导数的乘除法法则1
求导数的运算法则
求导数的运算法则1 求导数是在微积分中一个重要的概念，也是分析复杂函数的基本方法。
它的定义是求取某个函数在不同变量上的变化量。
求导数的运算法则是指如何将一个复杂的函数按照尽可能简单的方式用符号加减乘除来表示，以此来计算出对应复杂函数变化量的一些运算法则。
2 求对数符号指的是微积分中的偏导数，表示在微积分中函数的某个变量的偏导数的标记。
求导数的运算法则可以分为基本运算法则和高级运算法则。
基本运算法则是指在求偏导数时，可以将一个复杂函数拆分成更小的多项式函数，以此来简化原函数，然后利用基本求导法则求出变化量。
3 高级运算法则是指在求偏导数后，利用高级求导法则可以合并多项式函数，在较低程度上简化函数，以此来避免计算出现冗余或重复。
求导数的运算法则可以有助于我们更优雅、更流畅的求取某个函数的变化量，极大的减少计算量，大大提高工作效率。
4 求导数的运算法则也可以用来解决一些非线性系统及其求解的关系问题。
通常，采用求偏导数的方法，能够有效地解决非线性系统中的最优化问题，达到求解最优参数的目的，这种方法在工程设计上也有重要意义。
5 此外，求导数的运算法则也借助近几十年来电脑等计算机科技的快速发展，得到了新的应用。
在许多机器学习算法中，求解偏导值也是必然的一步，比如常用的梯度下降法。
通过不断地求解复杂函数的偏导数值，就可以获取最优解。
6 因此，求导数的运算法则对于我们实际的工作、学习等具有重要的意义，从理论上来讲，理解和运用求偏导数的工作有助于我们更深入地研究一些数学模型及函数，为一些工作中需要复杂函数和模型的解决方案提供可行性方案。
四则运算求导法则
四则运算求导法则四则运算求导法则是微积分中十分重要的一个概念，它是求导数的基础，也是后续复杂函数求导的基础之一。
在这篇文章中，我们将深入探讨四则运算的求导法则，帮助大家掌握这一重要概念。
首先，我们需要了解什么是导数。
导数是用来描述一个函数在某一点处的变化率的数值，它是函数在该点的切线斜率。
我们可以通过求导数的方法来求得某一点的导数。
四则运算包含了加、减、乘、除四个基本运算。
那么，如何求导呢？加法求导法则：两个函数的和的导数等于这两个函数的导数的和。
例如：f(x) = u(x) + v(x) ，则f'(x) = u'(x) + v'(x)。
减法求导法则：两个函数的差的导数等于这两个函数的导数的差。
例如：g(x) = u(x) - v(x)，则g'(x) = u'(x) - v'(x)。
乘法求导法则：两个函数的积的导数等于这两个函数分别求导后再相乘再加上另一个函数分别求导后再相乘的和。
例如：h(x) = u(x)v(x)，则h'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)。
除法求导法则：两个函数的商的导数等于被除函数的导数乘以除数减去除函数乘以被除数的导数后，再除以除数的平方。
例如：q(x) = u(x) / v(x)，则q'(x) = [u'(x)v(x) -u(x)v'(x)] / v(x)^2。
以上就是四则运算的求导法则，可以应用于各种函数的求导。
但需要注意的是：在进行四则运算时，要按照先乘除后加减的顺序进行，使得计算更加准确。
在实际应用中，我们可根据四则运算法则对函数进行逐层求导，以求出函数在某一点的导数和导函数。
导函数不仅可以帮助我们更好地理解函数的性质，还是后续求极值、凸凹性等问题的基础工具。
最后，再次强调：四则运算是微积分求导的基础，掌握好四则运算的求导法则，才能更好地掌握后续的高等数学知识，更好地理解微积分的精髓。
导数公式除法法则
导数公式除法法则
导数公式除法法则是求解函数导数的一种基本方法。
