风险与金融数学
金融数学简介
金融数学简介金融数学是一门应用数学的分支，它研究的是金融领域中的各种数学模型和方法。
金融数学的出现，为金融领域的决策和风险控制提供了强有力的工具和理论基础。
本文将简要介绍金融数学的基本概念和应用领域。
金融数学的基本概念包括概率论、随机过程、微分方程和优化理论等。
概率论是研究随机现象的数学理论，它在金融领域中被广泛应用于风险评估和投资组合管理等问题。
随机过程是描述随机现象随时间变化的数学模型，它在金融领域中常用于建立股票价格和利率等随机变量的模型。
微分方程是用来描述变量之间关系的数学方程，它在金融领域中常用于衍生品定价和利率模型等问题。
优化理论是研究如何寻找最优解的数学理论，它在金融领域中常用于资产配置和风险管理等方面。
金融数学的应用领域广泛，包括金融工程、风险管理、衍生品定价、投资组合管理等。
金融工程是将数学和计算机科学等方法应用于金融领域的交叉学科，它研究如何设计和实施金融产品和交易策略。
风险管理是金融领域中非常重要的一个领域，它研究如何识别、测量和控制金融风险。
衍生品定价是金融数学中的一个重要问题，它研究如何确定期权、期货等衍生品的合理价格。
投资组合管理是金融领域中的另一个重要问题，它研究如何根据投资者的风险偏好和目标收益，选择最优的资产组合。
金融数学的发展离不开计算机技术的支持。
计算机技术的高速发展，使得金融数学的计算和模拟能力大大提高。
金融数学中涉及的复杂模型和大规模计算问题，都可以通过计算机进行求解和模拟。
因此，金融数学和计算机科学的结合，为金融领域的决策和风险控制提供了更加精确和高效的方法。
金融数学在实际应用中具有重要意义。
通过建立数学模型和应用数学方法，可以对金融市场进行预测和分析，为投资者提供决策依据。
同时，金融数学也可以帮助金融机构进行风险管理，有效地控制和规避风险。
另外，金融数学还可以对金融产品进行定价和评估，确保市场的公平和有效。
金融数学作为应用数学的一个重要分支，为金融领域的决策和风险控制提供了重要的工具和理论基础。
金融数学 培养方案
金融数学培养方案一、数学基础金融数学是一门将数学应用于金融领域的学科。
因此，扎实的数学基础是学习金融数学的前提。
学生需要掌握高等数学、线性代数、概率论与数理统计等基础知识，为后续学习金融理论知识、统计分析方法等打下坚实的基础。
二、金融理论知识金融理论知识是金融数学的重要组成部分。
学生需要了解金融市场的运作机制、金融产品的种类和特点、金融机构的职能和运作方式等方面的知识。
此外，学生还需要掌握基本的金融概念和术语，以便更好地理解和应用金融数学模型和方法。
三、统计分析方法统计分析方法是金融数学中的重要工具之一。
学生需要掌握各种统计分析方法，如回归分析、时间序列分析、主成分分析等，以便对金融数据进行处理和分析。
学生还需要了解如何运用统计分析方法进行风险评估和预测，为风险管理提供支持。
四、金融衍生品定价金融衍生品定价是金融数学中的核心内容之一。
学生需要了解各种金融衍生品（如期货、期权、互换等）的定价原理和方法，掌握各种定价模型和公式，以便在实际应用中能够进行准确的定价和风险管理。
五、风险管理风险管理是金融数学中的重要应用领域之一。
学生需要了解风险管理的概念和方法，掌握各种风险度量指标（如VaR、CVaR等）的计算和应用，以便在实际应用中能够对风险进行有效的评估和管理。
六、投资组合优化投资组合优化是金融数学中的另一个核心内容。
学生需要了解投资组合优化的原理和方法，掌握各种投资组合优化模型和算法，以便在实际应用中能够为投资者提供有效的投资建议和方案。
七、计量经济学计量经济学是金融数学中的重要工具之一。
学生需要了解计量经济学的基本原理和方法，掌握各种计量经济学模型和公式，以便在实际应用中能够对经济数据进行准确的建模和分析。
学生还需要了解如何运用计量经济学方法进行政策分析和预测，为政策制定提供支持。
八、金融数据建模金融数据建模是金融数学中的重要应用领域之一。
学生需要了解金融数据的特征和规律，掌握各种数据建模方法和技巧，以便在实际应用中能够根据数据特征选择合适的数据建模方法并进行有效的建模分析。
数学在金融中的应用
