统计量及样本分布的数字特征
统计学第4章数据特征的描述
极差计算简单，但容易受到极端值的影响，不能全面 反映数据的离散程度。
四分位差
定义
四分位差是第三四分位数与第 一四分位数之差，用于反映中
间50%数据的离散程度。
计算方法
四分位差 = 第三四分位数 第一四分位数
优缺点
四分位差能够避免极端值的影 响，更稳健地反映数据的离散
程度，但计算相对复杂。
方差与标准差
统计学第4章数据特征 的描述
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REPORTING
• 数据特征描述概述 • 集中趋势的度量 • 离散程度的度量 • 偏态与峰态的度量 • 数据特征描述在统计分析中的应用 • 数据特征描述的注意事项
目录
PART 01
数据特征描述概述
REPORTING
WENKU DESIGN
数据特征描述在推断性统计中的应用
参数估计 假设检验 方差分析 相关与回归分析
基于样本数据特征，对总体参数进行估计，如点估计和区间估 计。
通过比较样本数据与理论分布或两组样本数据之间的差异，对 总体分布或总体参数进行假设检验。
研究不同因素对总体变异的影响程度，通过比较不同组间的差 异，分析因素对总体变异的贡献。
定义
方差是每个数据与全体数据平均数之方根，用于衡量数据的波动大小。
计算方法
方差 = Σ(xi - x̄)² / n，标准差 = √方差
优缺点
方差和标准差能够全面反映数据的离散程度，且计算相对简单，但容易受到极端值的影响。同时，方差 和标准差都是基于均值的度量，对于非对称分布的数据可能不够准确。
适用范围
适用于数值型数据，且数据之间可能 存在极端异常值的情况。
特点
中位数不受极端值影响，对于存在极 端异常值的数据集，中位数能够更好 地反映数据的集中趋势。
公务员试题 (3)
四、中位数•中位数例3-20 设有9个工人的月工资额（单位：元），按着顺序排列如下：605、615、618、620、625、628、640、650、660，则工人月工资额的中位数是若再加一个工人，其工资额为605，则工人月工资额的中位数为：Me=（XK +XK+1）/2=（ X5+X6）/2=622.5（元）2.由分组资料计算中位数2.有组矩数列确定中位数五、众数例3-22 某市1993年城市住户抽样调查资料如表，计算该城市住户家庭月收入的中位数六、算术平均数、中位数和众数的关系课堂作业1、某班40名学生统计学考试成绩分组资料如下：2. 2004年某月份某企业按工人劳动生产率高低分组的生产班组数和产量资料如下:3.某年某月份甲、乙两农贸市场某农产品价格及成交量、成交额的资料如下：第三章综合指标——标志变异指标一、标志变异指标意义⏹标志变异指标的含义：反映总体中各个单位标志值差异程度的统计指标⏹平均指标与变异指标变异指标的意义：衡量平均数代表性反映现象的均衡性二、标志变异指标的种类及计算极差（全距）、四分位差、平均差例3-26 某工厂车间90名生产工人月产量如表，求每个工人的平均产量和加权平均差■标准差和方差=例3-28 以例3-36例数据计算计算加权标准差例3-29 某车间四个生产小组的人数和平均日产量如表，计算全车间的人均产量和标准差。
■离散系数■标准差的运用第四章概率基础——随机变量及其分布一、随机变量•随机变量概念随机变量的分类二、离散型随机变量•概率分布概率分布性质分布函数分布函数性质几种常见的概率分布三、连续型随机变量•分布函数几种常见的概率分布•例4-15 若随机变量X服从区间[a，b]上的均匀分布，那么X落到[c，d]（其中，a≤c ＜d ≤b）的概率是什么？•例4-16 公共汽车每隔5分钟来一班，某人不知发车时间，他到达车站时刻是等可能的，求他等车时间不超过4分钟的概率例4-17 某计算机在发生故障前正常运行的时间X（单位：小时）是一个连续型随机变量，其分布密度f(x)=问这台计算机在发生故障前正常运转50-150小时的概率。
统计名词解释
名词解释：1，总体（population）：总体指根据研究目的所确定的同质的观察单位的全体。
更确切的说，它是同质的所有观察单位某种观察值的集合。
可分为有限总体和无限总体。
总体中只包含有限个观察单位者为有限总体，反之为无限总体。
2，样本（sample）：从总体中随机抽取部分观察单位的测量结果集合称为样本。
样本应具有可靠性和代表性。
样本的可靠性是指样本的确是来自同一总体，具有同质性；代表性是必须采用随机抽样方法从总体中获得的足够多的观察单位。
