函数函数定义
函数的基本概念
函数的基本概念函数是数学中的一个重要概念，也是数学分析的基础。
它在数学和其他领域中有着广泛的应用。
本文将介绍函数的基本概念以及一些常见的函数类型。
1. 函数的定义函数是数学中一种对应关系，它将一个集合中的每个元素都映射到另一个集合中的唯一元素。
通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为因变量。
函数可以用图像、表格或公式的形式表示。
2. 函数的表示方法函数可以通过不同的方式进行表示。
常见的表示方法包括：- 变量表达式：如y = 2x + 1，其中y表示因变量，x表示自变量。
- 函数图像：通过绘制自变量和因变量之间的关系，可以得到函数的图像。
图像可以帮助我们更直观地理解函数的性质。
- 函数表格：通过将自变量和因变量的对应关系列成表格形式，可以清晰地展示函数的取值情况。
3. 函数的定义域和值域函数的定义域是指自变量的取值范围，即函数能够接受的输入。
函数的值域是指函数的所有可能输出值，即函数的取值范围。
定义域和值域是函数的重要性质，可以帮助我们了解函数的范围和性质。
4. 常见的函数类型4.1 线性函数线性函数是最简单的一种函数类型，其表达式为f(x) = ax + b，其中a和b为常数，a不等于零。
线性函数的图像为一条直线，具有常等差的特点。
4.2 幂函数幂函数是指形如f(x) = x^n的函数，其中n为整数。
幂函数的图像根据n的不同而变化，n为偶数时图像可以是开口向上或向下的抛物线，n为奇数时图像则可以是一条直线。
4.3 指数函数指数函数是指形如f(x) = a^x的函数，其中a为正实数且不等于1。
指数函数的图像通常呈现出逐渐增长或逐渐减小的曲线，具有指数增长或指数衰减的特点。
4.4 对数函数对数函数是指形如f(x) = log_a(x)的函数，其中a为正实数且不等于1。
对数函数的图像通常呈现出逐渐增长但增长速度逐渐减缓的曲线，具有反指数增长的特点。
4.5 三角函数三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
函数的概念及表示
函数的概念及表示知识点1：函数的概念1.函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A 中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B 的一个函数，通常记为：y＝f(x)，x∈A.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域.2.规律方法：(1)判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A、B必须是非空数集；A 中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．(2)函数的定义中“每一个元素”与“有唯一的元素y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．考点1：函数的判定典型例题例1 判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数．(1)A＝N，B＝R，对于任意的x∈A，x→±x；(2)A＝R，B＝N*，对于任意的x∈A，x→|x－2|；(3)A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，对于任意的x∈A，x→0.例2 下列从集合A到集合B的对应关系中，不能构成从A到B的函数的是________．(只填序号)①集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝x2；②集合A＝{x|2≤x≤3}，B＝{y|4≤y≤7}，f：x→y＝3x－2；③集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤3}，f：x→y＝－x＋4；④集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝4－x2；⑤集合A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝R，对任意(x，y)∈A，f：(x，y)→x＋y.知识点2：函数的图像1.概念：将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))，当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．2.作函数图像的方法：（1）利用描点法作函数图象的基本步骤：求定义域→化简解析式→列表→描点→连线（2）在画定义域为某一区间的函数图象时，要注意端点值的画法，闭区间画实心点，开区间画空心圈．考点1：画函数的图象 典型例题例1 作下列函数的图象(1)y ＝x 2＋x (－1≤x ≤1)； (2)y ＝2x (－2≤x <1，且x ≠0)．(3)y ＝1＋x (x ∈Z)； (4)y ＝x 2－2x ，x ∈[0,3)．考点2：函数图象的识别例1 设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是________．