数学在金融中的应用数学作为一门基础学科，被广泛运用于各个领域，其中金融领域尤为突出。
金融是一个充满风险和不确定性的领域，而数学的精确性和逻辑性为金融提供了强大的支持。
本文将探讨数学在金融中的应用，介绍数学在金融领域中的重要性和作用。
一、金融中的数学模型金融领域中最常见的数学工具之一就是数学模型。
数学模型是对金融市场和金融产品进行描述和分析的重要工具，通过建立数学模型，可以更好地理解金融市场的运行规律和风险特征。
在金融衍生品定价、风险管理、投资组合优化等方面，数学模型发挥着至关重要的作用。
1. 金融衍生品定价金融衍生品是一种金融工具，其价值是由基础资产的价格决定的。
在金融市场中，金融衍生品的定价是一个复杂的问题，需要运用数学模型来进行分析和计算。
著名的布莱克-斯科尔斯期权定价模型就是一个经典的例子，该模型利用了随机微分方程的方法，通过对股票价格的随机演化进行建模，计算出期权的合理价格，为金融市场的参与者提供了重要的参考依据。
2. 风险管理风险管理是金融领域中至关重要的一个环节，而数学在风险管理中发挥着不可替代的作用。
价值-at-风险（Value at Risk，VaR）是衡量金融风险的常用指标，通过数学模型可以对VaR进行计算，帮助金融机构更好地评估和管理风险。
此外，蒙特卡洛模拟、方差-协方差方法等数学工具也被广泛运用于金融风险管理中，为金融机构提供了有效的风险控制手段。
3. 投资组合优化投资组合优化是指在给定风险偏好的情况下，通过合理配置资产组合，以实现最大化收益或最小化风险。
数学模型在投资组合优化中扮演着关键角色，马科维茨提出的均值-方差模型是投资组合优化领域的经典模型，通过数学方法可以有效地构建有效前沿，帮助投资者做出理性的投资决策。
二、金融中的数学方法除了数学模型，金融领域还广泛应用各种数学方法，如微积分、线性代数、概率论等，这些数学方法为金融问题的分析和解决提供了有力支持。
1. 微积分微积分是研究变化的数学分支，在金融领域中被广泛运用。
金融数学模型
04
金融数学模型的典型案 例
股票价格预测模型
总结词
股票价格预测模型是用于预测股票价格走势的数学模型。
详细描述
该模型基于历史数据和相关因素，通过统计分析、时间序列 分析等方法，预测股票价格的未来走势。常见的股票价格预 测模型包括线性回归模型、神经网络模型和支持向量机模型 等。
债券定价模型
总结词
债券定价模型是用于确定债券公平价值的数学模型。
模型泛化能力问题
过拟合与欠拟合
在训练模型时，过拟合和欠拟合是常见 的问题。过拟合是指模型过于复杂，导 致在训练数据上表现良好但在测试数据 上表现较差；欠拟合则是指模型过于简 单，无法捕捉到数据的复杂模式，导致 预测精度较低。
VS
泛化能力
金融数学模型的泛化能力是指模型在未知 数据上的表现，如何提高模型的泛化能力 是当前研究的重点之一。通过调整模型参 数、选择合适的模型结构等方法，可以提 高模型的泛化能力。
03
金融数学模型的建立与 实现
数据收集与处理
1 2
数据来源
从金融机构、市场交易平台等获取金融数据，确 保数据的真实性和准确性。
数据清洗
对数据进行预处理，如缺失值填充、异常值处理、 数据格式统一等。
3
数据转换
将原始数据转换为适合建模的格式，如时间序列 数据、特征工程等。
模型选择与参数估计
模型评估
数据来源
金融数学模型依赖于大量的数据输入，但数据的来源可能 存在不准确、不完整或过时的问题，影响模型的预测精度。
数据清洗
数据中可能存在异常值、缺失值或重复值，需要进行数据 清洗和预处理，以确保数据的质量和准确性。
数据处理方法
对于不同类型的数据，需要采用不同的数据处理方法，如 时间序列分析、回归分析、聚类分析等，以提高模型的预 测能力。
数学在金融中的应用
数学在金融数学中的三个重要应用金融数学是将数学应用于投资组合选择理论和期权定价理论的产物。
随着经济形势的快速发展，金融行业的产品和衍生产品不断优化和创新，新的金融产品和服务也在逐步增加。
金融市场的运作，金融衍生产品的设计和定价以及风险的分析和管理变得非常重要，金融数学的研究与开发越来越重要。
因此，分析数学在金融领域的具体应用具有现实意义。
金融数学，也称为分析金融，数学金融和数学金融，是数学和金融的一个跨学科学科，始于1980年代末和90年代初。