3，参数（parameter）：参数是用来表示总体分布特征的统计数字。
统计中常用的总体参数有描述总体分布中心位置或集中趋势的总体平均数指标；有描述总体离散度的总体变异指标。
4，统计量（statistic）：统计量是依据样本观察值推算出的反映样本分布特征（如样本平均数、样本变异等）的一些量。
5，误差（error）：观察值与真值之差称为误差。
误差分为过失误差、系统误差和随机误差三类。
6，抽样误差（sampling error）：抽样误差是随机误差中的一种，它是由抽样所至的样本统计量与总体参数间的差异。
抽样误差愈小，用样本推算总体的精确度就愈高，反之亦然。
7，正态分布（normal distribution）和标准正态分布（）：由密度曲线f(x) = （1/√2π）×(1/σ）×EXP[(-1/2)×(x-x0)^2/σ^2]确定的中间高、两边低、左右对称的连续随机变量的分布称为正态分布。
记为N(μ，σ2) ，其中μ为总体均数σ为总体标准差；把总体均数为0，把总体标准差为1的正态分布N（0，1）称为标准正态分布。
一般正态分布可以通过μ=（x-μ）/σ转化为标准正态分布。
8，抽样误差（sampling error）：在抽样研究中，由抽样所至的样本与总体参数间的差异称为抽样误差。
9，标准误（standard error）：标准误就是样本统计量的标准差，它反映了统计量间的变异程度，也间接的反映抽样误差的大小。
统计学知识点(完整)
基本统计方法第一章 概论1. 总体（Population ）：根据研究目的确定的同质对象的全体（集合）；样本（Sample ）：从总体中随机抽取的部分具有代表性的研究对象。
2. 参数（Parameter ）：反映总体特征的统计指标，如总体均数、标准差等，用希腊字母表示，是固定的常数；统计量（Statistic ）：反映样本特征的统计指标，如样本均数、标准差等，采用拉丁字字母表示，是在参数附近波动的随机变量。
3. 统计资料分类：定量（计量）资料、定性（计数）资料、等级资料。
第二章 计量资料统计描述1. 集中趋势：均数（算术、几何）、中位数、众数2. 离散趋势：极差、四分位间距（QR =P 75-P 25）、标准差（或方差）、变异系数（CV ）3. 正态分布特征：①X 轴上方关于X =μ对称的钟形曲线；②X =μ时，f(X)取得最大值；③有两个参数，位置参数μ和形态参数σ；④曲线下面积为1，区间μ±σ的面积为68.27%，区间μ±1.96σ的面积为95.00%，区间μ±2.58σ的面积为99.00%。
4. 医学参考值范围的制定方法：正态近似法：/2X u S α±；百分位数法：P 2.5-P 97.5。
第三章 总体均数估计和假设检验1. 抽样误差（Sampling Error ）：由个体变异产生、随机抽样造成的样本统计量与总体参数的差异。
抽样误差不可避免，产生的根本原因是生物个体的变异性。
2. 均数的标准误（Standard error of Mean, SEM ）：样本均数的标准差，计算公式：/X σσ=3. 降低抽样误差的途径有：①通过增加样本含量n ；②通过设计减少S 。
4. t 分布特征：①单峰分布，以0为中心，左右对称；②形态取决于自由度ν，ν越小，t 值越分散，t 分布的峰部越矮而尾部翘得越高；③当ν逼近∞,X S 逼近X σ, t 分布逼近u 分布，故标准正态分布是t 分布的特例。
新教材高中数学第六章统计4用样本估计总体数字特征4-1样本的数字特征4-2分层随机抽样的均值与方差4
2.计算一组n个数据的p分位数的一般步骤如下:
第一步,按照从小到大排列原始数据;
第二步,计算i=np;
第三步,若i不是整数,大于i的最小整数为j,则p分位数为第j项数据;若i是整
数,则p分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)50%分位数就是中位数.( √ )
i=1
2.分层随机抽样的方差
设样本中不同层的平均数分别为x1 , x2 ,…,xn ,方差分别为s12 , s22 ,…,sn2 ,相应的
n
权重分别为 w1,w2,…,wn,则这个样本的方差为 s2= ∑ wi[si2 +(xi − x)2],其中x为
i=1
这个样本的平均数.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
第六章
4.1 样本的数字特征
4.2 分层随机抽样的均值与方差
4.3 百分位数
课标要求
1.会求样本的平均数、中位数、众数、百分位数.