(填序号)例2 如图所示，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝ax ＋b (a ≠0)的图象可能是________(填序号)．考点3：函数图象的应用例1 画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；(2)若x1<x2<1，比较f(x1)与f(x2)的大小；(3)求函数f(x)的值域；(4)若关于x的方程f(x)＝k在[－1,2]内仅有一个实根，求k的取值范围．例2 若方程－x2＋3x－m＝3－x在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围．考点4：函数图像在实际问题中的应用例1 某商场销售一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见表)：(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；(2)设销售此商品的日销售利润为P元，根据上述关系写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？知识点3：函数的定义域1.概念：函数的定义域是指自变量x的范围2.函数定义域的求解方法：(1)若()x f为整式，则定义域为R.(2)若()x f是分式，则其定义域是分母不为0的实数集合(3)若()x f 是偶次根式，则其定义域是使根号下式子不小于0的实数的集合； (4)若()x f 是由几部分组成的，其定义域是使各部分都有意义的实数的集合； (5)实际问题中，确定定义域要考虑实际问题. 考点1：具体函数定义域求解 例1 求下列函数的定义域：⑴y =⑵y =⑶01(21)111y x x =+-++-考点2：抽象函数定义域求解例1 设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________；例 2 若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x+的定义域为 .例3 已知()x f 的定义域为[]1,0，求函数()⎪⎭⎫⎝⎛++=342x f x f y 的定义域.例4 已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围.知识点4：函数的值域1.概念：函数的值域指因变量y 的范围2.函数值域的求解方法： （1）观察法 （2）判别式法 （3）配方法 （4）换元法 （5）不等式法 （6）图像法 （7）分离常数法 考点1：用观察法求值域 例1 求下列函数的值域：（1）2415+-=x x y （2）123422--+-=x x x x y考点2：用配方法求值域例1 求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域.考点3：用反解+判别式法求值域例1 求函数3274222++-+=x x x x y 的值域考点4：用换元法求值域 例1 求函数12--=x x y 的值域考点5：用不等式法求值域例1 求函数()22415≥+-=x x x y 的值域考点6：用图像法求值域 例1 求下列函数的值域：⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈例2 画出函数[]5,1,642∈+-=x x x y 的图像，并根据其图像写出该函数的值域。
函数的11个概念
函数的11个概念函数是数学中的一个重要概念，它在数学领域、计算机科学领域和其他许多学科中都有广泛应用。
下面我将详细介绍函数的11个概念。
1. 函数定义函数是一种特殊的关系，它将一个自变量的值映射到一个因变量的值。
对于每个自变量的取值，函数都具有唯一的因变量值。
函数的定义常用函数公式、表格或图像表示。
2. 函数的值域和定义域函数的定义域是所有自变量的取值范围，值域是函数所有可能的因变量值的范围。
在一些情况下，值域和定义域可能有限制。
3. 函数的反函数函数的反函数是指将函数的因变量和自变量进行互换得到的新函数。
反函数可以理解为原函数的逆运算，它可以通过函数的图像关于直线y=x的对称性得到。
4. 函数的奇偶性函数可以根据其图像的对称性来确定奇偶性。
如果函数满足f(-x) = f(x) ，则它是偶函数；如果函数满足f(-x) = -f(x)，则它是奇函数。
有些函数既不是偶函数也不是奇函数。
5. 函数的零点函数的零点是指函数取零值的自变量的值。
求函数的零点通常需要解方程f(x) = 0, 通过求解这个方程可以找到函数的零点。
6. 函数的连续性函数的连续性是指函数在其定义域内的所有点都具有连续性。
一个函数在某一点连续，意味着在这个点函数的极限存在且等于函数在该点的值。
函数的连续性在数学分析和物理学中有广泛应用。
7. 函数的导数和导函数函数的导数描述了函数在某一点的变化率。
如果函数在某一点可导，那么该点的导数表示了函数曲线在该点的切线的斜率。
导函数是原函数的导数函数，它可以用来求函数在某点的切线斜率。
8. 函数的积分和不定积分函数的积分描述了函数在一定区间上的“累积变化”。
