导数的加减法法则
高中数学知识点精讲精析 导数的加法与减法法则
4.1 导数的加法与减法法则1．如果函数u (x )、v (x )均为可导函数，则有[ u (x )±v (x ) ]ˊ= u ˊ(x ) ± v ˊ(x )2．导数的基本公式（1）幂函数、指数函数、和三角函数、双曲函数还是幂函数、指数函数、和三角函数、双曲函数。
这四类函数的导数仍是同类函数，而对数函数和反三角函数的导数是代数函数。
（2）正弦、正切、反正弦、反正切的导数带正号；余弦、余切、反余弦、反余切的导数带负号。
（3）正弦与正切的导数分别是余弦与正割的平方；余弦与余切的导数分别是正弦与余割的平方但要加负号。
（4）反正弦与反余弦的导数仅差一负号；反正切与反余切的导数也仅差一负号。
（5）双曲正弦、双曲余弦、双曲正切的导数带正号。
3．对求导公式作如下两点说明:(1) 求导公式})]([{'x f ϕ表示函数)]([x f ϕ对自变量x 的导数，即})]([{'x f ϕ=xx f d )]([d ϕ, (2) 求导公式)]([x f ϕ'表示函数)]([x f ϕ对函数)(x ϕ的导数，即)]([x f ϕ'=)(d )]([d x x f ϕϕ.1．已知函数),2()(31)(,2)1(31)(23+∞-=+-=在区间且x f kx x g x k x x f 上为增函数. （1）求k 的取值范围；（2）若函数)()(x g x f 与的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围.【解析】（1）由题意x k x x f )1()(2+-='………………因为),2()(+∞在区间x f 上为增函数所以),2(0)1()(2+∞≥+-='在x k x x f 上恒成立，……即2,1>≤+x x k 又恒成立所以1,21≤≤+k k 故……当k=1时，),2(1)1(2)(22+∞∈--=-='x x x x x f 在恒大于0，故),2()(+∞在x f 上单增，符合题意.所以k 的取值范围为k ≤1.………（2）设312)1(3)()()(23-++-=-=kx x k x x g x f x h )1)(()1()(2--=++-='x k x k x k x x h令10)(==='x k x x h 或得………由（1）知k ≤1，①当k=1时，)(,0)1()(2x h x x h ≥-='在R 上递增，显然不合题意…②当k<1时，x x h x h 随)(),('的变化情况如下表：……………………11分由于)()(,021x g x f k 与欲使>-图象有三个不同的交点， 即方程)()(x g x f =也即0)(=x h 有三个不同的实根故需0312623>-+-k k 即,0)22)(1(2<---k k k 所以,02212⎩⎨⎧>--<k k k 解得31-<k 综上，所求k 的范围为31-<k .……………………14分2．已知某质点的运动方程为32(),s t t bt ct d =+++下图是其运动轨迹的一部分，若1,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2()3s t d <恒成立，求d 的取值范围. 【解析】2()32s t t bt c '=++由图象可知，()s t 在t=1和t=3处取得极值则(1)0,(3)0s s ''==即320627609b c b b c c ++==-⎧⎧⇒⎨⎨++==⎩⎩ 2()31293(1)(3)1,121,4,()2s t t t t t s t '∴=-+=--⎡⎫'∈⎪⎢⎣⎭'∈'∈⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当t 时,s (t)>0当t (1,3)时,s (t)<0当t (3,4)时,s (t)>0则当t=1时,s(t)取得极大值4+d又s(4)=4+d故t 时的最大值为4+d. 221()3,423413s t d d dd d ⎡⎤<⎢⎥⎣⎦∴+<><-2max 已知在上恒成立s(t)<3d 即4解得或。
3.2.2 导数的运算法则
导数的求导法则
例题
1、求下列函数的导数 3 y x sin x 1）y=x -2x+3 2） 2 x 3）y (2 x 5x 1) e
x 4）y x 4
（1） y
log2 x （2） y 2e 3 2 y 2x 3x 4 （3） y 3cos x 4sin x ln x （ 4） y （ 6 ） y x ln x （ 5） x
x
2 y = x （7） +tanx
练习 1、求下列函数的导数
例题
2、（2013年高考大纲卷（文））已知曲线
4 2
y x ax 1在点 -1，a 2 处切线的
斜率为8，a=
3、（2013年高考北京卷（文））已知函数 2 f ( x) x x sin x cos x . (Ⅰ)若曲线 y f ( x) 在点 (a, f (a)) 处与直线 y b 相切,求 与 的值.
b
a
练习
1、（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知函数 ,曲线 处切线方程为 在点 .
