二次函数新定义问题(一)(讲义及答案)
42 二次函数创新题及新定义问题
二次函数创新题及新定义问题二次函数与新定义问题在二次函数与新定义问题中，重点是将题中给出的定义“翻译”成学过的知识，再结合二次函数的性质综合进行处理，其难点就在于“翻译定义”的过程，对学生的理解能力和初中知识的运用能力要求较高.典例1.若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1，和y2=x2+bx+c，其中y1的图象经过点A （1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求当0≤x≤3时，y2的取值范围．【答案】解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x﹣h）2+k，当a=2，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=2（x﹣3）2+4．∵2＞0，∴该二次函数图象的开口向上．当a=3，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=3（x﹣3）2+4．∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．∵两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4顶点相同，开口都向上，∴两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函数”．∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4．（2）∵y1的图象经过点A（1，1），∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．整理得：m2﹣2m+1=0，解得：m1=m2=1．∴y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1，∴y1+y2=2x2﹣4x+3+x2+bx+c=3x2+（b﹣4）x+（c+3），∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，∴y1+y2=3（x﹣1）2+1=3x2﹣6x+4，∴函数y2的表达式为：y2=x2﹣2x+1．∴y2=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，∴函数y2的图象的对称轴为x=1．∵1＞0，∴函数y2的图象开口向上．当0≤x≤3时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2的取值范围为0≤y2≤4．【精准解析】（1）只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可．（2）由y 1的图象经过点A （1，1）可以求出m 的值，然后根据y 1+y 2与y 1为“同簇二次函数”就可以求出函数y 2的表达式，然后将函数y 2的表达式转化为顶点式，再利用二次函数的性质就可以解决问题．练习1.设二次函数y 1，y 2的图象的顶点分别为（a ，b ）、（c ，d ），当a=﹣c ，b=2d ，且开口方向相同时，则称y 1是y 2的“反倍顶二次函数”．（1）请写出二次函数y=x 2+x+1的一个“反倍顶二次函数”；（2）已知关于x 的二次函数y 1=x 2+nx 和二次函数y 2=nx 2+x ，函数y 1+y 2恰是y 1﹣y 2的“反倍【答案】解：（1）∵y=x 2+x+1，∴y=，∴二次函数y=x 2+x+1的顶点坐标为（﹣，），∴二次函数y=x 2+x+1的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为（，），∴反倍顶二次函数的解析式为y=x 2﹣x+；（2）y 1+y 2=x 2+nx+nx 2+x=（n+1）x 2+（n+1）x ，y 1+y 2=（n+1）（x 2+x+）﹣，顶点坐标为（﹣，﹣），y 1﹣y 2=x 2+nx ﹣nx 2﹣x=（1﹣n ）x 2+（n ﹣1）x ，y 1﹣y 2=（1﹣n ）（x 2﹣x+）﹣，顶点坐标为（，﹣），由于函数y 1+y 2恰是y 1﹣y 2的“反倍顶二次函数”，则﹣2×=﹣，解得n=．1．小爱同学学习二次函数后，对函数2(||1)y x =--进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：（1）观察探究：①写出该函数的一条性质：函数图象关于y 轴对称；②方程2(||1)1x --=-的解为：；③若方程2(||1)x a --=有四个实数根，则a 的取值范围是．（2）延伸思考：将函数2(||1)y x =--的图象经过怎样的平移可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象？写出平移过程，并直接写出当123y < 时，自变量x 的取值范围．【分析】（1）根据图象即可求得；（2）根据“上加下减”的平移规律，画出函数21(|2|1)3y x =---+的图象，根据图象即可得到结论．【解答】解：（1）观察探究：①该函数的一条性质为：函数图象关于y 轴对称；②方程2(||1)1x --=-的解为：2x =-或0x =或2x =；③若方程2(||1)x a --=有四个实数根，则a 的取值范围是10a -<<．故答案为函数图象关于y 轴对称；2x =-或0x =或2x =；10a -<<．（2）将函数2(||1)y x =--的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象，当123y < 时，自变量x 的取值范围是04x <<且2x ≠．2．（2021•长沙）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y 轴对称，则把该函数称之为“T 函数”，其图象上关于y 轴对称的不同两点叫做一对“T 点”．根据该约定，完成下列各题．（1）若点(1,)A r 与点(,4)B s 是关于x 的“T 函数”()24(0)0,0,x y x tx x t t ⎧-<⎪=⎨⎪≠⎩是常数 的图象上的一对“T 点”，则r =，s =，t =（将正确答案填在相应的横线上）；（2）关于x 的函数(y kx p k =+，p 是常数）是“T 函数”吗？如果是，指出它有多少对“T 点”如果不是，请说明理由；（3）若关于x 的“T 函数”2(0y ax bx c a =++>，且a ，b ，c 是常数）经过坐标原点O ，且与直线:(0l y mx n m =+≠，0n >，且m ，n 是常数）交于1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 两点，当1x ，2x 满足112(1)1x x --+=时，直线l 是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．【分析】（1）由A ，B 关于y 轴对称求出r ，s ，由“T 函数”的定义求出t ；（2）分0k =和0k ≠两种情况考虑即可；（3）先根据过原点得出0c =，再由“T 函数”得出b 的值，确定二次函数解析式后，和直线联立求出交点的横坐标，写出l 的解析式，确定经过的定点即可．【解答】解：（1）A ，B 关于y 轴对称，1s ∴=-，4r =，A ∴的坐标为(1,4)，把(1,4)A 代入是关于x 的“T 函数”中，得：4t =，故答案为4r =，1s =-，4t =；（2）当0k =时，有y p =，此时存在关于y 轴对称得点，y kx p ∴=+是“T 函数”，且有无数对“T ”点，当0k ≠时，不存在关于y 轴对称的点，y kx p ∴=+不是“T 函数”；（3）2y ax bx c =++过原点，0c ∴=，2y ax bx c =++是“T 函数”，0b ∴=，2y ax ∴=，联立直线l 和抛物线得：2y ax y mx n ⎧=⎨=+⎩，即：20ax mx n --=，12m x x a +=，12n x x a-=，又112(1)1x x --+=，化简得：1212x x x x +=，∴m n a a-=，即m n =-，y mx n mx m ∴=+=-，当1x =时，0y =，∴直线l 必过定点(1,0)．3．（2021•杭州）在直角坐标系中，设函数21(y ax bx a =++，b 是常数，0)a ≠．（1）若该函数的图象经过(1,0)和(2,1)两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；（2）写出一组a ，b 的值，使函数21y ax bx =++的图象与x 轴有两个不同的交点，并说明理由．（3）已知1a b ==，当x p =，(q p ，q 是实数，)p q ≠时，该函数对应的函数值分别为P ，Q ．若2p q +=，求证：6P Q +>．【分析】（1）考查使用待定系数法求二次函数解析式，属于基础题，将两点坐标代入，解二元一次方程组即可；（2）写出一组a ，b ，使得240b ac ->即可；（3）已知1a b ==，则21y x x =++．容易得到2211P Q p p q q +=+++++，利用2p q +=，即2p q =-代入对代数式P Q +进行化简，并配方得出22(1)66P Q q +=-+ ．最后注意利用p q ≠条件判断1q ≠，得证．【解答】解：（1）由题意，得104211a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，所以，该函数表达式为221y x x =-+．并且该函数图象的顶点坐标为(1,0)．（2）例如1a =，3b =，此时231y x x =++，2450b ac -=>，∴函数231y x x =++的图象与x 轴有两个不同的交点．（3）由题意，得21P p p =++，21Q q q =++，所以2211P Q p p q q +=+++++224p q =++22(2)4q q =-++22(1)66q =-+ ，由条件p q ≠，知1q ≠．所以6P Q +>，得证．4．（2021•衡阳）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如(1,1)，(2021,2021)⋯都是“雁点”．（1）求函数4y x=图象上的“雁点”坐标；（2）若抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点”E ，该抛物线与x 轴交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧）．当1a >时．①求c 的取值范围；②求EMN ∠的度数；（3）如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），P 是抛物线223y x x =-++上一点，连接BP ，以点P 为直角顶点，构造等腰Rt BPC ∆，是否存在点P ，使点C 恰好为“雁点”？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意得：4x x=，解得2x =±，即可求解；（2）①抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点”E ，则25ax x c x ++=，则△1640ac =-=，即4ac =，而1a >，04c <<；由M 、N 的存在，则△2540ac =->，而1a >，则254c <，即可求解；②求出点M 的坐标为4(a -，0)、点E 的坐标为2(a -，2a-，即可求解；（3）分两种情形：点C 在PB 的下方或上方，分别根据全等三角形解决问题．【解答】解：（1）由题意得：4x x=，解得2x =±，当2x =±时，42y x ==±，故“雁点”坐标为(2,2)或(2,2)--；（2）①“雁点”的横坐标与纵坐标相等，故“雁点”的函数表达式为y x =，抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点”E ，则25ax x c x ++=，则△1640ac =-=，即4ac =，1a >，故04c <<；M 、N 的存在，则△2540ac =->，而1a >，则254c <，综上，04c <<；②4ac =，则250ax x c ++=为2450ax x a ++=，解得4x a =-或1a -，即点M 的坐标为4(a-，0)，由25ax x c x ++=，4ac =，解得2x a =-，即点E 的坐标为2(a -，2)a-，过点E 作EH x ⊥轴于点H ，则2HE a =，242(E M MH x x HE a a a=-=---==，故EMN ∠的度数为45︒；（3）存在，理由：当点C 在PB 的下方时，由题意知，点C 在直线y x =上，故设点C 的坐标为(,)t t ，过点P 作x 轴的平行线交过点C 与y 轴的平行线于点M ，交过点B 与y 轴的平行线于点N ，设点P 的坐标为2(,23)m m m -++，则223BN m m =-++，3PN m =-，PM m t =-，223CM m m t =-++-，90NPB MPC ∠+∠=︒，90MCP CPM ∠+∠=︒，NPB PCM ∴∠=∠，90CMP PNB ∠=∠=︒，PC PB =，()CMP PNB AAS ∴∆≅∆，PM BN ∴=，CM PN =，即2|23|m t m m -=-++，223|3|m m t m -++-=-，解得101m =101-，当点C 在PB 的上方时，过点P 作PK OB ⊥于K ，CH KP ⊥交KP 的延长线于H ．同法可证，CHP PKB ∆≅∆，可得CH PK =，HP BK =，t m n -=，3t n m -=-，223n m m =-++32m ∴=，154n =，3(2P ∴，15)4，故点P 的坐标为2(2-，32或(12+，3)2或3(2，15)4．5．（2021•江西）二次函数22y x mx =-的图象交x 轴于原点O 及点A ．感知特例（1）当1m =时，如图1，抛物线2:2L y x x =-上的点B ，O ，C ，A ，D 分别关于点A 中心对称的点为B '，O '，C '，A '，D '，如表：⋯(1,3)B -(0,0)O (1,1)C -(A 2，)(3,3)D ⋯⋯(5,3)B '-(4,0)O '(3,1)C '(2,0)A '(1,3)D '-⋯①补全表格；②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L '．形成概念我们发现形如（1）中的图象L '上的点和抛物线L 上的点关于点A 中心对称，则称L '是L 的“孔像抛物线”．例如，当2m =-时，图2中的抛物线L '是抛物线L 的“孔像抛物线”．探究问题（2）①当1m =-时，若抛物线L 与它的“孔像抛物线”L '的函数值都随着x 的增大而减小，则x 的取值范围为；②在同一平面直角坐标系中，当m 取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数22y x mx =-的所有“孔像抛物线”L '都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是（填“2y ax bx c =++”或“2y ax bx =+”或“2y ax c =+”或“2y ax =”，其中0)abc ≠；③若二次函数22y x mx =-及它的“孔像抛物线”与直线y m =有且只有三个交点，求m 的值．【分析】（1）①根据中点公式即可求得答案；②根据题意先描点，再用平滑的曲线从左到右依次连接即可；（2）①当1m =-时，抛物线22:2(1)1L y x x x =+=+-，当1x - 时，L 的函数值随着x 的增大而减小，抛物线22:68(3)1L y x x x '=---=-++，当3x - 时，L '的函数值随着x 的增大而减小，找出公共部分即可；②设符合条件的抛物线M 解析式为2y a x b x c ='+'+'，令22268a x b x c x mx m '+'+'=-+-，整理得22(1)(6)(8)0a x b m x c m '++'-+'+=，分下面两种情形：)i 当1a '=-时，)ii 当1a '≠-时，分别讨论计算即可；③观察图1和图2，可知直线y m =与抛物线22y x mx =-及“孔像抛物线”L '有且只有三个交点，即直线y m =经过抛物线L 的顶点或经过抛物线L '的顶点或经过公共点A ，分别建立方程求解即可．【解答】解：（1）①(1,3)B -、(5,3)B '-关于点A 中心对称，∴点A 为BB '的中点，设点(,)A m n ，1522m -+∴==，3302n -==，故答案为：(2,0)；②所画图象如图1所示，（2）①当1m =-时，抛物线22:2(1)1L y x x x =+=+-，对称轴为直线1x =-，开口向上，当1x - 时，L 的函数值随着x 的增大而减小，抛物线22:68(3)1L y x x x '=---=-++，对称轴为直线3x =-，开口向下，当3x - 时，L '的函数值随着x 的增大而减小，∴当31x -- 时，抛物线L 与它的“孔像抛物线”L '的函数值都随着x 的增大而减小，故答案为：31x -- ；②抛物线22y x mx =-的“孔像抛物线”是2268y x mx m =-+-，∴设符合条件的抛物线M 解析式为2y a x b x c ='+'+'，令22268a x b x c x mx m '+'+'=-+-，整理得22(1)(6)(8)0a x b m x c m '++'-+'+=，抛物线M 与抛物线L '有唯一交点，∴分下面两种情形：)i 当1a '=-时，无论b '为何值，都会存在对应的m 使得60b m '-=，此时方程无解或有无数解，不符合题意，舍去；)ii 当1a '≠-时，△22(6)4(1)(8)0b m a c m ='--'+'+=，即22212364(1)84(1)0b b m m a m c a '-'+-'+⋅-''+=，整理得22[3632(1)]124(1)0a m b m b c a -'+-'+'-''+=，当m 取不同值时，两抛物线都有唯一交点，∴当m 取任意实数，上述等式都成立，即：上述等式成立与m 取值无关，∴23632(1)01204(1)0a b b c a -'+=⎧⎪-'=⎨⎪'-''+=⎩，解得18a '=，0b '=，0c '=，则218y x =，故答案为：2y ax =；③抛物线222:2()L y x mx x m m =-=--，顶点坐标为2(,)M m m -，其“孔像抛物线”L '为：22(3)y x m m =--+，顶点坐标为2(3,)N m m ，抛物线L 与其“孔像抛物线”L '有一个公共点(2,0)A m ，∴二次函数22y x mx =-及它的“孔像抛物线”与直线y m =有且只有三个交点时，有三种情况：①直线y m =经过2(,)M m m -，2m m ∴=-，解得：1m =-或0m =（舍去），②直线y m =经过2(3,)N m m ，2m m ∴=，解得：1m =或0m =（舍去），③直线y m =经过(2,0)A m ，0m ∴=，但当0m =时，2y x =与2y x =-只有一个交点，不符合题意，舍去，综上所述，1m =±．6．（2021•云南）已知抛物线22y x bx c =-++经过点(0,2)-，当4x <-时，y 随x 的增大而增大，当4x >-时，y 随x 的增大而减小．设r 是抛物线22y x bx c =-++与x 轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，97539521601r r r r r m r r +-++-=+-．（1）求b 、c 的值；（2）求证：4222160r r r -+=；（3）以下结论：1m <，1m =，1m >，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．【分析】（1）当4x <-时，y 随x 的增大而增大，当4x >-时，y 随x 的增大而减小，可得对称轴为直线4x =-，且抛物线22y x bx c =-++经过点(0,2)-，列出方程组即可得答案；（2）由r 是抛物线22162y x x =---与x 轴的交点的横坐标，可得2810r r ++=，218r r +=-，两边平方得222(1)(8)r r +=-，4222164r r r ++=，即可得结果4222160r r r -+=；（3）1m >正确，可用比差法证明，由（2）可得426210r r -+=，即753620r r r -+=，而975395952111601601r r r r r r m r r r r +-++--=-=+-+-，再由2810r r ++=，判断0r <，956010r r +-<，故950601r r r >+-，从而1m >．【解答】（1）解：22y x bx c =-++经过点(0,2)-，当4x <-时，y 随x 的增大而增大，当4x >-时，y 随x 的增大而减小，即对称轴为直线4x =-，∴244c b =-⎧⎪⎨-=-⎪⎩-，解得162b c =-⎧⎨=-⎩；（2）证明：由题意，抛物线的解析式为22162y x x =---，r 是抛物线22162y x x =---与x 轴的交点的横坐标，221620r r ∴++=，2810r r ∴++=，218r r∴+=-222(1)(8)r r ∴+=-，4222164r r r ∴++=，4222160r r r ∴-+=；（3）1m >正确，理由如下：由（2）知：4222160r r r -+=；426210r r ∴-+=，753620r r r ∴-+=，而9753952111601r r r r r m r r +-++--=-+-9753959521(601)601r r r r r r r r r +-++--+-=+-7539562601r r r r r r -++=+-95601r r r =+-，由（2）知：2810r r ++=，281r r ∴=--，210r --<，80r ∴<，即0r <，956010r r ∴+-<，∴950601r r r >+-，即10m ->，1m ∴>．7．（2021•南通）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点(1,1)是函数1122y x =+的图象的“等值点”．（1）分别判断函数2y x =+，2y x x =-的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）设函数3(0)y x x=>，y x b =-+的图象的“等值点”分别为点A ，B ，过点B 作BC x ⊥轴，垂足为C ．当ABC ∆的面积为3时，求b 的值；（3）若函数22()y x x m =- 的图象记为1W ，将其沿直线x m =翻折后的图象记为2W ．当1W ，2W 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m 的取值范围．【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；（2）先根据“等值点”的定义求出函数3(0)y x x=>的图象上有两个“等值点”A ，同理求出1(2B b ，1)2b ，根据ABC ∆的面积为3可得111|||3222b b ⨯⨯=，求解即可；（3）先求出函数22y x =-的图象上有两个“等值点”(1,1)--或(2,2)，再利用翻折的性质分类讨论即可．【解答】解：（1）在2y x =+中，令2x x =+，得02=不成立，∴函数2y x =+的图象上不存在“等值点”；在2y x x =-中，令2x x x -=，解得：10x =，22x =，∴函数2y x x =-的图象上有两个“等值点”(0,0)或(2,2)；（2）在函数3(0)y x x =>中，令3x x=，解得：x =A ∴，在函数y x b =-+中，令x x b =-+，解得：12x b =，1(2B b ∴，1)2b ，BC x ⊥轴，1(2C b ∴，0)，1||2BC b ∴=，ABC ∆的面积为3，∴111|||3222b b ⨯⨯=，当0b <时，2240b --=，解得b =-当0b < 时，2240b -+=，△2(4124840=--⨯⨯=-<，∴方程2240b -+=没有实数根，当b 时，2240b --=，解得：b =综上所述，b 的值为-；（3）令22x x =-，解得：11x =-，22x =，∴函数22y x =-的图象上有两个“等值点”(1,1)--或(2,2)，①当1m <-时，1W ，2W 两部分组成的图象上必有2个“等值点”(1,1)--或(2,2)，21:2()W y x x m =- ，22:(2)2()W y x m x m =--<，令2(2)2x x m =--，整理得：22(41)420x m x m -++-=，2W 的图象上不存在“等值点”，∴△0<，22(41)4(42)0m m ∴+--<，98m ∴<-，②当1m =-时，有3个“等值点”(2,2)--、(1,1)--、(2,2)，③当12m -<<时，1W ，2W 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”，④当2m =时，1W ，2W 两部分组成的图象上恰有1个“等值点”(2,2)，⑤当2m >时，1W ，2W 两部分组成的图象上没有“等值点”，综上所述，当1W ，2W 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，98m <-或12m -<<．8．（2021•大连）已知函数2211()22()x x m x m y x mx m x m ⎧-++<⎪=⎨⎪-+⎩ ，记该函数图象为G ．（1）当2m =时，①已知(4,)M n 在该函数图象上，求n 的值；②当02x 时，求函数G 的最大值．（2）当0m >时，作直线12x m =与x 轴交于点P ，与函数G 交于点Q ，若45POQ ∠=︒时，求m 的值；（3）当3m 时，设图象与x 轴交于点A ，与y 轴交与点B ，过点B 作BC BA ⊥交直线x m =于点C ，设点A 的横坐标为a ，C 点的纵坐标为c ，若3a c =-，求m 的值．【分析】（1）先把2m =代入函数y 中，①把(4,)M n 代入222y x x =-+中，可得n 的值；②将02x 分为两部分确定y 的最大值，当02x < 时，将211222y x x =-++配方可得最值，再将2x =代入222y x x =-+中，可得2y =，对比可得函数G 的最大值；（2）分两种情况：Q 在x 轴的上方和下方；证明POQ ∆是等腰直角三角形，得OP PQ =，列方程可得结论；（3）分两种情况：①03m ，如图2，过点C 作CD y ⊥轴于D ，证明()ABO BCD ASA ∆≅∆，得OA BD =，列方程可得结论；②3m <，如图3，同理可得结论．【解答】解：（1）当2m =时，22112(2)2222(2)x x x y x x x ⎧-++<⎪=⎨⎪-+⎩ ，①(4,)M n 在该函数图象上，2424210n ∴=-⨯+=；②当02x < 时，22111112(222228y x x x =-++=--+，102-<，∴当12x =时，y 有最大值是128，当2x =时，222222y =-⨯+=，1228<，∴当02x 时，函数G 的最大值是128；（2）分两种情况：①如图1，当Q 在x 轴上方时，由题意得：12OP m =，45POQ ∠=︒，90OPQ ∠=︒，POQ ∴∆是等腰直角三角形，OP PQ ∴=，∴211111()22222m m m m =-⋅+⋅+，解得：10m =，26m =，0m >，6m ∴=；②当Q 在x 轴下方时，同理得：211111()22222m m m m =⋅-⋅-解得：10m =，214m =，0m >，14m ∴=；综上，m 的值是6或14；（3）分两种情况：①如图2，当03m 时，过点C 作CD y ⊥轴于D ，当0x =时，y m =，OB m ∴=，CD m =，CD OB ∴=，AB BC ⊥，90ABC ABO CBD ∴∠=∠+∠=︒，90CBD BCD ∠+∠=︒，ABO BCD ∴∠=∠，90AOB CDB ∠=∠=︒，()ABO BCD ASA ∴∆≅∆，OA BD ∴=，当x m <时，0y =，即211022x x m -++=，220x x m --=，解得：112x =，212x +=，12OA ∴=，且138m - ，点A 的横坐标为a ，C 点的纵坐标为c ，若3a c =-，13OD c a ∴==-，13BD m OD m a ∴=-=+，OA BD =，∴13m =+，解得：10m =（此时，A ，B ，C 三点重合，舍），2209m =；②当0m <时，如图3，过点C 作CD y ⊥轴于D ，同理得：OA BD =，当x m 时，0y =，则20x mx m -+=，解得：1x =，2m =（舍)，2m OA a +∴==，∴13c m a m =-=--，解得：10m=，216 21m=-；综上，m的值是209或1621-．。
