第12节δ函数和梳状函数
δ函数的物理性质分析
山西师范大学本科毕业论文δ函数的物理性质分析姓名陈晓林院系物理与信息工程学院专业物理学班级0901学号0952010142指导教师杨虎答辩日期成绩δ函数的物理性质分析内容摘要研究δ函数在物理学中的作用是应用用数学方式处理问题的一个典型。
这个函数作为奇函数之中的一种，其所特有的优越性也在解决物理方面问题的同时显示了出来。
这篇文章在介绍δ函数的定义及其性质的同时，同样也分析了δ函数的物理意义，而且主要分析了δ函数在物理学中的作用。
并且也举例δ函数在物理的各个学科中的不同的应用，从而对δ函数有了特别全面的了解，同时能够对用数学的方法处理物理问题时有更高层次的理解和认识。
【关键词】δ函数安培环路定理δ势阱Analysis of physical properties of Dirac functionAbstractDelta function is a typical example solving physical problems by mathematical method. As a singular function, in solving physics problems it demonstrated unique advantages. This paper introduces the definition and properties of Delta function, based on analyzed the physical meaning of Delta function, focusing on the Delta function in the application of physical. It cited the application of different physical disciplines, and thus Delta function has a more comprehensive understanding to the mathematical treatment of physical problems have a higher level of understanding and awareness.【key words】: δfunction Ampere’s cycle law δPotential well目录引言 (1)一、δ函数的定义（definition of Delta Function）.. （1）1.1类似于初等函数形式的定义 (1)1.2普通函数序列极限形式的定义式 (2)1.3广义函数形式的定义 (3)1.4comb(x)—梳状函数 (4)二、δ函数的物理性质及其解释 (4)2.1δ函数的筛选性 (4)2.2δ函数的积分性 (5)2.3δ函数坐标的缩放性 (5)2.4δ函数的乘积性质 (6)2.5δ函数的傅里叶变换 (8)三、δ函数在物理学中的应用 (8)3.1δ函数在电磁学中两大定理证明中的应用 (8)3.2δ函数在力学中的应用 (11)3.3δ函数在光学中的应用 (11)3.4δ势在势阱中的穿透作用 (12)参考文献 (14)致谢 (15)δ函数的物理性质分析学生姓名：陈晓林指导教师：杨虎引言δ函数作为一个为了描述一些宽度极为窄小，而幅度趋于无穷大的物理量而被引入到物理中[1]，例如：质点、点电荷、点光源或者其他一些高度集中的物理量，所以δ函数又叫做脉冲函数。
辅助函数 delta函数
辅助函数 delta函数
δ函数，也称为狄拉克δ函数，是数学中的一种特殊函数。
它在物理学、工程学和数学分析中都有重要的应用。
δ函数的定义和性质使它成为处理信号、线性系统和微分方程等领域中的有用工具。
在数学上，δ函数通常被定义为满足以下性质的广义函数：
1. δ函数在实数轴上的积分为1，即∫δ(x)dx = 1。
2. δ函数在原点以外的任何点x处都等于0，即δ(x) = 0 (x ≠ 0)。
3. 在积分的意义下，δ函数的性质可以被表示为，
∫f(x)δ(x)dx = f(0)，其中f(x)是一个连续函数，且积分区间包含原点。
在物理学中，δ函数经常用于描述质点的位置、电荷分布和线性系统的冲激响应。
在信号处理中，δ函数可以用来表示单位冲激信号，它在系统分析和频域处理中起着重要作用。
在微分方程中，
δ函数可以用来表示微分方程的初值条件或者外部激励。
需要注意的是，δ函数并不是一个严格意义上的函数，而是一个广义函数或者分布。
它的定义和性质需要通过广义函数理论来进行严格的描述和推导。
总之，δ函数在数学、物理学和工程学中都具有重要的地位，它的特殊性质使得它成为处理信号、系统和微分方程等问题时不可或缺的工具。
希望这个回答能够从多个角度全面地解释δ函数的性质和应用。
δ函数
Delta函数用特殊函数展开
用Bessel函数展开
1 δ (x x ) = 2l
其中
∑
i =1
∞
J m ( k m i x )J m ( k m i x ) / Q i
2
a2 2 Qi = {[ J 2
m
(1 m 2 ) 2 ( k m i a )]2 + 2 2 }J m ( k m i a ) km i a
也可以用余弦函数展开
1 ∞ δ ( x x' ) = ∑ cos(nπ x / L) cos(nπ x ' / L) 2 L n =1
用谐函数展开有：