该法则指出，若函数$f(x)$和$g(x)$都可以求导，则它们的商函数
$[f(x)/g(x)]$的导数可以用以下公式表示：
$$frac{d}{dx}left[frac{f(x)}{g(x)}right]=frac{f'(x)g(x)-f(x
)g'(x)}{[g(x)]^2}$$
其中，$f'(x)$和$g'(x)$分别表示$f(x)$和$g(x)$的一阶导数。
该公式的推导可以用导数的定义式和乘积法则、链式法则进行证明。
在实际应用中，导数公式除法法则可以用于求解各种函数的导数，特别是涉及到分式函数的导数计算中。
需要注意的是，在使用该公式时，要遵循导数的基本规律和运算法则，如加法法则、乘法法则、链式法则等。
- 1 -。
导数基本运算法则
导数基本运算法则导数是微积分中的重要概念，用来描述函数在某一点的变化率。
导数的计算可以根据导数的基本运算法则进行简化和推导。
本文将介绍导数基本运算法则，并通过几个例子来说明其应用。
一、常数函数的导数我们来看一个简单的情况，即常数函数的导数。
对于一个常数函数f(x)=C，其中C为常数，其导数为0。
这是因为常数函数在任意一点的变化率都为0，即导数为常数0。
二、幂函数的导数接下来，我们来考虑幂函数的导数。
对于幂函数f(x)=x^n，其中n 为正整数，其导数为f'(x)=nx^(n-1)。
这是因为幂函数的导数可以通过指数法则和常数函数的导数来推导得到。
三、和差法则导数的和差法则指出，若函数f(x)和g(x)在某一点都有导数，则它们的和（差）函数在该点的导数等于f(x)和g(x)在该点的导数之和（差）。
即(f(x)±g(x))' = f'(x) ± g'(x)。
四、乘法法则导数的乘法法则指出，若函数f(x)和g(x)在某一点都有导数，则它们的乘积函数在该点的导数等于f(x)在该点的导数乘以g(x)加上g(x)在该点的导数乘以f(x)。
即(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
五、除法法则导数的除法法则指出，若函数f(x)和g(x)在某一点都有导数，并且g(x)在该点不为0，则它们的商函数在该点的导数等于f(x)在该点的导数乘以g(x)减去g(x)在该点的导数乘以f(x)，再除以g(x)的平方。
即(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]^2。
六、复合函数的导数导数的复合函数法则指出，若函数f(x)和g(x)在某一点都有导数，并且g(x)在该点的导数不为0，则复合函数h(x) = f(g(x))在该点的导数等于f'(g(x))乘以g'(x)。
5.2.2导数的四则运算法则
2 所以 f′(1)＝ae＝2，故 a＝ .
e
导数的运算法则的综合应用
x)(
x2 )
2x2 cos x 4x sin x
x4
2x cos
x x3
4 sin
x
.
导数的运算法则的综合应用
例 3：设 y＝f(x)是二次函数，方程 f(x)＝0 有两个相等的实根，且 f′(x)＝2x ＋1.
求 y＝f(x)的函数表达式．
解：因为 f′(x)＝2x＋1，所以 f(x)＝x2＋x＋c(c 为常数)，
解：( 1) y ′＝( 2x 3) ′ ＋( x 2) ′ －( x ) ′＋( 1) ′＝6x 2＋2x －1.
(2)y′＝(x4)′＋(cos x)′＝4x3－sin x.
(3)y′＝(ex)′＋(ln
x
)
′
＝ex
1 ＋
.
x
(4)y′＝(5x)′－(ln
x ) ′＝5x
ln
1 5－
.
x
1
(5)y′＝(lg x)′＋(sin x)′＝
导数的运算法则的综合应用
又点( 1，0) 在切线上，所以
3x02－2x03＝0，解得
x0＝0
或
3 x0＝
.
