课题导数的几何意义成长博客CERSPBLOG教师
导数的几何意义是什么
导数的几何意义是什么导数作为微积分中的重要概念，不仅在数学理论研究中有着重要地位，还在实际问题的求解中起到了至关重要的作用。
导数的几何意义是指在几何上，导数代表了函数曲线在某一点处的切线斜率。
它使我们能够通过函数图像来理解函数的变化规律及其在特定点的切线性质。
本文将重点论述导数的几何意义以及相应的应用。
一、导数的定义及计算在开始讨论导数的几何意义之前，我们首先来回顾一下导数的定义及计算方法。
对于函数y=f(x)，在点x处的导数可以通过下式计算得出：f'(x) = lim(h->0) [(f(x+h) - f(x))/h]根据这一定义，我们可以求得函数在任意一点处的导数值。
导数的计算可以采用一些常用的方法，如基本函数求导法则、链式法则、乘积法则和商法则等。
二、导数的几何意义1. 切线斜率导数的最直观的几何意义就是切线斜率。
当我们计算出函数在某一点的导数后，这个导数值便代表了函数曲线在该点处的切线斜率。
对于一个凸函数而言，导数可以告诉我们曲线在该点是上升还是下降，以及上升或下降的速度有多快。
2. 极值点导数在几何中还有一个重要的意义是寻找函数的极值点。
当函数在某一点的导数为0时，这一点可能是函数的极大值点或极小值点。
通过求导，我们可以找到函数在哪些点处可能存在极值，并进一步帮助我们寻找函数图像上的极值点，从而得出函数的极值。
3. 凹凸性函数图像的凹凸性也可以通过导数来判断。
当函数的导数在某一区间内始终大于0时，函数图像在该区间内是上凸的；而当导数在某一区间内始终小于0时，函数图像在该区间内是下凸的。
这种通过导数判断凹凸性的方法在优化问题中具有重要应用。
三、导数的应用导数的几何意义不仅在数学理论研究中起到关键作用，也在实际问题的求解中发挥了巨大的作用。
1. 最优化问题在经济学、物理学等领域中，最优化问题是非常常见的。
通过求解函数的导数，我们可以确定函数的最大值和最小值，从而帮助解决各种最优化问题。
课件12：3.1.3 导数的几何意义
3．函数的导数 对于函数 y＝f(x)，当 x＝x0 时，f ′(x0)是一个确定的数．当 x 变化时，f ′(x)便是一个关于 x 的函数，我们称它为函数 y＝
fx＋Δx－fx
f(x)的导函数(简称为导数)，即 f ′(x)＝y′＝_Δlix_m →_0_______Δ_x_____.
4．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导 数”的区别与联系 (1)函数在一点处的导数f ′(x0)是一个_常__数____，不是变量． (2)函数的导数，是针对某一区间内任意点x而言的．函数f(x) 在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每 一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f ′(x0)．根据函数 的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是函 数f(x)的导函数___f_′_(x_)的导数f ′(x0)就是导函数f ′(x)在 点x＝x0处的__函__数__值____，即f ′(x0)＝__f_′_(x_)_|x_＝__x_0__.
5.导数的物理意义：物体的运动方程s＝s(t)在点t0处 的导数s′(t0)，就是物体在t0时刻的_瞬__时__速__度___．
3.1.3 导数的几何意义
学习目标解读
1.了解导函数的概念，通过函数图象直观地理解导数的几何意 义． 2．会求导函数，能根据导数的几何意义求曲线上某点处的切 线方程．
重点难点展示
重点：理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程． 难点：对导数几何意义的理解．
教材新知导学
知识点1：导数的几何意义新知导学 1．曲线的切线：过曲线y＝f(x)上一点P作曲线的割线PQ， 当Q点沿着曲线无限趋近于P时，若割线PQ趋近于某一确定 的直线PT，则这一确定的直线PT称为曲线y＝f(x)在点P的 ___切__线____．
导数的几何意义 课件
2．(变条件)求曲线y＝f(x)＝x2＋1过点P(1,0)的切线方程．
[解]
设切点为Q(a，a2＋1)，
fa＋Δx－fa Δx
＝
a＋Δx2＋1－a2＋1 Δx
＝2a＋
Δx，当Δx趋于0时，(2a＋Δx)趋于2a，所以所求切线的斜率为2a.因此，
a2＋a－11－0＝2a，解得a＝1± 2，所求的切线方程为y＝(2＋2_x_______.