(Ⅰ)求
a 与b 的值.
练习
2、（2013年高考福建卷（文））已知函数 ( , 为自然 对数的底数). 处 在点 (1)若曲线 的切线平行于 轴,求 的值;
例题
1.已知 f (x) =（x2+1）2+（x+1）2+1，则 f ′ (x) 等于( ) (A) 2（x2+1）+2（x+1） (B)（2x+1）2+22 (C) 2（2x+1）+2×2 (D) 4x3+6x+2 2.设 f (x) = (2x－1)(3－x)，则 f ′(0) =________.
高等数学中导数的四则运算1.加减：几个...
高等数学中导数的四则运算1.加减：几个...
高等数学中导数的四则运算
1. 加减：几个函数在加减之后求导数的结果等于，将这几个函数分别求导数之后再进行加减。
这样的话我们一些基本初等函数通过加减运算后组成的新的初等函数的求导问题就可以转化为基本初等函数的求导问题，而基本函数的导数我们在解题过程中是需要牢牢记住的。
2. 乘法：几个函数相乘后的结果函数的导数与这几个函数的导数的关系是通过莱布尼茨公式给出来的，这个公式呢其实也是比较容易记忆的。
其实，就是这几个函数我们依次对其中的一个求导、其他的不求导相乘之后、再乘以一个系数（Cnk），然后将这些项再加起来。
3. 除法：这个就比较复杂，但好在我们只研究两个函数相除的情况，那这种情况的求导结果就是（分子导*分母不导- 分子不导*分母导）/分母的平方。
导数四则运算的性质是我们进行初等函数求导运算简化的非常重要的依照准则，当时我们学习求极限的时候也有类似这样的极限的四则运算法则。
导数的四则运算法则
法二：∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′＝18x2＋4x－3.
题型二 由导数值求参数 [学透用活]
[典例 2] 设 f(x)＝a·ex＋bln x，且 f′(1)＝e，f′(－1)＝1e，求 a，b 的值． [解] f′(x)＝(a·ex)′＋(bln x)′＝a·ex＋bx，
法二：设直线 l 的方程为 y＝kx，切点为(x0，y0)，则 k＝xy00－－00＝x30＋xx00－16. 又∵k＝f′(x0)＝3x20＋1，∴x30＋xx00－16＝3x20＋1，解得 x0＝－2. ∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13. ∴直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
应 求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以 用 及涉及切线问题的综合应用
先求出函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方 方 程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再 法 根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至
关重要的作用
[对点练清]
1．若过函数f(x)＝ln x＋ax上的点P的切线与直线2x－y＝0平行，则实数a的取值
[对点练清] 求下列函数的导数： (1)y＝x2＋xln x；(2)y＝lnx2x； (3)y＝exx；(4)y＝(2x2－1)(3x＋1)．
解：(1)y′＝(x2＋xln x)′＝(x2)′＋(xln x)′
＝2x＋(x)′ln x＋x(ln x)′＝2x＋ln x＋x·1x＝2x＋ln x＋1.