2
当 x0＝0 时，由直线 y＝0 与曲线 y＝ax2＋15 x－9 相切可得, 4
方程 ax2＋15 x－9＝0 有两个相等的实数根， 4
《4.2导数的乘法与除法法则》知识清单
《4.2导数的乘法与除法法则》知识清单一、学习这部分知识的目的咱们为啥要学习导数的乘法与除法法则呢？就好比你要计算一些复杂的变化关系的时候，光靠之前的知识可不够。
比如说，你在研究一个物理问题，物体的速度和它受到的力之间有某种乘积关系，或者是在经济领域，成本和产量之间有除法关系，而且它们都是在不断变化的，这时候导数的乘法和除法法则就能派上大用场啦。
就像我上次去超市，发现商品的总价和单价、数量之间的关系，当单价和数量都随着促销活动等因素变化时，就类似这种复杂的关系需要用特殊的法则来处理。
二、导数乘法法则（一）法则内容1、如果我们有两个函数，设为\（u(x)＼）和\（v(x)＼），那么它们乘积的导数\（（u(x)v(x)）＇＼）等于\（u'（x)v(x)＋u(x)v'（x)＼）。
这里的\（u'（x)＼）就是\（u(x)＼）的导数，＼（v'（x)＼）就是\（v(x)＼）的导数。
这个法则看起来有点复杂，不过咱们可以把它想象成是一种分配工作的方式。
比如说，＼（u(x)＼）和\（v(x)＼）是两个小伙伴一起完成一项任务，它们的乘积的变化率（也就是导数）就等于\（u(x)＼）自己的变化率乘以\（v(x)＼）（这就好像\（u(x)＼）变化的时候拉着\（v(x)＼）一起），再加上\（u(x)＼）乘以\（v(x)＼）自己的变化率（就像\（v(x)＼）变化的时候也影响着整体）。
例如，设\（u(x)＝x^2\），＼（v(x)＝＼sin x\）。
首先我们求\（u'（x)＼），根据求导公式\（（x^n)＇＝ nx^｛n 1}＼），＼（u'（x)＝2x\）；＼（v'（x)＝＼cos x\）。
那么\（（u(x)v(x)）＇＝（x^2\sin x)＇＝u'（x)v(x)＋u(x)v'（x)＝2x\sin x ＋ x^2\cos x\）。
（二）推导过程1、从导数的定义出发，＼（（u(x)v(x)）＇＼）等于\（＼lim\limits_{＼Delta x\rightarrow0}＼frac{u(x ＋＼Delta x)v(x+＼Deltax)u(x)v(x)｝｛＼Delta x}＼）。
导数的乘法与除法法则
4.下列求导数运算正确的是 ( B )
A.
x
1 x
1
1 x2
C. 3x 3x log3 e
B.
log2
x
x
1 ln
2
x2
2x cos x x2 sin x
D.
cos
x
cos x2
5.(2012·新课标全国卷)曲线y=x(3ln x+1)在点
（1,1）处的切线方程为__4_x___y___3___0_.
x)
f
(x0)
( x 0
x)2
x
2 0
f
(x0)
x
(x0
x)2
f
(x0
x) x
f
(x0)
(x0
x)2 x
x
2 0
f
(x0
).
令x
0,由于
lim (x
x0
0
x)2
x
2 0
,
lim
x0
f
(x0
x) x
f
(x0)
f
(x 0 ),
lim (x0
x0
x)2 x
x
2 0
2x0,
知 f (x)g(x) 在x2xf0(处x)的导数值为
进入本节课的学习！
1.了解两个函数的乘、除的求导公式.
2.会运用公式，求含有和、差、乘、除综合运算的函 数的导数.（重点） 3.函数和、差、乘、除导数公式的应用，运用导数的 几何意义，求过曲线上一点的切线.（难点）
探究点1 导数乘法公式的推导应用
设函数y f (x)在x0处的导数为f (x0),g(x) x2. 我们来求y f (x)g(x) x2f (x)在x0处的导数.