专题10 二次函数的新定义问题专训(解析版)
专题10二次函数的新定义问题专训【精选最新30道二次函数的新定义问题】1．（2023·广西柳州·校联考二模）我们定义一种新函数：形如y ＝|ax 2+bx +c |（a ≠0，b 2﹣4ac ＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小腾同学画出了“鹊桥”函数y ＝|x 2﹣2x ﹣3|的图象（如图所示），并写出下列四个结论：其中正确结论的个数是（）①图象与坐标轴的交点为(﹣1，0)和(3，0)；②当﹣1≤x ≤1或x ≥3时，函数值y 随x 值的增大而增大；③当x ＝1时，函数有最大值是4；④函数与直线y ＝m 有4个公共点，则m 的取值范围是0＜m ＜4．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】由2|23|y x x 可得函数图象的对称轴为直线x =1，与坐标轴交点坐标为(1,0) ，(3,0)和(0,3)，可判断①错误，根据图象及函数性质可判断②正确；由从图象上看，当1x 或3x ，函数值有大于4的值，因此③是错误的；由图象可知，函数与直线y m 有4个公共点，则m 的取值范围是04m ，故④正确．【详解】解：如图：∵2|23|y x x ，∴函数图象的对称轴为直线x =1，与坐标轴交点坐标为(1,0) ，(3,0)和(0,3)，①是错误的；②根据函数的图象和性质，发现当11x 或3x 时，函数值y 随x 值的增大而增大，因此②是正确的；③由图象可知，当1x 时，函数值随x 的减小而增大，当3x 时，函数值随x 的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值，故当1x 时的函数值4并非最大值，故③错误．④由图象可知，函数与直线y m 有4个公共点，则m 的取值范围是04m ，故④正确．故选：B ．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是主要通过题干信息理解“鹊桥”函数2||y ax bx c ，2(0,40)a b ac 的定义，掌握它与2y ax bx c 之间的关系以及两个函数性质的联系和区别．2．（2023·山东济南·统考二模）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数2y x x c （c 为常数）在24 x 的图像上存在两个二倍点，则c 的取值范围是（）A ．124c B ．944cC ．144cD ．9104c【答案】B【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线y =2x 上，由-2＜x ＜4可得二倍点所在线段AB 的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解．【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为y =2x ，将x =-2代入y =2x 得y =-4，将x =4代入y =2x 得y =8，设A （-2，-4），B （4，8），如图，联立方程x 2-x +c =2x ，当Δ＞0时，抛物线与直线y=2x有两个交点，即9-4c＞0，解得c＜9 4，此时，直线x=-2和直线x=4与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点，把x=-2代入y=x2-x+c得y=6+c，把x=4代入y=x2-x+c得y=12+c，∴64 128cc，解得c＞-4，∴-4＜c＜94满足题意．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．3．（2023·山东济南·校联考二模）定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A 叫做“整点”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整点”．抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是（）A．﹣1≤a＜0B．﹣2≤a＜﹣1C．﹣1≤a＜12D．﹣2≤a＜0【答案】B【分析】画出图象，找到该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点的边界，利用与y交点位置可得a的取值范围．【详解】解：抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）化为顶点式为y＝a（x﹣1）2+2，故函数的对称轴：x＝1，M和N两点关于x＝1对称，根据题意，抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，这些整点是（0，0），（1，0），（（1，1），（1，2），（2，0），如图所示：∵当x ＝0时，y ＝a+2∴0≤a+2＜1当x ＝﹣1时，y ＝4a+2＜0即：021420a a ，解得﹣2≤a ＜﹣1故选B ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、配方法确定顶点坐标、及数形结合等知识，利用函数图象确定与y 轴交点位置是本题的关键．4．（2023·湖南株洲·统考一模）对于实数a 、b ，定义一种运算“ ”为：22a b a ab ，有下列命题：①132 ；②方程10x 的根为：1221x x ，；③不等式组 240{130x x 的解集为：14x ；④点15 22，在函数 1 y x 的图象上．其中正确的是（）A ．①②③④B ．①③C ．①②③D ．③④【答案】C【分析】根据新定义和解一元二次方程、解不等式组、，二次函数等知识对各选项进行判断【详解】根据新定义21311322 ，所以命题①正确；∵10x ，∴220x x ，解得1221x x ，，所以命题②正确；∵ 244224221 31234x x x x x x ，，∴2201{{14404x x x x x ，所以命题③正确；∵ 212y x x x ，∴当12x 时，2119522242y ，∴点15 22，不在函数 1 y x 的图象上，所以命题④错误，综上所述，命题①②③正确．故选C ．【点睛】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题，涉及到解一元二次方程、解不等式组、，二次函数等知识，此题需要熟练掌握新定义．5．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考二模）定义一种新运算：(0)(0)@(0)aa b a b b ab a ，下列说法：①若3@2x x ，则13x ，21x ；②若 1@22x ，则该不等式的解集为35x ；③代数式 2@123@21@2x x x取得最小值时，12x ；④函数 11@y x ，函数 222@y x x ，当102x 时，12y y ．以上结论正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【分析】根据新定义运算运算法则进行判断即可．【详解】解：①由题意得：32x x，2230x x ，解得：13x ，21x ；检验：当13x ，21x 时，0x ；13x ，21x 是原分式方程的解，故①正确；②当10x 时，1x ，0(2)0 ，此情况成立；当10x 时，1x ，10x ，故 121@2x x ，122x，14x 解得：35,1x x ，综上所述：35x ，故②正确；③由题意得：112126226223x x x x x x ，取得最小值时，13x，故③错误；④212,22y x y x x ，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，11(,)22A ，当102x 时，12y y ，故④正确．故选：C ．【点睛】本题考查了新定义运算，一元一次不等式组的解法，绝对值的意义，一次函数与二次函数的交点问题，分类讨论思想，正确理解新定义运算是本题的关键．6．（2023春·重庆永川·九年级重庆市永川萱花中学校校考阶段练习）若一列数含有n 个数，除第一个数和最后一个数外，其余每个数都等于与它相邻的两个数之和，则称这列数为“n 级浪花数”．比如一列数为5，7，2，-5，满足752 ， 275 ，所以5，7，2，-5为四级浪花数．根据定义给出下列四个结论：①12，3，a 为三级浪花数，则a 的值为-9②若四级浪花数中第1个数为1，则这列数的积的最大值可能为12③任意组100级浪花数，第36个数和第63个数一定互为相反数④2022级浪花数中的所有数之和为0下列说法正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据定义：除第一个数和最后一个数外，其余每个数都等于与它相邻的两个数之和，则称这列数为“n 级浪花数”，进行一一判断即可【详解】解：①∵12，3，a 为三级浪花数，∴a +12=3，解得：a =-9，故①正确；②设这四级浪花数分别为1，x +1，x ，-1，则其积为：211(1)()24x x x ，当x =12 时，其积最大值为14，所以这列数的积的最大值不可能为12，故②错误；③设任意组100级浪花数中第一个数为x ，第二个数为y ，由题意得这一列数依次为：x ，y ，y -x ，-x ，-y ，x -y ，x ，y ，y -x ，-x ，-y ，x -y ，……可以看出每六个数一次循环，36÷6=6，所以第36个数为x -y ，63÷6=10余3，所以第63个数为y -x ，所以第36个数和第63个数一定互为相反数，故③正确；④2022级浪花数中第一个数为x ，第二个数为y ，则一列数依次为：x ，y ，y -x ，-x ，-y ，x -y ，x ，y ，y -x ，-x ，-y ，x -y ，……，可以看出每六个数一次循环，这六个数的和为：x +y +y -x -x -y +x -y =0，且2022÷6=337，所以2022级浪花数中的所有数之和为0由④正确；故选：C【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，根据数的变化，找出该数列连续六个数相加等于零是解题的关键．7．（2023·湖南岳阳·校考模拟预测）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x 的一个值，当x ≥0时，它们对应的函数值相等；当x ＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y x ，它的相关函数为00x x y x x．已知点M ，N 的坐标分别为1,12 ，9,12 ，连接MN ，若线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有两个公共点，则n 的取值范围为（）A ．31n 或514nB ．31n 或514nC ．31n 或514n D ．31n 或514n 【答案】B【分析】求出二次函数24y x x n 的相关函数的解析式，结合图像分析选项中的几个关键点1,12，9,12，再解方程结合图象判断即可．【详解】二次函数24y x x n 的相关函数为 224040x x n x y x x n x，大致函数图像如下：如图1所示，当线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有1个公共点时，∴当x =2时，1y ，则-4+8+n =1,解得n =-3，如图2所示，当线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有3个公共点时，∵抛物线y =24x x n 与y 轴交点纵坐标为1，∴-n =1，解得n =-1；∴当31n 时，线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有2个公共点；如图3所示：线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有3个公共点，∵二次函数24y x x n 经过点（0，1），∴n =1，如图4所示：线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有2个公共点，∵抛物线y =24x x n 经过点1,12，∴14+2-n =1，解得n =54，∴514n时，线段MN 与二次函数24y x x n 的相关函数的图象有2个公共点．综上所述，n 的取值范围是31n 或514n ．故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系，理解互为相关函数的定义是解题的关键，本题是选择题使用排除法更简单．8．（2023春·广东广州·九年级铁一中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，对图形F 给出如下定义：若图形F 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度，例如，如图中的矩形ABCD 的坐标角度是90°．现将二次函数 213y ax a 的图象在直线1y 下方的部分沿直线1y 向上：翻折，则所得图形的坐标角度 的取值范围是（）A ．3060B ．120150C ．90120D ．6090【答案】D【分析】分a=1和a=3两种情况画出图形，根据图形的坐标角度的定义即可解决问题．【详解】解：当a=1时，如图1所示，∵角两边分别过点A （-1,1），B （1,1），作BE ⊥x 轴于点E ，∴BE ＝OE ，∴∠BOE ＝45°，根据对称性可知：∠AOB ＝90°，∴此时坐标角度 ＝90°；当a=3时，如图2所示，角两边分别过点A （33,1），B （33,1），作BE ⊥x 轴于点E ，∵3tan 3BOE，∴∠BOE ＝60°，根据对称性可知：∠AOB ＝60°，∴此时坐标角度 ＝90°,∴60°≤ ≤90°，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数综合题，图形的坐标角度定义等知识，解题的关键是理解题意，学会画图，利用特殊点或者特殊位置解决问题．9．（2023·山东济宁·统考二模）定义：在平面直角坐标系中，点(,)P x y 的横、纵坐标的绝对值之和叫做点(,)P x y 的勾股值，记P x y ．若抛物线21y ax bx 与直线y x 只有一个交点C ，已知点C 在第一象限，且24C ，令2242020t b a ，则t 的取值范围为（）A ．20172018t B ．20182019t C ．20192020t D ．20202021t 【答案】B【分析】由题意△=0，故（b-1）2-4a=0，4a=（b-1）2，用方程可以化为（b-1）2+4（b-1）x+4=0，则x 1=x 2=21b ，故C （21b ，21b ），而且2≤C ≤4，即1≤21b ≤2或-2≤21b≤-1，解得：-1≤b≤0或2≤b≤3，t=2b 2-4a+2020=2b 2-（b-1）2+2020=b 2+2b+2019=（b+1）2+2018，即可求解．【详解】由题意得方程组21y x y ax bx＝＝只有一组实数解，消去y 得ax 2+（b-1）x+1=0，由题意△=0，∴（b-1）2-4a=0，∴4a=（b-1）2，∴用方程可以化为（b-1）x 2+4（b-1）x+4=0，∴x 1=x 2=21b，∴C （21b ，21b），∵且2≤C ≤4，∴1≤21b ≤2或-2≤21b≤-1，解得：-1≤b≤0或2≤b≤3，∵点C 在第一象限，∴-1≤b≤0，t=2b 2-4a+2020，∵t=2b 2-4a+2020=2b 2-（b-1）2+2020=b 2+2b+2019=（b+1）2+2018，∵-1≤b≤0∴2018≤t≤2019．故选：B ．【点睛】本题考查二次函数综合题，解题的关键是理解题意，学会把问题转化为方程或方程组解决，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．10．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点 0,2A ，点 2,0C ，则互异二次函数 2y x m m 与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值分别是（）A ．4，-1B ．5172，-1C ．4，0D ．5172，-1【答案】D【分析】分别讨论当对称轴位于y 轴左侧、位于y 轴与正方形对称轴x =1之间、位于直线x =1和x =2之间、位于直线x =2右侧共四种情况，列出它们有交点时满足的条件，得到关于m 的不等式组，求解即可．【详解】解：由正方形的性质可知：B （2,2）；若二次函数 2y x m m 与正方形OABC 有交点,则共有以下四种情况:当0m 时，则当A 点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有202m m m，解得：10m ；当01m 时，则当C 点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有 20120m m m ，解得：01m ；当12m 时，则当O 点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有2120m m m，解得：12m ；当m>2时，则当O 点在抛物线上或下方且B 点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有 222022m m m m m，解得：51722m；综上可得：m 的最大值和最小值分别是5172，1 ．故选：D ．【点睛】本题考查了抛物线与正方形的交点问题，涉及到列一元一次不等式组等内容，解决本题的关键是能根据图像分析交点情况，并进行分类讨论，本题综合性较强，需要一定的分析能力与图形感知力，因此对学生的思维要求较高，本题蕴含了分类讨论和数形结合的思想方法等．11．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）我们定义一种新函数：形如 220,40y ax bx c a b ac 的函数叫做“鹊桥”函数．已知某“鹊桥”函数2y ax bx c 过(1,0),(3,0) 两点．关于下列结论：①图像具有对称性，对称轴是直线1x ；②当1x 时，函数的最大值是4a ；③当11x 或3x 时，函数值y 随x 值的增大而增大；④当1a 时，2ax bx c t 有两个实数根，则4t ．其中正确结论的序号是．【答案】①③【分析】先根据题意画出函数图像，再运用抛物线的对称性结合过(1,0),(3,0) 两点可得对称轴，即可判定①；求出当1x 时，4y a b c a ，当1x 或3x ，函数值有大于4a 的值，即可判断②；由函数图像可知：当11x 或3x 时，函数值y 随x 值的增大而增大，即可判断③；由图像可得当1a 时，2ax bx c t 有两个实数根，则0 t 或4t 即可判定④．【详解】解：根据题意画出图像如图：由二次函数图像的对称性可得：对称轴为1312x，则①正确；∵函数2y ax bx c 过(1,0),(3,0) 两点，∴0930a b c a b c，∴3c a ，∵对称轴为12bx a，∴2b a ，∴当1x 时，4y a b c a ，∴由函数图像可知：当1x 或3x ，函数值有大于4a 的值，则②错误；由函数图像可知：当11x 或3x 时，函数值y 随x 值的增大而增大，则③正确；当1a 时，44a ，∵2ax bx c t 有两个实数根，∴由函数图像可知：0 t 或4t ，则④错误．故答案为：①③．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质，根据题意正确画出函数图像是解答本题的关键．12．（2023·云南昭通·统考二模）如下图，正方形ABCD 的边AB 在x 轴上，A （﹣4，0），B （﹣2，0），定义：若某个抛物线上存在一点P ，使得点P 到正方形ABCD 四个顶点的距离相等，则称这个抛物线为正方形ABCD 的“友好抛物线”．若抛物线y=2x 2﹣nx ﹣n 2﹣1是正方形ABCD 的“友好抛物线”，则n 的值为．【答案】-3或6【分析】到A 、B 、C 、D 四个点距离都相等的点为AC 、BD 的交点点E ，求出点E 的坐标，将点E 的坐标代入二次函数解析式，求出n 的值即可.【详解】连接AC 、BD 交于点E ，作EF ⊥AB 交AB 于点F ，由题意得，抛物线必经过点E ，∵A （﹣4，0），B （﹣2，0），∴AB =2，BO =2，∵正方形ABCD ，∴∠ABE =45°，AE ⊥BE ，AE =BE ，∴AF =BF =EF =1，∴E （﹣3，﹣1），∴﹣1=2×9+3n ﹣n 2﹣1，解得n =﹣3或6.故答案为﹣3或6.【点睛】确定出到A 、B 、C 、D 四个点距离相等的点的位置是解题的关键.13．（2022·全国·九年级专题练习）定义新运算：对于任意实数m ，n 都有2m n m mn n ☆，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如： 232332217 ☆．根据以上知识解决问题：（1）若x ☆3=1，则x 的值为．（2）抛物线 21y x ☆的顶点坐标是．（3）若2a ☆的值小于0，则方程220x bx a 有个根．【答案】x 1=1，x 2=2（52，−54）2【分析】（1）利用新定义运算法则列出方程x 2-3x +3=1，然后解方程即可；（2）利用新定义运算法则列出方程，然后利用配方法写出顶点式解析式，可以直接得到答案；（3）由2☆a 的值小于0知22-2a +a ＜0，解之求得a ＞4．再在方程-2x 2-bx +a =0中由Δ=（-b ）2+8a ≥8a ＞0可得答案．【详解】解：（1）根据题意，得x 2-3x +3=1，移项、合并同类项，得x 2-3x +2=0，整理，得（x ，-1）（x -2）=0，解得x 1=1，x 2=2；故答案为：x 1=1，x 2=2；（2）根据题意知，y =（2-x ）2-（2-x ）（-1）+（-1）=x 2-5x +5=（x -52）2-54．所以，顶点坐标（52，−54）；故答案为：（52，−54）；（3）∵2☆a 的值小于0，∴22-2a +a ＜0，解得a ＞4．在方程-2x 2-bx +a =0中，∵Δ=（-b ）2+8a ≥8a ＞0，∴方程-2x 2-bx +a =0有两个不相等的实数根．故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解，二次函数的性质，抛物线与x 轴的交点，解题的关键是掌握新定义运算法则，难度不大．14．（2022秋·上海浦东新·九年级统考期末）定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段MN 长就是抛物线关于直线的“割距”．已知直线3y x 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点B 恰好是抛物线 2y x m n 的顶点，则此时抛物线关于直线y 的割距是．【答案】2【分析】先求出B 点坐标，从而求出抛物线解析式，然后求出直线与抛物线的两个交点，利用两点距离公式即可求出答案．【详解】解：∵B 直线3y x 与y 轴的交点，∴B 点坐标为（0，3），∵B 是抛物线 2y x m n 的顶点，∴抛物线解析式为23y x ，∴233y x y x，解得03x y或12x y ，∴直线3y x 与抛物线23y x 的两个交点坐标为（0，3），（1，2），∴抛物线关于直线y 的割距是2201322 ，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了求一次函数与y 轴交点，二次函数与一次函数的交点，两点距离公式，二次函数图像的性质，熟知相关知识是解题的关键．