()
3．已知函数 f(x)＝ax2＋c，且 f′(1)＝2，则 a 的值为
导数的运算法则及复合函数的导数
导数的运算法则及复合函数的导数导数是微积分中非常重要的概念，它描述了一个函数在其中一点的变化率。
在实际应用中，我们常常需要对函数进行一系列运算，包括加减乘除和复合函数等，了解导数的运算法则以及复合函数的导数可以帮助我们更好地进行运算和解决实际问题。
1.导数的运算法则：(1)和差法则：设函数f(x)和g(x)在区间I上可导，则它们的和、差的函数f(x)+g(x)和f(x)-g(x)在区间I上仍然可导，并且有如下的导数公式：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)(2)乘法法则：设函数f(x)和g(x)在区间I上可导，则它们的乘积函数f(x)g(x)在区间I上可导，并且有如下的导数公式：(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)(3)除法法则：设函数f(x)和g(x)在区间I上可导，并且g(x)≠0，则它们的商函数f(x)/g(x)在区间I上可导，并且有如下的导数公式：(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]²(4)常数法则：设c为常数，函数f(x)在区间I上可导，则常数函数cf(x)在区间I 上可导，并且有如下的导数公式：(cf(x))' = cf'(x)(5)幂函数法则：设函数f(x)=x^n在区间(x>0)上可导，则幂函数f(x)=x^k在区间(x>0)上可导，并且有如下的导数公式：(x^k)' = kx^(k-1)2.复合函数的导数：复合函数是指一个函数内部存在另一个函数，即一个函数的输入是另一个函数的输出。
在实际运算中，我们还需要计算复合函数的导数，可以利用链式法则来求解。
(1)链式法则：设函数y=f(u)，u=g(x)是由两个函数构成的复合函数，在函数f和g 满足一定的条件下dy/dx = dy/du * du/dx具体地，对于复合函数y=f(g(x))，先计算出f对u的导数df/du，再计算出g对x的导数dg/dx，最后将两个结果相乘即可得到复合函数对x的导数。
导数的四则运算法则
导数的四则运算法则导数的四则运算法则是微积分中常用的法则，它们描述了导数在加减乘除运算中的规律。
在微积分中，导数表示函数变化率的概念，它可以通过极限的方法计算得到。
四则运算法则包括加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。
1.加法法则：如果两个函数f(x)和g(x)都可导，则它们的和函数(f+g)(x)也可导，且有(d/dx)(f+g)(x) = f'(x) + g'(x)。
这个法则表明，两个函数的导数之和等于它们的和函数的导数。
2.减法法则：如果函数f(x)和g(x)都可导，则它们的差函数(f-g)(x)也可导，且有(d/dx)(f-g)(x) = f'(x) - g'(x)。
这个法则表明，两个函数的导数之差等于它们的差函数的导数。
3.乘法法则：如果函数f(x)和g(x)都可导，则它们的乘积函数(f*g)(x)也可导，且有(d/dx)(f*g)(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。
这个法则可以通过展开乘积并使用导数定义来证明。
它表示两个函数的导数之乘等于其中一个函数乘以另一个函数的导数再加上另一个函数乘以其中一个函数的导数。
4.除法法则：如果函数f(x)和g(x)都可导，并且g(x)不等于零，则它们的商函数(f/g)(x)也可导，且有(d/dx)(f/g)(x) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g^2(x)。
这个法则可以通过乘法法则和导数的倒数法则来证明。
它表示两个函数的导数之商等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子再除以分母的平方。
总结：导数的四则运算法则包括加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。
它们描述了导数在加减乘除运算中的规律。
利用这些法则，我们可以对函数进行导数计算，从而求解各种应用问题，如曲线的切线方程、最优化问题等。
这些法则是微积分中基础且重要的内容，值得深入学习和掌握。
导数的运算法则
导数的运算法则
，介绍求导数。
求导数是微积分中很重要的概念。
它体现了函数的变化状态，是物理学、工程学及数学等学科的重要基础。
求导数的目的是理解函数的变化性质和变化规律，为了增强我们的科学研究能力，推导出函数关系或现象规律。
对于求导数，遵循运算中的一般性质——对称性和结合性，这也使得我们从运算法则出发，求出性质所共有的作用力。
规律如下：
第一，对称性：如果f（x） = g（h（x）），则f′（x）= g′（h（x））*h′（x）。
第二，结合性：如果f（x） = f1（x）+f2（x），则f′（x）= f1′（x）+f2′（x）。
第三，乘法：如果f（x） = f1（x）*f2（x），则f′（x）= f1′（x）*f2（x）+ f2′（x）*f1（x）。
