教学目标，我认为本节课的重点应该是：教学重点：用不等式(组)表示实际问题中的不等关系，初步掌握作差比较法。
而考虑到学生实际应用能力上的欠缺，那么用不等式或不等式组准确地表示出不等关系，就成为本节课的一个难点，并且在两式作差变形上的灵活度学生也难以把握，所以作差比较法的应用则是另一个难点。
二、学情分析教学应走在学生发展的前面，教学创造着最近发展区，对学生现有发展水平的充分了解对我们的教学至关重要。
所以我对学生的学情作了如下分析第一，初中已学过简单的不等式；第二，会比较两数的大小；第三，具备“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有一定的抽象概括能力、数学建模能力和合情推理能力．第四，因式分解和配方法还不够熟练。
高中数学 第3章 不等式 1.1 不等关系 1.2 不等关系与不等式讲义教案 北师大版必修5
学习资料第3章不等式§1不等关系1．1不等关系1．2不等关系与不等式学习目标核心素养1．了解现实世界和日常生活中的不等关系．2．了解不等式（组)的实际背景．（难点）3．能用作差法比较大小．(重点) 1．通过认识不等关系及不等符号，培养数学抽象素养．2．通过对两数（式)比较大小，提升逻辑推理素养．1．不等式中的数字符号阅读教材P69～P71“练习”以上部分,完成下列问题．两个数或代数式常用以下数学符号连接：“＝”“≠"“＞”“＜"“≥”“≤”．文字语言数学符号文字语言数学符号大于＞至多≤小于＜至少≥大于等于≥不少于≥小于等于≤不多于≤思考：（1）限速v不超过40 km/h，用不等式如何表示?［提示]v≤40 km/h．(2)如何用不等式表示“a与b的差是非负数”？［提示]a－b≥0．2．比较大小阅读教材P72~P73“练习"以上部分，完成下列问题．（1)作差法比较两实数大小依据如果a －b ＞0,那么a ＞b ．如果a －b ＜0，那么a ＜b ．如果a －b ＝0，那么a ＝b结论 确定任意两个实数a ，b 的大小关系，只需确定它们的差a －b 与0的大小关系 ①对称性:若a ＞b ，则b ＜a ；若b ＜a ,则a ＞b ． ②传递性：若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ．③同向可加性：若a ＞b ,c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ．④乘法法则：若a >b ，c >0，则ac >bc ；若a 〉b ,c <0，则ac 〈bc ． ⑤同向的可乘性：若a ＞b ＞0，c ＞d ＞0，则ac ＞bd ． ⑥乘方法则：若a ＞b ＞0，则a n ＞b n （n ∈N ＋，且n ≥2）． ⑦开方法则：若a ＞b ＞0，则na ＞错误!（n ∈N ＋，且n ≥2)． ⑧同号取倒数反序性:若a ＞b ，ab ＞0，则错误!＜错误!． 思考：（1）“若a ＞b ，c ＞d ，那么ac ＞bd ”成立吗？［提示］ 不成立，如a ＝－2，b ＝－3，c ＝1，d ＝0，则ac ＜bd ． (2)“若a n ＞b n ,（n ∈N ＋，且n ≥2)，则a ＞b ”一定成立吗？ ［提示］ 不一定，如（－4)2＞（－2）2，但－4＜－2．1．如果a ＜0，b ＞0，那么,下列不等式中正确的是( ) A ．1a ＜错误!B ．错误!＜错误!C ．a 2＜b 2D ．|a ｜＞｜b ｜A ［A 正确，B 、C 、D 可举反例排除，如对B 、C ，设a ＝－9，b ＝1,对D,设a ＝－1，b ＝2即可．］2．当x ＞2时，x 2与2x 的大小关系为 ．x 2＞2x ［x 2－2x ＝x （x －2)，因为x ＞2,故x (x －2）＞0，即x 2＞2x ．］ 3．已知a 〉b >c ,且a ＋b ＋c ＝0，则b 2－4ac 的值的符号为 ． 正 ［因为a ＋b ＋c ＝0， 所以b ＝－（a ＋c ）， 所以b 2＝a 2＋c 2＋2ac ．所以b 2－4ac ＝a 2＋c 2－2ac ＝(a －c ）2． 因为a 〉c ， 所以（a －c )2〉0．所以b2－4ac〉0，即b2－4ac的符号为正．］4．已知a〉b>c，则1a－b＋错误!＋错误!的值为(填“正数”“非正数”“非负数”)．正数［因为a>b>c，所以a－b〉0，b－c〉0，a－c〉b－c〉0．所以错误!>0，错误!〉0，1a－c<错误!,所以错误!＋错误!－错误!〉0,所以错误!＋错误!＋错误!为正数．］用不等式(组）表示不等关系【例13克，乙料5克；配一剂B种药需甲料5克，乙料4克．今有甲料20克，乙料25克,若A，B两种药至少各配一剂，设A，B两种药分别配x,y剂(x，y∈N＋)，请写出x，y所满足的不等关系．[解］根据题意可得错误!(1)将不等关系表示成不等式(组)的思路①读懂题意,找准不等关系所联系的量；②用适当的不等号连接；,③若有多个不等关系，根据情况用不等式组表示。
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§1 不等关系 1．1 不等关系 1．2 不等关系与不等式(一) [学习目标] 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大小．