15．（2022·山东济南·模拟预测）定义[a ，b ，c ]为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的特征数，下面给出特征数为[2m ，1－m ，－1－m ]的函数的一些结论：①当m ≠0时，点(1，0)一定在函数的图象上；②当m ＞0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32；③当m ＜0时，函数在14x 时，y 随x 的增大而减小；④当m ＞0，若抛物线的顶点与抛物线与x 轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，则13m ，正确的结论是．（填写序号）【答案】①②④【分析】根据函数特征数确定二次函数解析式为 2211y mx m x m ，当m ≠0时，把x =1代入函数，求得=0y 可判断①，当m ＞0时， 2211=0mx m x m ,求出121,12m x x m作差可判断②；当m ＜0时，20m <，抛物线开口向下，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，对称轴为111444x m可判断③；当m ＞0，若抛物线的顶点与抛物线与x 轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，根据两交点关于对称轴对称构造方程21+6+9312=82m m m m m，解得13m ，可判断④．【详解】解：由题意得：二次函数解析式为 2211y mx m x m当m ≠0时，x =1， 2112110y m m m m m m ∴点(1，0)一定在函数的图象上；故①正确；当m ＞0时， 2211=0mx m x m ,因式分解得 211=0mx m x 解得121,12m x x m函数图象截x 轴所得的线段长度=1+1313=+2222m m m 故②正确；当m ＜0时， 2211y mx m x m∴20m <，抛物线开口向下，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，对称轴为111124444b m x a m m 函数在14x时，可能x 在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大；故③不正确；④当m ＞0，抛物线顶点的纵坐标为 2228114169488m m m ac b m m y a m m，由②知抛物线与x 轴的两个交点坐标为解得 10,102m m，，，∴两交点的距离为1311+=22m m m m∵抛物线的顶点与抛物线与x 轴两交点组成的三角形为等腰直角三角形，列方程得21+6+9312=82m m m m m 解得13m ，∵m ＞0，则13m ，经检验13m 符合题意，是原方程的根，故④正确；∴正确的结论是①②④．故答案为：①②④．【点睛】本题考查抛物线的特征数，利用特征数研究抛物线的性质过定点，交点间弦长，增减性，等腰直角三角形性质等知识，掌握以上知识，灵活应用数形结合的思想是解题关键．16．（2022·江苏·九年级专题练习）定义：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点P 的坐标为 ,x y ，当x <0时，点P 的变换点P 的坐标为 ,x y ；当0x 时，点P 的变换点P 的坐标为 ,y x ．抛物线 22y x n 与x 轴交于点C ，D （点C 在点D 的左侧），顶点为E ，点P 在该抛物线上．若点P 的变换点P 在抛物线的对称轴上，且四边形ECP ′D 是菱形，则满足该条件所有n 值的和为．【答案】-13【分析】根据四边形ECP ′D 是菱形,点E 与点P′关于x 轴对称，可求P′（2，-n ）,根据变换当点P 在y 轴左侧，P （-2，-n ）,当点P 在y 轴右侧，P（-n ,-2），点P 在 22y x n 上， 222n n 或 222n n 解方程即可．【详解】解：∵四边形ECP ′D 是菱形,点E 与点P′关于x 轴对称，∵E （2，n ）,∴P′（2，-n ）,当点P 在y 轴左侧，0x ,P 的坐标为 ,x y ，点P 的变换点P 的坐标为 ,x y ；∴P （-2，-n ）,∵点P 在 22y x n 上，∴ 222n n ，∴18n ；当点P 在y 轴右侧，0x ,P 的坐标为 ,x y ，点P 的变换点P 的坐标为 ,y x ．∴P （-n ,-2），∵点P 在 22y x n 上，∴ 222n n ，整理得2560n n ，因式分解得 230n n ，解得232,3n n ；∴n =-8或-2或-3．∴-8-2-3=-13，故答案为-13．【点睛】本题考查点的变换，二次函数性质，菱形性质，掌握点的变换特征，二次函数性质，菱形性质是解题关键．17．（2022秋·山东菏泽·九年级校考期末）定义： ,,a b c 为二次函数2y ax bx c （0a ）的特征数，下面给出特征数为 ,1,2m m m 的二次函数的一些结论：①当1m 时，函数图象的对称轴是y 轴；②当2m 时，函数图象过原点；③当0m 时，函数有最小值；④如果0m ，当12x 时，y 随x 的增大而减小，其中所有正确结论的序号是．【答案】①②③．【分析】利用二次函数的性质根据特征数 ,1,2m m m ，以及m 的取值，逐一代入函数关系式，然判断后即可确定正确的答案．【详解】解：当1m 时，把1m 代入 ,1,2m m m ，可得特征数为 1,0,1∴1a ，0b ，1c ，∴函数解析式为21y x ，函数图象的对称轴是y 轴，故①正确；当2m 时，把2m 代入 ,1,2m m m ，可得特征数为 2,1,0 ∴2a ，1b =-，0c =，∴函数解析式为22y x x ，当0x 时，0y ，函数图象过原点，故②正确；函数212y mx m x m 当0m 时，函数 212y mx m x m 图像开口向上，有最小值，故③正确；当0m 时，函数 212y mx m x m 图像开口向下，对称轴为：1121112222m m m x m m ∴12x时，x 可能在函数对称轴的左侧，也可能在对称轴的右侧，故不能判断其增减性，故④错误；综上所述，正确的是①②③，故答案是：①②③．【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的对称轴等知识点，牢记二次函数的基本性质是解题的关键．18．（2022·湖北武汉·统考一模）（定义[a,b,c]为函数的特征数,下面给出特征数为[2m,1－m,－1－m]的函数的一些结论：①当m ＝－3时,函数图象的顶点坐标是（13,83）;②当m>0时,函数图象截x 轴所得的线段长度大于32;③当m<0时,函数在14x时,y 随x 的增大而减小;④当m≠0时,函数图象经过x 轴上一个定点．其中正确的结论有．（只需填写序号）【答案】①②④．【详解】试题分析：因为函数y=ax 2+bx+c 的特征数为[2m,1﹣m,﹣1﹣m];①当m=﹣3时,y=﹣6x 2+4x+2=﹣6（x ﹣13）2+83,顶点坐标是（13,83）;此结论正确;②当m ＞0时,令y=0,有2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ）=0,解得x=(1)(31)4m m m ,x 1=1,x 2=12mm,|x 2﹣x 1|=1313222m m m ＞32,所以当m ＞0时,函数图象截x 轴所得的线段长度大于32,此结论正确;③当m ＜0时,y=2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ）是一个开口向下的抛物线,其对称轴是：14m m,在对称轴的右边y 随x 的增大而减小．因为当m ＜0时,14m m =1144m＞14,即对称轴在x=14右边,因此函数在x=14右边先递增到对称轴位置,再递减,此结论错误;④当x=1时,y=2mx 2+（1﹣m ）x+（﹣1﹣m ）=2m+（1﹣m ）+（﹣1﹣m ）="0"即对任意m,函数图象都经过点（1,0）那么同样的：当m=0时,函数图象都经过同一个点（1,0）,当m≠0时,函数图象经过同一个点（1,0）,故当m≠0时,函数图象经过x 轴上一个定点此结论正确．根据上面的分析,①②④都是正确的,③是错误的．故答案是①②④．考点：二次函数综合题．19．（2022秋·九年级单元测试）我们定义：关于x 的函数y =ax 2+bx 与y =bx 2+ax （其中a ≠b ）叫做互为交换函数．如y =3x 2+4x 与y =4x 2+3x 是互为交换函数．如果函数y =2x 2+bx 与它的交换函数图象顶点关于x 轴对称，那么b =．【答案】﹣2【分析】根据题意可以得到交换函数，由顶点关于x 轴对称，从而得到关于b 的方程，可以解答本题．【详解】解：由题意函数y =2x 2+bx 的交换函数为y =bx 2+2x ．∵y =2x 2+bx =222()48b b x ，y =bx 2+2x =211()b x b b，函数y =2x 2+bx 与它的交换函数图象顶点关于x 轴对称，∴﹣4b =﹣1b 且218b b，解得：b =﹣2．故答案为﹣2．【点睛】本题考查了二次函数的性质．理解交换函数的意义是解题的关键．20．（2022·全国·九年级假期作业）对于实数a ，b ，定义新运算“ ”：a b= 22a ab a b b ab a b；若关于x 的方程 211x x t 恰好有两个不相等的实根，则t 的值为．【答案】2.25或0【分析】令y= 211x x ，并画出函数的图象，根据函数图象的交点个数就是对应的方程根的个数，即可得到直线y=t 与函数y 的图象的位置关系，进而即可求解．【详解】∵当 211x x 时，即：2x 时， 2221121211252x x x x x x x ，当 211x x 时，即：2x 时， 2221112112x x x x x x x ，∴令y= 211x x = 22222252x x x x x x，画出函数图象，从图象上观察当关于x 的方程 211x x t 恰好有两个不相等的实根时，函数y 的图象与直线y=t 有两个不同的交点，即直线y=t 过抛物线y=22x x 的顶点或直线y=t 与x 轴重合．∴t=2.25或t=0．故答案是：2.25或0．【点睛】本题主要考查函数图象的交点与方程的根的关系，掌握二次函数的图象和性质，学会画二次函数的图象，理解函数图象的交点个数就是对应的方程根的个数，是解题的关键．21．（2023·江苏南通·统考二模）定义：在平面直角坐标系xOy 中，对于某函数图象上的一点P ，先向右平移1个单位长度，再向上平移 0n n 个单位长度得到点Q ，若点Q 也在该函数图象上，则称点P 为该函数图象的“n 倍平点”．(1)函数①2y x ；②2y x ；③2y x 中，其图象存在“2倍平点”的是_______（填序号）；(2)若反比例函数2y x，图象恰有1个“n 倍平点”，求n 的值；(3)求函数22430430x x x y x x x图象的“3倍平点”的坐标．【答案】(1)②(2)8n (3) 4,3 或3,0【分析】（1）根据函数图象的“n 倍平点”的定义逐个进行判断即可；（2）设2,P a a，则21,Q a n a ，把21,Q a n a代入2y x 得220na na ，根据图象恰有1个“n倍平点”，得出280n n ，即可求出答案；（3）当0x 时，243y x x ，当0x 时，243y x x ，分两种情况，根据函数图象的“n 倍平点”的定义分别计算即可得出结论．【详解】（1）当2n 时，①设 ,2P a a ，则 1,22Q a a ，当1x a 时， 2212222y x a a a ，∴点Q 不在2y x 的图象上．∴该函数图象不存在“2倍平点”．②设 ,2P a a ，则 1,22Q a a ，当1x a 时， 22122y x a a ，∴点Q 在2y x 的图象上．∴该函数图象存在“2倍平点”．③设 ,2P a a ，则 1,4Q a a ，当1x a 时，21234y x a a a ，∴点Q 不在2y x 的图象上．∴该函数图象不存在“2倍平点”．故答案是②；（2）设2,P a a，则21,Q a n a，把21,Q a n a代入2y x 得，221n a a ，即220na na ，∵图象恰有1个“n 倍平点”，∴280n n ．∴120,8n n ．∵0n ，∴8n ．（3）当0x 时，243y x x ，设 2,43P a a a ，则 21,46Q a a a ，把 21,46Q a a a 代入243y x x 得，22461413a a a a ，解得：3a ，∴14a ，2463a a ．∴ 4,3Q ， 3,0P ．当0x 时，243y x x ，设 2,43P b b b ，则 21,4Q b b b ，把 21,4Q b b b 代入243y x x 得，2241413b b b b ，解得：4b ，∴13b ，240b b ．∴ 3,0Q ， 4,3P ．综上所述，函数22430430x x x y x x x图象的“3倍平点”的坐标是 4,3 或 3,0．【点睛】本题主要考查了新定义，正确理解新定义：函数图象的“n 倍平点”是解题的关键．22．（2023·贵州遵义·统考三模）定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y 轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：2245y x x 的友好同轴二次函数为225y x x ．(1)函数2221y x x 的对称轴为__________．其友好同轴二次函数为__________．(2)已知二次函数21:44C y ax ax （其中0a 且1a 且12a），其友好同轴二次函数记为2C ．①若函数1C 的图象与函数2C 的图象交于A 、B 两点（点A 的横坐标小于点B 的横坐标），求线段AB 的长；②当30x 时，函数2C 的最大值与最小值的差为8，求a 的值．【答案】(1)直线12x ，2331y x x (2)①4；②1 或3【分析】（1）将函数画出顶点式即可得函数的对称轴，再根据友好同轴二次函数的定义求解即可得；（2）①根据友好同轴二次函数的定义求出函数2C ，联立函数1C ，2C ，解方程可求出点,A B 的坐标，由此即可得；②分1a 且0a 且12a、1a 两种情况，利用二次函数的性质求解即可得．【详解】（1）解：函数2213y 2x 2x 12x 22的对称轴为直线12x ，因为 123 ，所以设函数2221y x x 的友好同轴二次函数为221333324y x m x x m，所以314m ，解得14m ，所以函数2221y x x 的友好同轴二次函数为2331y x x ，故答案为：直线12x，2331y x x ．（2）解：①二次函数 221444:24C y ax ax a x a ，则设 22212141:44C y a x b a x a x a b ，所以444a b ，解得4b a ，所以 22:1414C y a x a x ，联立 22441414y ax ax y a x a x 得： 2214210a x a x ，解得0x 或4x ，当0x 时，4y ；当4x 时，161644y a a ，所以 4,4,0,4A B ，所以 044AB ；②函数 22214141:24C y a x a x a x a 的对称轴为直线2x ，（Ⅰ）当1a 且0a 且12a时，抛物线的开口向上，当32x ≤≤时，y 随x 的增大而减小；当20x 时，y 随x 的增大而增大，则当2x 时，y 取得最小值，最小值为4a ，当0x 时，y 取得最大值，最大值为4，所以448a ，解得1a ，符合题设；（Ⅱ）当1a 时，抛物线开口向下，当32x ≤≤时，y 随x 的增大而增大；当20x 时，y 随x 的增大而减小，则当2x 时，y 取得最大值，最大值为4a ，当0x 时，y 取得最小值，最小值为4，所以448a ，解得3a ，符合题设；综上，a 的值为1 或3．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握理解友好同轴二次函数的定义是解题关键．23．（2021春·贵州贵阳·九年级贵阳市第二实验中学校考阶段练习）定义：同时经过x 轴上两点 ,0A m ， ,0B n m n 的两条抛物线称为同弦抛物线．如抛物线1C ： 13y x x 与抛物线2C ：213y x x 是都经过 1,0， 3,0的同弦抛物线．(1)任意写出一条抛物线1C 的同弦抛物线3C ．(2)已知抛物线4C 是1C 的同弦抛物线，且过点 4,5，求抛物线4C 对应函数的最大值或最小值．【答案】(1) 3:313C y x x （答案不唯一）(2)最小值为53。
专题71 函数中的新定义问题(解析版)-中考数学解题大招复习讲义
例题精讲考点1一次函数新定义问题【例1】．定义：我们把一次函数y＝kx+b（k≠0）与正比例函数y＝x的交点称为一次函数y＝kx+b（k≠0）的“不动点”．例如求y＝2x﹣1的“不动点”：联立方程，解得，则y＝2x﹣1的“不动点”为（1，1）．（1）由定义可知，一次函数y＝3x+2的“不动点”为（﹣1，﹣1）；（2）若一次函数y＝mx+n的“不动点”为（2，n﹣1），求m、n的值；（3）若直线y＝kx﹣3（k≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线y＝kx﹣3上没＝3S△ABO，求满足条件的P点坐标．有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得S△ABP解：（1）联立，解得，∴一次函数y＝3x+2的“不动点”为（﹣1，﹣1），故答案为：（﹣1，﹣1）；（2）∵一次函数y＝mx+n的“不动点”为（2，n﹣1），∴n﹣1＝2，∴n＝3，∴“不动点”为（2，2），∴2＝2m+3，解得m＝﹣；（3）∵直线y＝kx﹣3上没有“不动点”，∴直线y＝kx﹣3与直线y＝x平行，∴k＝1，∴y＝x﹣3，∴A（3，0），B（0，﹣3），设P（t，0），∴AP＝|3﹣t|，＝×|t﹣3|×3，∴S△ABPS△ABO＝×3×3，＝3S△ABO，∵S△ABP∴|t﹣3|＝9，∴t＝12或t＝﹣6，∴P（﹣6，0）或P（12，0）．变式训练【变1-1】．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式一一利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣1．（1）求这个函数的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．（4）若方程|x2﹣6x|﹣a＝0有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是0＜a＜9．∴，解得，∴这个函数的表达式是y＝|﹣3|﹣4；（2）∵y＝|﹣3|﹣4，∴，∴函数y＝x﹣7过点（2，﹣4）和点（4，﹣1）；函数y＝﹣x﹣1过点（0，﹣1）和点（﹣2，2），该函数的图象如图所示，性质：当x＞2时，y的值随x的增大而增大；（3）由函数的图象可得，不等式的解集是：1≤x≤4；（4）由|x2﹣6x|﹣a＝0得a＝|x2﹣6x|，作出y＝|x2﹣6x|的图象，由图象可知，要使方程|x2﹣6x|﹣a＝0有四个不相等实数根，则0＜a＜9，故答案为：0＜a＜9．考点2反比例函数新定义问题【例2】．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．x…﹣2﹣1012345…y…654a21b7…（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值；m＝﹣2，a＝3，b＝4；（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；（3）已知函数y＝﹣（x﹣2）2+8的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式x+|﹣2x+6|+m＞﹣（x﹣2）2+8的解集为x＜0或x＞4．．解：（1）由表格可知，点（3，1）在该函数图象上，∴将点（3，1）代入函数解析式可得：1＝3+|﹣2×3+6|+m，解得：m＝﹣2，∴原函数的解析式为：y＝x+|﹣2x+6|﹣2；当x＝1时，y＝3；当x＝4时，y＝4；∴m＝﹣2，a＝3，b＝4，故答案为：﹣2，3，4；（2）通过列表—描点—连线的方法作图，如图所示；（3）要求不等式x+|﹣2x+6|+m＞﹣（x﹣2）2+8的解集，实际上求出函数y＝x+|﹣2x+6|+m的图象位于函数y＝﹣（x﹣2）2+8图象上方的自变量的范围，∴由图象可知，当x＜0或x＞4时，满足条件，故答案为：x＜0或x＞4．变式训练【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当AB的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离．例如，如图1，AB⊥l1，线段AB的长度称为点A与直线l1之间的距离，当l2∥l1时，线段AB的长度也是l1与l2之间的距离．【应用】（1）如图2，在等腰Rt△BAC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E．若AB＝6，AD＝4，则DE与BC之间的距离是；（2）如图3，已知直线l3：y＝﹣x+4与双曲线C1：y＝（x＞0）交于A（1，m）与B两点，点A与点B之间的距离是2，点O与双曲线C1之间的距离是；【拓展】（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过80m时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南﹣西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80m．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线l4的函数表达式为y＝﹣x，小区外延所在双曲线C2的函数表达式为y＝（x＞0），那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？解：（1）如图，过点D作DH⊥BC于点H，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠B＝45°，∴△BDH是等腰直角三角形，∴DH＝BD，∵AB＝6，AD＝4，∴BD＝AB﹣AD＝6﹣4＝2，∴DH＝×2＝；故答案为：；（2）把A（1，m）代入y＝﹣x+4中，得：m＝﹣1+4＝3，∴A（1，3），把A（1，3）代入y＝，得：3＝，∴k＝3，∴双曲线C1的解析式为y＝，联立，得：﹣x+4＝，即x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝1，x2＝3，∴B（3，1），∴AB＝＝2；如图，作FG∥AB，且FG与双曲线y＝只有一个交点，设直线FG的解析式为y＝﹣x+b，则﹣x+b＝，整理得：x2﹣bx+3＝0，∴Δ＝（﹣b）2﹣4×1×3＝b2﹣12＝0，∴b＝2或b＝﹣2（不符合题意，舍去），∴直线FG的解析式为y＝﹣x+2，由﹣x+2＝，解得：x1＝x2＝，∴K（，），∴OK＝＝；故答案为：2，；（3）如图，设点S（a，b）是双曲线y＝（x＞0）上任意一点，且a＜b，以点S为圆心，80为半径作⊙S交l4于E，过点S作SF⊥直线l4于F，交y轴于W，SH⊥x轴于H，SG⊥y轴于G，则SG＝a，SH＝b，ab＝2400，∵直线y＝﹣x平分第二、四象限角，∴∠FOW＝45°，∵∠OFW＝∠SGW＝90°，∴∠OWF＝90°﹣45°＝45°，∴∠SWG＝∠OWF＝45°，∴△WOF和△SWG是等腰直角三角形，∴SW＝SG，WF＝OW，∴SF＝SW+WF＝SG+OW＝a+（b﹣a）＝（a+b），∵EF＝＝＝＝，∵OF＝OW＝（b﹣a），∴OE＝（b﹣a）+，设b﹣a＝m（m＞0），则OE＝m+≤＝40，∴需要在高速路旁修建隔音屏障的长度＝2OE＝2×40＝80，答：需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是80米．考点3二次函数新定义问题【例3】．小爱同学学习二次函数后，对函数y＝﹣（|x|﹣1）2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：（1）观察探究：①写出该函数的一条性质：函数图象关于y轴对称；②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为：x＝﹣2或x＝0或x＝2；③若方程﹣（|x|﹣1）2＝m有四个实数根，则m的取值范围是﹣1＜m＜0．（2）延伸思考：将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝﹣（|x﹣1|﹣1）2+2的图象？写出平移过程，并直接写出当1＜y1≤2时，自变量x的取值范围．解：（1）观察探究：①该函数的一条性质为：函数图象关于y轴对称；②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为：x＝﹣2或x＝0或x＝2；③若方程﹣（|x|﹣1）2＝m有四个实数根，则a的取值范围是﹣1＜m＜0．故答案为：函数图象关于y轴对称；x＝﹣2或x＝0或x＝2；﹣1＜m＜0．（2）将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位可得到函数y1＝﹣（|x﹣1|﹣1）2+2的图象，当1＜y1≤2时，自变量x的取值范围是﹣1＜x＜3且x≠1，变式训练【变3-1】．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|ax2+bx+c|的图象（如图所示），下列结论正确的是（）A．图象具有对称性，对称轴是直线x＝1.5B．有且只有﹣1≤x≤1时，函数值y随x值的增大而增大C．若a＜0，则8a+c＞0D．