思考： f′(x0)与 f′(x)有什么区别？ [提示] f′(x0)是一个确定的数，而f′(x)是一个函数．
导数几何意义的应用
(1)已知y＝f(x)的图象如图1-1-7所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系 是( )
A．f′(xA)＞f′(xB) B．f′(xA)＜f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定
3．曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？ 提示：不一定．曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线l与曲线y＝f(x)的交点个 数不一定只有一个，如图所示．
已知曲线C：y＝x3. (1)求曲线C在横坐标为x＝1的点处的切线方程； (2)求曲线C过点(1,1)的切线方程． [思路探究] (1) 求y′|x＝1 ―→ 求切点 ―→ 点斜式方程求切线
求切点坐标
过曲线y＝x2上某点P的切线满足下列条件，分别求出P点．
(1) 平行于直线y＝4x－5；
(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；
(3)与x轴成135°的倾斜角．
[解]
f′(x)＝ lim
Δx→0
fx＋Δx－fx Δx
＝
lim
Δx→0
x＋Δx2－x2 Δx
＝2x，设P(x0，y0)是满
足条件的点．
导数的几何意义课件
导数的几何意义课件导数是微积分中的重要概念，它在解决实际问题中起着至关重要的作用。
导数的几何意义是我们在学习导数的过程中必须理解和掌握的内容之一。
本文将从几何的角度来解释导数的意义，并探讨导数在几何中的应用。
首先，我们来回顾一下导数的定义。
在微积分中，导数表示函数在某一点的变化率。
具体来说，对于函数f(x)，如果它在点x处的导数存在，那么导数可以用极限的概念来表示，即：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h这个定义告诉我们，导数是函数在某一点的瞬时变化率。
换句话说，导数告诉我们函数在某一点的斜率，也就是函数曲线在该点的切线的斜率。
那么，导数的几何意义是什么呢？我们可以通过一些几何图形来理解。
考虑一个函数f(x)在点x处的导数f'(x)。
我们可以将这个导数理解为函数曲线在该点处的切线的斜率。
切线是曲线上与该点非常接近的一条直线，它与曲线在该点处相切。
通过计算切线的斜率，我们可以得到曲线在该点的导数。
导数的几何意义还可以从另一个角度来理解。
我们可以将导数理解为函数曲线在某一点处的局部线性逼近。
也就是说，当我们在某一点处计算导数时，我们实际上是在用一条直线来近似曲线在该点的行为。
导数的几何意义对于理解函数的变化趋势和性质非常重要。
通过计算导数，我们可以了解函数在不同点的变化率，从而揭示函数曲线的特征。
例如，如果导数始终为正，那么函数在该区间上是递增的；如果导数始终为负，那么函数在该区间上是递减的。
而导数为零的点，则对应函数曲线的极值点。
除了以上的几何意义，导数在几何中还有一些重要的应用。
其中之一是求曲线的切线和法线。
通过计算导数，我们可以得到曲线在某一点处的切线的斜率，从而确定切线方程。
而切线的垂直线就是曲线在该点处的法线，通过计算切线斜率的倒数，我们可以得到法线的斜率。
导数还可以用来求曲线的凹凸性。
通过计算导数的导数，即二阶导数，我们可以判断曲线在某一点处的凹凸性。
课件15：1.1.3 导数的几何意义
3x2 x 3x x2 x3 x
lim
x0
x
x0
x
lim
x0
3x2
3x
x
x
2
1
3x2
1,
k=f′(a)=3a2+1=4,a=±1. 把a=-1，代入到f(x)=x3+x-2得b=-4； 把a=1，代入到f(x)=x3+x-2得b=0，所以P0点的坐标为(1,0)和(-1,-4). 【答案】B
变式训练：曲线y=x3-3x上某点处的切线平行于x轴，求该点坐 标. 解：设切点为(x,y)，则切线的斜率为
f x x f x
k lim
x0
x
x x3 3 x x x3 3x
lim
x0
x
lim
x0
3x2
3x
x
x 2
3
3x2
3.
∵切线平行于x轴，∴k=0. 即3x2-3=0.解得x=±1. ∴当x=1时，y=13-3×1=-2. 当x=-1时，y=(-1)3-3×(-1)=2. ∴所求点为(1,-2)或(-1,2).
【解析】因为k=f′(x0)，所以f′(x0)不存在只说明曲线在该点 的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程却可能 存在，其切线方程为x=x0.
【答案】C
2.已知曲线y=3x2，则在点A(1,3)处的曲线的切线方程为 ______.