2.会求样本的极差、标准差与方差.
3.通过应用相关知识解决实际统计问题,培养数据分析的核心素养.
内
容
索
引
01
基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
03
Байду номын сангаас
学以致用•随堂检测全达标
5
5
5
=
42
.
5
2
2
2
2
2
2
2 1
又甲 =[(10-8) +(9-8) +(8-8) +(7-8) +(8-8) +(6-8) ]×6
第3讲_统计量及其性质
Sd = D(X)
变异系数
不同的随机变量有不同的特性， 例如量纲不同，这时仅由量值来 比较其性质就很不合理。因此， 这里定义如下的变异系数：
D(X) CV = E(X)
例如，中国正常青年男子，其身高 的均数为 170cm，标准差为6cm。 体重的均数为60kg ，标准差为 7kg。 经过计算，可得到关于身高 H 和体 重 W 的变异系数分别为：
2 2 2 2 1
2 2
分别为它们的样本方差，则有：
S σ F= ~ F(n1 − 1,n2 − 1) S σ
2 1 2 2 2 1 2 2
未知总体统计量的分布
现假设某种药物A经过试验其有效 率约为0.6，请问，是否同意审批 该药物上市？如果要完成审批， 申请者还需要怎样的数据支持？
注意到该药品的真实有效率未知， 从而依据观测样本计算得到的有效 率必然存在不确定性。为了正确的 决策需要度量观测数据（有效率） 波动的范围，即统计量的分布。
离散型的数学期望
设离散型随机变量 X 的分布律为：
P{ X = x k } = pk k = 1,2,...
如果级数
∑x p
k =1 k
∞
k
是一个有限值，则
∞
称该级数为 X 的数学期望，记作：
EX = ∑ xkpk
k =1
连续型的数学期望
设连续型随机变量 X 的概率密度 为f(x)，则当积分
EX = ∫ x ⋅ f(x)dx
的一组样本，则按照样本观测值 的大小排序可定义顺序统计量：
பைடு நூலகம்
t X = (x (1) , x (2),L, x (n) )
正确理解统计量
概率论与数理统计复习资料知识点总结
《概率论与数理统计》第一章 随机事件与概率1．事件的关系 φφ=Ω-⋃⊂AB A B A AB B A B A 2．运算规则 （1）BA AB A B B A =⋃=⋃（2）)()( )()(BC A C AB C B A C B A =⋃⋃=⋃⋃（3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ⋃⋃=⋃⋃=⋃ （4）B A AB B A B A ⋃==⋃3．概率)(A P 满足的三条公理及性质： （1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP（3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -=（6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤ （7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃（8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=⋃⋃ 4．古典概型：基本事件有限且等可能5．几何概率 6．条件概率（1） 定义：若0)(>B P ，则)()()|(B P AB P B A P =（2） 乘法公式：)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有 （3） 全概率公式： ∑==ni iiB A P B P A P 1)|()()(（4） Bayes 公式： ∑==ni iik k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =⇔ （注意独立性的应用）第二章 随机变量与概率分布1． 离散随机变量：取有限或可列个值，i i p x X P ==)(满足（1）0≥i p ，（2）∑iip=1（3）对任意R D ⊂，∑∈=∈Dx i ii pD X P :)(2． 连续随机变量：具有概率密度函数)(x f ，满足（1）1)(,0)(-=≥⎰+∞∞dx x f x f ；（2）⎰=≤≤badx x f b X a P )()(；（3）对任意R a ∈，0)(==a X P4． 