不定积分是对函数求解反函数运算，它可以得到函数在给定区间上的积分值。
积分在数学和物理学中有广泛应用。
9. 函数的极限函数的极限描述了函数在某一点不断逼近某个特定值的趋势。
极限可以用来描述函数在无穷大或无穷小趋势的特性。
10. 函数的峰值和谷值函数的峰值和谷值是函数在定义域内的最大值和最小值。
定义函数的几种方法
定义函数的几种方法函数是计算机程序中一个独立且可重复使用的代码块。
它可以接受输入参数，并通过执行特定的操作来产生输出结果。
函数是程序设计中的一种基础概念，它将大型程序分解成较小的模块，使得代码更加模块化、易读、易维护。
在不同的编程语言中，定义函数的方式和语法可能会有所不同。
下面是一些常见的函数定义的方法。
1. 函数定义关键字：通过在不同的编程语言中使用特定关键字来定义函数。
例如，在Python中使用`def`关键字来定义函数，形式如下：```pythondef function_name(parameters):#执行代码块return result```其中`function_name`是函数的名称，`parameters`是函数的参数，可以有一个或多个。
`return`关键字用于返回函数的结果。
2. 匿名函数：有些编程语言支持匿名函数的定义方式。
它们也被称为lambda函数。
这种函数没有名称，通常用于简单的操作。
例如，在Python中可以使用以下方式定义匿名函数：```pythonlambda parameters: expression其中`parameters`是函数的参数，可以有一个或多个。
`expression`是函数的操作，执行并返回结果。
3. 方法定义：有些编程语言中，函数被定义在类的内部，被称为方法。
在这种情况下，函数会关联到特定的对象，并可以访问该对象的属性和方法。
方法定义的方式与函数定义类似，但它们是通过类来调用的。
例如，在Python中的方法定义形式如下：```pythonclass ClassName:def method_name(self, parameters):#执行代码块return result```其中`ClassName`是类的名称，`method_name`是方法的名称，`parameters`是方法的参数，可以有一个或多个。
`self`参数表示该方法是对象的一部分。
函数的定义
函数的定义函数的传统定义:设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量。
我们将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。
函数的近代定义:设A，B都是非空的数的集合，f:x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f:A→B就叫做函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合A叫做函数f(x)的定义域，象集合C叫做函数f(x)的值域，显然有CB。
符号y=f(x)即是“y是x的函数”的数学表示，应理解为:x是自变量，它是法则所施加的对象;f是对应法则，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述;y是自变量的函数，当x为允许的某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值，当f用解析式表示时，则解析式为函数解析式。
y=f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定是解析式，在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等符号来表示。
对函数概念的理解函数的两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。
这样，就不难得知函数实质是从非空数集A到非空数集B的一个特殊的映射。
由函数的近代定义可知，函数概念含有三个要素:定义域A、值域C和对应法则f。
其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。
y=f(x)的意义是:y等于x在法则f下的对应值，而f是“对应”得以实现的方法和途径，是联系x与y的纽带，所以是函数的核心。
至于用什么字母表示自变量、因变量和对应法则，这是无关紧要的。
函数的定义域(即原象集合)是自变量x的取值范围，它是构成函数的一个不可缺少的组成部分。
当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则完全确定之后，函数的值域也就随之确定了。
函数的定义是什么？
函数的定义是什么？导读：本文是关于生活中常识的，仅供参考，如果觉得很不错，欢迎点评和分享。
给定一个数集A，假设其中的元素为x。
现对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B。
假设B中的元素为y。
则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。
我们把这个关系式就叫函数关系式，简称函数。
函数的由来中文数学书上使用的“函数”一词是转译词。