导数的四则运算法则(3)
★课题★导数的四则运算法则(3)编写人尚兴琴班级姓名组别学习目标1.了解两个函数的和、差、积和商的导数法则，会运用上述法则求一些函数的导数；2.能运用导数的几何意义,求过曲线上一点的切线.预习案1.导数的加减法运算法则：(1) []='±)()(xgxf；(2) []='+cxf)(；2.导数的乘除法运算法则：(1) []=')()(xgxf；(2) ='⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(xgxf；(3) []=')(xkf .3.计算下列函数的导数：（1）xxxf=)(（2）10)(2345-+-+-=xxxxxxf（3）()sinf x x x= (4)xy1=·xcos4. 求曲线83-+=xxy在2=x处的切线方程.探究案1.求下列函数的导数：(1))sinln(2xxxy+= (2)3-cosxxxy=(3)xxxxy sin)ln－(cos= (4)y=xxxxxlncos12+++2. 求曲线112+-=xxy在1=x处的切线方程.3. 求曲线23-+=xxy的一条与直线14-=xy平行的切线方程.4. 若直线kx y =与曲线x x x y 2323+-=相切,求k 的值.训练案 1. 函数()x f x xe =的导数是（ ）A. '()(1)x f x x e =+B. '()x f x xe =C. '()x f x e =D. '()2x f x xe = 2. 3x y x =+的导数是（ ） A. 22(3)x x + B. 63x x + C. 23(3)x + D. 23(3)x x + 3. cos y x x =在3x π=处的导数值是 .4. 函数()1f x nx =的图像在点(,())e f e 处的切线方程是 .5. 求下列函数的导函数：（1）x x y sin 2= ; （2）11;1y x x x =--- （3）x x x y cos sin 2+=. 6. 若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，求l 的方程.7.已知曲线12-=x y 与31x y +=在0x x =处的切线互相垂直,求0x 的值.8.已知函数x ax x f ln )(2+=)(R a ∈,设曲线)(x f y =在点())(,1x f 处的切线为l ,若l 与圆C ：4122=+y x 相切,求a 的值.。
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法则：
f ( x ) g ( x )
f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
f ( x) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) g ( x) 2 g ( x)
解： （1）可设
f ( x ) x , g ( x ) ln x sin x
f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
前面学习了导数的加法减法运算法则，下面来研
究两个函数积、商的导数求法： 引例： 设
[ f ( x ) g ( x )] 是可导的，求 f ( x)、g ( x)
g ( x ) 之间的联系， 我们观察 f ( x ) g ( x ) 与 f ( x ) 、
从定义式中，能否变换出 f ( x ) 和 g ( x ) ？？
一般地，若两个函数 f ( x)和 g ( x )可导， 则： 两个函数的积的导数，等于第一个函数 的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘 以第二个函数的导数
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x).
f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
x 2 x 2 x
( x e ) 2 xe x e ( 2 x x )e
（2）由导数的乘法法则
f ( x ) g ( x )
可得：
f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
2 3 k y 3 6
2 3 2 y( )x 3 6 18
解：
（1）设
f ( x ) x , g ( x ) e ，可知
2 x
x f ( x ) 2 x, g ( x ) e
由导数的乘法法则：
f ( x ) g ( x )
可得：
2 x
特别地
kf ( x) kf ( x)
5
[ f ( x) g ( x)] f ( x) g ( x) f ( x) g ( x).
