中考数学教学指导：与函数有关的“新定义问题”

与函数有关的“新定义问题”
解决有关函数的“新定义问题”，可以很好的考查李生综合应用知识和对知识的迁移能力，近年来各地的中考试题多有涉及.现以2015年中考题为例加以分析.
一、定义新点
例1 在直角坐标系中，我们不妨将横坐标、纵坐标均为整数的点称之为“中国结”
(1)
求函数2y =+的图象上所有“中国结”的坐标;
(2)若k y x
=(0,k k ≠为常数)的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k 的值与相应“中国结”的坐标;
(3)若二次函数2222(32)(241)y k k x k k x k k =-++-++-(k 为常数)的图象与x 轴相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x 轴所围成的平面图形中(含边界），一共包含有多少个“中国结”?
分析与解答 该题涉及到一次、二次函效及反比例函数图象的性质，解决方式是数形结合思想和分类讨论思想.具体解答如下:
(1)由于x 的系数是一个无理数，要满足条件，x 只能是0，2y =，
故函数2y +的图象上所有“中国结”的坐标是(0,2).
(2)分类讨论:
①当1k =时，1xy =，故满足条件的答案是(1,1)、(－1, －1);
②当1k =-时，1xy =-，故满足条件的答案是(－1,1)、(1,－1);
③当1k ≠±时，如2k =，图象上的“中国结”个数明显地超过2个，有(1,2)、(2,1)、(－1,－2)、(－2,－1)，以此类推，当1k ≠±时，“中国结”的个数多于2个.
(3)不妨令2222(32)(241)0k k x k k x k k -++-++-=, 解得11k x k =-
-, ① 212k x k -=-- . ② 由①②得，12
122111
x x x x +=++, 整理，得21(2)1x x +=-. 因为11-=⨯(-1)=-1⨯1,故得到关于1x 、2x 的方程组:
21x =, 或
21x =-,
121x +=-; 121x +=.
解之得 13x =-, 或 11x =-,
21x =; 21x =-.
又抛物线与x 轴相交，且有两个交点，可得12x x ≠，故舍去 11x =-,
21x =-.
当13x =-，时，y 的值为0;
当21x =时，y 的值为0，
∴(－3,0)、(1,0).
当11k x k =--，求得 1.5k =，此时二次函数的解析式为1(3)(1)4
y x x =-+-. 当2x =-时，0.75y =不是整数；
当1x =-，1y =，坐标(－1,1)为“中国结”；
当0,0.75x y ==，不是整数.
故当 1.5k =时，抛物线与x 轴所围成的平面图形中(含边界)，一共包含三个“中国结”，即(－3,0)、(－1,1)、(1,0).
二、定义新数
例2 如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”.例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是:1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一个“和谐数”. 再如22，545，3883，345543，…都是“和谐数”.
(1)请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整 除?并说明理由;
(2)已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字为(14,x x x ≤≤为自然数)，十位上的数字为y .求y 与x 的函数关系式.
分析与解答 该题涉及到因式分解、规律探索等问题.具体解答如下:
(1)答案不唯一:如1441,2442,1881，它们能被11整除，理由如下:
不妨设一个四位“和谐数”为xyyx ，用十进制表示为:
1000100100111011(91x
y y x x y x y +-+=+=+. x 、y 是0一9之间的整数,
11(9
110x y ∴+能被11整除; (2)设一个三位“和谐数”为xyx ，用十进制表示为:1001010110x y x x y ++=+.
因为它是11的倍数，故
1011011
x y +一定是整数，将其变形，得 101109911229111111
x y x y x y x y x y +++--==++, 所以x 、y 是0一9之间的整数，故211x y -必须是整数. 又14,x x ≤≤为自然数，09y ≤≤，
228,2x x y ∴≤≤∴-只能是0，不能是11的其他倍数，2y x ∴=,
故y 与x 的函数关系式:2y x =.
三、定义新方程
例3 如果关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”.以下关于倍根方程的说法，正确的是 (写出所有正确说法的序号)
(1)方程220x x --=是倍根方程;
(2)若(2)()0x mx n -+=是倍根方程，则22450m mn n ++=;
(3)若点(,p q )在反比例函数2y x
=
的图象上，则关于x 的方程230px x q ++=是倍根方程;
(4)若方程20ax bx c ++=是倍根方程，且相异两点(1,),(4,)M t s N t s +-都在抛物线2y ax bx c =++上，则方程20ax bx c ++=的一个根为54
. 分析与解答 该题涉及到的内容有:根的判别式、根与系数的关系、抛物线和双曲线上点的坐标特点.具体解答如下:
(1)方程220x x --=的两个根是121,2x x =-=.不满足倍根方程的条件，故①不正确.
(2)解得(2)()0x mx n -+=的两个根是122,n x x m ==-
. 根据倍根方程的定义，知21n x m =-=,或24n x m
=-=,得0,m n +=① 40m n +=.② ①×②, 得22()(4)450m n m n m mn n ++=++=正确.
(3)因为点(,)p q 在反比例函数2y x =
的图象上，所以pq =2.方程230px x q ++= 的两个根是1212,x x p p =-
=-,故正确. (4)方程20ax bx c ++=是倍根方程，122x x ∴=.
又相异两点(1,),(4,)M t s N t s +-都在抛物线2y ax bx c =++上，
∴得到抛物线的对称轴是12145222x x t t x +++-=
==. 从而得，153
x =，故不正确. 综上可知，应填的答案是(2) (3).
四、定义新函数
例 4 定义:给定关于x 的函数y ,对于该函数图象上任意两点1122(,)(,)x y x y ，当12x x <时，都有12y y <，称该函数为增函数.根据以上定义，可以判断下面所给的函数. 中，是增函数的有 .(填上所有答案的序号).
(1) 2y x =; (2) 1y x =-+; (3) 2(0)y x x =>; (4) 1y x
=-. 分析与解答 该题虽然内容少，却涉及到初中所学的所有的基本函数，包括一次函数、反比例函数和二次函数的图象和性质.依据增函数的定义，可以利用举例子或结合图象得到符合条件的答案.
(1)在2y x =中，因为20k =>,y 随x 的增大而增大，是增函数;
(2)在1y x =-+中，因为20k =-<,y 随x 的增大而减小，不是增函数;
(3)在2y x =中，当0x >,y 随x 的增大而增大，是增函数;
(4)在1y x =-
中，在每一象限内，y 随x 的增大而增大，不是增函数. 故填(1)(3).。