大学高数全册知识点整理

大学高等数学知识点整理公式，用法合集极限与连续一 . 数列函数 :1. 类型 :(1) 数列 : * ; *(2) 初等函数 :(3) 分段函数 : * ; * ;*(4) 复合 ( 含) 函数 :(5) 隐式 ( 方程 ):(6) 参式 ( 数一 , 二 ):(7) 变限积分函数 :(8) 级数和函数 ( 数一 , 三 ):2. 特征 ( 几何 ):(1) 单调性与有界性 ( 判别 ); ( 单调定号 )(2) 奇偶性与周期性 ( 应用 ).3. 反函数与直接函数 :二 . 极限性质 :1. 类型 : * ; * ( 含); * ( 含)2. 无穷小与无穷大 ( 注 : 无穷量 ):3. 未定型 :4. 性质 : * 有界性 , * 保号性 , * 归并性三 . 常用结论 :, , ,, , , ,,四 . 必备公式 :1. 等价无穷小 : 当时 ,; ; ;; ; ;;2. 泰勒公式 :(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) .五 . 常规方法 :前提 : (1) 准确判断( 其它如 : ); (2) 变量代换( 如 : )1. 抓大弃小,2. 无穷小与有界量乘积 ( ) ( 注 : )3. 处理 ( 其它如 : )4. 左右极限 ( 包括):(1) ; (2) ; ; (3) 分段函数 : , ,5. 无穷小等价替换 ( 因式中的无穷小 )( 注 : 非零因子 )6. 洛必达法则(1) 先” 处理”, 后法则 ( 最后方法 ); ( 注意对比 : 与)(2) 幂指型处理 : ( 如 : )(3) 含变限积分 ;(4) 不能用与不便用7. 泰勒公式 ( 皮亚诺余项 ): 处理和式中的无穷小8. 极限函数 : ( 分段函数 )六 . 非常手段1. 收敛准则 :(1)(2) 双边夹 : * , *(3) 单边挤 : * * *2. 导数定义 ( 洛必达 ?):3. 积分和 : ,4. 中值定理 :5. 级数和 ( 数一三 ):(1) 收敛, ( 如) (2) ,(3) 与同敛散七 . 常见应用 :1. 无穷小比较 ( 等价 , 阶 ): *(1)(2)2. 渐近线 ( 含斜 ):(1)(2) ,( )3. 连续性 : (1) 间断点判别 ( 个数 ); (2) 分段函数连续性 ( 附 : 极限函数 , 连续性 )八 . 上连续函数性质1. 连通性 : ( 注 : , “ 平均” 值 :)2. 介值定理 : ( 附 : 达布定理 )(1) 零点存在定理 : ( 根的个数 );(2) .第二讲 : 导数及应用 ( 一元 )( 含中值定理 )一 . 基本概念 :1. 差商与导数 : ;(1) ( 注 : 连续 ) )(2) 左右导 : ;(3) 可导与连续 ; ( 在处 , 连续不可导 ; 可导 )2. 微分与导数 :(1) 可微可导 ; (2) 比较与的大小比较 ( 图示 );二 . 求导准备 :1. 基本初等函数求导公式 ; ( 注 : )2. 法则 : (1) 四则运算 ; (2) 复合法则 ; (3) 反函数三 . 各类求导 ( 方法步骤 ):1. 定义导 : (1) 与; (2) 分段函数左右导 ; (3)( 注 : , 求 : 及的连续性 )2. 初等导 ( 公式加法则 ):(1) , 求 : ( 图形题 );(2) , 求 : ( 注 : )(3) , 求及 ( 待定系数 )3. 隐式 ( ) 导 :(1) 存在定理 ;(2) 微分法 ( 一阶微分的形式不变性 ).(3) 对数求导法 .4. 参式导 ( 数一 , 二 ) : , 求 :5. 高阶导公式 :; ;;注 : 与泰勒展式 :四 . 各类应用 :1. 