π 1 ∞ j nL ( x x ') δ ( x x ') = ∑e 2 L n =∞
二维和三维表达式
对二维 Delta 函数可以表示成为两个一维 Delta 函数的乘积； δ(ρ-ρ')=δ(x-x')δ(y-y') 而三维Delta函数又可以三 个一维Delta函数的乘积来表示: δ(r-r')=δ(x-x')δ(y-y')δ(z-z')
这里b’(x) 在x=0处是连续的。
导数特性
导数及泰勒展开
δ ( k ) ( x ) = ( 1) k δ ( x )
b( x )δ ( k ) ( x ) = ( 1) k [b( k ) ( 0)δ ( x ) + C1k b( k 1) ( 0)δ '( x ) + + C2k b( k 2 ) ( 0)δ ''( x )+...+ Ckk1b '( 0)δ ' ( k 1) ( x ) + + b( 0)δ ( k ) ( x )]
光学常用非初等函数
3、符号函数—sgn(x) ：
1 1
⎧1 ⎪ sgn( x) = ⎨ 0 ⎪− 1 ⎩
x>0 x=0 x<0
sgn( x) 6 −1 1 −5 x 5 0 6
4、阶跃函数—step(x)或H(x)：光学上表示直边或刀口 衍射体;
1 1
⎧ 1 ⎪ step ( x) = ⎨1 / 2 ⎪ 0 ⎩
x>0 x=0 x<0
0 0
推论2：f(x)是(a,b)中函数.
⎧ f ( x0 ), a < x0 < b ∫∞δ ( x − x0 ) f ( x)dx = ⎨ 0, 其他 ⎩ − （b）乘法性质
∞
δ ( x − x0 ) f ( x) = δ ( x − x0 ) f ( x0 )
推论:
⎧ 0，x0 ≠ 0 δ ( x − x0 )δ ( x) = ⎨ ⎩无定义, x0 = 0
2
(
2
)
0.5 0.33 0.17
5.255×10
− 13
3 −3
2
1
0 x
1
2 3
3
Rect(x)
二、一维非初等函数一般形式 1、函数的比例、平移： 比例、反射：
f ( x) ⇒ bf (ax) a：横向缩放因子, 负号代表反射； b：纵向缩放因子，负号代表反射；
Rect(x) -ax x -bf(x) x
4、 两维δ函数与梳状函数： （a）定义和性质:自变量由一维扩展到两维。
comb
δ
δ ( x, y ) = δ ( x ) ⋅ δ ( y )
comb( x, y ) = comb( x) ⋅ comb( y )
（b）极坐标中的δ函数。
δ函数
School of Physics & Material Science
1.2 δ函数
(2) 重复排列
第一章 线性系统分析
Information Optics
School of Physics & Material Science
1.2 δ函数
第一章 线性系统分析
• 常用的表现形式有
(x, y) lim n2 exp[n2 (x2 y2 )] n
(x, y) lim n2rect(nx)rect(ny) n
(x, y) lim n2sinc(nx)sinc(ny) n
(x, y) lim n2 circ(n x2 y2 ) n
exp( j2 x)d (x)
exp( j2 x)dx ( )
δ函数与阶跃函数的关系
(x) d step(x)
dt
x
step(x) ( )d
Information Optics
School of Physics & Material Science
第一章 线性系统分析
(x na) 1 ( x n) 1 comb( x)
n
a n a
a
a
comb( x x0 ) a
( x x0
n
a
n)
a
(x
n
x0
na)
a [x (x0 na)] n
x x0, y y0 x x0, y y0
Information Optics
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δ函数(下
- x0 b
)] g(x)
n
g (x 0
n
nb)
(x
x0
nb)
§ 2. 脉冲激励函数-δ函数
c.梳状函数的性质
6.抽样性质
g (x)
1
•
0
x
g s (x)
0x0 b x
0 x0
b
x
正实数常数
[
1 b
comb( x
- x0 b
)] g(x)
n
g (x 0
n
nb) (x
x0
nb)
§ 2. 脉冲激励函数-δ函数
Optical Information Processing
光学信息处理
第一章
Linear System Analysis
线性系统分析
§ 2. 脉冲激励函数-δ函数
c. 梳状函数： 1. 一维梳状函数：
n
comb(x) (x n) n
comb ( x )
1
3 2
1
01
2
3
x
——有无数个δ函数组成 ——每个δ函数都落在整数坐标上
§ 2. 脉冲激励函数-δ函数
2. 二维梳状函数：
comb(x, y) comb(x)comb( y)
n
comb(x) (x n)
n
comb( y) ( y n)
n
n
comb ( x , y ) y
1
3 2 1
01 2
3
x
§ 2. 脉冲激励函数-δ函数
讨论：写出下图的函数g(x)表达式。
k
[
1
(x k)]
k 1
n和k的定义域和值域完全相同 证毕
2常用函数
应用： 单缝透过率、门函数、时间脉冲波形.
