2011级高数第九章多元函数微分法及其应用
第9章 多元函数微分法及其应用(题库)答案
C ）.
x 1 y 1 z 1 1 2 3
第 9 章 多元函数微分法及其应用（题库）答案
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C.
x 1 y 1 z 1 1 2 3
D.
x 1 y 2 z 3 1 1 1
C ）.
28.（8-6）曲面 xyz 6 在点 1, 2,3 处的切平面方程是（ A. 6 x 3 y 2 y 1 0 C. 6 x 3 y 2 z 18 0
t
22.（8-4）设 z uv sin t ，而 u e ， v cos t ，求 解：
dz z du z dv z vet u sin t cos t et cos t sin t cos t . dt u dt v dt t
2 2
B.
x 2 y 1 ＝＝ 4 2
z4 －1
D. 2 x y 4 z 6 0 C ）.
31.（8-6）旋转抛物面 z x y 1 在点 2,1, 4 处法线方程为（ A. 4 x 2 2 y 1 z 4 0 C. B.
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dz . dt
第 9 章 多元函数微分法及其应用（题库）答案
23.（8-5）已知方程 x y 1 0 在点 0,1 的某邻域内能唯一确定一个单值可导且 x 0
2 2
时
y 1 的隐函数 y f x ，求这函数的一阶导数在 x 0 的值
z . x
z 2x 3y x
2
z x
2
x 1 y 2
2 1 3 2 8 .
z . y
《高等数学》(同济六版)教学课件★第9章.多元函数微分法及其应用(1)
例如, f ( x, y )
4
x2 y 2 2 2 xy 2 , x y 0 2 x y 0, x2 y 2 0
2 2 4
x 4x y y 2 2 y , x y 0 2 2 2 f x ( x, y ) (x y ) 0, x2 y2 0 x4 4x2 y 2 y 4 2 2 x , x y 0 2 2 2 f y ( x, y ) (x y ) 0, x2 y2 0 y f x (0, y ) f x (0, 0) lim 1 f x y (0,0) lim y 0 y y 0 y f y ( x, 0) f y (0, 0) x 1 lim f y x (0,0) lim x 0 x x 0 x
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r2
定理. 若 f x y ( x,y) 和 f y x ( x,y) 都在点 ( x0 , y0 ) 连续, 则
f x y ( x0 , y0 ) f y Байду номын сангаас ( x0 , y0 )
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.
(证明略)
例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有
x 0 y 0
0
得
x 0 y 0
lim f ( x x, y y ) f ( x, y )
即 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微
z f ( x x, y y) f ( x , y ) 函数在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
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第9章多元函数微分法及其应用近年试题.
0809 B一、填空题（每小题3分，共18分）2、设z=ln（xy）,则其全微分dz=1 1dx dyx yC …A y • 2x , _ …,一3、函数u =1------- 的所有间断点是y2 -2x2{( x, y)| y =2x, x R, y R}、选择题（每小题3分，共15分）1、f (x, y) = 2xy 2 ,则极限lim f (x, y) = ( A ) x y x0x yy「0（A）不存在(B) 1 (C) 2 (D)0A当点P（x,y）沿曲y =kx趋向(0,0)时,m f(x,y)叩0 y zkxkx2x2 k2x2k ....................显然，当k取值不同是，极限也不相同。
1 k所以（x,y m0,0）说y不存在•2 32、在曲线x=t,y =—t ,z = t所有切线中，与平面x + 3y+3z = 4平行的切线（A ）（A）只有一条；（B）只有两条；（C）至少有3条；（D）不存在曲线的切向量T =(5'(t),5’(t), »(t))=(1,—2t,3t2),平面的法向量n = (1,3,3)9 9 9 1 1 ...............(1 -2t,3t2) (1,3,3) =1—6t +9t2 =0 ,(3t —1)2 = 0,彳#t =一.所以只有一条切线满足条件.3、点（0,0诞函数2=乂丫的（B ）（A）极值点；（B）.驻点但不是极值点；（C）是极值点但不是驻点；（D）以上都不对分析：令zx=y=0, zy=x = 0，得（0,0）是驻点，但点（0,0）是z = xy的鞍点，不是极值点.四、计算题（每小题8分，共32分）1、& z =e u sin v, u =xy, v = x + y,求三和必ex tyz f 二f 二u 二f 二v解一=——■——■——■ ——x 二x 二u 二x v二x: e u sin v y , e u cosv = e x y[ y sin( x y) cos( x y)]u v u . u xy — —— 一 —— —— =e sin v x e cosv =e [x sin(x y) cos(x y)] y .:u .:y .:v .:y五、解答题(每小题分10,共20分)1、要造一个容积为定数 a 的长方形无盖容器，如何设计它的尺寸才能使它的表面积最小?此时最小表面积为多少？解：设长方体的长宽高分别为x, y, z,则问题就是在条件 中(x, y, z) = xyz — a =0下求函数 S = xy 2xz 2yz (x . 