第四，链式法则：如果f（x） = g（h（x）），则f′（x）= g′（h（x））*h′（x），其中g′（h（x））表示g（h（x））对h（x）关于x的导数。
这些规律是求导数运算的基础，掌握它们可以帮助我们较为简单地求出函数的导数，并从而推导得出函数表达式。
举例来说，比如求解sin3x的导数，根据上面的链式法则，sin3x 的导数为3cos3x。
求导数也可以求得函数的变化率，即曲线的斜率。
变化率代表着函数的变化速率，可以提供关于函数变化趋势的重要信息。
总之，求导数可以理解函数变化规律，求得函数表达式，并获取函数变化率，是研究函数及推导物理模型的重要手段。
第二章 导数得加法与减法法则
§4 导数得四则运算法则4.1 导数得加法与减法法则[学习目标]1.理解导数得加法与减法法则得推导方法.2.掌握导数得加法与减法法则.3.会利用导数得加法与减法法则进行简单导数计算.[知识链接]利用导数得与(差)公式进行导数运算得前提条件就是什么？答 应用得前提条件就是:①必须就是有限个函数与(差)得形式;②其中每个函数得导数都存在且利用公式能容易求出.[预习导引]1.导数得加法与减法法则(1)符号语言①[f (x )＋g (x )]′＝f ′(x )＋g ′(x ).②[f (x )－g (x )]′＝f ′(x )－g ′(x ).(2)文字语言两个函数与(差)得导数等于这两个函数导数得与(差).2.两个函数与差得求导法则得推广(1)[af (x )±bg (x )]′＝af ′(x )±bg ′(x )(a ,b 为常数).(2)[f 1(x )±f 2(x )±f 3(x )±…±f n (x )]′＝f ′1(x )±f ′2(x )±f ′3(x )±…±f ′n (x ).要点一 直接利用法则求导数例1 求下列函数得导数:(1)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x ＋2x 2;(2)y ＝1＋sin x 2cos x 2;(3)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3; (4)y ＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1、 解 观察式子得特点,可以先化简再求导. (1)∵y ＝x ＋2＋2x ,∴y ′＝1－2x 2、(2)∵y ＝1＋sin x 2cos x 2＝1＋12sin x ,∴y ′＝12cos x 、(3)∵y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x 2,∴y ′＝3x 2－2x 3、 (4)∵y ＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＝－x ＋1x, ∴y ′＝(－x )′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－12 －12 ＝－12x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x 、 规律方法 对一个函数求导时,要紧扣导数运算法则,联系基本初等函数得导数公式,在不利于直接应用导数公式时,可适当运用代数、三角恒等变换手段,对函数进行化简,然后求导.这样可以减少运算量,优化解题过程. 跟踪演练1 求下列函数得导数:(1)y ＝15x 5－43x 3＋3x ＋2;(2)y ＝sin 4x 4＋cos 4x 4、解 (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 5－43x 3＋3x ＋2′ ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 5′－⎝ ⎛⎭⎪⎫43x 3′＋(3x )′＋(2)′＝x 4－4x 2＋3、 (2)∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x 4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ,∴y ′＝－14sin x 、要点二 求导法则得逆向应用例2 已知f ′(x )就是一次函数,x 2·f ′(x )－(2x －1)·f (x )＝1对一切x ∈R 恒成立,求f (x )得解析式.解 由f ′(x )为一次函数可知,f (x )为二次函数,设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0),则f ′(x )＝2ax ＋b ,把f (x ),f ′(x )代入关于x 得方程得x 2(2ax ＋b )－(2x －1)·(ax 2＋bx ＋c )＝1,即(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c －1＝0,又该方程对一切x ∈R 恒成立,所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝0b －2c ＝0c －1＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝2c ＝1所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1、规律方法 待定系数法就就是用设未知数得方法分析所要解决得问题,然后利用已知条件解出所设未知数,进而将问题解决.