金融数学主要使用金融（包括银行，投资，债券，基金）的现代数学理论和方法（如随机分析，随机最优控制，投资组合分析，非线性分析，多元统计分析，数学编程，现代计算方法等）。
，股票，期货，期权和其他金融工具和市场）分析了一些理论和实践。
核心问题是不确定条件下最优投资策略的选择理论和资产定价理论。
1 ]。
从广义上讲，金融数学是一门将数学理论和方法应用于金融和经济运作的新学科。
从狭义的角度讲，金融领域的数学问题主要是在不确定条件下的股票选择和资产定价理论的资产组合分析相结合，这是最优套利，而均衡理论是三个最重要的基本概念。
将数学应用于金融领域是基于一些金融或经济假设，并使用抽象数学方法来构建有关金融机制运作方式的数学模型。
金融数学主要包括数学的基本概念和方法，相关的自然科学方法等。
它们以各种形式的进入理论应用。
数学的用途是表达，推理和证明金融的基本原理。
从金融数学的本质来看，金融数学是金融的重要分支。
因此，金融数学完全基于金融理论的背景和基础。
通过正规金融学术培训从事金融数学的人们将在这种情况下拥有更多优势。
金融作为身份发展经济学的一个子学科，尽管具有足够的经济独立性特征，但仍然需要以经济原理和与之相关的经济技术为背景。
同时，金融数学也需要金融知识，税收理论和会计原理作为知识的背景[2 ]。
金融数学的理论基础还包括数学建模和统计理论，第一步是数学或统计建模，这是从复杂的金融环境中分别找出相关因素和独立因素的关键因素，然后从一系列假设出发推导各种关系，最后得出结论，作结论说明。
金融数学考研方向有哪些
金融数学考研方向有哪些
金融数学是数学与金融学的交叉学科，涉及到金融工程、风险管理、衍生品定价等多个领域。
在考研时，可以根据个人兴趣和未来职业规划选择一个具体的方向。
以下是一些可能的金融数学考研方向：
1.金融工程与定价：研究金融产品的定价模型、金融衍生品的设计与分析，包括期权、期货等。
2.风险管理与投资组合：关注金融市场的风险分析、投资组合优化，以及资产配置的策略。
3.金融计量与统计分析：着重于金融数据的统计分析、计量经济学方法，以及金融市场的行为分析。
4.计算金融学：研究金融问题的数值计算方法，包括蒙特卡洛模拟、数值优化等方向。
5.金融数学建模：关注金融问题的数学建模过程，以解决实际金融领域中的复杂问题。
6.金融数据科学：着重于运用数据科学方法处理金融数据，进行预测、建模和分析。
7.金融时间序列分析：研究金融市场中时间序列数据的特性和模型，以支持金融决策。
8.量化金融：关注量化交易策略、算法交易，以及利用数学模型进行交易决策。
在选择金融数学的考研方向时，建议你根据个人兴趣和未来职业规划来确定。
如果对金融工程和金融产品定价感兴趣，可以选择金融工程与定价；如果对风险管理和投资组合优化感兴趣，可以选择风险管理与投资组合。
同时，了解所在学校和导师的研究方向，与相关领
域的专业人士或学长学姐交流，也有助于更好地做出选择。
金融数学模型及其应用
金融数学模型及其应用随着金融市场的发展和复杂性的增加，金融数学模型正变得越来越重要。
这些模型基于数学和统计学的原理，可以用来帮助分析金融市场和战略，预测风险和盈利，以及制定有效的投资和风险管理策略。
本文将探讨金融数学模型的几个关键方面，并说明一些实际应用场景。
一、金融数学模型的基础金融数学模型的基础是数学和统计学，其中最常用的工具是微积分、微分方程、概率论和统计学。
在建立一个金融数学模型之前，需要确定一些关键因素，如时间、风险和收益。
这些因素可以用数字和数学公式来表达，统计学方法可以用来帮助分析这些因素的关系。
二、金融数学模型的类型金融数学模型有许多不同的类型，其中许多都基于随机过程。
其中最常用的包括：1. 布朗运动模型：这种模型又称随机游走模型，是建立期权定价模型的基础。
2. 离散时间模型：这种模型基于离散的时间序列，包括差价合约和期权的定价模型。
3. 连续时间模型：这种模型将价格的变化视为连续的，可以用来分析期权、利率衍生品和其他金融衍生品的定价。
4. 随机波动率模型：这种模型考虑到波动率的变化对价格的影响，用来分析波动率的变化和期权的价格。
