第2章 参数估计

, 未知，分别求 , 的矩估计.
, 2 . 解： 母体有 2 个未知参数
①母体的 1、2 阶矩： 1 E( X ) ,
2 E( X 2 ) D( X ) E 2 ( X ) 2 2 .
②子样的 1、2 阶矩： 1 n A1 X i X , n i 1

估计量是随机变量，估计值是常数，有时 统称为 i 的估计.
点估计
{
矩法 极大似然估计法
§1
1.2 矩法
点估计和估计量的求法
（1）矩估计的方法： ①求母体的 l 阶矩
x l f ( x; , ,, )dx, 对 连 续 型 母 体 X 1 2 k l l E ( X ) .l xi p ( xi ;1 , 2 ,, k ), 对 离 散 型 母 体 X i 1
1
类似可求得：D( X ) 2
§1
点估计和估计量的求法
X ,S 2 ②子样均值与子样方差：
E( X ) X 令： ③ D( X ) S 2 2
解 得： X
2
，
S2 X S2
§1
点估计和估计量的求法
i 1
n
§1
点估计和估计量的求法
n
④求 ln L( )的最大值点（此即 L( ) 的最大值点）
d ln L( ) 1 [( x i ) 1 ] i 1 令 d i 1
n
xi
n0
1 n xi x . n i 1
此为 的最大似然估计值； 的最大似然估计量 为 X .
应用统计学
目录
CH1
抽样与抽样分布 参数估计 假设检验 方差分析、正交试验设计 回归分析
CH2
CH3
CH4
CH5
第二章 参数估计
本章问题
母体的分布形式已知，但其中含有 未知参数，参数估计就是要借助子样值 去估计未知参数。
第二章 参数估计
§1. §2 §3 点估计和估计量的求法 估计量的好坏标准 区间估计
即：当 n 充分大时， Al 几乎必然与 l 充分 接近，因此，以 Al 去估计 l 的矩估计方法是合 理的 .
§1
1.3
点估计和估计量的求法
最大似然估计法
引例：有一大批产品，废品率为 p ( 0 p 1 ) 未 知, 现从中任取 100 件产品， 其中有 10 件废品， 试估计未知参数 p.
1 n 2 A2 Xi n i 1
§1
点估计和估计量的求法
2
解： 母体有 2 个未知参数 , .
X 1 A1 令： ，即： 2 1 n 2 ， 2 ③ 2 A2 n X i i 1
X 解得： 2 1 n 2 2 2 Xi X S n i 1
§1
1.1
点估计和估计量的求法
何谓参数估计
（1）参数：指母体分布中的未知参数. （2）参数估计：借助子样值对母体参数做出 估计.
①若用子样的一个函数 ( x1 , x2 ,, xn ) 去估计某 个未知参数的值，则称 是这个参数的点估计 ．．． （一种定值估计）.



§1
点估计和估计量的求法

§1
点估计和估计量的求法
当 子 样 有 观 测 值 x1 , x2 ,, xn 时 ， 估 计 量 gi ( X1 , X 2 ,, X n ) 有观测值 gi ( x1 , x2 ,, xn ) ， 称为 i 的一个估计值，记为 i gi ( x1 , x2 ,, xn ) .
α > 0 , β > 0 ，未知，这时称 X
,
服从参数为 ,
的 分布，求 , 的矩估计.
§1
点估计和估计量的求法
1
注：当 1, 时， 分布的密度函数化为
x 1 e ,x 0 f ( x) 0, x 0
——指数分布
n 当 2 , 2 时，
P{ X x i } p{ x i ; }
i 1 n
n
i 1
称为似然函数. 再求出使关于 的函数 L( ) 取 得最大值的 作为未知参数 的最大似然估计.
§1
点估计和估计量的求法
例 2.1.5 设 X ~ P( ) ， 未知，求 的最大似然 估计 解： 解：

§1
点估计和估计量的求法
例 2.1.1 X ~ U( 0, ) ， 0， 未知， 的矩估计. 求
解： 母体有 1 个未知参数 ①母体的 1 阶矩： 1 E( X ) 2 1 n ②子样的 1 阶矩： A1 n i1X i X ③令 1 A1 ： 即 2
n 的 2 分布是自由度为
分布。
§1
点估计和估计量的求法
解：母体有 2 个未知参数 , ，由上题结论 ①母体均值与母体方差：
x E ( X ) xf ( x )dx 0 x e dx ( )
令 x y

