中考数学《二次函数中的新定义问题》专项训练含答案解析

专题22.11 二次函数中的新定义问题专项训练（30道） 【人教版】 考卷信息：本套训练卷共30题，选择10题，填空10题，解答10题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对新定义函数的理解！1．（2021•雅安）定义：min {a ，b }={a(a ≤b)b(a ＞b)，若函数y ＝min {x +1，﹣x 2+2x +3}，则该函数的最大值为（ ）A ．0B ．2C ．3D ．4 【解题思路】根据题意画出函数图象，通过数形结合求解．【解答过程】解：x +1＝﹣x 2+2x +3，解得x ＝﹣1或x ＝2．∴y ={x +1(−1≤x ≤2)−x 2+2x +3(x ＜−1或x ＞2)， 把x ＝2代入y ＝x +1得y ＝3，∴函数最大值为y ＝3．故选：C ．2．（2021•章丘区模拟）定义：对于二次函数y ＝ax 2+（b +1）x +b ﹣2（a ≠0），若存在自变量x 0，使得函数值等于x 0成立，则称x 0为该函数的不动点，对于任意实数b ，该函数恒有两个相异的不动点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．0＜a ＜2B ．0＜a ≤2C ．﹣2＜a ＜0D ．﹣2≤a ＜0【解题思路】设x 为不动点，使y ＝x ，可得关系式ax 2+bx +b ﹣2＝0，由恒有两个相异的不动点知Δ＞0，即得a 的取值范围．【解答过程】由题意可知方程x ＝ax 2+（b +1）x +b ﹣2（a ≠0），恒有两个不相等的实数解，则△＝b 2﹣4a （b ﹣2）＝b 2﹣4ab +8a ＞0，对任意实数b 恒成立，把b 2﹣4ab +8a 看作关于b 的二次函数，则有△1＝（4a ）2﹣4×8a ＝16a 2﹣32a ＝16a （a ﹣2）＜0，令16a （a ﹣2）＝0，解得a ＝0或a ＝2，①当a ≥2时，16a ＞0，a ﹣2≥0，即16a （a ﹣2）≥0，②当a ≤0时，16a ≤0，a ﹣2＜0，即16a （a ﹣2）≥0，③0＜a ＜2时，16a ＞0，a ﹣2＜0，即16a （a ﹣2）＜0，即16a （a ﹣2）＜0的解集，解得0＜a ＜2，故选：A ．3．（2021•岳阳）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形OABC 中，点A （0，2），点C （2，0），则互异二次函数y ＝（x ﹣m ）2﹣m 与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值分别是（ ）A ．4，﹣1B ．5−√172，﹣1 C ．4，0 D ．5+√172，﹣1 【解题思路】画出图象，从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，当跟正方形有交点时，先经过点A ，再逐渐经过点O ，点B ，点C ，最后再经过点B ，且在运动的过程中，两次经过点A ，两次经过点O ，点B 和点C ，只需算出当函数经过点A 及点B 时m 的值，即可求出m 的最大值及最小值．【解答过程】解：如图，由题意可得，互异二次函数y ＝（x ﹣m ）2﹣m 的顶点（m ，﹣m ）在直线y ＝﹣x 上运动，在正方形OABC 中，点A （0，2），点C （2，0），∴B （2，2），从图象可以看出，当函数从左上向右下运动时，若抛物线与正方形有交点，先经过点A ，再逐渐经过点O ，点B ，点C ，最后再经过点B ，且在运动的过程中，两次经过点A ，两次经过点O ，点B 和点C ， ∴只需算出当函数经过点A 及点B 时m 的值，即可求出m 的最大值及最小值．当互异二次函数y ＝（x ﹣m ）2﹣m 经过点A （0，2）时，m ＝2，或m ＝﹣1；当互异二次函数y ＝（x ﹣m ）2﹣m 经过点B （2，2）时，m =5−√172或m =5+√172． ∴互异二次函数y ＝（x ﹣m ）2﹣m 与正方形OABC 有交点时m 的最大值和最小值分别是5+√172，﹣1． 故选：D ．4．（2020•宁乡市一模）定义[a ，b ，c ]为函数y ＝ax 2+bx +c 的特征数，下面给出特征数为[m ﹣1，m +1，﹣2m ]的函数的一些结论，其中不正确的是（ ）A ．当m ＝2时，函数图象的顶点坐标为（−32，−254）B ．当m ＞1时，函数图象截x 轴所得的线段长大于3C ．当m ＜0时，函数在x ＜12时，y 随x 的增大而增大D ．