是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1859年）一书时，把“function”译成“函数”的。
中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思。
李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数。
”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量。
这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数。
”所以“函数”是指公式里含有变量的意思。
我们所说的方程的确切定义是指含有未知数的等式。
但是方程一词在我国早期的数学专著《九章算术》中，意思指的是包含多个未知量的联立一次方程，即所说的线性方程组。
函数的定义给定一个数集A，假设其中的元素为x。
现对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B。
假设B中的元素为y。
则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示。
我们把这个关系式就叫函数关系式，简称函数。
函数概念含有三个要素：定义域A、值域C和对应法则f。
其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。
首先要理解，函数是发生在集合之间的一种对应关系。
然后，要理解发生在A、B之间的函数关系不止且不止一个。
最后，要重点理解函数的三要素。
函数的对应法则通常用解析式表示，但大量的函数关系是无法用解析式表示的，可以用图像、表格及其他形式表示。
在一个变化过程中，发生变化的量叫变量（数学中，常常为x，而y则随x值的变化而变化），有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。
自变量（函数）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。
函数的定义及有关概念
函数的定义及有关概念
函数是数学中常见的概念，它是一个将一个或多个输入值映射到唯一一个输出值的规则或过程。
函数通常表示为f(x)或y = f(x)，其中x是输入值，f是函数，y 是输出值。
函数的定义包括几个重要的要素：
1. 定义域：函数的定义域是指所有可能输入值的集合。
它限定了函数能够接受的输入范围。
2. 值域：函数的值域是指所有可能输出值的集合。
它限定了函数能够产生的输出范围。
3. 图像：函数的图像是指函数在坐标系中的表示形式。
它由所有输入值与其对应的输出值组成的点的集合构成。
4. 关系：函数定义了输入和输出之间的关系。
对于每个输入值，函数只能有一个输出值。
5. 映射：函数将每个输入值映射到唯一一个输出值。
这个映射过程可以通过一个算法、公式或规则来表示。
6. 变量：函数中的变量是指输入值和输出值可变的量。
在函数定义中，通常用字母x表示输入变量，用字母y表示输出变量。
函数可以有不同的类型和形式，比如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。
函数的性质和特点也可以通过函数的图像、导数、积分等来描述和分析。
函数在数学和科学中有着广泛的应用，它是建立数学模型、解决问题的重要工具。
函数的三种定义方式
函数的三种定义方式一、函数的定义函数是一段被封装起来的代码块，用于实现特定的功能。
它是程序的基本组成单元，可以重复使用，提高代码的可读性和重用性。
函数定义的一般形式如下：def函数名(参数1, 参数2, ...):# 函数体# ...return返回值函数定义的关键字是def，紧接着是函数名，括号中是参数列表，用逗号分隔。
函数体是由冒号后的缩进代码块组成，可以包含多条语句。
return关键字用于返回函数的结果，可以省略。
二、函数的三种定义方式Python中有三种定义函数的方式，分别是普通函数，匿名函数和高阶函数。
2.1 普通函数普通函数是最常见的函数定义方式。
它可以根据需要接收参数，执行特定的功能，然后返回结果。
普通函数的定义方式如下：def函数名(参数1, 参数2, ...):# 函数体# ...return返回值普通函数通过def关键字定义，后面是函数名和参数列表，函数体由冒号后的缩进代码块组成。
最后使用return语句返回函数的结果。
2.2 匿名函数匿名函数也被称为lambda函数，是一种短小、简洁的函数定义方式。
它只能由单条表达式组成，不需要使用def关键字定义函数名。
匿名函数的定义方式如下：lambda参数1, 参数2, ...: 表达式lambda关键字表示定义一个匿名函数，后跟参数列表和冒号，冒号后是一个表达式，表达式的结果将作为匿名函数的返回值。
2.3 高阶函数高阶函数是指能够接收函数作为参数或者返回函数的函数。
它可以将函数作为一等公民对待，实现更加灵活和抽象的编程。
高阶函数的定义方式如下：def高阶函数名(函数名):# 函数体# ...return函数高阶函数使用def关键字定义，后面是函数名和参数列表，函数体可以包含多条语句。