斜率与切线 ( 法线 ); ( 区别 : 上点和过点的切线 )2. 物理 : ( 相对 ) 变化率速度 ;3. 曲率 ( 数一二 ): ( 曲率半径 , 曲率中心 , 曲率圆 )4. 边际与弹性 ( 数三 ) : ( 附 : 需求 , 收益 , 成本 , 利润 )五 . 单调性与极值 ( 必求导 )1. 判别 ( 驻点):(1) ; ;(2) 分段函数的单调性(3) 零点唯一 ; 驻点唯一 ( 必为极值 , 最值 ).2. 极值点 :(1) 表格 ( 变号 ); ( 由的特点 )(2) 二阶导 ( )注 (1) 与的匹配 ( 图形中包含的信息 );(2) 实例 : 由确定点“ ” 的特点 .(3) 闭域上最值 ( 应用例 : 与定积分几何应用相结合 , 求最优 )3. 不等式证明 ( )(1) 区别 : * 单变量与双变量 ? * 与?(2) 类型 : * ; ** ; *(3) 注意 : 单调性端点值极值凹凸性 . ( 如 : )4. 函数的零点个数 : 单调介值六 . 凹凸与拐点 ( 必求导 !):1. 表格 ; ( )2. 应用 : (1) 泰勒估计 ; (2) 单调 ; (3) 凹凸 .七 . 罗尔定理与辅助函数 : ( 注 : 最值点必为驻点 )1. 结论 :2. 辅助函数构造实例 :(1)(2)(3)(4) ;3. 有个零点有个零点4. 特例 : 证明的常规方法 : 令有个零点( 待定 )5. 注 : 含时 , 分家 !( 柯西定理 )6. 附 ( 达布定理 ): 在可导 , , , 使 :八 . 拉格朗日中值定理1. 结论 : ; ( )2. 估计 :九 . 泰勒公式 ( 连接之间的桥梁 )1. 结论 : ;2. 应用 : 在已知或值时进行积分估计十 . 积分中值定理 ( 附 : 广义 ): [ 注 : 有定积分 ( 不含变限 ) 条件时使用 ] 第三讲 : 一元积分学一 . 基本概念 :1. 原函数:(1) ; (2) ; (3)注 (1) ( 连续不一定可导 );(2) ( 连续 )2. 不定积分性质 :(1) ;(2) ;二 . 不定积分常规方法1. 熟悉基本积分公式2. 基本方法 : 拆 ( 线性性 )3. 凑微法 ( 基础 ): 要求巧 , 简 , 活 ( )如 :4. 变量代换 :(1) 常用 ( 三角代换 , 根式代换 , 倒代换 ):(2) 作用与引伸 ( 化简 ):5. 分部积分 ( 巧用 ):(1) 含需求导的被积函数 ( 如);(2)“ 反对幂三指”:(3) 特别 : (* 已知的原函数为; * 已知)6. 特例 : (1) ; (2) 快速法 ; (3)三 . 定积分 :1. 概念性质 :(1) 积分和式 ( 可积的必要条件 : 有界 , 充分条件 : 连续 )(2) 几何意义 ( 面积 , 对称性 , 周期性 , 积分中值 )* ; *(3) 附 : , )(4) 定积分与变限积分 , 反常积分的区别联系与侧重2: 变限积分的处理 ( 重点 )(1) 可积连续 , 连续可导(2) ; ;(3) 由函数参与的求导 , 极限 , 极值 , 积分 ( 方程 ) 问题3. 公式 : ( 在上必须连续 !)注 : (1) 分段积分 , 对称性 ( 奇偶 ), 周期性(2) 有理式 , 三角式 , 根式(3) 含的方程 .4. 变量代换 :(1) ,(2) ( 如 : )(3) ,(4) ; ,(5) ,5. 分部积分(1) 准备时“ 凑常数”(2) 已知或时 , 求6. 附 : 三角函数系的正交性 :四 . 反常积分 :1. 类型 : (1) ( 连续 )(2) : ( 在处为无穷间断 )2. 敛散 ;3. 计算 : 积分法公式极限 ( 可换元与分部 )4. 特例 : (1) ; (2)五 . 应用 : ( 柱体侧面积除外 )1. 