【解析】∵
y 3 x x2 3x2
x
x
=6x+3Δx,
0≤f′(x0)≤tan
4
＝1，
因为f′(x)＝2ax＋b，所以0≤2ax0＋b≤1，
因为抛物线y＝f(x)的对称轴为直线l：x＝-
b 2a
导数的几何意义ppt课件
∴y0＝4，∴点 P 的坐标为(2,4)，
∴切线方程为 y－4＝4(x－2)，即 4x－y－4＝0.
问题导入
知识探究
巩固练习
课堂小结
布置作业
1．与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知 识，如直线间的位置关系，因此要善于综合应用所学知识解题．
2．与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某 点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点 的坐标是常设的未知量．
问题导入
知识探究
巩固练习
课堂小结
布置作业
求切线的解题步骤
1．已知切点（x0,f（x0））
①求斜率，求出曲线在点（x0,f（x0））处的切线斜率 f′(x0)
②写方程，y- f（x0）=f′(x0)（x-x0），化为一般式。
2．经过（x1,y1），切点未知
①设切点（x0,f（x0）） ②求斜率，k= f′(x0) ③写出含参 x0 的切线方程，得到 y- f（x0）=f′(x0)（x-x0） ④将已知点代入得 y1- f（x0）=f′(x0)（x1-x0）解出切点坐标 ⑤将切点坐标代入 y- f（x0）=f′(x0)（x-x0），并化为一般式
课堂小结
布置作业
(2)由3y＝x－x3y，－2＝0， 可得(x－1)2(x＋2)＝0， 解得 x1＝1，x2＝－2. 从而求得公共点为 P(1,1)或 P(－2，－8)．
说明切线与曲线 C 的公共点除了切点外，还有另外的点(－2， －8).
问题导入
知识探究
【易错题解析】
巩固练习
课堂小结
布置作业
已知曲线 y＝2x2－7，求曲线过点 P(3,9)的切线方程．
设所求切线的切点为 A(x0，y0)，则切线的斜率 k＝4x0，
导数的几何意义 课件
＝li m
Δx→0
[4＋2·Δx＋13(Δx)2]＝4.
∴k＝y′|x＝2＝4.
∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y－4＝4(x－2)，
即 4x－y－4＝0.
1．过曲线上一点求切线方程的三个步骤
2．求过曲线 y＝f(x)外一点 P(x1，y1)的切线方程的六个步骤
(1)设切点(x0，f(x0))．
2．导函数的概念 (1)定义：当x变化时， f′(x) 便是x的一个函数，我们称它
为f(x)的导函数(简称导数)．
fx＋Δx－fx
(2)记法：f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝_Δl_ix_→m_0_______Δ_x______.
[点睛] 曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有
多个，甚至可以无穷多．与曲线只有一个公共点的直线也不一定
是曲线的切线．
求曲线的切线方程 [典例] 已知曲线 C：y＝13x3＋43，求曲线 C 上的横坐标 为 2 的点处的切线方程． [解] 将 x＝2 代入曲线 C 的方程得 y＝4， ∴切点 P(2,4)．
y′|x＝2＝li m
Δx→0
ΔΔxy＝Δlix→m0
132＋Δx3＋43－13×23－43 Δx
则 k·－18＝－1，即 k＝8， 故 f′(x0)＝4x0＝8，得 x0＝2，∴切点坐标为(2,9)．
求切点坐标可以按以下步骤进行 (1)设出切点坐标； (2)利用导数或斜率公式求出斜率； (3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标； (4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．
[活学活用] 直线 l：y＝x＋a(a≠0)和曲线 C：y＝x3－x2＋1 相切，则 a 的值 为___________，切点坐标为____________．
导数的几何意义ppt
导数的物理意义
80%
速度
导数可以用来描述物理量随时间 的变化速率，例如速度是位移对 时间的导数。
100%
斜率
在物理量中，导数可以表示斜率 ，例如加速度是速度对时间的导 数。
80%
变化率
导数可以用来描述物理量的变化 率，例如电流强度是电荷对时间 的导数。
02
导数与切线斜率
切线的定义
பைடு நூலகம்01
切线是过曲线上某一点的直线， 该点称为切点。
导数在经济问题中的应用
边际分析与决策
导数可以用来描述边际成本、边际收益和边际利润等概念，帮助 企业做出最优的决策。
供需关系
导数可以用来分析市场的供需关系，例如通过分析需求函数和供给 函数的导数，可以了解市场均衡点的变化趋势。
经济增长与人口变化
导数可以用来描述经济增长和人口变化的趋势，例如通过分析GDP 和人口增长率的导数，可以了解经济和人口的发展趋势。
04
导数在实际问题中的应用
导数在物理问题中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体运动的速度和加速度，通过分析导 数可以了解物体的运动状态和变化趋势。
斜率与曲线
导数可以用来描述曲线的斜率，例如在分析弹性、阻力和 引力等物理现象时，导数可以帮助我们理解物体在曲线上 的运动状态。
能量与功率
在物理中，导数可以用来描述能量和功率的变化，例如在 分析电路、热传导和流体动力学等问题时，导数可以帮助 我们建立数学模型并求解。
导数与函数极值
总结词
导数可以用来确定函数的极值点。
详细描述
函数的极值点出现在导数为零或变号的点上。在极值点处，函数值可能达到最大或最小。因此，通过求函数的导 数并找到导数为零的点，可以确定函数的极值点。
课件4：1.1.3 导数的几何意义
Δx
＝ [3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝3x2，
∴切线的斜率为 3. ∴过点 P 的切线方程为 y－1＝3(x－1)， 即 3x－y－2＝0.