光学上常用矩形函数表示不透明屏上的矩形孔、狭缝的透过 率。它与其它函数相乘，可限制函数自变量的取值范围，起 到截取函数的作用，故又称为门函数。
如
rect( x )cos x a
表示一个只出现在区间 a , a 上的余弦函数
2 2
y
0
x0
r0
)
(
0
)
这里
r0
0
x02 arctan
y02
y0
x0
(r0 0)
(0 0 )
同时
(r r0 )dr 1
r0 0 ？
2
0
(
0 )dr
1
0 0 2
3 ) 坐标缩放： (ax) 1 (x)
N
x2 y2
Nrect( Nx)
N3
N2
1
2N1
N1
x
0 1 2N1
N exp( N 2 x2 )
N3
N2 N1
x
0
δ函数性质
筛选性质 可分离变量性质 坐标缩放性质 与普通函数乘积性质 卷积性质
1) 筛选特性：
对任一连续函数 (x), 有：
(x) (x)dx (0) and (x) (x x0)dx (x0)
0
a x0 2
x0
x0
a 2
x
矩形函数——二维定义式为：
1 rect(x, y) rect(x)rect( y) 1/ 2
0
梳状comb(x)函数可编辑全文
则有：
comb(ax) 1 (x m)
| a | m
a
这是强度为1/|a|、脉冲间隔为1/a的δ函数无穷限序列。 当a>1时，脉冲间隔压缩； 当a<1时，脉冲间隔放大。
3)、平移性质
设a和x0皆为实常数， 则有：
comb(ax
x0
)
|
1 a
|
m
(x
m a
x0 a
)
除了常数a的缩放作用之外，系统的坐标原点向左平 移了 x0/a。
梳状comb(x)函数
内容：
• 1°一维梳状函数的定义 • 2°梳状函数的性质 • 3°二维梳状函数
1°一维梳状函数的定义
comb(x) (x m) m
这是间隔为1，强度为1的δ函数无穷系列，所以梳状函数 又称为单位脉冲序列或单位脉冲梳。-1 0 1 2 3 x
图1 comb(x)的图形
4)、乘法性质(抽样性质)
设f(x)是定义在区间(-∞，∞)的连续函数，则有：
f (x)comb(x) f (m) (x m) fs (x) m
这表明，连续函数f(x)与 comb(x)相乘，结果是一个强 度为f(m)的脉冲序列，于是 连续分布的函数f(x)变成了离 散分布的函数fs(x)，从而实 现了对连续函数的抽样，因 此，comb(x)的乘法性质也可 称为comb(x)的抽样性质。图 2画出了应用comb(x)对连续 函数抽样的示意图。
fs(x)
f(x)
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
图2 comb(x)的抽样性质
3°二维梳状函数
二维梳状函数的定义、性质以及相应的证明过程和一 维梳状函数相同，即将自变量由一维扩展到二维即可。
*二维梳状函数表示为： comb( x , y ) x y
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1/ n
x
n
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§1.2 函数和梳状函数
函数的定义（有多种，介绍三种）
3.广义函数形式的定义：
赋予检验函数 x, y 以一个数 0 0, 0
即：
x,
y
x,
y
dx
dy
0,
0
要求 x, y 在 0, 0 处连续
不同形式的函数，只要它在上述积分中的作用满
足上式，即可认为它们与 x, y 相等
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§1.2 函数和梳状函数
函数的物理意义
为考察质量或能量在空间或时间上高度集中的现 象，抽象出质点、点电荷、点光源、瞬时脉冲等 物理模型
函数就是用来描述上述物理模型的数学工具 函数不是普通函数，是广义函数，其属性由它
在积分中的作用表现出来
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函数的性质
采样性质：
f x
x x0
f x0
f x0 x x0
0
x0
x
思考：如何证明采样性质？
f x, y x x0, y y0 f x0, y0 x x0, y y0
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§1.2 函数和梳状函数
函数的性质
3.分离变量性质：
x, y x y
n
n
x y 得证！
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§1.2 函数和梳状函数
函数的性质
3.分离变量性质：
x, y x y
4.采样性质：与普通函数乘积的性质
f x, y x x0, y y0 f x0, y0 x x0, y y0
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§1.2 函数和梳状函数
§1.2 函数和梳状函数
函数的定义（有多种，介绍三种）
1.类似普通非初等函数形式的定义：
x,
