新定义函数问题

新定义、新概念创新函数问题解析信息迁移题是近几年高考中函数题的热点题型，解答这类问题的关键在于阅读理解时，要准确把握新定义、新信息，并把它纳入已有的知识体系之中，用原来的知识和方法来解决新情景下的问题。

1. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y=-x 2, 值域为{-1,-9}的“同族函数”共有( )A.9个 B 。

8个 C 。

5个 D 。

4个解析:函数y=-x 2, 值域为{-1,-9}，可知自变量x 从1，-1，±1中任取一个，和从3，-3，±3中任取一个构成函数，故满足条件的“同族函数”有3×3=9个。

2.若直角坐标平面内两点P 、Q 满足条件:①P 、Q 都在函数f(x)的图象上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对(P,Q)是函数f(x)的一个“友好点对”(点对(P,Q)与(Q,P)看作同一个“友好点对”)。

已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥<++0,0,14222x x x x xe 则f(x)的“友好点对”有_______个。

解析:本题若直接求解显然不行，不妨作出函数f(x)=2x 2+4x+1,(x<0) 图象关于原点对称的函数记为g(x)=-f(-x)=-2x 2+4x-1=-2(x-1)2+1,g(1)=1, 而f(1)=e2<1， 作出g(x)与f(x)(x ≥0)的图象，数性结合可知，g(x)与f(x)(x ≥0)有两个交点，故f(x)的“友好点对”有两个。

3，（2010湖南卷)用min{a,b}表示a,b 俩数中的最小值，若函数f(x)= min{|x|,|x+t|}的图象 关于直线x=-21对称,则t=_________________解析:在同一坐标系中，分别作出函数x y =与tx y +=的图像，由图像知f(x)的图像为图中的实线部分(A-B-C-O-E)。

由于f(x) 的图象 关于直线x=-21对称，于是1,2120=∴-=+-t t 。

评注:本题主要考查绝对值函数的图像的做法以及函数图像的对称问题。

求解本题应首先作出f(x)的图像(两函数图像中较低的部分)，再利用对称性，由中点坐标公式求出t 值。

4. 已知函数f(x)是[a,b]上的连续函数，定义:g 1(x)=min{f(t)|a ≤t ≤x}（x ∈[a,b]）,g 2(x)=max{f(t)|a a ≤t ≤x}( x ∈[a,b]).其中，min{f(x)|x ∈D}表示函数f(x)在D 上的最小值，man{f(x)|x ∈D}表示函数f(x)在D 上的最大值。

若存在最小正整数k,使得g 2(x)—g 1(x) ≤k(x-a)对任意的x ∈[a,b]成立，则称函数f(x)为[a,b]上的“k 阶回归函数”。

（Ⅰ）若f(x)=cosx, x ∈[0, π],试写出g 1(x)，g 2(x)的表达式；（Ⅱ）已知函数f(x)=x 2,,x ∈[-1,4],试判断f(x)是否为[-1,4]上的“k 阶回归函数”。

如果是，求出对应的k; 如果不是，请说明理由； 解析: （Ⅰ）由题意可知g 1(x)=cosx,[],,0π∈x g 2(x)=1,[]π,0∈x . （Ⅱ）g 1(x)=[)[]⎩⎨⎧∈-∈4,0,00,1,2x x xg 2(x)=[][]⎩⎨⎧∈-∈4,1,1,1,1,2x x x g 2(x)—g 1(x)=[)[)[]⎪⎩⎪⎨⎧∈∈-∈-4,1,1,0,10,1,122x x x x x 当[)0,1-∈x 时，()112+≤-x k x，所以2,1≥-≥k x k；当[)1,0∈x 时，()11+≤x k ，所以11+≥x k 所以1≥k；当[]4,1∈x 时，()12+≤x k x 所以5161,2≥∴≥+k k x x 综上所述516≥k即存在4=k ，使得f(x)是[-1,4]上的“4阶回归函数”。

评注:本题主要考查新定义函数题问题以及分类讨论思想。

5.符号[x]表示不超过x 的最大整数，如[2.3]=2，[-1.3]=-2，定义函数{x}=x+[x],那么下列命题中所有正确命题的序号为________。

①函数{x}的定义域是R ；②函数{x}的值域是R ； ③方程{x}=23有唯一解；④函数{x}是周期函数；⑤函数{x}是增函数。

解析:显然①是成立的；对于②，当[)1,0∈x 时，[x]=0，{x}=[)1,0∈x ，当[)2,1∈x 时，[x]=1，{x}=x+[x][)3,2∈，于是函数为增函数可见并不存在x 使得{x}[)2,1∈，因此函数{x}的值域不为R ，②不正确；对于③，由②的判定过程可知方程{x}=23无解，③不正确；对于④，由于{x}为增函数，因此不可能为周期函数，④不正确；对于⑤，易知x 和[x]均为关于x 的增函数，因此{x}= x+[x] 为增函数，⑤正确。

故答案填上①⑤。

评注:一般地，对于含[x]的函数常把定义域分解为[)[)[)ΛY Y Y Λ2,11,00,1-⋃分段讨论求解。

又如函数f(x)= x-[x]性质的判定，只须分段讨论画图即可。

6.给出定义:若m-21<x ≤m+21(其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x}=m ，在此基础上给出下列关于函数f(x)=|x-{x}|四个命题: ①函数y=f(x)的定义域为R ，值域,为[0,21];②函数y=f(x)的图象关于直线()Z k xk∈=2对称；③函数y=f(x)是周期函数，最小正周期为1；④函数y=f(x)在[-21,21]上是增函数。