面积 ,(1) (2) ;(3) ; (4) 侧面积 :2. 体积 :(1) ; (2)(3) 与3. 弧长 :(1)(2)(3) :4. 物理 ( 数一 , 二 ) 功 , 引力 , 水压力 , 质心 ,5. 平均值 ( 中值定理 ):(1) ;(2) , ( 以为周期 : ) 第四讲 : 微分方程一 . 基本概念1. 常识 : 通解 , 初值问题与特解 ( 注 : 应用题中的隐含条件 )2. 变换方程 :(1) 令( 如欧拉方程 )(2) 令( 如伯努利方程 )3. 建立方程 ( 应用题 ) 的能力二 . 一阶方程 :1. 形式 : (1) ; (2) ; (3)2. 变量分离型 :(1) 解法 :(2)“ 偏” 微分方程 : ;3. 一阶线性 ( 重点 ):(1) 解法 ( 积分因子法 ):(2) 变化 : ;(3) 推广 : 伯努利 ( 数一 )4. 齐次方程 :(1) 解法 :(2) 特例 :5. 全微分方程 ( 数一 ): 且6. 一阶差分方程 ( 数三 ):三 . 二阶降阶方程1. :2. : 令3. : 令四 . 高阶线性方程 :1. 通解结构 :(1) 齐次解 :(2) 非齐次特解 :2. 常系数方程 :(1) 特征方程与特征根 :(2) 非齐次特解形式确定 : 待定系数 ; ( 附 : 的算子法 )(3) 由已知解反求方程 .3. 欧拉方程 ( 数一 ): , 令五 . 应用 ( 注意初始条件 ):1. 几何应用 ( 斜率 , 弧长 , 曲率 , 面积 , 体积 );注 : 切线和法线的截距2. 积分等式变方程 ( 含变限积分 );可设3. 导数定义立方程 :含双变量条件的方程4. 变化率 ( 速度 )5.6. 路径无关得方程 ( 数一 ):7. 级数与方程 :(1) 幂级数求和 ; (2) 方程的幂级数解法 :8. 弹性问题 ( 数三 )第五讲 : 多元微分与二重积分一 . 二元微分学概念1. 极限 , 连续 , 单变量连续 , 偏导 , 全微分 , 偏导连续 ( 必要条件与充分条件 ),(1)(2)(3) ( 判别可微性 )注 : 点处的偏导数与全微分的极限定义 :2. 特例 :(1) : 点处可导不连续 ;(2) : 点处连续可导不可微 ;二 . 偏导数与全微分的计算 :1. 显函数一 , 二阶偏导 :注 : (1) 型 ; (2) ; (3) 含变限积分2. 复合函数的一 , 二阶偏导 ( 重点 ):熟练掌握记号的准确使用3. 隐函数 ( 由方程或方程组确定 ):(1) 形式 : * ; * ( 存在定理 )(2) 微分法 ( 熟练掌握一阶微分的形式不变性 ): ( 要求 : 二阶导 )(3) 注 : 与的及时代入(4) 会变换方程 .三 . 二元极值 ( 定义 ?);1. 二元极值 ( 显式或隐式 ):(1) 必要条件 ( 驻点 );(2) 充分条件 ( 判别 )2. 条件极值 ( 拉格朗日乘数法 ) ( 注 : 应用 )(1) 目标函数与约束条件 : , ( 或 : 多条件 )(2) 求解步骤 : , 求驻点即可 .3. 有界闭域上最值 ( 重点 ).(1)(2) 实例 : 距离问题四 . 二重积分计算 :1. 概念与性质(“ 积” 前工作 ):(1) ,(2) 对称性 ( 熟练掌握 ): * 域轴对称 ; * 奇偶对称 ; * 字母轮换对称 ; * 重心坐标 ;(3)“ 分块” 积分 : * ; * 分片定义 ; * 奇偶2. 计算 ( 化二次积分 ):(1) 直角坐标与极坐标选择 ( 转换 ): 以“ ” 为主 ;(2) 交换积分次序 ( 熟练掌握 ).3. 极坐标使用 ( 转换 ):附 : ; ;双纽线4. 特例 :(1) 单变量 : 或(2) 利用重心求积分 : 要求 : 题型, 且已知的面积与重心5. 