[知识链接] 下面关于不等式的几个命题正确的有________． (1)a与b的和是非负数可表示为a＋b＞0； (2)某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4 m”可表示为0(3)设点A与平面α的距离为d，B为平面α上的任意一点，则有0(4)任意实数a，b之间的大小关系可表示为a≥b或a＜b. 答案 (2)(3)(4) 解析 对于(1)，应表示为a＋b≥0；其余命题正确． [预习导引] 1．不等式的概念 用数学符号“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子，叫作不等式． 2．符号“≥”和“≤”的含义 (1)如果a，b是两个实数，那么a≥b，即为a>b或a＝b； (2)a≤b即为a3．比较实数a，b大小的依据 (1)文字叙述：如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于零，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a(2)符号表示：a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a要点一 用不等式(组)表示不等关系 例1 2008年春节前夕，我国南方大部分地区遭受特大雪冻天气．灾区学生小李家中经济发生困难，为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生(小李除外)决定承担这笔费用．若每人承担12元人民币，则多出84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上．若该班除小李外共有x人，这笔开学费用共用y元，用不等式(组)表示上述不等关系． 解 由于该班除小李外共有x人，这笔开学费用共y元，
则： 12x－y＝84，10x40，x∈N＋. 规律方法 数学的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系，思维要严密、规范． 跟踪演练1 如右图，在一个面积为350平方米的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地．仓库的长L大于宽W的4倍．写出L与W的关系．
解 由题意，得 L＋10W＋10＝350，L>4W，L>0，W>0. 例2 某用户计划购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒．问：软件数与磁盘数应满足什么条件？ 解 设软件数为x，磁盘数为y，根据题意可得 60x＋70y≤500，
x≥3且x∈N＋，y≥2且y∈N＋.
规律方法 在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，才可用不等关系表示；没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示．另外，在用不等式(组)表示实际问题时，一定要注意单位的统一． 跟踪演练2 某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种．按照生产的要求，600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍．请写出满足上述不等关系的所有不等式． 解 假设截得500 mm的钢管 x根，截得600 mm的钢管y根．根据题意，应满足的不等关系为
500x＋600y≤4 000，3x≥y，x∈N，y∈N.
要点二 实数大小的比较 例3 试比较大小． (1)(x＋1)(x＋5)与(x＋3)2； (2)aabb与abba(a＞0，b＞0)． 解 (1)由于(x＋1)(x＋5)－(x＋3)2 ＝(x2＋6x＋5)－(x2＋6x＋9)＝－4＜0. ∴(x＋1)(x＋5)＜(x＋3)2. (2)∵a＞0，b＞0，∴aabb＞0，abba＞0，
∴aabbabba＝aa－bba－b＝(ab)a－b. 讨论：①当a＞b时，ab＞1，a－b＞0，∴(ab)a－b＞1， ∴aabb＞abba. ②当a＝b时，ab＝1，a－b＝0，∴(ab)a－b＝1， ∴aabb＝abba. ③当a＜b时，0＜ab＜1，a－b＜0，∴(ab)a－b＞1， ∴aabb＞abba. 综上可知，当a＞0，b＞0时，aabb≥abba. 规律方法 1.作差法比较大小 (1)作差法比较两个实数的大小时，关键是作差后变形，一般变形越彻底越有利于下一步的判断． (2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化；⑤分类等． 2．作商法比较大小 作商法适用于幂式、积式、分式间大小的比较，作商后可变形为能与1比较大小的式子，要注意利用函数的有关性质进行比较． 跟踪演练3 (1)已知a>0，b>0.试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小． (2)若m＞0，比较mm与2m的大小． 解 (1)∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2) ＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2) ＝(a－b)2(a＋b)， 当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2； 当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2. (2)mm2m＝(m2)m.当m2＝1，即m＝2时，(m2)m＝1， ∴mm＝2m.当m2＞1，即m＞2时，mm2m＞1，∴mm＞2m. 当0＜m2＜1，即0＜m＜2时，0＜mm2m＜1，∴mm＜2m.