(2)由yy＝ ＝
3x－ x3，
2，
得 (x－ 1)2(x＋ 2)＝ 0，
解得 x1＝1，x2＝－2. 从而求得公共点为 P(1,1)，M(－2，－8)．
∴该点的坐标为(2,9)．
【名师点评】 求切点坐标可以按以下步骤进行： (1)设出切点坐标； (2)利用导数或斜率公式求出斜率； (3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标； (4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点纵坐标．
跟踪训练 3．在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 在曲线 C：y＝x3－ 10x＋3 上，且在第二象限内，已知曲线 C 在点 P 处的切 线的斜率为 2，则点 P 的坐标为________． 解析：由定义法易求得 y′＝3x2－10， ∴3x2－10＝2，得 x＝±2， 又点 P 在第二象限内，
∴x＝－2，点 P 的坐标为(－2,15)．
答案：(－2,15)
方法感悟
1．导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处
的切线的斜率，即 k＝
f
x0＋
Δx－f Δx
x0＝
f′
(x0)，物
理
意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．
2．“函数 f(x)在点 x0 处的导数”是一个数值，不是变数， “导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切
y′，即 f′(x)＝y′＝
f x＋ Δx－ fx
__________Δ_x_________.
想一想
f′(x0)与f′(x)相同吗？ 提示：不相同．f′(x0)是函数f(x)在x＝x0处的导数值，f′(x) 是函数在某区间上的导函数．
课件9：3.1.3 导数的几何意义
解：(1)由导数的定义知，f′(x)=
x x 2 x 2
lim
=2x；
x 0
x
g′(x)= x x 3 x3
lim
x 0
x
lim［3x2 3x x x 2 ］ 3x2. x 0
f′(x)和g′(x)的定义域为R，故定义域关于原点对称，
∵f′(-x)=-2x=-f′(x)，∴f′(x)为奇函数.
D．0
【解析】由导数的几何意义可得 f(5)＋f′(5)＝－5＋8－1＝2. 【答案】C
4．求抛物线 y＝14x2 过点(4，74)的切线方程． 解：设切线在抛物线上的切点为(x0，14x02)，
∴y′|x＝
x0
＝ lim
Δx→0
14x0＋ΔΔxx2－14x02＝Δlixm→0
(12x0＋14Δx)＝12x0.
解得a> 1 . 6
综上，a> 1 . 6
例3：已知抛物线y=2x2+1，求： (1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°? (2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x-y-2=0?
解：设点的坐标为(x0,y0)，
∵
Δy 2(x Δx)2 1-2x2 -1
Δx
Δx
=4x+2Δx.