若a＜0，则a+b≥m（am+b）（m为任意实数）解：由图象可得，图象具有对称性，对称轴是直线x＝＝1，故选项A错误，不符合题意；当﹣1≤x≤1或x＞3时，函数值y随x值的增大而增大，故选项B错误，不符合题意；∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，∴4a﹣2b+c＝4a﹣2×（﹣2a）+c＝4a+4a+c＝8a+c＜0，故选项C错误，不符合题意；∵y＝ax2+bx+c开口向下，对称轴为直线x＝1，∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），∴a+b≥m（am+b）+c，故选项D正确，符合题意；故选：D．【变3-2】．已知抛物线y＝ax2+c过点A（﹣2，0）和D（﹣1，3）两点，交x轴于另一点B．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，点P是BD上方抛物线上一点，连接AD，BD，PD，当BD平分∠ADP时，求P点坐标；（3）将抛物线图象绕原点O顺时针旋转90°形成如图2的“心形”图案，其中点M，N 分别是旋转前后抛物线的顶点，点E、F是旋转前后抛物线的交点．①直线EF的解析式是y＝x；②点G、H是“心形”图案上两点且关于EF对称，则线段GH的最大值是．解：（1）∵抛物线y＝ax2+c过点A（﹣2，0）和D（﹣1，3）两点，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4；（2）过点B作BE⊥x轴交DP延长线于点E，过D作DF⊥x于点F，由y＝﹣x2+4，令y＝0，则﹣x2+4＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝2，则B（2，0），∵DF＝3，BF＝2﹣（﹣1）＝3，∴DF＝BF，∴∠DBF＝45°，∴∠DBE＝45°，又∵DB＝DB，BD平分∠ADP，∴△DAB≌△DEB（ASA），∴BA＝BE，∵B（2，0），∴E（2，4），设直线DE的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线DE的解析式为y＝x+，联立，解得或，则P（，）；（3）①∵抛物线关于y轴对称，所以旋转后图形关于x轴对称，∴对于抛物线上任意一点P（a，b）关于原点旋转90°后对应点为P1（b，﹣a）在旋转后图形上，P1（b，﹣a）关于x轴对称的点P2（b，a）在旋转后图形上，∵P（a，b）与P2（b，a）关于y＝x对称，∴图形2关于y＝x对称，∴直线EF的解析式为y＝x，故答案为：y＝x；②如图，连接GH，交EF与点K，则GH＝2GK，过点G作x轴的垂线，交EF于点I，∴当GK最大时，△GFE面积最大，＝GI•（x E﹣x F），又∵S△GFE设G（m，﹣m2+4），则I（m，m），∴GI＝y G﹣y I＝﹣m2+4﹣m＝﹣（m+）2+，∴当m＝﹣时，△GFE面积最大，∴G（﹣，），由①可知G（﹣，）关于y＝x的对称点H（，﹣），∴K（，），∴GK＝＝，∴GH＝2GK＝，∴GH的最大值为，故答案为：．1．对于实数a，b，定义符号max|a，b|，其意义为：当a≥b时，max|a，b|＝a，当a＜b时，max|a，b|＝b．例如max|2，﹣1|＝2，若关于x的函数y＝max|2x﹣1，﹣x+5|，则该函数的最小值为（）A．B．1C．D．3解：当2x﹣1≥﹣x+5时，即x≥2，y＝max|2x﹣1，﹣x+5|＝2x﹣1，此时x＝2时，y有最小值，最小值为2×2﹣1＝3；当2x﹣1≤﹣x+5时，即x≤2，y＝max|2x﹣1，﹣x+5|＝﹣x+5，此时x＝2时，y有最小值，最小值为﹣2+5＝3；综上所述，该函数的最小值为3．故选：D．2．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），若点P′的坐标为（ka+b，a+）（其中k为常数且k≠0），则称点P′为点P的“k关联点”．已知点A在反比例函数y＝的图象上运动，且点A是点B的“关联点”，当线段OB最短时，点B的坐标为（，）或（﹣，﹣）．解：设B（x，y），∵点A是点B的“关联点”，∴A（x+y，x+）∵点A在函数y＝（x＞0）的图象上，∴（x+y）（x+）＝，即：x+y＝或x+y＝﹣，当点B在直线y＝﹣x+上时，设直线y＝﹣x+与x轴、y轴相交于点M、N，则M（1，0）、N（0，），当OB⊥MN时，线段OB最短，此时OB＝＝，由∠NMO＝60°，可得点B（，）；设直线y＝﹣x﹣时，同理可得点B（﹣，﹣）；故答案为：（，）或（﹣，﹣）．3．定义：由a，b构造的二次函数y＝ax2+（a+b）x+b叫做一次函数y＝ax+b的“滋生函数”，一次函数y＝ax+b叫做二次函数y＝ax2+（a+b）x+b的“本源函数”（a，b为常数，且a ≠0）．若一次函数y＝ax+b的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，那么二次函数y＝ax2﹣3x+a+1的“本源函数”是y＝﹣2x﹣1．解：∵y＝ax+b的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，∴ax2﹣3x+a+1＝ax2+（a+b）x+b，即，解得，∴y＝ax2﹣3x+a+1的“本源函数”是y＝﹣2x﹣1，故答案为：y＝﹣2x﹣1．4．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点”．例如（﹣3，﹣3）、（1，1）、（2023，2023）都是“不动点”．已知双曲线．（1）下列说法不正确的是C．A．直线y＝x的图象上有无数个“不动点”B．函数的图象上没有“不动点”C．直线y＝x+1的图象上有无数个“不动点”D．函数y＝x2的图象上有两个“不动点”（2）求双曲线上的“不动点”；（3）若抛物线y＝ax2﹣3x+c（a、c为常数）上有且只有一个“不动点”，①当a＞1时，求c的取值范围．②如果a＝1，过双曲线图象上第一象限的“不动点”做平行于x轴的直线l，若抛物线上有四个点到l的距离为m，直接写出m的取值范围．解：（1）设坐标平面内任意一个“不动点”的坐标为（n，n），直线y＝x，当x＝n时，则y＝n，∴点（n，n）在直线y＝x上，∴直线y＝x上有无数个“不动点”，故A正确；将（n，n）代入y＝，得n＝，此方程无解，∴函数y＝的图象上没有“不动点”，故B正确；将（n，n）代入y＝x+1，得n＝n+1，此方程无解，∴直线y＝x+1上没有“不动点”，故C错误；将（n，n）代入y＝x2，得n＝n2，解得n1＝0，n2＝1，∴函数y＝x2的图象上有两个“不动点”（0，0）和（1，1），故D正确，故选：C．（2）设双曲线上的“不动点”为（x，x），则x＝，解得x1＝﹣3，x2＝3，∴双曲线上的“不动点”为（﹣3，﹣3）和（3，3）．（3）①设抛物线y＝ax2﹣3x+c上的“不动点”为（x，x），则x＝ax2﹣3x+c，即ax2﹣4x+c＝0，∵该抛物线上有且只有一个“不动点”，∴关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c＝0有两个相等的实数根，∴（﹣4）2﹣4ac＝0，∴a＝，∵a＞1，∴＞1，∴0＜c＜4．②∵当a＝1时，则＝1，∴c＝4，∴抛物线为y＝x2﹣3x+4，由（2）得，双曲线在第一象限的不动点为（3，3），∴直线l即直线y＝3，如图，∵y＝x2﹣3x+4＝（x﹣）2+，∴该抛物线的顶点B（，），对称轴为直线x＝，设直线r在直线l下方且到直线l的距离为m，直线x＝交直线l于点A，交直线r于点C，∴AC＝m，A（，3），∴AB＝3﹣＝，设直线t与直线r关于直线l对称，∵当点C在点B的上方时，抛物线上有四个点到l的距离为m，∴0＜m＜．5．在并联电路中，电源电压为U总＝6V，小亮根据“并联电路分流不分压”的原理知道：I总＝I1+I2（I1＝，I2＝），已知R1为定值电阻，当R变化时，干路电流I总也会发生变化，且干路电流I总与R之间满足如下关系：I总＝1+．（1）定值电阻R1的阻值为6Ω；（2）小亮根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数I2＝来探究函数I＝1+的图象与性质．总①列表：如表列出I总与R的几组对应值，请写出m，n的值：m＝ 2.5，n＝2；R…3456…I2＝…2 1.5 1.21…I总＝1+…3m 2.2n…②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以I总相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来；（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：①I总随R的增大而减小；（填“增大”或“减小”）②函数I总＝1+的图象是由I2＝的图象向上平移1个单位而得到．解：（1）∵I1＝＝1，∴R1＝6，故答案为：6；（2）①当R＝4时，m＝1+1.5＝2.5，当R＝6时，n＝1+1＝2，故答案为：2.5，2；②图象如下：随R的增大而减小，（3）①根据图象可知，I总故答案为：减小；②函数I总＝1+的图象是由I2＝的图象向上平移1个单位得到，故答案为：上，1．6．小欣研究了函数的图象与性质．其研究过程如下：（1）绘制函数图象①列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝1；012…x…﹣4﹣3﹣2y…﹣1﹣2﹣332m…﹣﹣②描点：根据表中的数值描点（x，y）；③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．（2AA．函数值y随x的增大而减小B．函数图象不经过第四象限C．函数图象与直线x＝﹣1没有交点D．函数图象对称中心（﹣1，0）（3）如果点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数图象上，如果x1+x2＝﹣2，则y1+y2＝0．解：（1）把x＝0代入到中可得：y＝1，即m＝1，图象如下所示：故答案为：1，图象如上所示；（2）A．当x＜﹣1或x＞﹣1时，函数值y随x的增大而减小，故选项A不正确；B．根据图象可得，函数图象不经过第四象限，故选项B正确；C．根据函数表示可得：x≠﹣1，所以函数图象与直线x＝﹣1没有交点，故选项C正确；D．根据图象可知，函数图象对称中心（﹣1，0），故选项D正确；故选：A；（3）∵x1+x2＝﹣2，∴y1+y2＝＝＝＝0；故答案为：0．7．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下：（1）绘制函数图象，列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝．x…﹣3﹣2﹣1123…y…124421m…描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出各点，请你描出剩下的点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，已经画出了部分图象，请你把图象补充完整；（2）通过观察图象，下列关于该函数的性质表述正确的是：②；（填写代号）①函数值y随x的增大而增大；②关于y轴对称；③关于原点对称；（3）在上图中，若直线y＝2交函数的图象于A，B两点（A在B左边），连接OA．过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝4．解：（1）将x＝3代入得y＝，故答案为：．（2）由（1）中的图象可知，在第一象限内，y随x的增大而减小；在第二象限内，y随x的增大而增大；函数图象关于y轴对称，故②正确；故答案为：②．（3）将y＝2代入得x＝1或x＝﹣1，∴AB＝1﹣（﹣1）＝2，∵AB在直线y＝2上，OC在x轴上，∴AB∥OC，又∵BC∥OA，∴四边形OABC为平行四边形，＝AB•y A＝2×2＝．∴S四边形OABC故答案为：4．8．【定义】从一个已知图形的外一点引两条射线分别经过该已知图形的两点，则这两条射线所成的最大角称为该点对已知图形的视角，如图①，∠APB是点P对线段AB的视角．【应用】（1）如图②，在直角坐标系中，已知点A（2，），B（2，2），C（3，），则原点O对三角形ABC的视角为30°；（2）如图③，在直角坐标系中，以原点O，半径为2画圆O1，以原点O，半径为4画圆O2，证明：圆O2上任意一点P对圆O1的视角是定值；【拓展应用】（3）很多摄影爱好者喜欢在天桥上对城市的标志性建筑拍照，如图④．现在有一条笔直的天桥，标志性建筑外延呈正方形，摄影师想在天桥上找到对建筑视角为45°的位置拍摄．现以建筑的中心为原点建立如图⑤的坐标系，此时天桥所在的直线的表达式为x ＝﹣5，正方形建筑的边长为4，请直接写出直线上满足条件的位置坐标．解：（1）延长BA交x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，∵点，，，∴AB∥y轴，，OE＝3，∴AB⊥x轴，∴，OD＝2，∴，，∴∠BOD＝60°，∠COE＝30°，∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COE＝30°，即原点O对三角形ABC的视角为30°过答案为：30°（2）证明：如图，过圆O2上任一点P作圆O1的两条切线交圆O1于A，B，连接OA，OB，OP，则有OA⊥PA，OB⊥PB，在中，OA＝2，OP＝4，∴，∴∠OPA＝30°，同理可求得：∠OPB＝30°，∴∠APB＝60°，即圆O2上任意一点P对圆O1的视角是60°，∴圆O2上任意一点P对圆O1的视角是定值．（3）当在直线AB与直线CD之间时，视角是∠APD，此时以E（﹣4，0）为圆心，EA 半径画圆，交直线于P3，P6，∵∠DP3B＞∠DP3A＝45°，∠AP6C＞∠DP6C＝45°，不符合视角的定义，P3，P6舍去．同理，当在直线AB上方时，视角是∠BPD，此时以A（﹣2，2）为圆心，AB半径画圆，交直线于P1，P5，P5不满足；过点P1作P1M⊥AD交DA延长线于点M，则AP1＝4，P1M＝5﹣2＝3，∴，∴当在直线CD下方时，视角是∠APC，此时以D（﹣2，﹣2）为圆心，DC半径画圆，交直线于P2，P4，P4不满足；同理得：；综上所述，直线上满足条件的位置坐标或．9．小明在学习函数的过程中遇到这样一个函数：y＝[x]，若x≥0时，[x]＝x2﹣1；若x＜0时，[x]＝﹣x﹣1．小明根据学习函数的经验，对该函数进行了探究．（1）①列表：下表列出y与x的几组对应值，请写出m，n的值m＝0；n＝3；x…﹣2﹣1012…y…1m00n…②描点：在平面直角坐标系中，以①给出的自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点并连线，作出函数图象；（2）下列关于该函数图象的性质正确的是③；（填序号）①y随x的增大而增大；②该函数图象关于y轴对称；③当x＝0时，函数有最小值为﹣1；④该函数图象不经过第三象限．（3）若函数值y＝8，则x＝3或﹣9；（4）若关于x的方程2x+c＝[x]有两个不相等的实数根，请结合函数图象，直接写出c 的取值范围是c＞﹣2．解：（1）①m＝﹣（﹣1）﹣1＝0；n＝22﹣1＝3；故答案为：0，3；②描点，连线，作出函数图象如下：（2）从图象可知：下列关于该函数图象的性质正确的是③；故答案为：③；（3）若x≥0时，x2﹣1＝8，解得x＝3或x＝﹣3，∴x＝3；若x＜0时，﹣x﹣1＝8，解得x＝﹣9，故答案为：3或﹣9；（4）由图象可知：关于x的方程2x+c＝[x]有两个不相等的实数根，则c＞﹣2，故答案为：c＞﹣2．10．某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．下面是小红的探究过程，请补充完整：（1）经过测量，得出了d和h的几组对应值，如表．d/米00.61 1.8 2.43 3.64h/米0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.600.88在d和h这两个变量中，d是自变量，h是这个变量的函数；（2）在下面的平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合表格数据和函数图象，解决问题：①桥墩露出水面的高度AE为0.88米；②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且CE＝DF，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米．（精确到0.1米）解：（1）d是自变量，h是这个变量的函数，故答案为：d，h；（2）如图，（3）①当x＝0时，y＝0.88，∴桥墩露出水面的高度AE为0.88米，故答案为：0.88；②设y＝ax2+bx+c，把（0，0.88）、（1，2.38）、（3，2.38）代入得，，解得，∴y＝﹣0.5x2+2x+0.88，对称轴为直线x＝2，令y＝2，则2＝﹣0.5x2+2x+0.88，解得x≈3.3（舍去）或0.7．故答案为：0.7．11．小明为了探究函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到，并运用性质解决问题．（1）完成函数图象的作图，并完成填空．①列出y与x的几组对应值如表：x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1012345…y…﹣8﹣3010﹣3010a﹣8…表格中，a＝﹣3；②结合上表，在下图所示的平面直角坐标系xOy中，画出当x＞0时函数M的图象；③观察图象，当x＝﹣2或2时，y有最大值为1；（2）求函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3与直线l：y＝2x﹣3的交点坐标；（3）已知P（m，y1），Q（m+1，y2）两点在函数M的图象上，当y1＜y2时，请直接写出m的取值范围．解：（1）①把x＝4代入y＝﹣x2+4|x|﹣3得：y＝﹣16+16﹣3＝﹣3，∴a＝﹣3，故答案为：﹣3；②画出当x＞0时函数M的图象如下：③观察图象，当x＝﹣2或2时，y有最大值为1；故答案为：﹣2或2，1；（2）由解得或，由解得或，∴函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3与直线l：y＝2x﹣3的交点坐标为（﹣6，﹣15）、（0，﹣3）、（2，1）；（3）∵P（m，y1），Q（m+1，y2）两点在函数M的图象上，且y1＜y2，∴m的取值范围m＜﹣2.5或﹣0.5＜m＜1.5．12．定义：平面直角坐标系xOy中，若点M绕原点顺时针旋转90°，恰好落在函数图象W 上，则称点M为函数图象W的“直旋点”．例如，点是函数y＝x图象的“直旋点”．（1）在①（3，0），②（﹣1，0），③（0，3）三点中，是一次函数图象的“直旋点”的有②③（填序号）；（2）若点N（3，1）为反比例函数图象的“直旋点”，求k的值；（3）二次函数y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点D是二次函数y＝﹣x2+2x+3图象的“直旋点”且在直线AC上，求D点坐标．解：（1）①点（3，0）绕原点顺时针旋转90°得点（0，﹣3），当x＝0时，y＝1，∴点（3，0）不是一次函数图象的“直旋点”；②点（﹣1，0）绕原点顺时针旋转90°得点（0，1），当x＝0时，y＝1，∴点（﹣1，0）是一次函数图象的“直旋点”；③点（0，3）绕原点顺时针旋转90°得（3，0），当x＝3时，y＝＝0，∴点（0，3）是一次函数图象的“直旋点”；∴是一次函数图象的“直旋点”的有②③；故答案为：②③；（2）点N（3，1）绕原点顺时针旋转90°得点（1，﹣3），∵点N（3，1）为反比例函数图象的“直旋点”，∴，∴k＝﹣3；（3）∵二次函数y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵二次函数y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），设直线AC的解析式为y＝kx+b，，解得：，∴直线AC的解析式为y＝3x+3，设点D（a，3a+3），则D（a，3a+3）绕原点顺时针旋转90°得点（3a+3，﹣a），∵点D是二次函数y＝﹣x2+2x+3图象的“直旋点”，∴﹣（3a+3）2+2（3a+3）+3＝﹣a，解得：a＝0或a，∴点D的坐标为（0，3）或．13．对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y ≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界是1．（1）直接判断函数y＝（x＞0）和y＝﹣2x+1（﹣4＜x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，直接写出其边界值；（2）若一次函数y＝kx+b（﹣2≤x≤1）的边界值是3，且这个函数的最大值是2，求这个一次函数的解析式；（3）将二次函数y＝﹣x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向上平移m个单位，得到的函数的边界值是n，当m在什么范围时，满足≤n≤1．解：（1）y＝（x＞0）不是有界函数；y＝﹣2x+1（﹣4＜x≤2）是有界函数，当x＝﹣4时，y＝9，当x＝2时，y＝﹣3，∴对于﹣4＜x≤2时，任意函数值都满足﹣9＜y≤9，∴边界值为9．（2）当k＞0时，由有界函数的定义得函数过（1，2），（﹣2，﹣3）两点，设y＝kx+b，将（1，2）（﹣2，﹣3）代入上式得，解得：，所以：y＝x+，当k＜0时，由有界函数的定义得函数过（﹣2，2），（1，﹣3）两点，设y＝kx+b，将（﹣2，2），（1，﹣3）代入上式得，即得，函数解析式为y＝﹣x﹣．（3）若m＞1，函数向上平移m个单位后，x＝0时，y＝m，此时边界值t≥1，与题意不符，故m≤1，函数y＝﹣x2过点（﹣1，﹣1），（0，0）；向上平移m个单位后，平移图象经过（﹣1，﹣1+m）；（0，m）．∴﹣1≤﹣1+m≤﹣或≤m≤1，即0≤m≤或≤m≤1．14．在平面直角坐标系中，由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图所示，抛物线C1与抛物线C2：y＝mx2+4mx﹣12m（m ＞0）的部分图象组成一个“月牙线”，相同的交点分别为M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B，且点A的坐标为（0，﹣1）．（1）求M，N两点的坐标及抛物线C1的解析式；（2）若抛物线C2的顶点为D，当m＝时，试判断三角形MND的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，点P（t，﹣）是抛物线C1上一点，抛物线C2第三象限上是＝S△ONQ，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说否存在一点Q，使得S△APM明理由．解：（1）令y＝0，则mx2+4mx﹣12m＝0，解得x＝2或x＝﹣6，∴M（﹣6，0），N（2，0），设抛物线C1的解析式为y＝a（x+6）（x﹣2），将点A（0，﹣1）代入，得﹣12a＝﹣1，解得a＝，∴y＝（x2+4x﹣12）；（2）∵m＝，∴y＝x2+3x﹣9＝（x+2）2﹣12，∴D（﹣2，﹣12），∴MD＝4，ND＝4，MN＝8，∴MD＝ND，∴△MND是等腰三角形；＝S△ONQ，理由如下：（3）∵存在一点Q，使得S△APM∵点P（t，﹣）是抛物线C1上一点，∴﹣＝（t2+4t﹣12），解得t＝﹣1或t＝﹣3，∴P（﹣1，﹣）或P（﹣3，﹣），设直线AM的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x﹣1，过点P作PG∥y轴交AM于点G，当P（﹣1，﹣）时，G（﹣1，﹣），∴PG＝，＝6×＝，∴S△APM＝S△ONQ，∵S△APM∴××2×|y Q|＝，解得y Q＝﹣，∴Q（﹣﹣2，﹣）；当P（﹣3，﹣）时，G（﹣3，﹣），∴PG＝，＝6×＝，∴S△APM＝S△ONQ，∵S△APM∴××2×|y Q|＝，解得y Q＝﹣，∴Q（﹣﹣2，﹣）；综上所述：Q点坐标为（﹣﹣2，﹣）或（﹣﹣2，﹣）．15．阅读材料：一般地，对于某个函数，如果自变量x在取值范围内任取x＝a与x＝﹣a时，函数值相等，那么这个函数是“对称函数”．例如：y＝x2，在实数范围内任取x＝a时，y ＝a2；当x＝﹣a时，y＝（﹣a）2＝a2，所以y＝x2是“对称函数”．（1）函数y＝2|x|+1是对称函数（填“是”或“不是”）．当x≥0时，y＝2|x|+1的图象如图1所示，请在图1中画出x＜0时，y＝2|x|+1的图象．（2）函数y＝x2﹣2|x|+1的图象如图2所示，当它与直线y＝﹣x+n恰有3个交点时，求n的值．（3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣3，0），B（2，0），C（2，﹣3），D（﹣3，﹣3），当二次函数y＝x2﹣b|x|+1（b＞0）的图象与矩形的边恰有4个交点时，求b的取值范围．解：（1）∵在实数范围内任取x＝a时，y＝2|a|+1，当x＝﹣a时，y＝2|﹣a|+1＝2|a|+1，∴y＝2|x|+1是“对称函数”．故答案为：是；y＝2|x|+1的图象如图1所示，（2）①当直线y＝﹣x+n经过点（0，1）时，函数y＝x2﹣2|x|+1的图象与直线y＝﹣x+n恰有3个交点，∴n＝1；②当直线y＝﹣x+n与函数y＝x2﹣2|x|+1的图象的右半侧相切时，函数y＝x2﹣2|x|+1的图象与直线y＝﹣x+n恰有3个交点，即方程组有一个解，∴方程x2﹣x+1﹣n＝0有两个相等的实数根．∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（1﹣n）＝0，解得：n＝．综上，函数y＝x2﹣2|x|+1的图象与直线y＝﹣x+n恰有3个交点，则n的值为1或；（3）当x＞0时，函数y＝x2﹣bx+1的图象与x轴相切时，方程x2﹣bx+1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣b）2﹣4×1×1＝0，∵b＞0，∴b＝2；当x＞0时，函数y＝x2﹣bx+1的图象与直线DC相切时，方程x2﹣bx+1＝﹣3有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣b）2﹣4×1×4，∵b＞0，∴b＝4；当x＜0时，函数y＝x2+bx+1的图象经过点（﹣3，﹣3）时，﹣3＝（﹣3）2﹣3b+1，解得：b＝．