分布函数 )()(x X P x F ≤=，具有以下性质（1）1)( ,0)(=+∞=-∞F F ；（2）单调非降；（3）右连续； （4）)()()(a F b F b X a P -=≤<，特别)(1)(a F a X P -=>； （5）对离散随机变量，∑≤=xx i ii px F :)(；（6）对连续随机变量，⎰∞-=xdt t f x F )()(为连续函数，且在)(x f 连续点上，)()('x f x F =5． 正态分布的概率计算 以)(x Φ记标准正态分布)1,0(N 的分布函数，则有 （1）5.0)0(=Φ；（2）)(1)(x x Φ-=-Φ；（3）若),(~2σμN X ，则)()(σμ-Φ=x x F ；（4）以αu 记标准正态分布)1,0(N 的上侧α分位数，则)(1)(αααu u X P Φ-==> 6． 随机变量的函数 )(X g Y =（1）离散时，求Y 的值，将相同的概率相加；（2）X 连续，)(x g 在X 的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则|))((|))(()('11y g y g f y f X Y --=，若不单调，先求分布函数，再求导。
数学统计分析
数学统计分析概述数学统计分析是一种通过收集、整理、分析和解释数据来推断和预测现象的方法。
它在各个领域中都得到了广泛应用，包括商业、科学、工程、社会科学等。
本文将介绍数学统计分析的基本概念、方法和应用。
一、基本概念1. 总体和样本在统计学中，总体是指研究对象的全体，而样本是从总体中选取出来的部分。
通过分析样本，我们可以对总体作出推断。
2. 统计量和参数统计量是通过对样本进行测量和计算得到的数值，代表了总体的某个特征。
参数是指总体的某个特征的真实值，我们通常通过样本统计量来估计参数。
3. 频数和概率频数是指某个事件或特征在样本中出现的次数，而概率是指某个事件或特征在总体中出现的可能性。
我们可以通过频数和概率来对总体的特征进行推断。
二、基本方法1. 描述统计描述统计是对数据进行整理、总结和呈现的过程。
包括计算数据的中心趋势（如均值、中位数）、离散程度（如标准差、方差）和分布形状（如直方图、箱线图）等。
2. 推论统计推论统计是通过样本对总体进行推断和预测的过程。
常用的推论方法包括假设检验和置信区间估计。
假设检验用于判断某个假设是否成立，而置信区间估计用于估计某个参数的范围。
三、应用领域1. 商业和经济在商业和经济领域，数学统计分析可以帮助企业进行市场调研、产品定价、销售预测等。
通过对历史数据的分析，可以揭示潜在的商业机会和风险。
2. 科学研究在科学研究中，数学统计分析被广泛应用于实验设计和数据分析。
研究人员可以通过对实验结果进行统计分析，验证科学假设并得出科学结论。
3. 社会科学在社会科学领域，数学统计分析可以帮助社会学家和心理学家研究社会行为和心理过程。
通过对调查数据的统计分析，可以揭示社会现象和个体行为之间的关系。
四、案例分析以一个案例来说明数学统计分析的应用。
假设一家电商公司想要提高客户的购买率，他们收集了一批客户的购买记录，并对数据进行了统计分析。
通过计算平均购买金额、购买频率等统计量，他们发现购买金额在特定的时间段和促销活动下呈现显著增长的趋势。
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T1～ N(6,22 2)0 5T ,2～ N(6,2 1 2)2 5
由2知 例 T 1T ： 2～ N (6 2 6,2 2 2 0 51 2)2 5
从而 T1 T2 ～N （0,1）
),Y～N(2
,
2 2
).X
,Y相互独立。
分别从总体X和总体Y中抽取样本X1, X2,, Xn1及
Y1,Y2,,Yn2 ,记样本均值分别X为和Y,
试讨论X Y (1 2) 满足什么样的分布 12 22
n1 n2
解：X1,X2,,Xn与Y1,Y2,,Yn相互独立X和 ， Y相 因互 此
独立， X～N 且 (1,n112)Y ,～N(2,n222)
1
25 20
25 12
58.24%
以即 上两 的次 概独 率立 为抽
样 的 平 。均 值 相 差
10 C
例 4：设X 总 ～ N体 (3,016 )从 , 总 X中 体抽取n容 的量 样为 本 要P 使 {X | 30|1}0.9,5问样本 n至 容少 量应取多
解：由于 P{|X30|1}P{1X301}
定义 1：设 X1,X2,,Xn是来自总 X的体样本x1， ,x2,,xn 是样本观测值g， (t1,t如 2,果 ,tn)为已知n元 的函数， g(X1,X2,,Xn)为样本函数，它 个也 随是 机一 变量 g(x1,x2,,xn)为样本函数的观测值。