5. 蒙特卡洛模拟模型：这种模型不是基于精确公式计算，而是通过随机模拟生成数据，用来分析金融产品的风险和收益。
三、金融数学模型的应用金融数学模型可以应用于多个领域，包括风险管理、投资、保险和买卖。
以下是几个典型的实际应用场景：1. 期权定价模型：这种模型可以用来计算期权的价格，包括欧式期权和美式期权。
期权定价模型可以帮助投资者确定什么时候买入或卖出期权，以及价格的影响因素。
2. 对冲策略：对冲是一种利用金融衍生品来降低风险的策略。
金融数学模型可以用来确定对冲策略，以降低投资组合的波动性。
3. 风险管理：金融数学模型可以用来确定股票、债券和其他金融资产的风险水平。
这些风险可以通过金融衍生品和对冲策略进行管理。
4. 预测：金融数学模型可以用来分析市场和产品的走势，以帮助投资者预测未来价格的变化。
金融数学专业二级学科
金融数学专业二级学科
金融数学是一个与金融领域相关的数学学科。
它结合了数学和金融的知识，以解决金融问题和优化金融决策为目标。
金融数学涵盖了许多不同的主题，包括金融模型、金融衍生品定价、投资组合理论、风险管理和金融工程等。
金融数学专业是指在大学或研究生阶段，学生选择金融数学作为主要学习方向，通过系统学习和研究相关知识和技能来掌握该领域的专业知识。
这个专业通常包括数学、统计学和金融学等方面的课程，以便学生能够深入理解金融领域中的数学理论和应用。
在金融数学专业中，学生将学习各种数学方法和模型，以解决金融问题。
例如，他们可能学习如何使用随机过程来描述金融资产的价格变动，如何使用微分方程建立金融衍生品的定价模型，以及如何使用数值方法来计算金融风险度量等。
此外，金融数学专业还注重培养学生的数据分析和计算机编程能力，因为在金融行业中，大量的数据需要进行分析和建模。
学生可能会学习如何使用统计学方法来分析金融市场的数据，以及如何使用编程语言如Python或R来实现金融模型和策略。
金融数学专业的毕业生通常可以在金融机构、投资银行、保险公司、资产管理公司等金融行业的各个领域就业。
他们可以从事风险管理、金融衍生品定价、投资组合管理、量化交易和金融工程等工作。
同时，金融数学专业的毕业生也可以选择进入学术界或研究机构从事金融数学的研究和教育工作。
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Kenneth J. Arrow （1921-) 1972年诺贝尔经 济学奖获得者
Gerard Debreu (1921-) 1983年诺贝尔经 济奖获得者
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Arrow (1953) 《证券价值对于 风险的最优配置的作用》
Arrow 的 文章被认为是 第一篇用数学 模型论证证券 如何分散金融 风险的研究论 文。
关于我国股市的互相关
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09/20/2000
½¾ Æ ù Ï à ¹ Ø Ï µ Ê ý CAPMÊ Ð ³ ¡ · ç Ï Õ
Tobin 的二基金分离定理
• 由于 Markowitz 问题是线 性问题，因而两个有不同 收益的解的线性组合就可 生成整个组合前沿。 • 这两个特殊的组合可以看 成“基金”。这个结果称 为二基金分离定理。它是 Tobin (1958) 首先提出的。
1944 年在巨著 《对策论与经济 行为》中用数学 公理化方法提出 期望效用函数。 这是经济学中首 次严格定义风险。Oskar Morgenstern
(1902-1977)
金融风险与金融数学 9
John von Neumann (1903-1957)
用期望效用函数来刻划风险
• 所谓期望效用函数是定义在一个随机变 量集合上的函数，它在一个随机变量上 的取值等于它作为数值函数在该随机变 量上取值的数学期望。用它来判断有风 险的利益，那就是比较“钱的函数的数 学期望”。 • 假定 (x,y,p) 表示以概率 p 获得 x, 以概率 (1-p) 获得 y 的机会，那么其期望效用函 数值为 u((x,y,p))=pu(x)+(1-p)u(y).