不论m 取何值，函数图象经过两个定点【解题思路】A 、把m ＝2代入[m ﹣1，1+m ，﹣2m ]，求得[a ，b ，c ]，求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；B 、首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；C 、当x 大于二分之一时，在对称轴右侧，又开口向下，所以y 随x 增大而减小正确；B 、根据特征数的特点，直接得出x 的值，进一步验证即可解答．【解答过程】解：因为函数y＝ax2+bx+c的特征数为[m﹣1，m+1，﹣2m]；A、当m＝2时，y＝x2+3x﹣4＝（x+32）2−254，顶点坐标是（−32，−254）；此结论正确；B、当m＞1时，令y＝0，有（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m＝0，解得，x1＝1，x2=−2mm−1，|x2﹣x1|=3m−1m−1＞3，所以当m＞1时，函数图象截x轴所得的线段长度大于3，此结论正确；C、当m＜0时，y＝（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：x=−m+12(m−1)，在对称轴的左边y随x的增大而增大，因为当m＜0时，−m+12(m−1)=−m−1+22(m−1)=−12−1m−1＞−12，即对称轴在x=−12右边，可能大于12，所以在x＞12时，y随x的增大而减小，此结论错误；D、因为y＝（m﹣1）x2+（1+m）x﹣2m＝0 即（x2+x﹣2）m﹣x2+x＝0，当x2+x﹣2＝0时，x＝1或﹣2，∴抛物线经过定点（1，0）或（﹣2，﹣6），此结论正确，故选：C．5．（2020•市中区二模）对某一个函数给出如下定义：如果存在常数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数；在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数y＝﹣（x+1）2+2，y≤2，因此是有上界函数，其上确界是2，如果函数y＝﹣2x+1（m≤x≤n，m＜n）的上确界是n，且这个函数的最小值不超过2m，则m的取值范围是（）A．m≤13B．m＜13C．13＜m≤12D．m≤12【解题思路】根据函数的上确界和函数增减性得到﹣2m+1＝n，函数的最小值为﹣2n+1，根据m＜n，函数的最小值不超过2m，列不等式求解集即可．【解答过程】解：∵在y＝﹣2x+1中，y随x的增大而减小，∴上确界为﹣2m+1，即﹣2m+1＝n，∵函数的最小值是﹣2n+1≤2m，解得m≤1 2，∵m＜n，∴m＜﹣2m+1．解得m＜13，综上，m＜13故选：B．6．（2020秋•思明区校级期末）对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点，若二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是（）A．c＜﹣3B．c＞−14C．﹣3＜c＜﹣2D．﹣2＜c＜14【解题思路】设a是二次函数y＝x2+2x+c的不动点，则a2+a+c＝0，根据二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，可知关于a的方程a2+a+c＝0有两个不相等的实数根，且两个实数根都小于1，设这两个实数根为a1、a2，则Δ＞0，a1＜1，a2＜1，即有1﹣4c＞0，且（a1﹣1）+（a2﹣1）＜0，（a1﹣1）（a2﹣1）＞0，即可解得﹣2＜c＜1 4．【解答过程】解：设a是二次函数y＝x2+2x+c的不动点，则a＝a2+2a+c，即a2+a+c＝0，∵二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，∴关于a的方程a2+a+c＝0有两个不相等的实数根，且两个实数根都小于1，设这两个实数根为a1、a2，则a1+a2＝﹣1，a1•a2＝c，∴Δ＞0，a1＜1，a2＜1，∴1﹣4c＞0①，且（a1﹣1）+（a2﹣1）＜0②，（a1﹣1）（a2﹣1）＞0③，由①得c＜1 4，∵a1+a2＝﹣1，∴②总成立，由③得：a1•a2﹣（a1+a2）+1＞0，即c﹣（﹣1）+1＞0，∴c＞﹣2，综上所述，c的范围是﹣2＜c＜1 4，故选：D．7．（2020秋•亳州月考）定义：在平面直角坐标系中，过一点P分别作坐标轴的垂线，这两条垂线与坐标轴围成一个矩形，若矩形的周长值与面积值相等，则点P叫作和谐点，所围成的矩形叫作和谐矩形．已知点P是抛物线y＝x2+k上的和谐点，所围成的和谐矩形的面积为16，则k的值可以是（）A．16B．4C．﹣12D．﹣18【解题思路】根据和谐点的定义与二次函数的性质列出m ，n 的方程，求解m ，n 即可．