其中正确的命题的序号是______。

解析: 对于①，f(x)=|x-{x}|=|x-m|由m-21<x ≤m+21⇒-21<x-m<21,所以0≤|x-m|≤21，正确；对于②，f(x-k)=|x-k-({x}-k)|=|x-{x}|= f(x)所以f(x)的对称轴是()Z k x k ∈=2，正确；对于③，f(x+1)=|(x+1)-{x+1}|=|(x+1)-({x}+1)|=|x-{x}|=f(x) 正确；对于④,因为f(0)=0,f(21)=21,f(-21)=21,所以函数y=f(x)在[-21,21]上不是单调函数，错误。

所以是正确的命题的序号①②③。

7 下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R 的映射过程: 区间(0,1)中的实数m 对应数轴上的点M ，如图1；将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，设A 的坐标为(0,1)，图3中直线AM 与x 轴交于点N （n,0）,则m 的象就是n ，记作f(m)=n.图3图2图1A(B)1m0B M A(1) 方程f(x)=0的解是x=__;(2)下列说法中正确命题的序号是__。

①f(41)=1; ②f(x)是奇函数；③f(x)在定义域上单调递增；④f(x)的图象关于点(21，0)对称。

解析:（1）显然当点M 为AB 中点时，f(x)=0，此时x=21.（2）当m=41时，对应的圆上的点M 位于四分之一圆周上，此时点N 在x 轴的负半轴，即得f(41)=-1,即①不正确，显然该函数的定义域不关于原点对称，即该函数既不是奇函数也不是偶函数，即②也不正确；由图象作图即可知，该函数在定义域上单调递增，即③正确；由图象作图即可知函数f(x)的图象关于点(21，0)对称。

综上可得正确的命题的序号是③④。

评注:本题主要考查新定义型映射下函数的建模问题，将线段、圆、解析几何中的坐标系、函数建立此类映射关系是此题命题的一大创新。

8.设函数f(x)的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意x ∈M(M D ⊆),有x+l ∈D,且f(x+l )≥f(x),则称f(x)为M 上的l 高调函数。

如果定义域为[-1,+)∞的函数f(x)=x 2为[-1,+)∞上的m 高调函数。

那么实数m 的取值范围是________.如果定义域为R 的函数f(x)是奇函数，当x ≥0时，f(x)=|x-a 2|-a 2,且f(x)为R 上的4高调函数，那么实数a 的取值范围是________.解析: 定义域为[-1,+)∞的函数f(x)=x 2为[-1,+)∞上的m 高调函数，则f(x+m)=(x+m)2≥x 2在[-1,+)∞上恒成立，即m 2+2mx ≥0在[-1,+)∞上恒成立,所以2m ≥0且2m ×(-1)+m 2≥0,解之得m ≥2.由定义域为R 的函数f(x)是奇函数，当x ≥0时，f(x)=|x-a 2|-a 2可得，当x<0时，f(x)= a 2-|x-a 2|，画出函数f(x)的图象，如图所示，当2 a 2-(-2 a 2)≤4时，才能使得对任意x ∈R ，f(x+4)≥f(x)恒成立，由2 a 2-(-2 a 2)≤4可得-1≤a ≤1.9，对于函数y=f(x)( x ∈D,D 为函数定义域)若同时满足下列条件:①f(x)在定义域内单调递增或单调递减；②存在区间[a,b]D ⊆,使f(x)在[a,b]上的值域是[a,b]。

那么把y=f(x)( x ∈D)称为闭函数。

(1)求闭函数y=-x 3符合条件②的区间[a,b]；(2)判定函数f(x)=43x+x 1,()+∞∈,0x 是否为闭函数?设明理由；(3)若f(x)=k+2+x 是闭函数，求实数k 的取值范围.分析;根据闭函数定义，建立关于a,b 的方程组，再解方程组可求得区间[a,b]；举例判定(2)，对于(3)要使方程组有解，消元后分离参数，将k 的取值范围转化为函数图象交点问题。

解析：(1)由y=-x 3在[a,b]上为减函数，得⎪⎩⎪⎨⎧<-=-=b a b a a b 33，可得a=-1,b=1.所以所求区间为[-1，1].(2)取x 1=1,x 2=10可得f(x)不是减函数；取x 1=101,x 2=1001可得f(x)不是增函数，所以f(x)不是闭函数。

(3)设函数符合条件②的区间为[a,b]，则⎪⎩⎪⎨⎧++=++=22k k b a k a 。

故a,b 是方程x=k+2+x 的两个实根，即k=x-2+x 令t=2+x (t ≥0), k=t 2-2-t=(t-21)2-49(t ≥0),即y=k 与y=(t-21)2-49(t≥0)由两个交点，作出图象可知-49<k ≤-2.故实数k 的取值范围是(-49，-2].点评:(1)是验证。

(2)是探究，否定一个命题只需直接构造反例。

(3)的求解充分体现等价转化的数学思想，数性结合思想，提升了问题的综合性。