例1 求下列函数的导数：
(1) y x e ;
2 x
( 2) y x sin x ; ( 3) y x ln x
解析
两个函数的商的导数，等于分子的
导数与分母的积，减去分母的导数与 分子的积，再除以分母的平方,即：
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) [ ] 2 g ( x) g ( x)
其中 g ( x) 0
16:37:43 7
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) [ ] 2 g ( x) g ( x)
（2）由导数的除法运算法则可得：
2 1 2 x ln x x 2 x x( 2 ln x 1) x 2 2 ln x (ln x ) ln x
练习
分析：
无论题目中所给的式子多么复杂，但是求导的实
质不会改变，求函数积（商）的导数时，都满足运算
f ( x ) cos x, g ( x ) 1
由导数的除法运算法则
f ( x) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) g ( x) 2 g ( x)
可得
sin x cos x x sin x 1 x cos x sin x 2 2 x x x
知识回顾 导数公式表（其中三角函数的自变量单位是弧度）
函数 y c(c是常数）
y x (为实数）
y a x (a 0, a 1)
导函数
y 0
y x 1
y a x ln a
ye
x
y e x
y 1 x ln a 1 y x
y log a x (a 0, a 1)
2
1 则有：f ( x ) 2 x , g ( x ) cos x x
根据导数的乘法法则，得：
x (ln x sin x)
2
1 2 x(ln x sin x ) x ( cos x ) x 2 x 2 x ln x 2 x sin x x cos x
2. 求曲线 y x( 2 x 3 ) 2 在 (1,9) 处的切线方程。
k y . 计算下列函数的导数：
x (1) y 1 cos x
1 cos x x sin x y (1 cos x)2
3x2 4x x 1 x 1 y ( 2) y 2 2 2 2 x ( x 1 ) x 1 x x e 1 2 e ( 3) y x y x e 1 (e 1) 2 x 2. 求曲线 y 在 x 处的切线方程。 sin x 3
例3 求下列函数的导数：
2
f ( x) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) g ( x) g 2 ( x)
cos x x (1) y x (ln x sin x ) ; ( 2) y 2 x
2ln x 1 (3) y 2 x
2
本题也可以展开括号再用导数的加减和乘法法则计算。
（2）由导数的除法法则，可得：
cos x x x2 (cos x x ) x 2 (cos x x ) 2 x 2 2 (x ) ( sin x 1) x 2 x cos x 2 x 4 x x sin x 2 cos x x 3 x
sin x 2 x
( x sin x ) ( x ) sin x x (sin x )
（3）由导数的乘法法则可得：
x cos x
1 ( x ln x ) ( x ) ln x x(ln x ) 1 ln x x ln x 1 x
例2
解： （1）设 f ( x ) sin x, g ( x ) x ，则可知
×
例如，f ( x ) x , g ( x ) x ，通过计算可知
f ( x ) g ( x )
f ( x ) g ( x )
f ( x) f ( x ) g ( x ) g ( x )
f ( x ) g ( x )
f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
结束
1. 计算下列函数的导数：
(1) y ( 2 x 3)( 3 x 1)
2
y 18 x 2 4 x 9
( 2) y ( x 2) 2 x x ( 3) y x sin cos 2 2
2 y 1 x
1 y 1 cos x 2 本题也可以用公式变形再用导数的加减法法则计算。
例4 求曲线 处的切线方程
解析
2ln x 1 y 2 x
上点（1,1）
小结
＊ 导数的乘除法法则：
f ( x ) g ( x )
f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x )
kf ( x) kf ( x)
f ( x) f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) g ( x) 2 g ( x)
7 可求得 f (1) ， 4
则曲线 f ( x ) 方程为：
1 x 1 x
2 ln x 过点 (1,0) 的切线
x
7 y ( x 1) 4
即： 7 x 4 y 7 0 练习
y ln x
y sin x
Title
y cos x
y sin x
y 1 cos2 x
1 sin 2 x
y cos x
y tan x
y cot x
y
知识回顾
＊ 求导的加减法法则： 两个函数和（差）的导数，等于这两个函数导 数的和（差），即
f ( x ) g ( x ) f ( x) g ( x )
例2 求下列函数的导数：
sin x x2 (1) y ; ( 2) y x ln x
解析
思考：下列式子是否成立？？试举例说明。
f ( x ) g ( x ) f ( x ) g ( x ) ×
3 2
f ( x) f ( x ) g ( x ) g ( x )
2 2
例4
分析： 要求切线方程，先求斜率，即导数。 解： 由求导运算法则可知：
f ( x ) 1 2 x (1 x ) (1 x ) (1 x ) 2 1
x
1 2 x ( 2 x ln 2) ln x 2 x
x x
2 2 ln 2 ln x x x (1 x ) 2