最后使用return语句返回一个函数。
三、函数的应用场景函数的定义方式决定了它们的应用场景。
下面是函数的三种定义方式在实际编程中的应用场景：3.1 普通函数的应用场景普通函数可以实现复杂的逻辑，较为常见的应用场景有： - 封装特定功能的代码片段，提高代码重用性。
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问题 S市某日自动测量仪记录下的用电负荷曲线 2 如下图所示。
（1）这个问题中，涉及哪几个量？ （（32））这给一出天这的天用中电的高某峰一、时用刻电，低如谷4.时5h，，负20荷h各，是你
多能少找？到它这们一分时别刻是的在负什荷么y（时×刻1达03到兆的瓦？）是多少吗？
你是怎么找到的？找到的值唯一吗？
自变量与因变量
在某个变化过程中如果只涉及两个变量，且它们 之间有一种对应关系，当给定其中一个变量（自变量 ）的值，根据这个对应关系就唯一确定了另一个变量 （因变量）。
先给定的变量叫自变量：
根据对应关系及给定的自变量的值确定的 变量叫因变量：
明确概念：
函数
一般地，设在一个变化过程中有两个变量x，y， 如果对于x在它允许取值范围内的每一个值，y都有 唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x
课堂小结：
• 本节课我们学习主要内容是什么？ • 你有什么收获？
的函数。
若当x=a时，y=b，则称b叫当自变量取a时的函数值
定义包含以下几个内容： 1、在一个变化过程中； 2、有且只有两个变量；
3、当自变量在允许取值的范围内每取定一个值，函数 都有唯一的确定值和它对应。
做一做：1、瓶子和罐头盒等圆柱形的物体，常常如
下图那样堆放。随着层数的增加，物体的总数是如何 变化的？
度h/m
思考： （1）这个问题中，涉及哪几个量？
（（32））你观能察求表出格上，升热后气3球m在in和升6空m过in程时中，平 热均气每球分到上达升的多海少拔米高？度吗？
时间 0 1 2 3 4 5 6 7 …
t/min
海拔高 1800 1830 1860 1890 1920 1950 1980 2010 …
0<m≤20 0.80
20<m ≤40 1.20
40<m ≤60 1.60
上表中有几个变量？你能将其中某个变 量看成另一个变量的函数吗？
邮资y是信件质量m的函数吗？
信件质量m是邮资y的函数吗？
练习1：
下列问题反映了哪两个量之间的关系？ 你能将其中某个变量看成另一个变量的函数吗？
（1）地面气温是20 oC，如果每升高1千米，
气温下降6 oC ，气温T（ oC ）随高度h（千米
）的变化
T（oC
） 20
气温T是高度h的函数吗？
14
8
高度h是气温T的函数吗？
2
O 1 2 3 4 h（km
（2）按下列程序输入一数x，便可输出一个 相应的数y：
输入x ＋2 ×5 －4 输出y；
（3）圆周长C（厘米）与半径R（厘米）的对 应关系如下表（π取3.14）
层数n
1 2 3 4 5 ······
物体总数y 1 3 6 10 15 ······
这是一个变化过程吗？
这里涉及几个量？ 这里的每取一个层数n，都有唯一一个物体的总数y和它 对应吗？
做一做：
2、大家都知道，路程（S）、速度（v）、
时间（t）之间存在关系：s=vt
假设某车的速度为60千米/时，当时间t为1小时， 路程s为多少千米？当时间t为2小时和3小时时候呢？ 请用公式表示此问题中路程（S）与时间（t）之间存 在的关系。
明确概念：
变量与常量
上述三个问题中，高度h、时间t、用电负荷y、 车速v、制动距离s在各自的变化过程中，都可以取 不同的数值。
而热气球每分钟上升的高度30m、公式中的 200在各自的变化过程中保持不变。
在某一变化过程中可以取不同的数值的量叫变量：
在某一变化过程中数值保持不变的量叫常量：
明确概念：
问题 3
汽车在行驶过程中，制动后由于惯性的作用仍 将滑行一段距离才能停住，这段距离称为制动
距离。某型号的汽车在路面上的制动距离 s m 与车速 v km/h之间有下列经验公式：
s v2 200
（1）这个式子中，涉及哪几个量？
（2）当制动时车速v分别40km/h和 60km/h时，相应的制动距离s分别是多少米 ？
半径R（厘
4
5
6.28 12.56 18.84 25.12 31.40
试一试：看谁的眼光准
例1、判断下列变量关系是不是函数？ (1)等腰三角形的底边长与面积
(2)关系 y式 x中 ,y是 x的函数 ? 吗
判断是不是函数，我们可以看它的数学式 子中的变量之间是否满足函数的定义
12.1函数（1）
问题
1
用热气球探测高空气象，设热气球从海拔 1800m处的某地升空，在一段时间内，它匀
速上升。它上升过程中到达的海拔高度h m与
上升时间t min的关系记录如下表：
时间 0 1 2 3 4 5 6 7 …
t/min
海拔高 1800 1830 1860 1890 1920 1950 1980 2010 …
S=60t
这是一个变化过程吗？ 这里涉及几个量？
在这个表达式中，t每取一个值，s的对应值是 唯一确定的吗？
试一试： 1、下图中有几个变量？你能将其中某个
变量看成另一个变量的函数吗？
温度T是时间t的函数吗？
时间t是温度T的函数吗？
试一试： 2、在国内投寄平信应付邮资如下表：
信件质量m/克 邮资y/元