无界域上的反常二重积分 ( 数三 )五 : 一类积分的应用 ( ):1. “ 尺寸”: (1) ; (2) 曲面面积 ( 除柱体侧面 );2. 质量 , 重心 ( 形心 ), 转动惯量 ;3. 为三重积分 , 格林公式 , 曲面投影作准备 .第六讲 : 无穷级数 ( 数一 , 三 )一 . 级数概念1. 定义 : (1) , (2) ; (3) ( 如)注 : (1) ; (2) ( 或); (3)“ 伸缩” 级数 : 收敛收敛 .2. 性质 : (1) 收敛的必要条件 : ;(2) 加括号后发散 , 则原级数必发散 ( 交错级数的讨论 );(3) ;二 . 正项级数1. 正项级数 : (1) 定义 : ; (2) 特征 : ; (3) 收敛( 有界 )2. 标准级数 : (1) , (2) , (3)3. 审敛方法 : ( 注 : , )(1) 比较法 ( 原理 ): ( 估计 ), 如;(2) 比值与根值 : * * ( 应用 : 幂级数收敛半径计算 )三 . 交错级数 ( 含一般项 ): ( )1. “ 审” 前考察 : (1) (2) ; (3) 绝对 ( 条件 ) 收敛 ?注 : 若, 则发散2. 标准级数 : (1) ; (2) ; (3)3. 莱布尼兹审敛法 ( 收敛 ?)(1) 前提 : 发散 ; (2) 条件 : ; (3) 结论 : 条件收敛 .4. 补充方法 :(1) 加括号后发散 , 则原级数必发散 ; (2) .5. 注意事项 : 对比; ; ; 之间的敛散关系四 . 幂级数 :1. 常见形式 :(1) , (2) , (3)2. 阿贝尔定理 :(1) 结论 : 敛; 散(2) 注 : 当条件收敛时3. 收敛半径 , 区间 , 收敛域 ( 求和前的准备 )注 (1) 与同收敛半径(2) 与之间的转换4. 幂级数展开法 :(1) 前提 : 熟记公式 ( 双向 , 标明敛域 );;(2) 分解 : ( 注 : 中心移动 ) ( 特别 : )(3) 考察导函数 :(4) 考察原函数 :5. 幂级数求和法 ( 注 : * 先求收敛域 , * 变量替换 ):(1)(2) ,( 注意首项变化 )(3) ,(4) 的微分方程(5) 应用 : .6. 方程的幂级数解法7. 经济应用 ( 数三 ):(1) 复利 : ; (2) 现值 :五 . 傅里叶级数 ( 数一 ): ( )1. 傅氏级数 ( 三角级数 ):2. 充分条件 ( 收敛定理 ):(1) 由( 和函数 )(2)3. 系数公式 :4. 题型 : ( 注 : )(1) 且( 分段表示 )(2) 或(3) 正弦或余弦*(4) ( )*5.6. 附产品 :第七讲 : 向量 , 偏导应用与方向导 ( 数一 )一 . 向量基本运算1. ; ( 平行)2. ; ( 单位向量 ( 方向余弦 ) )3. ; ( 投影 : ; 垂直 : ; 夹角 : )4. ; ( 法向 : ; 面积 : )二 . 平面与直线1. 平面(1) 特征 ( 基本量 ):(2) 方程 ( 点法式 ):(3) 其它 : * 截距式; * 三点式2. 直线(1) 特征 ( 基本量 ):(2) 方程 ( 点向式 ):(3) 一般方程 ( 交面式 ):(4) 其它 : * 二点式 ; * 参数式 ;( 附 : 线段的参数表示 :)3. 实用方法 :(1) 平面束方程 :(2) 距离公式 : 如点到平面的距离(3) 对称问题 ;(4) 投影问题 .三 . 曲面与空间曲线 ( 准备 )1. 曲面(1) 形式: 或; ( 注 : 柱面)(2) 法向( 或) 2. 曲线(1) 形式, 或;(2) 切向 : ( 或)3. 应用(1) 交线 , 投影柱面与投影曲线 ;(2) 旋转面计算 : 参式曲线绕坐标轴旋转 ;(3) 锥面计算 .