金融风险与金融数学 16
“华尔街的革命”
金融风险与金融数学
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‘在华尔街发生的两次革命已经开创了 在金融界需要研究型的数学家的专长。第 一次革命是对股权基金管理的诀窍引进数 量方法，它开始于 Harry Markowitz 在 1952 年发表的博士论文《证券组合选 择》。第二次金融中的革命开始于 1973 年 Fisher Black 和 Myron Scholes (请 教了Robert Merton)发表对期权定价问 题的解答。Black-Scholes 公式给金融行 业带来了现代鞅和随机分析的方法；这种 方法使投资银行能够对无穷无尽的“衍生 证券”进行生产、定价和套期保值。……’
金融风险与金融数学 14
Frank Hyneman Knight (18851972)
Arrow-Debreu 的不确定状态
• 1954 年 Arrow 和 Debreu 发表一般 经济均衡的严格数 学公理化证明。 • 他们在处理不确定 性时采用Knight 的 观点。光有状态， 没有概率。
金融风险与金融数学
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Pascal － Fermat 问题
• 二人掷骰子赌博，先掷满 5 次双 6 点者 赢。有一次，A 掷满 4 次双 6 点，B 掷 满 3 次双 6 点。由于天色已晚，两人无 意再赌下去，那么该怎样分割赌注？ • 答案：A 得 3/4, B 得 1/4. • 结论：应该用数学期望来定价。
金融风险与金融数学
金融风险与金融数学
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概率论的早期历史
1654 年 Pascal 与 Fermat 的五封通信，奠定概率 论的基础。他们当时考 虑一个掷骰子问题，开 始形成数学期望的概念， 并以“输赢的钱的数学 期望”来为赌博“定 价”。 • Blaise Pascal (1623-1662)
金融风险与金融数学
Pierre de Fermat (1601-1665)
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1997 年诺贝尔经济奖获得者
Robert Merton, (1944-)《连续 时间金融学》 Myron Scholes, (1941-) 期权定 价公式
Fisher Black (1938-1995)期权定价公式
1973 年 Black-ScholesMerton期权定价理论问世
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金融风险与金融数学 18
1990 年诺贝尔经济奖获得者
Merton Miller, (1923-2000) Modigliani-Miller 定理 (MMT)
Harry Markowitz, (1927-) 《证券组合 选择理论》
金融风险与金融数学
William Sharpe, (1934-)资本资产 定价模型 （CAPM)
金融风险与金融数学
Maurice Allais (1911-) 1986 年诺贝尔经济 奖获得者。
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Knight 的 《风险、不确定性与利润》(1921)
• Knight 不承认“风险=不确定 性”，提出“风险”是有概率 分布的随机性，而“不确定性” 是不可能有概率分布的随机性。 • Knight 的观点并未被普遍接受。 但是这一观点成为研究方法上 的区别。
什么是风险和什么是金融风险？
• • • • • • 风险是可能发生的危险。 风险＝不确定性。 金融风险就是金融中可能发生的危险。 换句话说，就是可能发生的钱财损失。 金融风险＝金融中的不确定性。 金融风险包括市场风险，信用风险、流 动性风险，营运风险等等。
金融风险与金融数学 1
什么是金融经济学和金融数学？
• 金融经济学与其他经济学科的主要区别 就在于市场环境的不确定性。 • 金融经济学主要研究不确定性市场环境 下的金融商品的定价理论。 • 金融数学就是金融商品定价的数学理论。 • 因此，也可以说，金融经济学以至金融 数学都是研究金融风险的理论。
金融风险与金融数学 2
研究不确定性的数学－概率论
• 直到现在为止，研究不确定性的最主要 的数学学科是概率论 (其他还有：模糊数 学、混沌理论、集值分析、微分包含等)。 • 概率论几乎可以说是起源于研究“金融 风险”的。那是一种简单的“金融风险” 问题：赌博。
金融风险与金融数学 23
风险－收益图 和 有效前沿
收 益
风险
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风险－收益图 和 有效前沿