待定系数法常用来求函数解析式,特别就是已知具有某些特征得函数.跟踪演练2 设y ＝f (x )就是二次函数,方程f (x )＝0有两个相等得实根,且f ′(x )＝2x ＋1、求y ＝f (x )得函数表达式.解 ∵f ′(x )＝2x ＋1,∴f (x )＝x 2＋x ＋c (c 为常数),又∵方程f (x )＝0有两个相等得实根,即x 2＋x ＋c ＝0有两个相等得实根,Δ＝12－4c＝0,即c ＝14,∴f (x )得表达式为f (x )＝x 2＋x ＋14、要点三 导数得应用例3 已知函数f (x )＝x 3＋x ,求函数在点(2,10)处得切线方程.解 f ′(x )＝(x 3＋x )′＝(x 3)′＋(x )′＝3x 2＋1、∴f ′(2)＝3×22＋1＝13、∴所求切线得斜率就是13、∴切线方程为y －10＝13(x －2),即13x －y －16＝0、∴所求切线得方程就是13x －y －16＝0、规律方法 导数得几何意义就是曲线得切线得斜率,对较复杂函数得求导,可利用导数公式与运算法则.跟踪演练3 已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ,求曲线y ＝f (x )在x ＝π4处得切线方程. 解 ∵f ′(x )＝(sin x ＋cos x )′＝(sin x )′＋(cos x )′＝cos x －sin x ,∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos π4－sin π4＝0、 ∴曲线y ＝f (x )在x ＝π4处得切线斜率为0、又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2,∴所求切线方程为y ＝2、1.函数f (x )＝sin x ＋x 得导数就是( )A.f ′(x )＝cos x ＋1B.f ′(x )＝cos x －1C.f ′(x )＝－cos x ＋1D.f ′(x )＝－cos x ＋x答案 A2.曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1,－1)处得切线方程为( )A.y ＝3x －4B.y ＝－3x ＋2C.y ＝－4x ＋3D.y ＝4x －5答案 B解析 ∵y ′＝3x 2－6x , ∴曲线在点(1,－1)处得切线斜率为－3、∴切线方程为y ＝－3x ＋2、3.已知f ′(1)＝13,则函数g (x )＝f (x )＋x 在x ＝1处得导数为________.答案 14解析 g ′(x )＝f ′(x )＋1,∴g ′(1)＝f ′(1)＋1＝14、4.过原点作曲线y ＝e x 得切线,则切点坐标为________.答案 (1,e)解析 ∵(e x )′＝e x 、设切点坐标为(x 0,e x 0),则过该切点得切线斜率为e,令＝e e x 0－0x 0－0、即x 0·e x 0＝e ∴x 0＝1、∴切点坐标为(1,e).1.导数公式与导数得运算法则就是计算导数得重要工具.2.利用导数解决曲线得切线问题要分清所给点就是否就是切点.一、基础达标1.下列结论不正确得就是( )A.若y ＝3,则y ′＝0B.若f (x )＝3x ＋1,则f ′(1)＝3C.若y ＝－x ＋x ,则y ′＝－12x ＋1D.若y ＝sin x ＋cos x ,则y ′＝cos x ＋sin x答案 D解析利用求导公式与导数得加、减运算法则求解.D项,∵y＝sin x＋cos x,∴y′＝(sin x)′＋(cos x)′＝cos x－sin x、2.函数y＝x－(2x－1)2得导数就是()A.3－4xB.3＋4xC.5＋8xD.5－8x答案 D解析y＝x－(4x2－4x＋1)＝－4x2＋5x－1,y′＝－8x＋5、3.曲线f(x)＝x3＋x－2在P0点处得切线平行于直线y＝4x－1,则P0点得坐标为()A.(1,0)B.(2,8)C.(1,0)与(－1,－4)D.(2,8)与(－1,－4)答案 C解析∵f′(x0)＝3x20＋1＝4,∴x0＝±1、4.曲线f(x)＝x2＋bx＋c在点(1,2)处得切线与其平行直线bx＋y＋c＝0间得距离就是()A、24B、22C、322D、 2答案 C解析因为曲线过点(1,2),所以b＋c＝1,又f′(1)＝2＋b,由题意得2＋b＝－b,∴b＝－1,c＝2、所以所求得切线方程为y－2＝x－1,即x－y＋1＝0,故两平行直线x－y＋1＝0与x－y－2＝0得距离为d ＝|1＋2|2＝322、 5.过点P (－1,2)且与曲线f (x )＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处得切线平行得直线方程就是______________________________.答案 2x －y ＋4＝0解析 易求f ′(x )＝6x －4,f ′(1)＝2、∴所求直线得斜率k ＝2、则直线方程为y －2＝2(x ＋1),即2x －y ＋4＝0、6.某物体做直线运动,其运动规律就是s ＝t 2＋3t (t 得单位就是s,s 得单位就是m),则它在第4 s 末得瞬时速度应该为________________________.