综上，当2＜b＜4或b＞时，二次函数y＝x2﹣b|x|+1（b＞0）的图象与矩形的边恰有4个交点．16．定义：把一个半圆与抛物线的一部分合成封闭图形，我们把这个封闭图形称为“蛋圆”．如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，A，B，C，D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，8），AB为半圆的直径，半圆的圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为3．（1）请你直接写出“蛋圆”抛物线部分的解析式y＝﹣x2+4x+8，自变量的取值范围是﹣2≤x≤4；（2）请你求出过点C的“蛋圆”切线与x轴的交点坐标；（3）求经过点D的“蛋圆”切线的解析式．解：（1）∵半圆的圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为3，∴A（﹣2，0），B（4，0），设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，则，解得，∴“蛋圆”抛物线部分的解析式y＝﹣x2+2x+8（﹣2≤x≤4）；故答案为：＝﹣x2+2x+8；﹣2≤x4．（2）如图，设过点C的切线与x轴相交于E，连接CM，∵CE与半圆相切，∴CE⊥CM，∴∠OCE+∠MCO＝90°，∵∠CEO+∠ECO＝90°，∴∠CEO＝∠MCO，又∵∠COE＝∠MOC＝90°，∴△COE∽△MOC，∴＝，由勾股定理得，OC＝＝2，∴OE＝＝＝8，∴过点C的“蛋圆”切线与x轴的交点坐标为（﹣8，0）；（3）设过点D的“蛋圆”切线解析式为y＝kx+8，联立，消掉y得，x2+（k﹣2）x＝0，∵直线与“蛋圆”抛物线相切，∴△＝（k﹣2）2＝0，解得k＝2，∴过点D的“蛋圆”切线的解析式为y＝2x+8．17．规定：如果两个函数图象上至少存在一组点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“O—函数”．这组点称为“XC点”．例如：点P（1，1）在函数y＝x2上，点Q（﹣1，﹣1）在函数y＝﹣x﹣2上，点P与点Q关于原点对称，此时函数y＝x2和y＝﹣x﹣2互为“O—函数”，点P与点Q则为一组“XC点”．（1）已知函数y＝﹣2x﹣1和y＝﹣互为“O—函数”，请求出它们的“XC点”；（2）已知函数y＝x2+2x+4和y＝4x+n﹣2022互为“O—函数”，求n的最大值并写出“XC 点”；（3）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与y＝2bx+1互为“O—函数”有且仅存在一组“XC点”，如图，若二次函数的顶点为M，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）其中0＜x1＜x2，AB＝，过顶点M作x轴的平行线l，点P在直线l上，记P的横坐标为﹣，连接OP，AP，BP．若∠OPA＝∠OBP，求t的最小值．解：（1）设P（a，b）在y＝﹣2x﹣1上，则Q（﹣a，﹣b）在y＝﹣上，∴，解得或，∴“XC点”为（﹣2，3）与（2，﹣3）或（，﹣4）与（﹣，4）；（2）设P（s，t）在y＝x2+2x+4Q（﹣s，﹣t）在y＝4x+n﹣2022上，∴，∴n＝﹣t+4s+2022＝﹣s2+2s+2018＝﹣（s﹣1）2+2019，当s＝1时，n有最大值2019，此时“XC点”为（1，7）与（﹣1，﹣7）；（3）设P（x，y）在y＝ax2+bx+c上，则Q（﹣x，﹣y）在y＝2bx+1上，∴，整理得ax2﹣bx+c+1＝0，∵有且仅存在一组“XC点”，∴Δ＝b2﹣4a（c+1）＝0，即＝﹣1，∴顶点M的纵坐标为﹣1，∵ax2+bx+c＝0，∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝，∴AB＝＝，∵AB＝，∴＝，∴＝，∵∠OPA＝∠OBP，∠AOP＝∠POB，∴△POA∽△BOP，∴OP2＝OB•OA＝x1•x2，∵P的横坐标为﹣，∴P（﹣，﹣1），∴t+1＝＝＝（c﹣1）2+，∴当c＝1时，t有最小值．18．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“CJ三角形”．（1）判断下列三角形是否为“CJ三角形”？如果是，请在对应横线上画“√”，如果不是，请在对应横线上画“×”；①其中有两内角分别为30°，60°的三角形×；②其中有两内角分别为50°，60°的三角形×；③其中有两内角分别为70°，100°的三角形√；（2）如图1，点A在双曲线y＝（k＞0）上且横坐标为1，点B（4，0），C为OB中点，D为y轴负半轴上一点，若∠OAB＝90°．①求k的值，并求证：△ABC为“CJ三角形”；②若△OAB与△OBD相似，直接写出D的坐标；（3）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，E为BC边上一点，BE ＞CE且△ABE是“CJ三角形”，已知A（﹣6，0），记BE＝t，过A，E作抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），B在A右侧，且在x轴上，点Q在抛物线上，使得tan∠ABQ＝，若符合条件的Q点个数为3个，求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式．。
中考数学专题训练：关于二次函数的新定义(附参考答案)
1 / 2中考数学专题训练：关于二次函数的新定义（附参考答案）1．若将抛物线平移，有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”．现将抛物线C1：y ＝(x －2)2－4向右平移m(m ＞0)个单位长度后得到新的抛物线C2，若(4，n)为“平衡点”，则m 的值为( )A ．2B ．1C ．4D ．32．新定义：[a ，b ，c]为二次函数y ＝ax2＋bx ＋c(a ≠0，a ，b ，c 为实数)的“图象数”，如：y ＝x2－2x ＋3的“图象数”为[1，－2，3].若“图象数”是[m ，2m ＋4，2m ＋4]的二次函数的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为( )A ．－2B ．14C ．－2或2D ．23．定义：在平面直角坐标系中，过一点P 分别作坐标轴的垂线，这两条垂线与坐标轴围成一个矩形，若矩形的周长值与面积值相等，则点P 叫做“和谐点”，所围成的矩形叫做“和谐矩形”．已知点P 是抛物线y ＝x2＋k 上的“和谐点”，所围成的“和谐矩形”的面积为16，则k 的值可以是( )A ．16B ．4C ．－12D ．－184．定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点A(0，2)，点C(2，0)，则互异二次函数y ＝(x －m)2－m 与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值分别是( )A ．4，－1B ．5−√172，－1 C ．4，0 D ．5+√172，－15．定义：[a ，b ，c]为二次函数y ＝ax2＋bx ＋c(a ≠0)的特征数，下面给出特征数为[m ，1－m ，2－m]的二次函数的一些结论：①当m ＝1时，函数图象的对称轴是y 轴；②当m ＝2时，函数图象过原点；③当m ＞0时，函数有最小值；④如果m ＜0，当x ＞12时，y 随x 的增大而减小．其中所有正确结论的序号是__________．6．定义：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设点P 的坐标为(x ，y)，当x ＜0时，点P 的变换点P ′的坐标为(－x ，y)；当x ≥0时，点P 的变换点P ′的坐标为(－y ，x)．抛物线y ＝(x －2)2＋n 与x 轴交于点C ，D(点C 在点D 的左侧)，顶点为E ，点P 在该抛物线上．若点P 的变换点P ′在抛物线的对称轴上，且四边形ECP ′D 是菱形，则满足该条件的所有n 值的和为________．7．对某一个函数给出如下定义：若存在实数m ＞0，对于任意的函数值y ，都满足－m ≤y ≤m ，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的m 中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，2 / 2 如图中的函数是有界函数，其边界值是1.将函数y ＝－x2＋1(－2≤x ≤t ，t ≥0)的图象向上平移t 个单位长度，得到的函数的边界值n 满足94≤n ≤52时，则t 的取值范围是________________________．参考答案1．C 2．C3．C 4．D 5．①②③ 6．－13 7．≤t ≤34或54≤t ≤32。
二次函数压轴题之新定义问题(一)(讲义及答案)
二次函数压轴题之新定义问题（一）（讲义） 知识点睛新定义问题是在已学知识基础上，以未接触过的新定义为载体，现学现用，侧重考查理解、分析、应用等能力的问题。
此类问题的一般思路：①结合图形，理解新定义关键词；②借助题目正反举例，理解新定义实质，尝试“化生为熟”；③结合背景信息，借助新定义求解．精讲精练1.如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以C为顶点的抛物线经过点A，P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F．点D，E的坐标分别为(0，6)，(-4，0)，连接PD，PE，DE．（1）请直接写出抛物线的解析式．（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由．（3）小明进一步探究得出结论：若将使△PDE的面积为整数的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE的周长最小时“好点”的坐标．2.已知抛物线2y ax bx c =++，若a ，b ，c 满足b =a +c ，则称抛物线2y ax bx c =++为“恒定”抛物线．（1）求证：“恒定”抛物线2y ax bx c =++必过x 轴上的一个定点A ；（2）已知“恒定”抛物线233y x =-的顶点为P ，与x 轴的另一个交点为B ，是否存在以Q 为顶点，与x 轴另一个交点为C 的“恒定”抛物线，使得以PA ，CQ 为边的四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由．3.如图1，P 为∠MON 的平分线上一点，以P 为顶点的角的两边分别与射线OM ，ON 交于点A ，B ，如果∠APB 绕点P 旋转时始终满足2OA OB OP ⋅=，我们就把∠APB 叫做∠MON 的智慧角．（1）如图2，已知∠MON =90°，P 为∠MON 的平分线上一点，以P 为顶点的角的两边分别与射线OM ，ON 交于点A ，B ，且∠APB =135°，求证：∠APB 是∠MON 的智慧角；（2）如图1，已知∠MON =α（0°<α<90°），OP =2，若∠APB 是∠MON 的智慧角，连接AB ，用含α的式子分别表示∠APB 的度数和△AOB 的面积；（3）如图3，C 是函数30y x x=>（）的图象上一点，过点C 的直线与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，且BC =2AC ，请求出∠AOB 的智慧角∠APB 的顶点P 的坐标．图1图2图34.在平面直角坐标系中，我们不妨将横坐标、纵坐标均为整数的点称之为“中国结”．（1）求函数32y x =+的图象上的所有“中国结”的坐标；（2）若函数0k y k k x=≠（，为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k 的值与相应“中国结”的坐标；（3）若二次函数2222(32)(241)y k k x k k x k k =-++-++-（k 为常数）的图象与x 轴相交得到两个不同的“中国结”，则该函数的图象与x 轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含多少个“中国结”？【参考答案】1.（1）2188y x =-+（2）为定值2；（3）“好点”个数为11，当△PDE 的周长最小时，“好点”坐标为：(-4，6)2.（1）必过点(-1，0)（2）存在；234333y x x =++或233y x =-+3.（1）证明略（2）∠APB =180°2α-；△AOB 的面积为2sin α（3）3232()22，或33()22-，4.（1）(0，2)（2）k =1时，“中国结”的坐标为(1，1)，(-1，-1)；k =-1时，“中国结”的坐标为(-1，1)，(1，-1)；（3）一共包含6个“中国结”：(-2，0)，(-3，0)，(-1，0)，(-1，1)，(0，0)，(1，0)。
2024中考数学新定义及探究题专题 《二次函数及新定义》 (含解析)
2024中考数学新定义及探究题专题《二次函数及新定义》（学生版）【类型1二次函数问题中的新定义问题】1．（2023春·山东济南·九年级统考期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（）A．B．C．D．2．（2023春·湖北咸宁·九年级统考期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．若互异二次函数的对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），则这个互异二次函数的二次项系数是（）A．B．C．1D．﹣13．（2023春·广西南宁·九年级统考期中）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′=n-4；m＜0时，n′=-n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（-2，3）的限变点是P2′（-2，-3）．若点P（m，n）在二次函数y=-x2+4x+2的图象上，则当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（）A．B．C．D．4．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）定义：我们不妨把纵坐标是横坐标2倍的点称为“青竹点”．例如：点、……都是“青竹点”．显然，函数的图象上有两个“青竹点”：和．(1)下列函数中，函数图象上存在“青竹点”的，请在横线上打“√”，不存在“青竹点”的，请打“×”．①________；②________；③________．(2)若抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，求m的取值范围；(3)若函数的图象上存在唯一的一个“青竹点”，且当时，a的最小值为c，求c的值．5．（2023春·江苏泰州·九年级统考期中）定义：两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图像与轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如：的友好同轴二次函数为．(1)函数的友好同轴二次函数为．(2)当时，函数的友好同轴二次函数有最大值为，求的值．(3)已知点分别在二次函数及其友好同轴二次函数的图像上，比较的大小，并说明理由．6．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）定义：若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴两交点间的距离为4，称此抛物线为定弦抛物线．(1)判断抛物线y＝x2+2x﹣3是否是定弦抛物线，请说明理由；(2)当一定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，且它的图像与坐标轴的交点间的连线所围成的图形是直角三角形，求该抛物线的表达式；(3)若定弦抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），当2≤x≤4时，该抛物线的最大值与最小值之差等于OB之间的距离，求b的值．7．（2023春·浙江·九年级期末）定义：若抛物线与抛物线．同时满足且，则称这两条抛物线是一对“共轭抛物线”．(1)已知抛物线与是一对共轭抛物线，求的解析式；(2)如图1，将一副边长为的正方形七巧板拼成图2的形式，若以BC中点为原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，设经过点A，E，D的抛物线为，经过A、B、C的抛物线为，请立接写出、的解析式并判断它们是否为一对共轭抛物线．8．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期末）定义：如果抛物线与轴交于点，，那么我们把线段叫做雅礼弦，两点之间的距离称为抛物线的雅礼弦长．(1)求抛物线的雅礼弦长；(2)求抛物线的雅礼弦长的取值范围；(3)设，为正整数，且，抛物线的雅礼弦长为，抛物线的雅礼弦长为，，试求出与之间的函数关系式，若不论为何值，恒成立，求，的值．9．（2023春·河南濮阳·九年级统考期中）小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y=x2-3x-2的“旋转函数”．小明是这样思考的：由函数y=x2-3x-2可知，a1=1，b1=-3，c1=-2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．请参考小明的方法解决下面问题：(1)直接写出函数y=x2-3x-2的“旋转函数”；(2)若函数与y=x2-2nx+n互为“旋转函数”，求(m+n)2020的值；(3)已知函数的图象与x轴交于点A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数互为“旋转函数”10．（2023春·山西大同·九年级统考期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：定义：我们把自变量为的二次函数与（，）称为一对“亲密函数”，如的“亲密函数”是．任务：（1）写出二次函数的“亲密函数”：______；（2）二次函数的图像与轴交点的横坐标为1和，它的“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标为______，猜想二次函数（）的图像与轴交点的横坐标与其“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标之间的关系是______；（3）二次函数的图像与轴交点的横坐标为1和，请利用（2）中的结论直接写出二次函数的图像与轴交点的横坐标．【类型2二次函数与一次函数综合问题中的新定义问题】1．（2023春·九年级课时练习）定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是．2．（2023春·浙江湖州·九年级统考期中）定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）．(1)若点是该二次函数的一个不动点，求的值；(2)若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围．3．（2023·安徽·模拟预测）已知函数与函数，定义“和函数”．(1)若，则“和函数”；(2)若“和函数”为，则，；(3)若该“和函数”的顶点在直线上，求．4．（2023·北京·模拟预测）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：．(1)①已知点，则______．②函数的图象如图①所示，是图象上一点，，求点的坐标．(2)函数的图象如图②所示，是图象上一点，求的最小值及对应的点的坐标．5．（2023春·上海·九年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）我们定义【，，】为函数的“特征数”，如：函数的“特征数”是【2，，5】，函数的“特征数”是【0，1，2】(1)若一个函数的“特征数”是【1，，1】，将此函数图像先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图像对应的函数“特征数”是______；(2)将“特征数”是【0，，】的图像向上平移2个单位，得到一个新函数，这个函数的解析式是______；(3)在（2）中，平移前后的两个函数图像分别与轴交于A、两点，与直线分别交于、两点，在给出的平面直角坐标系中画出图形，并求出以A、、、四点为顶点的四边形的面积；(4)若（3）中的四边形与“特征数”是【1，，】的函数图像有交点，求满足条件的实数的取值范围．6．（2023春·福建龙岩·九年级校考期末）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x<0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等．我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数，它的相关函数为(1)已知点A（-2，1）在一次函数的相关函数的图象上时，求a的值．(2)已知二次函数．当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值．7．（2023春·江苏南通·九年级统考期末）定义：若图形与图形有且只有两个公共点，则称图形与图形互为“双联图形”，即图形是图形的“双联图形”，图形是图形的“双联图形”．(1)若直线与抛物线互为“双联图形”，且直线不是双曲线的“双联图形”，求实数的取值范围；(2)如图2，已知，，三点．若二次函数的图象与互为“双联图形”，直接写出的取值范围．8．（2023春·北京·九年级北京市第三中学校考期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G 上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．（1）①点A（1，3）的“坐标差”为；②抛物线y＝﹣x2+3x+3的“特征值”为；（2）某二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．①直接写出m＝；（用含c的式子表示）②求b的值．9．（2023春·北京·九年级人大附中校考期中）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是．(1)直接写出有界函数的边界值；(2)已知函数是有界函数，且边界值为3，直接写出的最大值；(3)将函数的图象向下平移个单位，得到的函数的边界值是，直接写出的取值范围，使得．10．（2023春·湖南长沙·九年级校考期中）若定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数”，其“明德点”为（1，2）．(1)①判断：函数__________“明德函数”（填“是”或“不是”）；②函数的图像上的明德点是___________；(2)若抛物线上有两个“明德点”，求m的取值范围；(3)若函数的图像上存在唯一的一个“明德点”，且当时，的最小值为，求的值．【类型3二次函数与几何图形综合问题中的新定义问题】1．（2023春·四川绵阳·九年级统考期末）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是（）A．4，-1B．，-1C．4，0D．，-1 2．（2023春·山东济南·九年级统考期末）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y1＝（x﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y2＝﹣（x﹣1）2+2．（1）请写出抛物线y1＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标；及其“同轴对称抛物线”y2＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标；（2）求抛物线y＝﹣2x2+4x+3的“同轴对称抛物线”的解析式．（3）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、，连接BC、、、．①当四边形为正方形时，求a的值．②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．3．（2023春·北京门头沟·九年级大峪中学校考期中）定义：对于平面直角坐标系上的点和抛物线，我们称是抛物线的相伴点，抛物线是点的相伴抛物线．如图，已知点，，．（1）点的相伴抛物线的解析式为______；过，两点的抛物线的相伴点坐标为______；（2）设点在直线上运动：①点的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线上，求抛物线的解析式．②当点的相伴抛物线的顶点落在内部时，请直接写出的取值范围．4．（2023春·浙江绍兴·九年级校联考期中）定义：如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上(P点与A．B两点不重合)，如果△ABP中PA与PB两条边的三边满足其中一边是另一边倍，则称点P为抛物线的“好”点．（1）命题：P(0，3)是抛物线的“好”点．该命题是_____（真或假）命题．（2）如图2，已知抛物线C:与轴交于A，B两点，点P(1，2)是抛物线C的“好”点，求抛物线C的函数表达式．=S△AB P的Q点(异于点P)的（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ坐标．5．（2023·安徽安庆·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y=-与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为______，点A的坐标为______，点B的坐标为______．