∴f′(x)=
B．f′(xA)<f′(xB) D．不能确定
【解析】f′(xA)与 f′(xB)分别表示函数图象在点 A，B 处的切 线斜率，故 f′(xB)>f′(xA)．
【答案】B
3．如图，函数 y＝f(x)的图象在点 P 处的切线方程是 y＝－x＋8，则 f(5)＋f′(5)等于( )
1 A.2
B．1
C．2
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课题：导数的几何意义
海口市琼山中学 郭小兰
教材：人教A版选修2-2
教学目标：
1、知识与技能 :
理解导数的几何意义；
2、过程与方法：
经历导数几何意义的学习过程，体会用导数的几何意义分析图象上
点的变化情况的方法。
3、情感态度与价值观：
体会导数与曲线的联系，初步认识数学的科学价值，发展理性思维
能力。
教学重点：
理解导数的几何意义；
教学难点：
理解函数的导数就是在某点处的切线的斜率。
教具准备：
多媒体课件，三角板。
教学过程：
一、引入新课
师：在前面的学习中，我们知道函数y=f(x)在x=x0处的导数就是函
数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率，这是导数的物理意义，那么导数的几
何意义是什么呢？我们本节课就来学习导数的几何意义。
P
2
P
1
P
3
T
C
·
板书课题：导数的几何意义
二．讲授新课
教师引导学生观察右图，回答下面问题：
师： 初中平面几何中我们是如何定义圆的切线和割线的？
生：根据直线和圆的交点个数，有一个交点时，直线是圆的切线；
有两个交点时，直线是圆的割线。
师补充说明
1. 圆的切线在点P附近位于圆的一侧（为一般曲线的切线做准
备）；
2. 当点Pn趋近于点P时，圆的割线PPn趋近于圆的切线PT。当点P
n
与点P重合时，割线变成了切线。
师：对于一般曲线的切线和割线，它们又具有怎样的位置关系呢？
探究一:观察一般曲线y=f(x)割线的变化趋势，教师引导学生给出一般曲
线的切线定义。
师：过一般曲线上任一点P，我们可以在点P附近类似圆的切线做一条
直线PT，使得直线在点P附近位于曲线的一侧，并且与曲线只有一个公
共点P。
（）
P
n
师：同样的，我们可以在曲线上找另一
点Pn，连接PPn，易知PPn是曲线在点
P处的割线。
师：我们发现，当点Pn趋近于点P时，
割线PPn趋近于确定的位置，这个确定
位置的直线PT叫做曲线在点P处的切线。
探究二：割线
的斜率
与切线PT的斜率
有什么关系？
师：我们首先来看这样一个问题：你能借助图象说说割线PPn的斜率是
多少吗？
生：平均变化率。
师继续引导学生发现并说出：
当时，割线PPn切线PT，所以割线PPn的斜率切线PT的斜率。因此，
函数y=f(x)在x=x0处的导数等于在该点(x0 ，f(x0))处的切线的斜率，
即 =k。
师板书导数的几何意义。
接下来教师引导学生继续观察：过点P的切线PT最贴近点P附近的曲线
y=f(x)，因此在点P附近，曲线y=f(x)就可以用过点P的切线PT近似代替。
师：以直代曲是微积分中的重要的思想方法，即以简单的对象（切线）
刻画复杂的对象（曲线）。大多数的曲线就一小范围来看，大致可看作
直线，所以，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即以直代
曲。所以我们就可以在某点附近用曲线的切线相关性质来研究曲线的相
关性质。
三 知识运用
例1．
如图1.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(t) = -4.9t
2+6.5t+10，根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t
1、t2、t3
附近的变化情
况．
解析：借助于几何画板，引导学生运用“以直代曲”的思想由切线斜率
的正负得到切线的升降情况，从而得到在切点附近曲线的升降情况。
师引导学生分析题目条件，教师讲解t 1处，然后由学生讲解另两个点的
情况。
变式：根据跳水运动中高度随时间变化的函数h(t) = -4.9t 2+6.5t+10图
象，估计t=0.4，0.7，1.0时，运动员的瞬时速度（精确到0.1）
师：运动员的瞬时速度，就是高度在此时刻的导数，从图象上看，它表
示函数在此点处的切线的斜率。我们可以利用几何画板中的网格估计切
线的斜率，从而得到此时刻运动员瞬时速度的近似值。
师进行0.4处瞬时速度的估计运算，做示范，0.7，1.0处的瞬时速度由学
生计算。
例2.根据下列条件，分别画出函数图象在这点附近的大致形状。
（1）f(1)=1,f′(1)=-1;
（2）f(-1)=-3,f′(-1)=2;
（3）f(4)=5,f′(4)=0;
师：由导数的几何意义可知，根据题目条件可以画出该点处的切线，从
而得到函数图象的大致形状。
师在黑板上画（1）的图象大致形状，做示范，后两个小题由学生相互
交流完成。
三.课堂小结
（1）你学到了什么？
（2）你知道了哪些思想方法？
师提问学生，师生共同完成对对本节课内容的归纳总结。并强调“以直
代曲”的思想。
四.布置作业
教材10页习题1.1A组第5题，B组第2题。
教学感想
本节课的目标力求使学生体会微积分的基本思想，感受近似与精确
的统一，运动和静止的统一，感受量变到质变的转化。在教学过程中，
发现了很多不足的地方，这将鞭策我今后不断提高自己，完善自己。