1 ( 1 ) 1 y 1 1 e dy ( 1) 0 y ( ) ( )
S2 p 1 E( X ) Np X X ，解得： 2 D( X ) Np( 1 p ) S 2 X N X S 2
§1
点估计和估计量的求法
例 2.1.4 设母体 X 有分布密度
1 x x e , x0 f ( x) ( ) 0, x0
注： 结果表明， 母体均值与方差的矩估计量的表 达式不受母体分布的影响， 分别是子样均值、 子 样方差.
§1
点估计和估计量的求法
2
特别，当母体 X ~ N ( , ) ， , 未知时
2
有：

X， 2

S2 ；
又当母体 X ~ B( N , p ) ， N , p 未知时有：
（2）矩估计的理论依据： 设 X1 , X 2 ,, X n 为母体 X 的一个子样，则 X1 , X 2 ,, X n 相互独立且均与母体 X 有相同分 l l l X 1 , X 2 ,, X n 相互独立且均与 X l 有相 布，从而 同分布，由辛钦大数定律知： 1 n l P l Al X i E( X ) l , ( 当n ) n i 1
§1
点估计和估计量的求法
（2）求法： 离散型设母体 X 的分布律为 P( X x ) p( x; ), 其中 p( x; ) 的函数形式已知，但 未知。若子样
X1 , X 2 ,, X n 有观测值 x1 , x2 ,, xn ， 则已发生的
事件 A {X1 x1, X 2 x2 ,, X n xn } 的概率 L( ) P{ X 1 x1 , X 2 x2 ,, X n xn }


②若用子样的两个函数 i i ( x1 , x2 ,, xn ),( i 1,2 ) 去估计某个未知参数所在的区间，则称 ( 1 ,2 ) 是 这个参数的区间估计（设1 2 ）. ．．．．

（3）参数的点估计：
设母体 X 的分布函数为 F( x;1 ,2 ,,k ) ， 形 ( 式已知， 1 ,2 ,,k 是 k 个未知参数， X1 , X 2 ,, X n ) 是来自母体 X 的子样。构造适当的统计量 gi ( X1 , X 2 ,, X n ) 去估计 i . 称 gi ( X1 , X 2 ,, X n ) 为 θi 的 估计量，记为 i g i ( X 1 , X 2 , , X n ),( i 1求法
连续型： 设母体 X 的分布密度为 f ( x ; ), 其中 f ( x; ) 的函数形式已知，但参数 未知。子样
X1 , X 2 ,, X n 有观测值 x1 , x2 ,, xn ，则似然函数
取为 L( ) i1 f ( xi ; ) ，再求使 L( ) 取得最大值的
L( p ) P{ X 1 x1 , X 2 x2 ,, X 100 x100 }
P{ X xi }
i 1
100
p xi (1 p)1 xi
i 1
100
p i1 (1 p)
xi
100
100
xi
i 1
100
p10 ( 1 p )90

X

，解得
2X

_ _
§1
点估计和估计量的求法
0 x 1 其它
，
例 2.1.2 X 有分布密度, 0 未知,求 的矩估计.
( 1 ) x f( x) 0 解：①母体的 1 阶矩：
1 E ( X )
xf (
x )dx
1 0 x(

此估计值称为未知参数 p 的最大似然估计值.
§1
点估计和估计量的求法
（1）基本思想： 若子样 X1 , X 2 ,, X n 的观测值为 x1 , x2 ,, xn ， 则意味着在试验中事件
A {X1 x1 , X 2 x2 ,, X n xn }
已经发生了. 该事件的概率与母体的未知参数有关， 故未 知参数估计值的选取理应使已经发生的这一事 件的概率 P ( A) 达到最大.这样选取的估计值称为 未知参数的最大似然估计值； 相应的估计量称为 未知参数的最大似然估计量.
P{ X x} e , x 0,1,2 ①母体 X 的分布律为 x!
x
②似然函数 L( ) P{ X x i }