（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点M的坐标．6．（2023春·湖南长沙·九年级统考期中）定义：在线段MN上存在点P、Q将线段MN分为相等的三部分，则称P、Q为线段MN的三等分点．已知一次函数y＝﹣x+3的图象与x、y轴分别交于点M、N，且A、C为线段MN的三等分点（点A在点C的左边）．（1）直接写出点A、C的坐标；（2）①二次函数的图象恰好经过点O、A、C，试求此二次函数的解析式；②过点A、C分别作AB、CD垂直x轴于B、D两点，在此抛物线O、C之间取一点P（点P不与O、C重合）作PF⊥x轴于点F，PF交OC于点E，是否存在点P使得AP＝BE？若存在，求出点P的坐标？若不存在，试说明理由；（3）在（2）的条件下，将△OAB沿AC方向移动到△O'A'B'（点A'在线段AC上，且不与C重合），△O'A'B'与△OCD重叠部分的面积为S，试求当S＝时点A'的坐标．7．（2023春·安徽合肥·九年级统考期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．（1）求点A（2，1）的“坐标差”和抛物线y＝﹣x2+3x+4的“特征值”．（2）某二次函数＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式．（3）如图所示，二次函数y＝﹣x2+px+q的图象顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上，当二次函数y＝﹣x2+px+q的图象与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围．8．（2023·浙江杭州·九年级统考期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．（1）初步尝试如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形．（2）理解运用如图2，已知△ACD为直角三角形，∠ADC=90°，以AC，AD为边向外作正方向ACFB和正方形ADGE，连接BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形．（3）综合探究如图3，二次函数y=x2–x–5的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在二次函数的图象上是否存在一点D，使△ABC与△ABD是偏等积三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2023春·江西赣州·九年级统考期末）我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线．如下图，抛物线F2都是抛物线F1的过顶抛物线，设F1的顶点为A，F2的对称轴分别交F1、F2于点D、B，点C是点A关于直线BD的对称点．（1）如图1，如果抛物线y=x2的过顶抛物线为y=ax2+bx，C（2，0），那么①a=，b=．②如果顺次连接A、B、C、D四点，那么四边形ABCD为（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形（2）如图2，抛物线y=ax2+c的过顶抛物线为F2，B（2，c－1）．求四边形ABCD的面积．（3）如果抛物线的过顶抛物线是F2，四边形ABCD的面积为，请直接写出点B的坐标．10．（2023春·江西赣州·九年级校考期末）定义：在平面直角坐标系中，抛物线y＝a+bx+c （a≠0）与直线y＝m交于点A、C（点C在点A右边）将抛物线y＝a+bx+c沿直线y＝m翻折，翻折前后两抛物线的顶点分别为点B、D．我们将两抛物线之间形成的封闭图形称为惊喜线，四边形ABCD称为惊喜四边形，对角线BD与AC之比称为惊喜度（Degreeofsurprise），记作|D|＝．（1）图①是抛物线y＝﹣2x﹣3沿直线y＝0翻折后得到惊喜线．则点A坐标，点B 坐标，惊喜四边形ABCD属于所学过的哪种特殊平行四边形，|D|为．（2）如果抛物线y＝m﹣6m（m＞0）沿直线y＝m翻折后所得惊喜线的惊喜度为1，求m的值．（3）如果抛物线y＝﹣6m沿直线y＝m翻折后所得的惊喜线在m﹣1≤x≤m+3时，其最高点的纵坐标为16，求m的值并直接写出惊喜度|D|2024中考数学新定义及探究题专题《二次函数及新定义》（解析版）【类型1二次函数问题中的新定义问题】1．（2023春·山东济南·九年级统考期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段的交点求解．【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为，将代入得，将代入得，设，，如图，联立与，得方程，即抛物线与直线有两个交点，，解得，当直线和直线与抛物线交点在点A，上方时，抛物线与线段有两个交点，把代入，得，把代入得，，解得，．故选D．【点睛】本题考查二次函数图象与正比例函数图象的交点问题，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．2．（2023春·湖北咸宁·九年级统考期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．若互异二次函数的对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），则这个互异二次函数的二次项系数是（）A．B．C．1D．﹣1【答案】B【分析】根据函数的对称轴和互异二次函数的特点计算即可；【详解】由题可知：此函数的横坐标与纵坐标互为相反数，且对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），设此函数为，∴，解得：，∴此函数的二次项系数为；故选B．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，准确计算是解题的关键．3．（2023春·广西南宁·九年级统考期中）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′=n-4；m＜0时，n′=-n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（-2，3）的限变点是P2′（-2，-3）．若点P（m，n）在二次函数y=-x2+4x+2的图象上，则当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据新定义得到当m≥0时，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，在0≤m≤3时，得到-2≤n′≤2；当m＜0时，n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，在-1≤m＜0时，得到-2≤n′≤3，即可得到限变点P′的纵坐标n'的取值范围是-2≤n′≤3．【详解】解：由题意可知，当m≥0时，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，∴当0≤m≤3时，-2≤n′≤2，当m＜0时，n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，∴当-1≤m＜0时，-2＜n′≤3，综上，当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是-2≤n′≤3，故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到n′关于m的函数．4．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）定义：我们不妨把纵坐标是横坐标2倍的点称为“青竹点”．例如：点、……都是“青竹点”．显然，函数的图象上有两个“青竹点”：和．(1)下列函数中，函数图象上存在“青竹点”的，请在横线上打“√”，不存在“青竹点”的，请打“×”．①________；②________；③________．(2)若抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，求m的取值范围；(3)若函数的图象上存在唯一的一个“青竹点”，且当时，a的最小值为c，求c的值．【答案】(1)×；√；×(2)(3)【分析】（1）根据“青一函数”的定义直接判断即可；（2）根据题意得出关于的一元二次方程，再根据根的判别式得出关于m的不等式，即可求解；（3）根据题意得出关于的一元二次方程，再根据根的判别式得出关于a的二次函数，利用二次函数最值求解即可．【详解】（1）解：①令，方程无解，∴函数图像上不存在“青竹点”，故答案为：×；②令，解得：，，∴函数图像上存在“青竹点”和，故答案为：√；③令，方程无解，∴函数图像上不存在“青竹点”，故答案为：×；（2）解：由题意得，整理，得，∵抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，∴，解得；（3）解：由题意得整理，得∵函数的图像上存在唯一的一个“青竹点”，∴整理，得∴当时，a的最小值为，∵当时，a的最小值为c，∴∴，【点睛】本题属于函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系，一元二次方程根的判别式．5．（2023春·江苏泰州·九年级统考期中）定义：两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图像与轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如：的友好同轴二次函数为．(1)函数的友好同轴二次函数为．(2)当时，函数的友好同轴二次函数有最大值为，求的值．(3)已知点分别在二次函数及其友好同轴二次函数的图像上，比较的大小，并说明理由．【答案】(1)；(2)；(3)当时，；当时，；当时，【分析】（1）根据友好同轴二次函数的定义，找出的友好同轴二次函数即可；（2）根据友好同轴二次函数的定义，找出的友好同轴二次函数，判断函数图像开口方向，利用函数的对称轴和自变量范围进行最大值讨论；（3）先根据友好同轴二次函数的定义，找出的友好同轴二次函数，再把两点代入，作差后比较大小，为含参数的二次不等式，求解的范围即可．【详解】（1）设友好同轴二次函数为，由函数可知，对称轴为直线，与轴交点为，，，对称轴为直线，，友好同轴二次函数为；（2）由函数可求得，该函数的友好同轴二次函数为；①当时，时，，解得：；②当时，时，，解得：；综上所述，；（3）由函数可求得，该函数的友好同轴二次函数为，把分别代入可得，，，则，，，①当时，，即，，解得：；②当时，，即，，解得：；③当时，，即，，解得：；综上所述，当时，；当时，；当时，．【点睛】本题考查二次函数的性质以及新定义问题，掌握二次函数的基本性质以及研究手段，准确根据题意求出符合要求的友好同轴二次函数是解题关键．6．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）定义：若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴两交点间的距离为4，称此抛物线为定弦抛物线．(1)判断抛物线y＝x2+2x﹣3是否是定弦抛物线，请说明理由；(2)当一定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，且它的图像与坐标轴的交点间的连线所围成的图形是直角三角形，求该抛物线的表达式；(3)若定弦抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），当2≤x≤4时，该抛物线的最大值与最小值之差等于OB之间的距离，求b的值．【答案】(1)是定弦抛物线，理由见解析(2)或(3)b＝﹣4或【分析】（1）令y＝0，求出与x轴的交点坐标，可判断；（2）分开口向上向下讨论，利用定弦抛物线的定义和对称轴可求出与x轴交点坐标，用相似求出与y轴交点坐标，代入可得答案；（3）根据对称轴和所给范围分情况讨论即可．【详解】（1）解：当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3，则|x1-x2|＝4，即该抛物线是定弦抛物线；（2）：当该抛物线开口向下时，如图所示．∵该定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，设则解得：∴C（﹣1，0），D（3，0），∵△CED为直角三角形∴由题意可得∠CED＝90°，∵EO⊥CD，∴△CEO∽△EDO，∴OE2＝OC·OD＝3，∴E（0，）设该定弦抛物线表达式为，把E（0，）代入求得∴该定弦抛物线表达式为，当该抛物线开口向上时，同理可得该定弦抛物线表达式为，∴综上所述，该定弦抛物线表达式为或；（3）解：若≤2，则在2≤x≤4中，当x＝4时该定弦抛物线取最大值，当x＝2时该定弦抛物线取最小值．∴l6+4b+c-(4+2b+c)＝+2，解得：b＝﹣4，∵≤2，∴b≥﹣4，即b＝﹣4，若≤3，则在2≤x≤4中，当x＝4时该定弦抛物线取最大值，当x＝时该定弦抛物线取最小值．∴16+4b+c﹣＝+2，解得：b1＝﹣4，b2＝﹣14，∵2≤≤3，∴﹣6≤b≤﹣4，∴b1＝﹣4，b2＝﹣14（舍去），若≤4，则在2≤x≤4中，当x＝2时该定弦抛物线取最大值，当x＝时该定弦抛物线取最小值．∴4+2b+c﹣＝+2，解得：b＝﹣5，∵≤4，∴﹣8≤b＜﹣6，∴b＝﹣5不合题意，舍去，若＞4，则在2≤x≤4中，当x＝2时该定弦抛物线取最大值，当x＝4时该定弦抛物线取最小值．∴4+2b+c-(16+4b+c)＝+2，解得：b＝-，∵＞4，∴b＜﹣8，∴b＝﹣，∴综上所述b＝﹣4或．【点睛】本题考查了二次函数的综合性质，包括与x轴交点问题，最值问题，以及和相似的结合，准确地理解定弦抛物线的定义以及分类讨论是解决本题的关键．7．（2023春·浙江·九年级期末）定义：若抛物线与抛物线．同时满足且，则称这两条抛物线是一对“共轭抛物线”．(1)已知抛物线与是一对共轭抛物线，求的解析式；(2)如图1，将一副边长为的正方形七巧板拼成图2的形式，若以BC中点为原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，设经过点A，E，D的抛物线为，经过A、B、C的抛物线为，请立接写出、的解析式并判断它们是否为一对共轭抛物线．【答案】(1)(2)，，、是一对共轭抛物线【分析】（1）将化作顶点式，可求出，和的值，根据“共轭抛物线”的定义可求出，和的值，进而求出的解析式；（2）根据七巧板各个图形之间的关系可求出各个图形的边长，进而可表示点，，，，的坐标，分别求出和的解析式，再根据“共轭抛物线”的定义可求解．【详解】（1）解：，∴，，，∵抛物线与是一对共轭抛物线，∴，且，．（2）解：如图，由题意得，，则，，，，，∵点为的中点，∴，∴，，，，，∴可设抛物线，与抛物线，∴，，解得：，，∴抛物线，抛物线，∴，，，，，，∵，，∴满足且，∴、是一对共轭抛物线．【点睛】本题属于二次函数的新定义类问题，主要考查利用待定系数法求函数表达式，二次函数的顶点式，一般式及交点式三种方式的变换，熟知相关运算是解题关键．8．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期末）定义：如果抛物线与轴交于点，，那么我们把线段叫做雅礼弦，两点之间的距离称为抛物线。
难点探究专题：新定义型二次函数的综合探究问题(解析版)
难点探究专题：新定义型二次函数的综合探究问题【考点导航】目录【典型例题】【考点一新定义型二次函数--关联抛物线】【考点二新定义型二次函数--友好同轴二次函数】【考点三新定义型二次函数--衍生抛物线】【考点四新定义型二次函数--同轴对称抛物线】【考点五新定义型二次函数--孔像抛物线】【考点六新定义型二次函数--伴随抛物线】【考点七新定义型二次函数--美丽抛物线】【考点八新定义型二次函数--系列平移抛物线】【典型例题】【考点一新定义型二次函数--关联抛物线】1如果抛物线C1的顶点在抛物线C2上，抛物线C2的顶点也在抛物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线C1：y1=14x2+x与C2：y2=ax2+x+c是“互为关联”的抛物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D(6，-1)．(1)直接写出A，B的坐标和抛物线C2的解析式；(2)抛物线C2上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)如图2，点F(-6，3)在抛物线C1上，点M，N分别是抛物线C1，C2上的动点，且点M，N的横坐标相同，记△AFM面积为S1(当点M与点A，F重合时S1=0)，△ABN的面积为S2(当点N与点A，B重合时，S2=0)，令S=S1+S2，观察图象，当y1≤y2时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最大值．【答案】(1)A(-2，-1)，B(2，3)；抛物线C2的解析式为y2=-14x2+x+2(2)存在，点E的坐标E(6，-1)或E(10，-13)(3)-2≤x≤2，当t=2时，S的最大值为16【分析】(1)将抛物线C 1改为顶点式可得A (-2，-1)，将A (-2，-1)，D (6，-1)代入y 2=ax 2+x +c ，求得y 2=-14(x -2)2+3，即可求出B (2，3)；(2)易得直线AB 的解析式：y =x +1，①若B 为直角顶点，BE ⊥AB ，E (6，-1)；②若A 为直角顶点，AE⊥AB ，E (10，-13)；③若E 为直角顶点，设E m ，-14m 2+m +2 ，不符合题意；(3)由y 1≤y 2，得-2≤x ≤2，设M t ，14t 2+t ，N t ，-14t 2+t +2 ，且-2≤t ≤2，易求直线AF 的解析式：y =-x -3，过M 作x 轴的平行线MQ 交AF 于Q ，S 1=12t 2+4t +6，设AB 交MN 于点P ，易知P (t ，t +1)，S 2=2-12t 2，所以S =S 1+S 2=4t +8，即当t =2时，S 的最大值为16．【详解】(1)抛物线C 1：y 1=14x 2+x =14(x +2)2-1∴A (-2，-1)，将A (-2，-1)，D (6，-1)代入抛物线C 2：y 2=ax 2+x +c ，得：4a -2+c =-136a +6+c =-1 ，解得：a =-14c =2 ，∴y 2=-14x 2+x +2=-14(x -2)2+3，∴B (2，3)；(2)设直线AB 的解析式为：y =kx +b ，则-2k +b =-12k +b =3 ，解得：k =1b =1∴直线AB 的解析式：y =x +1，①若B 为直角顶点，BE ⊥AB ，k BE ·k AB =-1，∴k BE =-1，故可设直线BE 解析式为y =-x +b ，将B 点坐标代入，得：3=-2+b ，解得：b =5，直线BE 解析式为y =-x +5．联立y =-x +5y =-14x 2+x +2 ，解得x 1=2y 1=3 ，x 2=6y 2=-1，∴E (6，-1)；②若A 为直角顶点，AE ⊥AB ，同理得AE 解析式：y =-x -3．联立y =-x -3y =-14x 2+x +2 ，解得x 1=-2y 1=-1 ，x 2=10y 2=-13，∴E (10，-13)；③若E 为直角顶点，设E m ，-14m 2+m +2 由AE ⊥BE 得k BE ·k AE =-1，即-14m 2+m -1m -2⋅-14m 2+m +1m +2=-1，整理，得：(m +2)(m -2)[(m -2)(m -6)+16]=0，∴m +2=0或m -2=0或(m -2)(m -6)+16=0(无解)，∴解得m =2或-2(不符合题意舍去)，∴点E 的坐标E (6，-1)或E (10，-13)；(3)∵y 1≤y 2，∴-2≤x ≤2，设M t ，14t 2+t ，N t ，-14t 2+t +2 ，且-2≤t ≤2，设直线AF 的解析式为y =mx +n ，则-2m +n =1-6m +n =3 ，解得：m =-1n =-3∴直线AF 的解析式：y =-x -3，如图，过M 作x 轴的平行线MQ 交AF 于Q ，则Q -14t 2-t -3，14t 2+t ，∴S 1=12QM •y F -y A =12t 2+4t +6．设AB 交MN 于点P ，易知P (t ，t +1)，S 2=12PN •|x A -x B |=2-12t 2，∴S =S 1+S 2=4t +8，∴当t =2时，S 的最大值为16．【点睛】本题为二次函数综合题，考点有利用待定系数法求函数解析式，二次函数的顶点，两直线垂直其比例系数相乘等于-1等知识，为压轴题．利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键．【变式训练】1(2023春·福建福州·九年级福建省福州格致中学校考期中)新定义：我们把抛物线y =ax 2+bx +c (其中ab ≠0)与抛物线y =bx 2+ax +c 称为“关联抛物线”．例如：抛物线y =2x 2+3x +1的“关联抛物线”为：y =3x 2+2x +1．已知抛物线C 1:y =4ax 2+ax +4a -3a ≠0 的“关联抛物线”为C 2．(1)写出C 2的解析式(用含a 的式子表示)及顶点坐标；(2)若a >0，过x 轴上一点P ，作x 轴的垂线分别交抛物线C 1，C 2于点M ，N ．①当MN =6a 时，求点P 的坐标；②当a -4≤x ≤a -2时，C 2的最大值与最小值的差为2a ，求a 的值．【答案】(1)y =ax 2+4ax +4a -3a ≠0 ，顶点为-2，-3 (2)①P -1,0 或2,0 ；②a =2-2或a =2．【分析】(1)根据定义将一次项系数与二次项系数互换即可求得解析式，化为顶点式即可求得顶点坐标；(2)①设P p ,0 ，则M p ,4ap 2+ap +4a -3 ，N p ,ap 2+4ap +4a -3 ，根据题意建立方程解方程即可求解；②根据题意，分三种情形讨论，根据点距离对称轴的远近确定最值，然后建立方程，解方程求解即可．【详解】(1)解：∵抛物线C 1:y =4ax 2+ax +4a -3a ≠0 的“关联抛物线”为C 2，根据题意可得，C 2的解析式y =ax 2+4ax +4a -3a ≠0∵y =ax 2+4ax +4a -3=a x +2 2-3顶点为-2，-3(2)解：①设P p ,0 ，则M p ,4ap 2+ap +4a -3 ，N p ,ap 2+4ap +4a -3∴MN =4ap 2+ap +4a -3-ap 2+4ap +4a -3=3ap 2-3ap∵MN =6a∴3ap 2-3ap =6a∵a ≠0∴p 2-p =±2当p 2-p =2时，解得p 1=-1，p 2=2当p 2-p =-2时，方程无解∴P -1,0 或2,0②∵C 2的解析式y =ax 2+4ax +4a -3a ≠0∵y =ax 2+4ax +4a -3=a x +2 2-3顶点为-2，-3 ，对称轴为x =-2∵a >0，∴a -2>-2当-2 -a -4 ≥a -2--2 时，即a ≤1时，函数的最大值为a a -4+2 2-3，最小值为-3∵C 2的最大值与最小值的差为2a∴a a -2 2=2a∵a ≠0∴a -2=±2解得a 1=2-2,a 2=2+2(a ≤1，舍去)∴a =2-2当-2 -a -4 <a -2--2 时，且a -4<-2即1<a <2时，函数的最大值为a a -2+2 2-3，最小值为-3∵C 2的最大值与最小值的差为2a∴a 3=2a∵a ≠0∴a =±2解得a 1=2,a 2=-2(1<a <2，舍去)∴a =2当a -4≥-2时，即a ≥2时，抛物线开向上，对称轴右侧y 随x 的增大而增大，函数的最大值为a a -2+2 2-3=a 3-3，最小值为a a -4+2 2-3=a a -2 2-3∵C 2的最大值与最小值的差为2a∴a 3-3-a a -2 2+3=2a即a 3-a a -2 2-2a =0∵a ≠0即a 2-a -2 2-2=0解得a =32(a ≥2舍去)综上所述，a =2-2或a =2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，求顶点式，二次函数的最值问题，分类讨论是解题的关键．【考点二新定义型二次函数--友好同轴二次函数】1(2023·贵州遵义·统考三模)定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y 轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：y =2x 2+4x -5的友好同轴二次函数为y =-x 2-2x -5．(1)函数y =-2x 2+2x +1的对称轴为．其友好同轴二次函数为．(2)已知二次函数C 1:y =ax 2+4ax +4(其中a ≠0且a ≠1且a ≠12)，其友好同轴二次函数记为C 2．①若函数C 1的图象与函数C 2的图象交于A 、B 两点(点A 的横坐标小于点B 的横坐标)，求线段AB 的长；②当-3≤x ≤0时，函数C 2的最大值与最小值的差为8，求a 的值．【答案】(1)直线x =12，y =3x 2-3x +1(2)①4；②-1或3【分析】(1)将函数画出顶点式即可得函数的对称轴，再根据友好同轴二次函数的定义求解即可得；(2)①根据友好同轴二次函数的定义求出函数C 2，联立函数C 1，C 2，解方程可求出点A ,B 的坐标，由此即可得；②分a <1且a ≠0且a ≠12、a >1两种情况，利用二次函数的性质求解即可得．【详解】(1)解：函数y =-2x 2+2x +1=-2x -12 2+32的对称轴为直线x =12，因为1--2 =3，所以设函数y =-2x 2+2x +1的友好同轴二次函数为y =3x -12 2+m =3x 2-3x +34+m ，所以34+m =1，解得m =14，所以函数y =-2x 2+2x +1的友好同轴二次函数为y =3x 2-3x +1，故答案为：直线x =12，y =3x 2-3x +1．