金融风险与金融数学
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沪深两市的风险收益图
金融风险与金融数学
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Markowitz 的基本思想
• 风险在某种意义下是可以度量的。 • 各种风险有可能互相抑制，或者说可能 “对冲”。因此，投资不要“把鸡蛋放 在一个篮子里”，而要“分散化”。 • 在某种“最优投资”的意义下，收益大 意味着要承担的风险也更大。
金融风险与金融数学
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Arrow-Pratt 风险厌恶度量
这就归结 为函数 u 的凸 性的比较。它 的程度可用 -u’’/u’ 来 度量。它由 Arrow (1965) 和 Pratt (1964) 所提出。
金融风险与金融数学
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期望效用函数的争论
• 期望效用函数似乎是相当 人为、相当主观的概念。 一开始就受到许多批评。 其中最著名的是“ Allais 悖论” (1953)。 • 由此引起许多非期望效用 函数的研究，涉及许多古 怪的数学。但都不很成功。
金融风险与金融数学
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“圣彼德堡悖论”
• 1738 年发表《对机遇 性赌博的分析》提出 解决“圣彼德堡悖论” 的“风险度量新理 论”。指出用“钱的 数学期望”来作为决 策函数不妥。应该用 “钱的函数的数学期 望”。
金融风险与金融数学
Daniel Bernoulli （1700-1782)
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期望效用函数
金融风险与金融数学 35
为解决这一问题，Black 和 Scholes先 把模型连续动态化。他们假定模型中有 两种证券，一种是债券，它是无风险证 券，其收益率是常数；另一种是股票， 它是风险证券，沿用 Markowitz 的传统， 它也可用证券收益率的期望和方差来刻 划，但是动态化以后，其价格的变化满 足一个随机微分方程，其含义是随时间 变化的随机收益率，其期望值和方差都 与时间间隔成正比。这种随机微分方程 称为几何布朗运动。
金融风险与金融数学
James Tobin, (1918-) 1981 年诺贝尔经济 学奖获得者
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资本资产定价模型 (CAPM)
Sharpe (1964) 和另一些经济学家， 则进一步在一般经济均衡的框架下，假 定所有投资者都以 Markowitz 的准则来 决策，而导出全市场的证券组合是有效 的以及所谓资本资产定价模型 (Capital Asset Pricing Model, CAPM)。这一模 型认为，每种证券的收益率都只与市场 收益率和无风险收益率有关。
金融风险与金融数学
Franco Modigliani, (1918-) 1985 年诺贝 尔经济奖获得者
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无套利假设和 B-S 期权定价理论
• 以无套利假设作为出发点的一大成就也 就是 Black-Scholes 期权定价理论。 • 期权是指以某固定的执行价格在一定的 期限内买入某种股票的权利。期权在它 被执行时，如果股票的市价高于期权规 定的执行价格，那么期权的价格就是市 价与执行价格之差；反之，期权是无用 的，其价格为零。 • 现在要问，期权未到期时的价值。
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互相关的概念
金融风险与金融数学
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0.30
0.35
0.40
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1997-12-17 1998-01-28 1998-03-11 1998-04-22 1998-06-03 1998-07-15 1998-08-26 1998-10-07 1998-11-18 1998-12-30 1999-02-10 1999-03-24 1999-05-05 1999-06-16 07/28/1999 09/08/1999 10/20/1999 12/01/1999 01/12/2000 02/23/2000 04/05/2000 05/17/2000 06/28/2000 08/09/2000