y
,
0,
x y0 x 0, y 0
x,
y
dx
dy
1
思考：
二维 函数的图？
xx0 x0, y y0
应同时满足积分式（守恒定律） 保留了“数值”对应关系的痕迹 0
y y0
x0 x0
第一章
线性系统分析
教材：苏显渝等《信息光学》
第一章+第二章部分内容
上节回顾
常用非初等函数： 矩形函数、sinc函数、三角形函数、 符号函数、阶跃函数、圆柱函数 定义、图形、特征参数的实际含义？ 应用？
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本章内容
§1.1 常用非初等函数
§1.2 函数和梳状函数
§1.3 卷积和相关 §1.4 傅里叶变换 §1.5 线性系统分析 §1.6 二维光场分析 §1.7 透镜的傅里叶变换性质
f x,
y x x0,
y
y0 dx dy
f x0,
y0
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§1.2 函数和梳状函数
函数的性质
筛选性质：
【证明】
f
x,
y x x0,
y
y0 dx dy
f
x0 ,
y0
令 X x x0、Y y y0，则 dX dx、dY dy，
则左边变为：
f
X
x0 ,
函数的定义（有多种，介绍三种）
2.普通函数序列极限形式的定义：
x,
y
lim
n
gn
x,
y
满足条件函数序列很多，常用的有：
x, y lim n2 exp[n2 (x2 y2 )]
1
n
y
x, y lim n2rect(nx) rect(ny)
n
x, y lim n2sinc (nx) sinc (ny)
…
…
3 2 1 0 1 2 3
x
由无数个 函数组成，也是光电工程学院 林丹樱
§1.2 函数和梳状函数
4.采样性质：与普通函数乘积的性质
f x, y x x0, y y0 f x0, y0 x x0, y y0
5.偶函数性质：
x, y x, y x, y x, y
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§1.2 函数和梳状函数
梳状函数的定义
一维梳状函数：combx x n n comb x
f x,
y x x0,
y
y0 dx dy
f x0,
y0
2.坐标缩放性质：
设 a 、b 为实常数，则有 ax, by 1 x, y
| ab |
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§1.2 函数和梳状函数
函数的性质
坐标缩放性质：
【证明】 ax, by 1 x, y | ab | ax, by x, y
| ab |
令 X ax、Y by，则 dX a dx、dY b dy，
左边代入 函数的广义函数定义的积分式，则：
x,
y|
ab
|
ax,
by
dx
dy
x, y 得证！
X a
,
Y b
X
,
Y
dX
dY
0 a
,
0 b
0,
0
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§1.2 函数和梳状函数
函数的性质
x
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§1.2 函数和梳状函数
函数的定义（有多种，介绍三种）
2.普通函数序列极限形式的定义：
x,
y
lim
n
gn
x,
y
且对该函数序列中的任一函数，皆有：
gn x,
y
dx dy
1
lim
n
gn
x,
y
0,
x
0,
y
0
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§1.2 函数和梳状函数
3.分离变量性质：
x, y x y
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§1.2 函数和梳状函数
函数的性质
分离变量性质：
【证明】 x, y x y
由 函数的函数序列极限形式定义，有
x, y lim n2 exp[n2 (x2 y2)] n
lim nexp n2x2 lim nexp n2y2
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§1.2 函数和梳状函数
函数的定义（有多种，介绍三种）
三种定义形式是等效的 应根据具体问题选用最合适的形式
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§1.2 函数和梳状函数
函数的性质
广义函数定
1.筛选性质：
义形式的扩 展
设函数 f x, y 在 x0, y0 点连续，则有：
Y
y0
X
,
Y
dX
dY
令检验函数 X , Y f X x0, Y y0
代入 函数的广义函数定义，则左边化为：
X,Y
X,Y
dX dY 0, 0
f
x , y 得证！ 0 深0 圳大学光电工程学院 林丹樱
§1.2 函数和梳状函数
函数的性质
1.筛选性质：
设函数 f x, y 在 x0, y0 点连续，则有