1．下面表示“a与b的差是非负数”的不等关系的是( ) A．a－b>0 B．a－b<0 C．a－b≥0 D．a－b≤0 答案 C 2．某隧道入口竖立着“限高4.5 m”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车载货物高度h满足关系为( ) A．h<4.5 B．h>4.5 C．h≤4.5 D．h≥4.5 答案 C 3．比较(a＋3)(a－5)与(a＋2)(a－4)的大小． 解 ∵(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4) ＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7<0. ∴(a＋3)(a－5)<(a＋2)(a－4)． 4．某市政府准备投资1 800万元兴办一所中学．经调查，班级数量以20至30个为宜，每个初中、高中班硬件配置分别为28万元与58万元，该学校的规模(初中、高中班级数量)所满足的条件是什么？ 解 设该校有初中班x个，高中班y个，
则有 20≤x＋y≤30，28x＋58y≤1 800，x∈N＋，y∈N＋.
1.比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了． a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a2．作差法比较的一般步骤 第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)． 最后得结论． 概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键． 一、基础达标 1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式表示就是( )
A. x≥95y≥380z>45 B. x≥95y>380z≥45
C. x>95y>380z>45 D. x≥95y>380z>45 答案 D 解析 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x≥95，y>380，z>45. 2．已知a、b分别对应数轴上的A、B两点，且A在原点右侧，B在原点左侧，则下列不等式成立的是( ) A．a－b≤0 B．a＋b<0 C．|a|>|b| D．a2＋b2≥－2ab 答案 D 解析 a>0，b<0.则a－b>0，而a＋b的符号不确定， |b|与|a|的大小也不确定． 3．已知m＝x2＋2x，n＝3x＋2，则( ) A．m>n B．mC．m＝n D．m与n的大小不能确定 答案 D 解析 m－n＝x2＋2x－(3x＋2)＝x2－x－2
＝(x－12)2－94≥－94， ∵m－n无法判断与0的大小，∴m与n的大小不能确定． 4．若1≤a≤5，－1≤b≤2，则a－b的取值范围是________． 答案 [－1,6] 解析 ∵－1≤b≤2，∴－2≤－b≤1，又1≤a≤5. ∴－1≤a－b≤6. 5．某种植物适宜生长的温度为18 ℃～20 ℃的山区，已知山区海拔每升高100 m，气温下降0.55 ℃.现测得山脚下的平均气温为22 ℃，用不等式表示该植物种在山区适宜的高度为______(不求解)．
答案 18≤22－0.55x100≤20
解析 设该植物适宜的种植高度为x m，由题意，得18≤22－0.55x100≤20. 6．比较大小：(x＋5)(x＋7)与(x＋6)2. 解 (x＋5)(x＋7)－(x＋6)2 ＝x2＋12x＋35－(x2＋12x＋36) ＝－1<0， 所以(x＋5)(x＋7)<(x＋6)2. 7．某化工厂制定明年某产品的生产计划，受下面条件的制约：生产此产品的工人数不超过200人；每个工人年工作约计2 100h；预计此产品明年销售量至少80 000袋；每袋需用4 h；每袋需要原料20 kg；年底库存原料600 t，明年可补充1 200 t．试根据这些数据预测明年的产量．
解 设明年的产量为x袋，则 x≥80 000，4x≤200×2 100，0.02x≤600＋1 200. 二、能力提升 8．b g糖水中有a g糖(b>a>0)，若再添上m g糖(m>0)，则糖水变甜了，根据这个事实提炼的一个不等式为( )
A.a＋mb＋mab
C.a－mb－mab 答案 B 解析 变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了． 9．若a>0且a≠1，M＝loga(a3＋1)，N＝loga(a2＋1)，则M，N的大小关系为( ) A．MC．M>N D．M≥N 答案 C 解析 当a>1时，a3＋1>a2＋1， 此时，y＝loga x为(0，＋∞)上的增函数，