四 . 常用二次曲面1. 圆柱面 :2. 球面 :变形 : , ,,3. 锥面 :变形 : ,4. 抛物面 : ,变形 : ,5. 双曲面 :6. 马鞍面 : , 或五 . 偏导几何应用1. 曲面(1) 法向 : , 注 :(2) 切平面与法线 :2. 曲线(1) 切向 :(2) 切线与法平面3. 综合 : ,六 . 方向导与梯度 ( 重点 )1. 方向导 ( 方向斜率 ):(1) 定义 ( 条件 ):(2) 计算 ( 充分条件 : 可微 ):附 :(3) 附 :2. 梯度 ( 取得最大斜率值的方向 ) :(1) 计算 :;(2) 结论;取为最大变化率方向 ;为最大方向导数值 .第八讲 : 三重积分与线面积分 ( 数一 )一 . 三重积分 ( )1. 域的特征 ( 不涉及复杂空间域 ):(1) 对称性 ( 重点 ): 含 : 关于坐标面 ; 关于变量 ; 关于重心(2) 投影法 :(3) 截面法 :(4) 其它 : 长方体 , 四面体 , 椭球2. 的特征 :(1) 单变量, (2) , (3) , (4)3. 选择最适合方法 :(1)“ 积” 前 : * ; * 利用对称性 ( 重点 )(2) 截面法 ( 旋转体 ): ( 细腰或中空 , , )(3) 投影法 ( 直柱体 ):(4) 球坐标 ( 球或锥体 ): ,(5) 重心法 ( ):4. 应用问题 :(1) 同第一类积分 : 质量 , 质心 , 转动惯量 , 引力(2) 公式二 . 第一类线积分 ( )1. “ 积” 前准备 :(1) ; (2) 对称性 ; (3) 代入“ ” 表达式2. 计算公式 :3. 补充说明 :(1) 重心法 : ;(2) 与第二类互换 :4. 应用范围(1) 第一类积分(2) 柱体侧面积三 . 第一类面积分 ( )1. “ 积” 前工作 ( 重点 ):(1) ; ( 代入)(2) 对称性 ( 如 : 字母轮换 , 重心 )(3) 分片2. 计算公式 :(1)(2) 与第二类互换 :四 : 第二类曲线积分 (1): ( 其中有向 )1. 直接计算 : ,常见 (1) 水平线与垂直线 ; (2)2. Green 公式 :(1) ;(2) : * 换路径 ; * 围路径(3) ( 但内有奇点 ) ( 变形 )3. 推广 ( 路径无关性 ):(1) ( 微分方程 ) ( 道路变形原理 )(2) 与路径无关 ( 待定 ): 微分方程 .4. 应用功 ( 环流量 ): ( 有向, , ) 五 . 第二类曲面积分 :1. 定义 : , 或( 其中含侧 )2. 计算 :(1) 定向投影 ( 单项 ): , 其中( 特别 : 水平面 ); 注 : 垂直侧面 , 双层分隔(2) 合一投影 ( 多项 , 单层 ):(3) 化第一类 ( 不投影 ):3. 公式及其应用 :(1) 散度计算 :(2) 公式 : 封闭外侧 , 内无奇点(3) 注 : * 补充“ 盖” 平面 : ; * 封闭曲面变形( 含奇点 )4. 通量与积分 :( 有向, , )六 : 第二类曲线积分 (2):1. 参数式曲线: 直接计算 ( 代入 )注 (1) 当时 , 可任选路径 ; (2) 功 ( 环流量 ):2. Stokes 公式 : ( 要求 : 为交面式 ( 有向 ), 所张曲面含侧 )(1) 旋度计算 :(2) 交面式 ( 一般含平面 ) 封闭曲线 : 同侧法向或;(3)Stokes 公式 ( 选择 ):( ) 化为; ( ) 化为; ( ) 化为高数重点知识总结1、基本初等函数：反函数 (y=arctanx) ，对数函数 (y=lnx) ，幂函数 (y=x) ，指数函数 ( ) ，三角函数 (y=sinx) ，常数函数 (y=c)2、分段函数不是初等函数。