(2)解：①二次函数C 1:y =ax 2+4ax +4=a x +2 2+4-4a ，则设C 2:y =1-a x +2 2+b =1-a x 2+41-a x +4-4a +b ，所以4-4a +b =4，解得b =4a ，所以C 2:y =1-a x 2+41-a x +4，联立y =ax 2+4ax +4y =1-a x 2+41-a x +4 得：2a -1 x 2+42a -1 x =0，解得x =0或x =-4，当x =0时，y =4；当x =-4时，y =16a -16a +4=4，所以A -4,4 ,B 0,4 ，所以AB =0--4 =4；②函数C 2:y =1-a x 2+41-a x +4=1-a x +2 2+4a 的对称轴为直线x =-2，(Ⅰ)当a <1且a ≠0且a ≠12时，抛物线的开口向上，当-3≤x ≤-2时，y 随x 的增大而减小；当-2<x ≤0时，y 随x 的增大而增大，则当x =-2时，y 取得最小值，最小值为4a ，当x =0时，y 取得最大值，最大值为4，所以4-4a =8，解得a =-1，符合题设；(Ⅱ)当a >1时，抛物线开口向下，当-3≤x ≤-2时，y 随x 的增大而增大；当-2<x ≤0时，y 随x 的增大而减小，则当x =-2时，y 取得最大值，最大值为4a ，当x =0时，y 取得最小值，最小值为4，所以4a -4=8，解得a =3，符合题设；综上，a 的值为-1或3．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，掌握理解友好同轴二次函数的定义是解题关键．【变式训练】1【概念感知】我们把两个二次项系数之和为1，对称轴相间，且图象与y 轴交点也相同的二次函数称为“友好对称二次函数”，例如：y =3x 2+6x -3的“友好对称二次函数”为y =-2x 2-4x -3．【特例求解】(1)y =-13x 2的“友好对称二次函数”为；y =13x 2+x -5的“友好对称二次函数”为．【性质探究】(2)关于“友好对称二次函数”，下列结论正确的是(填入正确的序号)①二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”；②二次项系为12的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身；③y =ax 2-2ax +3的“友好对称二次函数”为y =(1-a )x 2-2(1-a )x +3．④任意两个“友好对称二次函数”与y 轴一定有交点，与x 轴至少有一个二次函数有交点．【拓屐应用】(3)如图，二次函数L 1:y =ax 2-4ax +1与其“友好对称二次函数”L 2都与y 轴交于点A ，点B ，C 分别在L 1，L 2上，点B ，C 的横坐标均为0<m <2 ，它们关于L 1的对称轴的称点分别力B ，C ，连接BB ，B C ，C C ，CB ．①若a =3，且四边形BB C C 为正方形，求m 的值；②若m =1，且四边形BB C C 邻边之比为1:2，直接写出a 的值．【答案】(1)y =43x 2，y =23x 2+2x -5；(2)①②③；(3)①m 的值为11-1015；②a 的值为-16或76或13或23【分析】(1)根据题中“友好对称二次函数”的性质：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y 轴交点也相同，据此求解即可；(2)根据题中“友好对称二次函数”的性质逐个判断即可得；(3)①根据题意可得：二次函数L 1：y =3x 2-12x +1，二次函数L 2：y =-2x 2+8x +1，点B 的坐标为m ,3m 2-12m +1 ，点C 的坐标为m ,-2m 2+8m +1 ，则可得点B ，点C 的坐标，然后得出线段BC ，BB 的长，根据四边形BB C C 为正方形，得出方程求解即可；②当m =1时，点B 的坐标为1,-3a +1 ，点C 的坐标为1,3a -2 ，则可得点B ，点C 的坐标，然后得出线段BC ，BB 的长，根据题意：四边形BB C C 的邻边之比为1：2，得出BC =2BB 或BB =2BC ，求解即可得．【详解】解：(1)∵a =1--13 =43，∴函数y =-13x 2的“友好对称二次函数”为y =43x 2；a =1-13=23，原函数的对称轴为：x =-12×13=-32，∴-b 2×23=-32，∴b =2，c =-5，∴函数y =13x 2+x -5的“友好对称二次函数”为y =23x 2+2x -5，,故答案为：y =43x 2；y =23x 2+2x -5；(2)∵1-1=0，∴二次项系数为1的二次函数没有“友好对称二次函数”，①正确；∵1÷2=12，∴二次项系数为12的二次函数的“友好对称二次函数”是它本身，②正确；由定义，y =ax 2-2ax +3的“友好对称二次函数”为y =1-a x 2-21-a x +3，③正确；若y =12x 2+x +1，则其“友好对称二次函数”为y =12x 2+x +1，此时这两条抛物线与x 轴都没有交点，④错误；故答案为：①②③；(3)二次函数L 1：y =ax 2-4ax +1的对称轴为直线x =--4a 2a=2，其“友好对称二次函数”L 2：y =1-a x 2-41-a x +1．①∵a =3，∴二次函数L 1：y =ax 2-4ax +1=3x 2-12x +1，二次函数L 2：y =1-a x 2-41-a x +1=-2x 2+8x +1，∴点B 的坐标为m ,3m 2-12m +1 ，点C 的坐标为m ,-2m 2+8m +1 ，∴点B 的坐标为4-m ,3m 2-12m +1 ，点C 的坐标为4-m ,-2m 2+8m +1 ，∴BC =-2m 2+8m +1-3m 2-12m +1 =-5m 2+20m ，BB =4-m -m =4-2m ，∵四边形BB C C 为正方形，∴BC =BB ，即-5m 2+20m =4-2m ，解得：m 1=11-1015，m 2=11+1015(不合题意，舍去)，∴m 的值为11-1015；②当m =1时，点B 的坐标为1,-3a +1 ，点C 的坐标为1,3a -2 ，∴点B 的坐标为3,-3a +1 ，点C 的坐标为3,3a -2 ，∴BC =3a -2--3a +1 =6a -3 ，BB =3-1=2，∵四边形BB C C 的邻边之比为1：2，∴BC =2BB 或BB =2BC ，即6a -3 =2×2或2=26a -3 ，解得：a 1=-16，a 2=76，a 3=13，a 4=23，∴a 的值为-16或76或13或23．【点睛】题目主要考查二次函数拓展运用，正方形的性质，两点之间的距离等，理解题意，熟练掌握运用二次函数的性质是解题关键．【考点三新定义型二次函数--衍生抛物线】1(2023秋·江西南昌·九年级南昌市第十七中学校考期末)小贤与小杰在探究某类二次函数问题时，经历了如下过程：求解体验：(1)已知抛物线y =-x 2+bx -3经过点-1,0 ，则b =，顶点坐标为，该抛物线关于点0,1 成中心对称的抛物线表达式是．抽象感悟：我们定义：对于抛物线y =ax 2+bx +c a ≠0 ，以y 轴上的点M 0,m 为中心，作该抛物线关于点M 对称的抛物线，则我们又称抛物线为抛物线y 的“衍生抛物线”，点M 为“衍生中心”．(2)已知抛物线y =-x 2-2x +5关于点0,m 的衍生抛物线为y ，若这两条抛物线有交点，求m 的取值范围．问题解决：(3)已知抛物线y =ax 2+2ax -b a ≠0 ．①若抛物线y 的衍生抛物线为y =bx 2-2bx +a 2b ≠0 ，两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a ，b 的值及衍生中心的坐标；②若抛物线y 关于点0,k +12 的衍生抛物线为y 1，其顶点为A 1；关于点0,k +22 的衍生抛物线为y 2，其顶点为A 2；⋯；关于点0,k +n 2 的衍生抛物线为y n ，其顶点为A n ，⋯(n 为正整数)．求A n A n -1的长(用含n 的式子表示)．【答案】(1)-4；-2,1 ；y =x 2-4x +5；(2)m ≤5(3)①a =3b =-3 ；衍生中心的坐标为0,6 ；②4n -2【分析】(1)把-1,0 代入y =-x 2+bx -3即可求出b =-4，然后把抛物线解析式变为顶点式即可求得抛物线的顶点坐标，继而可得顶点关于0,1 的对称点，从而可写出原抛物线关于点0,1 成中心对称的抛物线的表达式；(2)先求出抛物线y =-x 2-2x +5的顶点是-1,6 ，从而求出-1,6 关于0，m 的对称点是1，2m -6 ，得y '=x -1 2+2m -6，根据两抛物线有交点，可以确定方程-x +1 2+6=x -1 2+2m -6有解，继而求得m 的取值范围即可；(3)①先求出抛物线y =ax 2+2ax -b a ≠0 以及抛物线y 的衍生抛物线为y =bx 2-2bx +a 2b ≠0 ，的顶点坐标，根据两抛物线有两个交点，且恰好是它们的顶点，求a ，b 的值及再根据中点坐标公式即可求出衍生中心的坐标；②根据中心对称，由题意得出B 1B 2，B 2B 3⋯ B n B n +1分别是AA 1A 2，△AA 2A 3⋯△AA n A n +1的中位线，继而可得A 1A 2=2B 1B 2，A 2A 3=2B 2B 3，⋯A n A n +1=2B n B n +1，再根据点的坐标即可求得A n A n -1的长，即可求解．【详解】(1)解：把-1,0代入y =-x 2+bx -3，得b =-4，∴y =-x 2-4x -3=-x +2 2+1，∴顶点坐标是-2,1 ，∵-2,1 关于0,1 的对称点2,1 ，∴成中心对称的抛物线表达式是：y =x -2 2+1，即y =x 2-4x +5，故答案为：-4，-2,1 ，y =x 2-4x +5；(2)∵y =-x 2-2x +5=-x +1 2+6，∴顶点是-1,6∵-1,6 关于0，m 的对称点是1，2m -6 ，∴y '=x -1 2+2m -6，∵两抛物线有交点，∴-x +1 2+6=x -1 2+2m -6有解，∴x 2=5-m 有解，∴5-m ≥0，∴m ≤5；(3)①∵y =ax 2+2ax -b =a x +1 2-a -b ，∴顶点-1,-a -b ，代入y =bx2-2bx+a2得：b+2b+a2=-a-b①∵y =bx2-2bx+a2=b x-12+a2-b，∴顶点1,a2-b，代入y=ax2+2ax-b得：a+2a-b=a2-b②由① ②得a2+a+4b=0 a2-3a=0，∵a≠0，b≠0，∴a=3b=-3 ，∴两顶点坐标分别是-1,0，1,12，由中点坐标公式得“衍生中心”的坐标是0，6；②如图，设AA1，AA2⋯AA n，AA n+1与y轴分别相于B1，B2⋯ B n，B n+1，则A,A1，A,A2，⋯A,A n，A,A n+1分别关于B1，B2⋯B n，B n+1中心对称，∴B1B2，B2B3⋯ B n B n+1分别是△AA1A2，△AA2A3⋯△AA n A n+1的中位线，∴A1A2=2B1B2，A2A3=2B2B3，⋯A n A n+1=2B n B n+1，∵B n0，k+n2，B n-10，k+n-12，∴A n A n-1=2B n B n-1=2k+n2-k-n-12=4n-2．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，理解题意，画出符合题意的图形借助数形结合思想解决问题是关键．【变式训练】1我们定义：对于抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，以y轴上的点M(0，m)为中心，作该抛物线关于点M成中心对称的抛物线y'，则我们称抛物线y'为抛物线y的“衍生抛物线”，点M为“衍生中心”．(1)已知抛物线y=-x2+bx-3经过点(-1，0)，则b=，顶点坐标为，该抛物线关于点(0，1)成中心对称的抛物线的表达式是；(2)已知抛物线y=-x2-2x+5关于点(0，m)的衍生抛物线为y'，若这两条抛物线有交点，求m的取值范围；(3)已知抛物线y=ax2+2ax-b(a≠0)．若抛物线y关于点(0，k+12)的衍生抛物线为y1，其顶点为A1；关于点(0，k+22)的衍生抛物线为y2，其顶点为A2；⋯；关于点(0，k+n2)的衍生抛物线为y n，其顶点为A n；⋯(n为正整数)，直接写出A n A n+1的长(用含n的式子表示)．【答案】(1)b=-4，(-2，1)，y=x2-4x+5；(2)m≤5；(3)4n+2【分析】(1)利用待定系数法求出b的值，进而求出顶点坐标，在抛物线上取一点(0，-3)，求出点(-2，1)和(0，-3)关于(0，1)的对称点坐标，利用待定系数法即可得出结论；(2)求出抛物线的顶点坐标(-1，6)，进而利用待定系数法求出衍生函数解析式，联立即可得出结论；(3)求出抛物线顶点关于(0，k+n2)和(0，k+(n+1)2)的对称点坐标，即可得出结论．【详解】解：(1)∵抛物线y=-x2+bx-3经过点(-1，0)，∴-1-b-3=0，∴b=-4，∴抛物线解析式为y=-x2-4x-3=-(x+2)2+1，∴抛物线的顶点坐标为(-2，1)，∴抛物线的顶点坐标(-2，1)关于(0，1)的对称点为(2，1)，即：新抛物线的顶点坐标为(2，1)，y=-x2-4x-3中，令x=0，∴y=-3，∴(0，-3)关于点(0，1)的对称点坐标为(0，5)，设新抛物线的解析式为y=a(x-2)2+1，∵点(0，5)在新抛物线上，∴5=a(0-2)2+1，∴a=1，∴新抛物线解析式为y=(x-2)2+1=x2-4x+5，故答案为-4，(-2，1)，y=x2-4x+5；(2)∵抛物线y=-x2-2x+5=-(x+1)2+6①，∴抛物线的顶点坐标为(-1，6)，设衍生抛物线为y′=a(x-1)2+2m-6，∵抛物线y=-x2-2x+5关于点(0，m)的衍生抛物线为y′，∴a=1，∴衍生抛物线为y′=(x-1)2+2m-6=x2-2x+2m-5②，联立①②得，x2-2x+2m-5=-x2-2x+5，整理得，2x2=10-2m，∵这两条抛物线有交点，∴10-2m≥0，∴m ≤5；(3)抛物线y =ax 2+2ax -b 的顶点坐标为(-1，-a -b )，∵点(-1，-a -b )关于点(0，k +n 2)的对称点为(1，a +b +2k +2n 2)，∴抛物线y n 的顶点坐标A n 为(1，a +b +2k +2n 2)，同理：A n +1(1，a +b +2k +2(n +1)2)∴A n A n +1=a +b +2k +2(n +1)2-(a +b +2k +2n 2)=4n +2．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线顶点坐标的求法，新定义的理解和掌握，点的对称点坐标的求法，理解新定义是解本题的关键．【考点四新定义型二次函数--同轴对称抛物线】1定义：关于x 轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y =x -1 2-2的“同轴对称抛物线”为y =-x -1 2+2．(1)请写出抛物线y =x -1 2-2的顶点坐标；及其“同轴对称抛物线”y =-x -1 2+2的顶点坐标；写出抛物线y =-12x -1 2+32的“同轴对称抛物线”为．(2)如图，在平面直角坐标系中，点B 是抛物线L ：y =ax 2-4ax +1上一点，点B 的横坐标为1，过点B 作x 轴的垂线，交抛物线L 的“同轴对称抛物线”于点C ，分别作点B 、C 关于抛物线对称轴对称的点B 、C ，连接BC 、CC 、B C 、BB ，设四边形BB C C 的面积为S S >0 ．①当四边形BB C C 为正方形时，求a 的值．②当抛物线L 与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内(不包括边界)共有11个横、纵坐标均为整数的点时，请求出a 的取值范围．【答案】(1)1,-2 ，1，2 ，y =12x -1 2-32(2)①a =23；②34<a ≤1或-14≤a <-15【分析】(1)根据顶点式y =a x -h 2+k 的顶点坐标为h ，k ；先化成顶点式，再求“同轴对称抛物线”的解析式；(2)①写出点B 的坐标，再由对称轴求出点B ，然后结合正方形的性质列出方程求a ；②先由对称性分析得到封闭区域内在x 轴上整点的个数，然后针对抛物线L 开口的不同进行分类讨论．【详解】(1)解：由y =x -1 2-2知顶点坐标为1，-2 ，由y =-x -1 2+2知顶点坐标为1，2 ，∴抛物线y =-12x -1 2+32的“同轴对称抛物线”为y =12x -1 2-32；故答案为：1,-2 ，1，2 ，y =12x -1 2-32．(2)①当x =1时，y =1-3a ，∴B 1，1-3a ，∴C 1，3a -1 ，∴BC =1-3a -3a -1 =2-6a ，∵抛物线L 的对称轴为直线x =--4a 2a=2，∴点B 3，1-3a ，∴BB =3-1=2，∵四边形BB C C 是正方形，∴BC =BB ，即2-6a =2，解得：a =0(舍)或a =23．②抛物线L 的对称轴为直线x =2，顶点坐标为2，1-4a ，∵L 与“同轴对称抛物线”关于x 轴对称，∴整点数也是关于x 轴对称出现的，∴封闭区域内在x 轴上的整点可以是3个或5个，L 与x 轴围成的区域内整点个数为4个或3个，(i )当a >0时，∵L 开口向上，与y 轴交于点0，1 ，∴封闭区域内在x 轴上只可能有3个整点，两个区域内各有4个整点，∴当x =1时，-2≤1-3a <-1，当x =2时，-3≤1-4a <-2，解得：34<a ≤1；(ii )当a <0时，∵L 开口向下，与y 轴交于点0，1 ，∴封闭区域内在x 轴上只可能有5个整点，两个区域内各有3个整点，∴当x =2时，1<1-4a ≤2，当x =-1时，5a +1<0，解得：-14≤a <-15，综上所述：34<a ≤1或-14≤a <-15．【点睛】此题借助二次函数考查正方形的性质，根据二次函数顶点式找顶点坐标，及新定义“同轴对称抛物线”．【考点五新定义型二次函数--孔像抛物线】1二次函数y =x 2-2mx 的图象交x 轴于原点O 及点A ．【感知特例】(1)当m =1时，如图1，抛物线L ：y =x 2-2x 上的点B ，O ，C ，A ，D 分别关于点A 中心对称的点为B ，O ，C ，A ，D ，如表：⋯B -1,3O 0,0 C 1,-1 A (___，___)D 3,3 ⋯⋯B5,-3 O 4,0 C 3,1 A 2,0 D1,-3 ⋯①补全表格；②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L ．【形成概念】我们发现形如(1)中的图象L 上的点和抛物线上的点关于点A 中心对称，则称L 是的“孔像抛物线”．例如，当m =-2时，图2中的抛物线L 是抛物线的“孔像抛物线”．【探究问题】(2)①当m =-1时，若抛物线L 与它的“孔像抛物线”L 的函数值都随着x 的增大而减小，则x 的取值范围为；②若二次函数y =x 2-2mx 及它的“孔像抛物线”与直线y =m 有且只有三个交点，直接写出m 的值；③在同一平面直角坐标系中，当m 取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y =x 2-2mx 的所有“孔像抛物线”L 都有唯一交点，这条抛物线的解析式为．【答案】(1)①2,0；②见解析；(2)①-3≤x ≤-1；②±1；③y =18x 2【分析】(1)①根据中心对称的定义求解即可；②根据表格，描点，连线即可；(2)①画出草图，利用数形结合思想即可求解；②根据“孔像抛物线”的性质求得图象L 的顶点为P m ，-m 2 ，则图象L ′的顶点为P 3m ,m 2 ，再根据题意即可求解；③根据题意得：二次函数y =x 2-2mx 的“孔像抛物线”为y =-x -2m x -4m =-x 2+6mx -8m 2，设符合条件的抛物线M 的解析式为y =a x 2+b x +c ，a +1 x 2+b -6m x +c +8m 2 =0，再由抛物线M 与L 有唯一交点，分两种情况：当a =-1时，无论b 取任何值，都会存在对应的m 使得b -6m =0，此时符不符合题意；当a ≠-1时，有Δ=b -6m 2-4a +1 c +8m 2 =0，根据当m 取何值时，两抛物线都有唯一的交点，可得当m 取任意实数时，上述等式成立，从而得到36-32a +1 =0-12b =0b 2-4c a +1 =0，即可求解．【详解】(1)解：①∵点B-1,3与点B 5,-3关于点A中心对称，∴点A的坐标为-1+52,-3+32，即A2,0 ，故答案为：2，0；②描点，连线，得到的图象如图所示：(2)解：①当m=-1时，抛物线L为y=x2+2x，对称轴为x=-1，∴它的“孔像抛物线”L 的解析式为y=-x+2x+4，对称轴为x=-2+42=-3，画出草图如图所示：∴抛物线L与它的“孔像抛物线”L 的函数值都随着x的增大而减小，则x的取值范围为：-3≤x≤-1；②L：y=x2-2mx=x-m2-m2，设顶点为P m，-m2，过点P作PM⊥x轴于点M，“孔像抛物线”L 的顶点为P ，过点P 作P M ⊥x轴于点M ，由题意得：△PMA≌△P M A，∴M 3m,0，∴P 3m,m2，∵抛物线L及“孔像抛物线”L 与直线y=m有且只有三个交点，∴-m 2=m 或m 2=m ，解得m =m =±10，当m =0时，y =x 2与y =-x 2只有一个交点，不合题意，舍去，∴m =±1．③根据题意得：二次函数y =x 2-2mx 的“孔像抛物线”为y =-x -2m x -4m =-x 2+6mx -8m 2，∴设符合条件的抛物线M 的解析式为y =a x 2+b x +c ，∴a x 2+b x +c =-x 2+6mx -8m 2，整理得：a +1 x 2+b -6m x +c +8m 2 =0，∵抛物线M 与L 有唯一交点，当a =-1时，无论b 取任何值，都会存在对应的m 使得b -6m =0，此时方程无解或有无数解，不符合题意，舍去；当a ≠-1时，Δ=b -6m 2-4a +1 c +8m 2 =0，即b 2-12b m +36m 2-4a +1 ⋅8m 2-4c a +1 =0，整理得：36-32a +1 m 2-12b m +b 2-4c a +1 =0，∵当m 取何值时，两抛物线都有唯一的交点，∴当m 取任意实数时，上述等式成立，∴36-32a +1 =0-12b =0b 2-4c a +1 =0，解得：a =18b =0c =0，∴该函数解析式为y =18x 2．故答案为：y =18x 2【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式及二次函数的图象与性质，数形结合并熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．【考点六新定义型二次函数--伴随抛物线】1定义：如图，若两条抛物线关于直线x =a 成轴对称，当x ≤a 时，取顶点x =a 左侧的抛物线的部分；当x ≥a 时，取顶点在x =a 右侧的抛物线的部分，则我们将像这样的两条抛物线称为关于直线x =a 的一对伴随抛物线．例如：抛物线y =(x +1)2x ≤0 与抛物线y =(x -1)2x ≥0 就是关于直线x =0(y 轴)的一对伴随抛物线．(1)求抛物线y=(x+1)2+3x≤1.5关于直线x=1.5的“伴随抛物线”所对应的二次函数表达式．(2)设抛物线y=mx2-2m2x+2m≠0，m≠4交y轴于点A，交直线x=4于点B．①求直线AB平行于x轴时的m的值．②求∠AOB是直角时抛物线y=mx2-2m2x+2关于直线x=4的“伴随抛物线”的顶点横坐标．③已知点C、D的坐标分别为8，2、8，0，直接写出抛物线y=mx2-2m2x+2及其关于直线x=4的“伴随抛物线”与矩形OACD不同的边有四个公共点时m的取值范围．【答案】(1)y=(x-4)2+3x≥1.5(2)①m=2；②14-52或14+52；③m<2-52或m>2+52且m≠4或0<m<32．【分析】(1)先求出“伴随抛物线”的顶点坐标，即可求解；(2)①先求出点A，点B坐标，代入解析式可求m的值；②根据∠AOB是直角确定B点在x轴上，进而得B点坐标，代入抛物线的解析式便可求得m的值即原抛物线的顶点横坐标，进而求得伴随抛物线的顶点坐标；③当B点在x轴下方时，抛物线y=mx2-2m2x+2及其关于直线x=4的“伴随抛物线”与矩形OACD 不同的边有四个公共点，求出此时m的取值范围便可．【详解】(1)∵抛物线y=(x+1)2+3(x≤1.5)的顶点坐标(-1,3)，∴(-1,3)关于直线x=1.5的对称点坐标为(4,3)∴“伴随抛物线”所对应的二次函数表达式为：y=(x-4)2+3(x≥1.5)；(2)①∵抛物线y=mx2-2m2x+2(m≠0,m≠4)交y轴于点A，∴点A(0,2)，∵直线AB平行于x轴，抛物线交直线x=4于点B．∴点B(4,2)，∴2=16m-8m2+2，∴m=0(舍去)，m=2，∴m=2；②如图1和图2，∵∠AOB =90°，∴点B 在x 轴上，∴点B 的坐标是(4,0)，把(4,0)代入y =mx 2-2m 2x +2中，得16m -8m 2+2=0，解得，m =2+52或2-52，∵y =mx 2-2m 2x +2的顶点横坐标为：x =--2m 22m=m ，即抛物线y =mx 2-2m 2x +2的顶点横坐标为2+52或2-52，则抛物线y =mx 2-2m 2x +2关于直线x =4的“伴随抛物线”的顶点横坐标为：4+4-2+52 =14-52，或4+4-2-52 =14+52，∴ “伴随抛物线”的顶点横坐标为14-52或14+52；③如图3和图4，∵点C 、D 的坐标分别为(8,2)、(8,0)，A (0,2)，抛物线y =mx 2-2m 2x +2及其关于直线x =4的“伴随抛物线”与矩形OACD 不同的边有四个公共点，∴点B 在x 轴下方，设B (4,n )，则n <0，把B (4,n )代入y =mx 2-2m 2x +2中，得n =16m -8m 2+2，∴n =16m -8m 2+2<0，∴由二次函数n =16m -8m 2+2图象可知，当m <0时，若n <0，则m <2-52；当m >0时，若n <0，则m >2+52．又∵m ≠4，∴m >2+52且m ≠4，故m <2-52或m >2+52且m ≠4．当点B 在线段AC 上时，16m -8m 2+2=2，解得m =2，此时抛物线的顶点的纵坐标小于0，不符合题意，当点B 在AC 的上方，抛物线的顶点在AC 与OD 之间时，符合题意，则有16m-8m2+2>2-m3+2>0，解得，0<m<32，综上所述，满足条件的m的值为m<2-52或m>2+52且m≠4或0<m<32．【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及了抛物线的解析式、抛物线与坐标轴的交点坐标以及新定义的问题，着重理解互称为“伴随抛物线”抛物线这个新定义，本题(2)问的关键是运用了数形结合和分类思想解决问题．