答案 71316 m/s解析 ∵s ′＝2t －3t 2,∴v ＝s ′(4)＝8－316＝71316 (m/s).7.已知函数f (x )＝2x ＋x 2－x ,求f ′(1),f ′(4).解 f ′(x )＝(2x ＋x 2－x )′＝(2x )′＋(x 2)′－x ′＝2x ln 2＋2x －1,∴f ′(1)＝2ln 2＋1,f ′(4)＝24·ln 2＋2×4－1＝16ln 2＋7、二、能力提升8.函数y ＝2x 2－x x ＋3x －2x得导数为( ) A 、x ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1x 2＋1 B 、x ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1x 2－1 C 、x ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1x 2＋1 D 、x ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1x 2－1答案 D解析∵y＝－x＋3－,＝3x＋1x x －1＝x⎝⎛⎭⎪⎫3＋1x2－1、9.设函数f(x)＝g(x)＋x2,曲线y＝g(x)在点(1,g(1))处得切线方程为y＝2x＋1,则曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处切线得斜率为()A.4B.－14 C.2 D.－12答案 A解析依题意得f′(x)＝g′(x)＋2x,f′(1)＝g′(1)＋2＝4、10.(2013·江西)设函数f(x)在(0,＋∞)内可导,且f(e x)＝x＋e x,则f′(1)＝________、答案 2解析令t＝e x,则x＝ln t,所以函数为f(t)＝ln t＋t,即f(x)＝ln x＋x,所以f′(x)＝1 x ＋1,即f′(1)＝11＋1＝2、11.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过点(1,1),且在点(2,－1)处与直线y＝x－3相切,求a、b、c得值.解因为y＝ax2＋bx＋c过点(1,1),所以a＋b＋c＝1、y′＝2ax＋b,曲线在点(2,－1)处得切线得斜率为4a＋b＝1、又曲线过点(2,－1),所以4a＋2b＋c＝－1、由⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝14a ＋b ＝14a ＋2b ＋c ＝－1 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b ＝－11c ＝9、所以a 、b 、c 得值分别为3、－11、9、12.已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b得图像在点M (－1,f (－1))处得切线方程为x ＋2y ＋5＝0、求函数y ＝f (x )得解析式.解 由M (－1,f (－1))在x ＋2y ＋5＝0上得－1＋2f (－1)＋5＝0,即f (－1)＝－2、即－a －61＋b＝－2,① 又f ′(x )＝a (x 2＋b )－2x (ax －6)(x 2＋b )2、由f ′(－1)＝－12得 a (1＋b )＋2(－a －6)(1＋b )2＝－12、② 由①②得a ＝2,b ＝3,∴函数f (x )得解析式为f (x )＝2x －6x 2＋3、三、探究与创新13.设函数f (x )＝ax －b x ,曲线y ＝f (x )在点(2,f (2))处得切线方程为7x －4y －12＝0、(1)求f (x )得解析式;(2)证明:曲线y ＝f (x )上任一点处得切线与直线x ＝0与直线y ＝x 所围成得三角形得面积为定值,并求此定值.(1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3、当x ＝2时,y ＝12,∴f (2)＝12,①又f ′(x )＝a ＋b x 2,∴f ′(2)＝74,②由①,②得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b 2＝12a ＋b 4＝74、解之得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝3、 故f (x )＝x －3x 、(2)证明 设P (x 0,y 0)为曲线上任一点,由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0,y 0)处得切线方程为y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0), 即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0). 令x ＝0得y ＝－6x 0,从而得切线与直线x ＝0得交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0－6x 0、 令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0,从而得切线与直线y ＝x 得交点坐标为(2x 0,2x 0).所以点P (x 0,y 0)处得切线与直线x ＝0,y ＝x 所围成得三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0||2x 0＝6、故曲线y＝f(x)上任一点处得切线与直线x＝0,y＝x所围成得三角形得面积为定值,此定值为6、。