【解答过程】解：∵点P （m ，n ）是抛物线y ＝x 2+k 上的点，∴n ＝m 2+k ，∴k ＝n ﹣m 2，∴点P （m ，n ）是和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，∴2|m |+2|n |＝|mn |＝16，∴|m |＝4，|n |＝4，当n ≥0时，k ＝n ﹣m 2＝4﹣16＝﹣12；当n ＜0时，k ＝n ﹣m 2＝﹣4﹣16＝﹣20；故选：C ．8．（2021•河南模拟）新定义：[a ，b ，c ]为二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0，a ，b ，c 为实数）的“图象数”，如：y ＝x 2﹣2x +3的“图象数”为[1，﹣2，3]，若“图象数”是[m ，2m +4，2m +4]的二次函数的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为（ ）A ．﹣2B ．14C ．﹣2或2D ．2【解题思路】根据新定义得到二次函数的解析式为y ＝mx 2+（2m +4）x +2m +4，然后根据判别式的意义得到△＝（2m +4）2﹣4m （2m +4）＝0，从而解m 的方程即可．【解答过程】解：二次函数的解析式为y ＝mx 2+（2m +4）x +2m +4，根据题意得△＝（2m +4）2﹣4m （2m +4）＝0，解得m 1＝﹣2，m 2＝2，故选：C ．9．（2021春•江岸区校级月考）定义：在平面直角坐标系中，若点A 满足横、纵坐标都为整数，则把点A 叫做“整点”．如：B （3，0）、C （﹣1，3）都是“整点”．抛物线y ＝ax 2﹣2ax +a +2（a ＜0）与x 轴交于点M ，N 两点，若该抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a 的取值范围是（ ）A ．﹣1≤a ＜0B ．﹣2≤a ＜﹣1C ．﹣1≤a ＜−12D ．﹣2≤a ＜0【解题思路】画出图象，找到该抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围的区域（包括边界）恰有5个整点的边界，利用与y 交点位置可得m 的取值范围．【解答过程】解：抛物线y ＝ax 2﹣2ax +a +2（a ＜0）化为顶点式为y ＝a （x ﹣1）2+2，故函数的对称轴：x ＝1，M 和N 两点关于x ＝1对称，根据题意，抛物线在M 、N 之间的部分与线段MN 所围的区域（包括边界）恰有5个整点，这些整点是（0，0），（1，0），（（1，1），（1，2），（2，0）， 如图所示：∵当x ＝0时，y ＝a +2∴0≤a +2＜1当x ＝﹣1时，y ＝4a +2＜0即：{0≤a +2＜14a +2＜0， 解得﹣2≤a ＜﹣1故选：B ．10．（2021•深圳模拟）我们定义一种新函数：形如y ＝|ax 2+bx +c |（a ≠0，b 2﹣4ac ＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y ＝|x 2﹣2x ﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（ ）①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x ＝1；③当﹣1≤x ≤1或x ≥3时，函数值y 随x 值的增大而增大；④当x ＝﹣1或x ＝3时，函数的最小值是0；⑤当x ＝1时，函数的最大值是4，A．4B．3C．2D．1【解题思路】由（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|知①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，②也是正确的；根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤时不正确的；逐个判断之后，可得出答案．【解答过程】解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的；②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，因此②也是正确的；③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；⑤从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，存在函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤是不正确的；故选：A．。