【考点七新定义型二次函数--美丽抛物线】1已知如图，抛物线y=a x-h2+k a≠0的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以线段AC为对角线的正方形ABCD的另两顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把抛物线y=a x-h2+k a≠0称为美丽抛物线，正方形ABCD为它的内接正方形．(1)当抛物线y=ax2+1是美丽抛物线时，a=；当抛物y=12x2+k是美丽抛物线时，k=．(2)若抛物线y=ax2+k是美丽抛物线，请直接写出的a，k数量关系．(3)若抛物线y=a x-h2+k a≠0是美丽抛物线，(2)中a，k数量关系仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(4)已知系列美丽抛物线y n=a n x-n2+k n(n为正整数，1≤n≤6)的顶点为均在直线y=16x上，且它们中恰有两个美丽抛物线y s=a s x-s2+k s与y t=a t x-t2+k t(s，t为正整数，1≤s≤6，1≤t<6)的内接正方形的面积之比为1：4，试求a s+a t的值．【答案】(1)-2，-4；(2)ak=-2；(3)成立，理由见解析；(4)-18或-9或-6【分析】(1)先求出抛物线得对称轴及顶点坐标，得出AC的长，由AC=BD，B，D关于对称轴对称可得B，D的坐标，将其中一点的坐标代入抛物线解析式，即可求解；(2)同(1)的方法得B，D的坐标，将其中一点的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论；(3)分a<0，a>0两种情况，先求出点D的坐标，代入抛物线解析式，即可得出结论；(4)由题意可得，美丽抛物线的内接正方形的面积为12k2，根据题意得出k s:k t=1:2，从而得出s:t=1:2，根据题中s,t的范围得出s,t的值，再得出k的值，然后由ak=-2即可求解．【详解】解：(1)∵抛物线y=ax2+1中，令x=0，则y=1，∴对称轴是x=0，顶点坐标0,1，∴对称轴与x轴交于点C的坐标是0,0，∴AC=1，∵正方形ABCD中，AC，BD是对角线，∴AC=BD=1，又∵由题意得，B，D关于对称轴对称，∴B-12,1 2，D12,12或B12,12，D-12,12，∴将12,1 2代入抛物线y=ax2+1中，得1 4a+1=12，解得：a=-2；∵抛物线y=12x2+k中，令x=0，则y=k，∴对称轴是x=0，顶点坐标0,k，∴对称轴与x轴交于点C的坐标是0,0，∴AC=k，∵正方形ABCD中，AC，BD是对角线，∴AC=BD=k，又∵由题意得，B，D关于对称轴对称，∴B-k2,k 2，D k2,k2或B k2,k2，D-k2,k2，∴将k2,k 2代入抛物线y=12x2+k中，得1 2×k24+k=k2，解得：k1=0(不合题意，舍去)；k2=-4，∴k=-4；故答案为：-2，-4；(2)ak=-2，∵抛物线y=ax2+k中，令x=0，则y=k，∴对称轴是x=0，顶点坐标0,k，∴对称轴与x轴交于点C的坐标是0,0，∴AC=k，∵正方形ABCD中，AC，BD是对角线，∴AC=BD=k，又∵由题意得，B，D关于对称轴对称，∴B-k2,k 2，D k2,k2或B k2,k2，D-k2,k2，∴将k2,k 2代入抛物线y=ax2+k中，得a×k24+k=k2，解得：ak=-2，k2=0(不合题意，舍去)；∴ak=-2；(3)a，k数量关系仍成立．当a<0时，∵抛物线y=a x-h2+k a≠0是美丽抛物线，正方形ABCD，又∵点A是抛物线的顶点，直线AC是对称轴，∴AC=BD=k，BD⊥AC，∴点D的坐标为h+k2,k 2，∵点D在抛物线y=a x-h2+k a≠0，∴k 2=a h+k2-h2+k，解得-k2=ak24，∴ak=-2；当a>0时，同理可得ak=-2．∴若抛物线y=a x-h2+k a≠0是美丽抛物线，a，k数量关系仍为ak=-2；(4)由题意可得，美丽抛物线的内接正方形的面积为12k2，∵系列美丽抛物线y n=a n x-n2+k n(n为正整数，1≤n≤6)的顶点为均在直线y=16x上，∴k n≥0，∵美丽抛物线y s=a s x-s2+k s与y t=a t x-t2+k t的内接正方形的面积之比为1：4，∴k s:k t=1:2，∵s,k s，t,k t在直线y=16x上，∴s:t=1:2，∵s，t为正整数，1≤s≤6，1≤t<6，∴s=1t=2或s=2t=4或s=3t=6，∴k s=16k t=13或k s=13k t=23或k s=12k t=1，∵ak=-2，∴a s=-12a t=-6或a s=-6a t=-3或a s=-4a t=-2，∴a s+a t=-18或-9或-6．【点睛】本题是二次函数的综合题型，主要涉及抛物线的对称轴及顶点坐标，二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，综合性较强，熟练掌握方程思想是解题的关键．【考点八新定义型二次函数--系列平移抛物线】1【特例感知】(1)如图1，对于抛物线y1=-x2-x+1，y2=-x2-2x+1，y3=-x2-3x+1，下列结论正确的序号是；①抛物线y1，y2，y3都经过点C(0,1)；②抛物线y2，y3的对称轴由抛物线y1的对称轴依次向左平移12个单位得到；③抛物线y1，y2，y3与直线y=1的交点中，相邻两点之间的距离相等．【形成概念】(2)把满足y n =-x 2-nx +1(n 为正整数)的抛物线称为“系列平移抛物线”．【知识应用】在(2)中，如图2．①“系列平移抛物线”的顶点依次为P 1,P 2,P 3,⋯,P n ，用含n 的代数式表示顶点P n 的坐标，并写出该顶点纵坐标y 与横坐标x 之间的关系式；②“系列平移抛物线”存在“系列整数点(横、纵坐标均为整数的点)”：C 1,C 2,C 3,⋯,C n ，其横坐标分别为-k -1,-k -2,-k -3,⋯,-k -n (k 为正整数)，判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由．③在②中，直线y =1分别交“系列平移抛物线”于点A 1,A 2,A 3,⋯,A n 连接C n A n ,C n -1A n -1，判断C n A n ,C n -1A n -1是否平行？并说明理由．【答案】(1)①②③；(2)①P n -n 2,n 24+1 ，y =x 2+1，②相邻两点之间的距离都相等，理由见解析；③C n A n 与C n -1A n -1不平行,理由见解析【分析】(1)①当x =0时，分别代入抛物线y 1，y 2，y 3，即可得y 1=y 2=y 3=1；②y 2=-x 2-2x +1，y 3=-x 2-3x +1的对称轴分别为x =-1，x =-32，y 1=-x 2-x +1的对称轴x =-12，③当y =1时，则-x 2-x +1=1，可得x =0或x =-1；-x 2-2x +1=1，可得x =0或x =-2；-x 2-3x +1=1，可得x =0或x =-3；所以相邻两点之间的距离都是1，(2)①y n =-x 2-nx +1的顶点为-n 2，n 2+44，可得y =x 2+1；②横坐标分别为-k -1，-k -2，-k -3，⋯，-k -n (k 为正整数)，当x =-k -n 时，y =-k 2-nk +1，纵坐标分别为-k 2-k +1，-k 2-2k +1，-k 2-3k +1，⋯，-k 2-nk +1，相邻两点间距离分别为1+k 2；③由题可知C n (-k -n ,-k 2-nk +1)，C n -1(-k -n +1,-k 2-nk +k +1)，A n (-n ,1)，A n -1(-n +1,1)．比较∠DA n C n ≠∠EA n -1C n -1，即可得出结论C n A n 与C n -1A n -1不平行．.【详解】解：解：(1)①当x =0时，分别代入抛物线y 1，y 2，y 3，即可得y 1=y 2=y 3=1；①正确；②y 2=-x 2-2x +1，y 3=-x 2-3x +1的对称轴分别为x =-1，x =-32，y 1=-x 2-x +1的对称轴x =-12，由x =-12向左移动12得到x =-1，再向左移动12得到x =-32，②正确；③当y =1时，则-x 2-x +1=1，∴x =0或x =-1；-x 2-2x +1=1，。
【中考数学压轴题专题突破11】二次函数中的新定义问题
【中考压轴题专题突破】二次函数中的新定义问题1．定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x 称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．（1）求点A（2，1）的“坐标差”和抛物线y＝﹣x2+3x+4的“特征值”．（2）某二次函数＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式．（3）如图所示，二次函数y＝﹣x2+px+q的图象顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上，当二次函数y＝﹣x2+px+q的图象与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围．2．定义：我们把点（m，m）称为直线y＝﹣x+m（其中m为常数）的“对应点”比如，直线y＝﹣x+5的“对应点”为（5，5）．在平面直角坐标系xOy中，（1）若抛物线y＝ax2经过直线y＝﹣x+3的“对应点”A，请指出该抛物线的开口方向，并说明理由；（2）设点P在曲线y＝（x＞0）上，直线l：y＝﹣x+m的“对应点”为点B，连接PB，记点P到直线l的距离为d（d为正实数）①当m＝2，k＝2，且d＝时，求点P的坐标；②当m＝1，k＝时，求BP的长（用含d的式子表示）．3．我们定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数．例如：y＝2x2+4x﹣5的友好同轴二次函数为y＝﹣x2﹣2x﹣5．（1）请你分别写出y＝﹣，y＝+x﹣5的友好同轴二次函数；（2）满足什么条件的二次函数没有友好同轴二次函数？满足什么条件的二次函数的友好同轴二次函数是它本身？（3）如图，二次函数L1：y＝ax2﹣4ax+1与其友好同轴二次函数L2都与y轴交于点A，点B、C分别在L1、L2上，点B，C的横坐标均为m（0＜m＜2），它们关于L1的对称轴的对称点分别为B′，C′，连结BB′，B′C′，C′C，CB．①若a＝3，且四边形BB′C′C为正方形，求m的值；②若m＝1，且四边形BB′C′C的邻边之比为1：2，直接写出a的值．4．定义：给定两个函数，我们约定：任取自变量x的一个值，当x＜0时，另一个函数对应的函数值比原函数的函数值大1；当x≥0时，另一个函数对应的函数值比原函数的函数值小1，我们称这样的两个函数互为伴随函数．例如：一次函数y＝2x+3．它的伴随为y ＝（1）已知点M（3，6）在一次函数y＝ax﹣2的伴随函数的图象上时，求a的值；（2）已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣3①当点N（m，﹣3）在这个函数的伴随函数的图象上时，求m的值；②当﹣2≤x≤3时，求函数y＝﹣x2+4x﹣3的伴随函数的最大值和最小值；（3）在平面直角坐标系中，点A、D的坐标分别为（﹣1，﹣1）、（﹣1，2），连接AD，以AD为边向右作正方形ABCD．直接写出正方形ABCD与二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数的图象有两个公共点时n的取值范围．5．定义：若函数y＝x2+bx+c（c≠0）与x轴的交点A，B的横坐标为x A，x B，与y轴交点的纵坐标为y C，若x A，x B中至少存在一个值，满足x A＝y C（或x B＝y C），则称该函数为友好函数．如图，函数y＝x2+2x﹣3与x轴的一个交点A的横坐标为3，与y轴交点C的纵坐标为﹣3，满足x A＝y C，称y＝x2+2x﹣3为友好函数．（1）判断y＝x2﹣4x+3是否为友好函数，并说明理由；（2）请探究友好函数y＝x2+bx+c表达式中的b与c之间的关系；（3）若y＝x2+bx+c是友好函数，且∠ACB为锐角，求c的取值范围．6．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b'），给出如下定义：若b'＝，则称点Q为点P的限变点．例如：点（3，﹣2）的限变点的坐标是（3，﹣2），点（﹣1，5）的限变点的坐标是（﹣1，﹣5）．（1）①点（﹣，1）的限变点的坐标是；②在点A（﹣1，2），B（﹣2，﹣1）中有一个点是函数y＝图象上某一个点的限交点，这个点是；（2）若点P在函数y＝﹣x+3的图象上，当﹣2≤x≤6时，求其限变点Q的纵坐标b'的取值范围；（3）若点P在关于x的二次函数y＝x2﹣2tx+t2+t的图象上，其限变点Q的纵坐标b'的取值范围是b'≥m或b'＜n，其中m＞n．令s＝m﹣n，求s关于t的函数解析式及s的取值范围．【中考压轴题专题突破】二次函数中的新定义问题参考答案与试题解析1．解：（1）1﹣2＝﹣1，故“坐标差”为﹣1，y﹣x＝﹣x2+3x+4﹣x＝﹣（x﹣1）2+5，故“特征值”为5；（2）由题意得：点C（0，c），故点B、C的“坐标差”相等，故点B（﹣c，0），把点B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得：0＝﹣（﹣c）2+b（﹣c）+c，解得：b＝1﹣c，故：y＝﹣x2+（1﹣c）x+c，故抛物线的“特征值”为﹣1，∴y﹣x＝﹣x2+（1﹣c）x+c﹣x＝﹣x2﹣cx+c，故＝﹣1．∴c＝﹣2，b＝3，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x﹣2；（3）“坐标差”为2的一次函数为：y＝x+2，∵抛物线y＝﹣x2+px+q的图象的顶点在y＝x+2上，∴设抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣m）2+m+2，当抛物线与矩形有3个交点时，如图1、2，对于图1，直线与矩形边的交点为：（1，3），则对称轴为：﹣＝1，解得：p＝2，对于图2，把点E（7，3）代入y＝﹣（x﹣m）2+m+2并解得：m＝5或10（舍去10），故﹣＝5，解得：p＝10，故二次函与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围：2＜p＜10．2．解：（1）点A（3，3），将点A的坐标代入抛物线表达式并解：a＝0，故抛物线的开口向上；（2）过点P作PH∥y轴交直线l于点H，则∠DPH＝45°，则PH＝d，设点P（s，t），则点H（s，﹣s+m），则st＝k，PH＝t﹣（﹣s+m），①当m＝2，k＝2，且d＝时，反比例函数表达式为：y＝，设点P（x，），d＝，PH＝2，即|+x﹣2|＝2，解得：x＝2，故点P（2，2）；②PH＝t+s﹣1＝d，且st＝，则1＝2st，PB2＝（s﹣1）2+（t﹣1）2＝s2+t2﹣2（s+t）+2＝（s+t）2﹣2（s+t）+1＝（s+t﹣1）2，故PB＝d．3．解：（1）∵1﹣（﹣）＝，∴函数y＝﹣的友好同轴二次函数为y＝x2；∵1﹣＝，1×（÷）＝2，∴函数y＝+x﹣5的友好同轴二次函数为y＝x2+2x﹣5．（2）∵1﹣1＝0，∴二次项系数为1的二次函数没有友好同轴二次函数；∵1÷2＝，∴二次项系数为的二次函数的友好同轴二次函数是它本身．（3）二次函数L1：y＝ax2﹣4ax+1的对称轴为直线x＝﹣＝2，其友好同轴二次函数L2：y＝（1﹣a）x2﹣4（1﹣a）x+1．①∵a＝3，∴二次函数L1：y＝ax2﹣4ax+1＝3x2﹣12x+1，二次函数L2：y＝（1﹣a）x2﹣4（1﹣a）x+1＝﹣2x2+8x+1，∴点B的坐标为（m，3m2﹣12m+1），点C的坐标为（m，﹣2m2+8m+1），∴点B′的坐标为（4﹣m，3m2﹣12m+1），点C′的坐标为（4﹣m，﹣2m2+8m+1），∴BC＝﹣2m2+8m+1﹣（3m2﹣12m+1）＝﹣5m2+20m，BB′＝4﹣m﹣m＝4﹣2m．∵四边形BB′C′C为正方形，∴BC＝BB′，即﹣5m2+20m＝4﹣2m，解得：m1＝，m2＝（不合题意，舍去），∴m的值为．②当m＝1时，点B的坐标为（1，﹣3a+1），点C的坐标为（1，3a﹣2），∴点B′的坐标为（3，﹣3a+1），点C′的坐标为（3，3a﹣2），∴BC＝|3a﹣2﹣（﹣3a+1）|＝|6a﹣3|，BB′＝3﹣1＝2．∵四边形BB′C′C的邻边之比为1：2，∴BC＝2BB′或BB′＝2BC，即|6a﹣3|＝2×2或2＝2|6a﹣3|，解得：a1＝﹣，a2＝，a3＝，a4＝，∴a的值为﹣、、或．4．解：（1）由已知一次函数y＝ax﹣2的伴随函数为y＝∵M（3，6）∴代入y＝ax﹣3，得6＝3a﹣3∴a＝3（2）由已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣3的伴随函数为y＝①当m＜0时，代入y＝﹣x2+4x﹣2，得﹣3＝﹣m2+4m﹣2解得m1＝2+（舍去），m2＝2﹣当m≥0时，代入y＝﹣x2+4x﹣2，得﹣3＝﹣m2+4m﹣4解得m3＝2+m3＝2﹣故m的值为2﹣、2+或2﹣②当3≥x≥0时，抛物线y＝﹣x2+4x﹣4的顶点为最高点∴函数最大值为0当∵a＝﹣1∴抛物线开口向下∴当﹣2≤x＜0时，x＝﹣2函数有最小值为﹣（﹣2）2+4×（﹣2）﹣2＝﹣14（3）3＜n＜6或0＜n＜1或﹣4＜n＜﹣2理由：由已知二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数为y＝设AB边、DC边与y轴交点为分别为F、E则E点坐标为（0，2），F点坐标为（0，﹣1）①若y＝﹣x2+4x+n+1过点D，则代入D（﹣1，2）求得n＝6，则x≥0时，y＝﹣x2+4x+n﹣1＝﹣x2+4x+5与y轴交点为（0，5）此时二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数与正方形ABCD有一个交点②若y＝﹣x2+4x+n+1过点A，则代入A（﹣1，﹣1）可求得n＝3，则x≥0时，y＝﹣x2+4x+n﹣1＝﹣x2+4x+2与y轴交点为（0，2）则此时二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数与正方形ABCD有3个交点③若y＝﹣x2+4x+n+1过点E（0，2），则代入E（0，2）则n＝1，则x≥0时，y＝﹣x2+4x+n﹣1＝﹣x2+4x与y轴交点为（0，0）则此时，此时二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数与正方形ABCD有3个交点④若y＝﹣x2+4x+n﹣1过点F（0，﹣1），则代入F（0，﹣1）则n＝0，则x＜0时，y＝﹣x2+4x+n+1＝﹣x2+4x+1与y轴交点为（0，1）则此时二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数与正方形ABCD有3个交点⑤若y＝﹣x2+4x+n+1过点F（0，﹣1），则代入F（0，﹣1）则n＝﹣2，则y＝﹣x2+4x+n﹣1＝﹣x2+4x﹣3与y轴交点为（0，﹣3）则此时二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数与正方形ABCD有3个交点⑥若y＝﹣x2+4x+n﹣1过点B（2，﹣1），则代入B（2，﹣1）则n＝﹣4则x＜0时，y＝﹣x2+4x+n+1＝﹣x2+4x﹣3y轴交点为（0，﹣3）则此时二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数与正方形ABCD有1交点综上所述，正方形ABCD与二次函数y＝﹣x2+4x+n的伴随函数的图象有两个公共点时的n取值范围为3＜n＜6或0＜n≤1或﹣4＜n≤﹣25．解：（1）y＝x2﹣4x+3是友好函数，理由如下：当x＝0时，y＝3；当y＝0时，x＝1或3，∴y＝x2﹣4x+3与x轴一个交点的横坐标和与y轴交点的纵坐标都是3，∴y＝x2﹣4x+3是友好函数；（2）当x＝0时，y＝c，即与y轴交点的纵坐标为c，∵y＝x2+bx+c是友好函数，∴x＝c时，y＝0，即（c，0）在y＝x2+bx+c上，代入得：0＝c2+bc+c，∴0＝c（c+b+1），而c≠0，∴b+c＝﹣1；（3）①如图1，当C在y轴负半轴上时，由（2）可得：c＝﹣b﹣1，即y＝x2+bx﹣b﹣1，显然当x＝1时，y＝0，即与x轴的一个交点为（1，0），则∠ACO＝45°，∴只需满足∠BCO＜45°，即BO＜CO∴c＜﹣1；②如图2，当C在y轴正半轴上，且A与B不重合时，∴显然都满足∠ACB为锐角，∴c＞0，且c≠1；③当C与原点重合时，不符合题意，综上所述，c＜﹣1或c＞0，且c≠1．6．解：（1）①根据限变点的定义可知点点（﹣，1）的限变点的坐标为（﹣，﹣1）；故答案是：（﹣，﹣1）；②（﹣1，﹣2）限变点为（﹣1，2），即这个点是点A．故答案是：A；（2）依题意，y＝﹣x+3（x≥﹣2）图象上的点P的限变点Q必在函数y ＝的图象上．当x＝﹣2时，y＝﹣2﹣3＝﹣5，当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，当x＝6时，y＝﹣6+3＝﹣3，∴当﹣2≤x≤6时，﹣5≤b′≤2；（3）∵y＝x2﹣2tx+t2+t＝（x﹣t）2+t，∴顶点坐标为（t，t）．若t＜1，b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，与题意不符．若t≥1，当x≥1时，y的最小值为t，即m＝t；当x＜1时，y的值小于﹣[（1﹣t）2+t]，即n＝﹣[（1﹣t）2+t]．∴s＝m﹣n＝t+（1﹣t）2+t＝t2+1．∴s关于t的函数解析式为s＝t2+1（t≥1），当t＝1时，s取最小值2，∴s的取值范围是s≥2．第11页（共11页）。
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新定义问题（一）（讲义）
知识点睛
新定义问题是在已学知识基础上，以未接触过的新定义为载体，现学现用，侧重考查理解、分析、应用等能力的问题。
此类问题的一般思路：
①结合图形，理解新定义关键词；
②借助题目正反举例，理解新定义实质，尝试“化生为熟”；
③结合背景信息，借助新定义求解．
精讲精练
1.如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以C为
顶点的抛物线经过点A，P是抛物线上点A，C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F．点D，E的坐标分别为(0，6)，(-4，0)，连接PD，PE，DE．
（1）请直接写出抛物线的解析式．
（2）小明探究点P的位置发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值．进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值．请你判断该猜想是否正确，并说明理由．（3）小明进一步探究得出结论：若将使△PDE的面积为整数的点P记作“好点”，则存在多个“好点”，且使△PDE的周长最小的点P也是一个“好点”．请直接写出所有“好点”的个数，并求出△PDE的周长最小时“好点”的坐标．
2.已知抛物线2y ax bx c =++，若a ，b ，c 满足b =a +c ，则称抛
物线2y ax bx c =++为“恒定”抛物线．
（1）求证：“恒定”抛物线2y ax bx c =++必过x 轴上的一个定点A ；
（2）已知“恒定”抛物线233y x =-的顶点为P ，与x 轴的另一个交点为B ，是否存在以Q 为顶点，与x 轴另一个交点为C 的“恒定”抛物线，使得以PA ，CQ 为边的四边形是平行四边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由．
3.如图1，P 为∠MON 的平分线上一点，以P 为顶点的角的两
边分别与射线OM ，ON 交于点A ，B ，如果∠APB 绕点P 旋转时始终满足2OA OB OP ⋅=，我们就把∠APB 叫做∠MON 的智慧角．
（1）如图2，已知∠MON =90°，P 为∠MON 的平分线上一点，以P 为顶点的角的两边分别与射线OM ，ON 交于点A ，B ，且∠APB =135°，求证：∠APB 是∠MON 的智慧角；
（2）如图1，已知∠MON =α（0°<α<90°），OP =2，若∠APB 是∠MON 的智慧角，连接AB ，用含α的式子分别表示∠APB 的度数和△AOB 的面积；
（3）如图3，C 是函数30y x x
=>（）的图象上一点，过点C 的直线与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，且BC =2AC ，请求出∠AOB 的智慧角∠APB 的顶点P 的坐标．
图1
图2
图3
4.在平面直角坐标系中，我们不妨将横坐标、纵坐标均为整数
的点称之为“中国结”．
（1）求函数32y x =+的图象上的所有“中国结”的坐标；
（2）若函数0k y k k x
=≠（，为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k 的值与相应“中国结”的坐标；（3）若二次函数2222(32)(241)y k k x k k x k k =-++-++-（k 为常数）的图象与x 轴相交得到两个不同的“中国结”，则该函数的图象与x 轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含多少个“中国结”？
【参考答案】
1.（1）2188
y x =-+（2）为定值2；
（3）“好点”个数为11，当△PDE 的周长最小时，“好点”坐标为：(-4，6)
2.
（1）必过点(-1，0)（2）存在；234333y x x =++或233y x =-+3.（1）证明略
（2）∠APB =180°2α-
；△AOB 的面积为2sin α（3）3232(
)22，或33()22-，4.（1）(0，2)
（2）k =1时，“中国结”的坐标为(1，1)，(-1，-1)；k =-1时，“中国结”的坐标为(-1，1)，(1，-1)；
（3）一共包含6个“中国结”：(-2，0)，(-3，0)，(-1，0)，(-1，1)，(0，0)，(1，0)。