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分析： 本题中，要求过已知点的切线方程，应求出切线
的斜率，而前面学习了导数的几何意义，导数即是切
线的斜率，所以只要求出函数在 x 1处的导数，即
可写出切线方程。
解答
解： 设 f (x) x3和 g(x) 1 ，
x
由函数差的求导法则 f (x) g(x) f (x) g(x)
6
x 2y
3 0
6
2. 若曲线 f (x) x4 x 在 P 处的切线平行于直
线 y 3x ，求 P 点坐标。 (1,0)
提示：导数等于切线斜率时，可求得P的坐标。
3. 已知 y ax3 3x2 2，它在 x 1处的切
线斜率是 4 ，求 a 值。 a 10
3
小结
＊ 求导的加减法法则： 两个函数和（差）的导数，等于这两个函数导
∴ x (x2 ) 1 2x ( x x2 )
( x x2 ) x (x2 )
所以 f (x) g(x) f (x) g(x) 同理 f (x) g(x) f (x) g(x)
概括
两个函数和（差）的导数，等于这两个函数导 数的和（差），即
f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x)
例1 求下列函数的导数：
（1） y x2 2x （2） y x ln x
分析
例2 求曲线 y x3 1 过点(1,0) 的切线方程。 x
分析
动手做一做
1. 求下列函数的导数：
y 2 2 33 x
(1) y 3 x2 2x (2) y 4x log3 x (3) y sin x ex
（4） (cos x) sin x
（5） (a x ) a x ln a (a 0, a 1)
（6） (loga
x)
1 x ln a
(a 0, a 1)
(ln x) 1 x
(ex ) ex 返回
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读书破万卷，下笔如有神--杜甫
及求导公式可得：
(x3
1 x
)
(x3
)
(
1 x
)
3x2
(
1 x2
)Байду номын сангаас
将x
1
代入上式得：
3
1
1
4
1
即 k切线 4
故所求切线方程为： y 0 4(x 1)
即 4x y 4 0 巩固练习
＊ 导数公式： （1） C 0 (C为常数) （2） (xn ) nxn1 (n R)
（3） (sin x) cos x
复习回顾
＊ 计算导数的步骤：
求导“三步曲”：求y
求 y x
求 lim y x0 x
＊ 导函数定义：
f (x) lim f (x x) f (x)
x0
x
f (x)是x 的函数，称之为 f (x) 的导函数，也简称导
数。
＊ 常用导数公式：
（1） C 0 (C为常数) （2） (xn ) nxn1 (n R) （3） (sin x) cos x （4） (cos x) sin x
y 4x ln 4 1 x ln 3
y cos x ex
(4) y x0.5 tan x
y 1 1 2 x cos2 x
2. 使得函数 y 2x3 6x 的导数等于0的 x 值有几
个？
两个，±1
例2
动手做一做
1. 求曲线 y cosx在 x 处的切线斜率和方
程。
k 1 2
f (x) 2x
g(x) 2x ln 2
导数公式
由函数和的求导法则
f (x) g(x) f (x) g(x)
可得：
(x2 2x ) 2x 2x ln 2
（2）由函数差的求导法则
f (x) g(x) f (x) g(x)
可得：
( x ln x) ( x ) (ln x) 1 1 2x x
？？
问题：
我们前面学习了求单个函数的导数的方法， 如果给出两个函数并已知它们的导数，如何求它 们的和、差、积、商的导数呢？
求 f (x) x x2 的导函数。
y (x x) (x x)2 x x2 x 2xx x2
y x 2xx x2
x
x
1 2x x
f (x) 1 2x
3. 求曲线 y x3 x 1在点(1,3) 处的切线方程。
结束
分析： 直接考查导数加减法的计算法则，基础题型，
需要熟悉运算法则：两函数和（差）的导数等于这 两个函数导数的和（差）。
f (x) g(x) f (x) g(x)
解答
解：
它们的导数分别
（1）设 f ( x) x2与 g( x) 2x ，则 是？依据是？
数的和（差），即
f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x) f (x) g(x)
课后练习
1. 求下列函数的导数：
(1) y 3x4 23x2 40x 10
(2) y
1
2 x
3 x2
4 x3
(3)y 1 x3 7x2 3 3x
2. 函数f (x) a4 5a2x2 x6 的导数是_______