如果样本 g(X函 1,X数 2,,Xn)中不含有任何未 知参数，则称函 这数 种为 样统 本计量。
从而有
XY～ N(12,n112n222)
所以
X Y (1 2)～N(0,1)
12 22
n1 n2
例3：某厂检验保温性 瓶能 的， 保在瓶水 中， 灌 24小时后测定其为 保T， 温若 温已 度 T～ 知 N（62,52）。 (1)随机地抽20取 只进行测定，其值 样T低 本于 均 600C 的概率有多大？ （2）若独立进行两测 次试 抽， 样各次分别 20只 抽和 取 12只，那么两个样值 本差 平的 均绝对值10C大的于概率 是多少？
例5：甲、乙两台机器生产同一种产品，标准长度为20cm，允许误 差为0.08cm，今从两台机器生产的产品中各抽取10件进行检测，得 到如下两组数据。
机器甲：20.06,20.02,19.96,19.98,20.01,20.05,19.94,20.04,19.95,19.99
机器乙：19.88,20.04,20.10,19.92,20.17,20.02,19.90,19.96,20.08,19.98
第三节 统计量及样本分布的数字特征
通过上一节可以知道：如果给出了样本观测 值，那么我们就可以通过直方图知道该总体的大 致概率密度函数图形。但我们在获得样本观测值 之后，还要根据统计推断问题的需要进行加工、 整理。实际工作中，往往是针对具体问题构造样 本的某种函数，通过它提取样本中与总体有关的 信息，以推断总体的某些特性。
解： 由 T～ N(6,5 22)及 n2得 0
T～ N(6,2 2)5即 ,T～ N(6,1 2.2)5 20
由例 1知T62～N(0,1) 1.12
所 P { T 以 6} 0 P { T 6 2 6 0 6} 2 ( 1 .7) 9 0 .03 1 .121 .12
由此可见，任 为2取 的 0 一 样容 本量 ，其保 均温 值温 低 600C的概率3.6约 7%。 为
2525 20 12
P{ T1 T2
1}1P1源自 25 25 20 12T1 T2 25 25 20 12
1
P
3 T1 T2 10 10
3
10
3
1 [ ( 3 ) ( 3 )]
10
10
2[1 ( 3 )] 2[1 (0 .548 )] 10
2 (1 0 .7088 ) 0 .5824
1 n
n i1
X
服从正态分布，
i
因为E(Xi ) ，D(Xi ) 2，所以
E(X ) 1 n
n
E(Xi ) , D(X )
i1
1 n2
n
2
D(Xi )
i1
n
故X～N(, 2 )
n
X的标准化随机变量 X 服从标准正态分布，即
n
X
～N（0,1）
n
例2：设X～N(1,12
1.样本均值（sample mean)
1 n
X n i1 X i
它的观测值x记n1为 in1 xi
例1：设总 X～ 体 N(,2),X1,X2,,Xn是来自总
X的样本，X 试 满判 足断 什么样的分布。
解：由于X1, X2,, Xn相互独立，Xi～N(, 2),
因此,
X1,
X 2 ,,
X n的线性函数X
2.样本方差(sample variance)
S2 1 n n1i1
2
Xi X
它的观测值为：
s2
1 n n1i1
(xi
2
x)
3.样本均方差或标准差
S
1n n1i1
Xi
2
X
它的观测值为：
s
s2
1n n1i1(xi
2
x)
样本均值反映总体X取值的平均，样本方差或 标准差反映总体X取值的离散程度。
P{1 4
nX43014
n}2(0.25n)1
n
要P 使 {X | 30|1}0.9,5即2有 （ 0.25n） 10.9,5
也 即 （ 0.25n） 0.97,查 5 标准正态 （ 分 1.9） 6布 0.9 表 7
由于 （x）单调增加，所0.以 25应 n有 1.96, 即n61.465,6因此，样本容量取 至为 6少2.应
解：由抽样的结果计算得：
x1 n
n i1
xi
1 (20.0619.99) 10
y1 n
n i1
yi
1 (19.8819.98) 10
s甲 2n1 1i n1(xix)29 1(2 ( .006 2)02 (1.999 2)02)0.001
例如： 设 (X1, X2, X3)是从正态总体 N (, 2 ) 中抽取 的一个样本，其中 为已知参数, 为未知参数，
则
1n(X1X2Xn) X12X22 Xn2
X1X23X3 X123X2X3 都是统计量
X1X2X32 X1X2X3 不是统计量
几个常用的统计量(样本分布的数字特征)
设 (X1,X2, ,Xn)是总体 X 的一个样本，