0, y . 0, z . 0)的最小值.作拉格朗日函数L(x, y, z)= xy 2xz 2yz ——..(xyz - a),y + 2z + 九 yz = 0 , x + 2z + ?一 xz = 0 ,2 (x y ) - xy = 0 , xyz -a = 0.，口 11..、 …得 z = —x =-y,代入xyz —a = 0彳导2 21 3 二z = - J 2a,这是唯一可能的极值点.由问题本身可知最小值一 2定存在，所以最小值就在这个可能的极值点处取得.即长宽高为 疮 疡 工病时，最小2表面积 S =33(2a)2.0910B一、填空题(每小题2分，共10分)2、设函数z = f (x, y)是 由方程x 2+y 2 +z 2=4z 给出，则 全微分 dz =.一 一 一 xdx ydy 2xdx 2 ydy 2zdz =4dz , dz2 z3、曲面x 2十y 2+z 2=14在点P(1,2,3)处的切平面方程为 .切平面得法向量 汗⑼)=(2x,2y,2z)(1,2,3)=(2,4,6),切平面方程为 2(x —1)+4( y-2)+6(z — 3) = 0,或x + 2y + 3z —14 = 0. 二、选择题(每小题2分，共10分)1、二元函数f(x,y)在点(x 0,y 。
第九章多元函数微分法及其应用(复习题)
高等数学A(2)复习题第九章 多元函数微分法及其应用一、填空题1、设函数)ln(),(22y x x y x f --=，其中0>>y x ，则=-+),(y x y x f2、数1412222-++--=y x y x z 的定义域是 .3、设函数f x y x y xy x y (,)=+-+-32231，则一阶偏导数(3,2)y f '= .4、设函数xy e y x z +=2，则=∂∂)2,1(y z . 5、设函数)32ln(),(xy x y x f += ，则偏导数=')0,1(y f . 6、设函数(,,),x z f x y f y =可微，则偏导数z y∂=∂ . 7、设函数)ln(2xy y z =，则=)2,1(y z∂∂ .8、设函数y z (sin x)=,则偏导数yz ∂∂= . 10、设函数2(,)cos()z f x y x y ==，则二元偏导数值(1,)2xx f π= . 11、设2ln ,z u v =而,32,x u v x y y ==-， 则y z ∂∂= 12、设函数y x e z 2-=，而t x sin =，3t y =，则=dt dz . 13、设函数222),(y x y x f +=，则 =+),('),('y x f y x f y x .14、设函数(,)f x y =(1,2)x f '= .15、设函数)32ln(),(x y x y x f += ，则(1,0)y f = . 16、已知方程ln x x y z =确定隐函数(,)z z x y =，则z x∂=∂ . 17、已知由方程0323=+-y xz z 确定隐函数),(y x f z =，则z x ∂=∂ ． 18、设函数sin()2xy z =，则全微分=dz .19、设函数z x y x e y =--322，则全微分dz = .20、设函数)ln(2xy z =，则=dz .21设 )sin(xy z =可微， 则全微分=dz .22、设函数 xy e z =，则全微分dz ＝ .23、设函数xy z xe =，则全微分dz = .24、设函数)cos(2y x z =，则=dz .25、极限42lim 00+-→→xy xyy x = .26、极限=→→x xy y x sin lim 20 . 28、0x y →→=_______________.29、(,)(0,1)sin lim x y xy x→=___________. 30、极限42lim00+-→→xy xy y x = . 31、 极限(,)(0,0)sin lim x y xy x→=_____________． 32、极限02sin limx y xy x →→= . 33、极限=-+→→113lim00xy xy y x .34、曲面224z x y =--在点 处的切平面平行于平面220x y z ++=.35、设函数),(y x f z =在点),(00y x 处可微，且0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ，0),(00>y x f xx 0),(00>y x f yy 0),(00=y x f xy 则函数),(y x f 在),(00y x 处必有______________（填极大或极小）.36、若函数632),(22+++++=by ax y xy x y x f 在点)1,1(-处取得极值，则常数_____________,==b a37、设函数22),(xy y x y x f +=，则其在点（1,2）处的梯度为 .38、函数22y x z +=在点（1,2）处沿从点A （1,2）到点B （2,2＋3）的方向的方向导数等于 .39、函数yxe z 2=在点)0,1(P 处沿从点)0,1(P 到点)1,2(-Q 的方向的方向导数等于 ．40、函数x ye z 2=在点（0,1）处沿向量}21,21{-方向的方向导数为 . 41、设函数222),,(z y x z y x f ++=，则梯度)2,2,1(grad -f 为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽.42、设函数223),(xy y x y x f -=，则其在点(1,2)处的梯度为 _____________．44、 函数22z y xy x =-+在点(1,1)M 处沿向量{}6,8l =r 的方向导数为 45、 函数223u x y xy =+-在点(1,2)M -处沿其梯度方向l 的方向导数M u l ∂∂ .二、解答题1、设y x u arctan =，求y x u x u ∂∂∂∂∂222,.2、求三元函数zy x u =的全微分du3、设函数2z (,), ,x y z z f x y x y ∂∂=∂∂求 .4、设函数ln(z x =+，求x z ∂∂，2z x y ∂∂∂.5、已知函数z =，试求2,z z x x y ∂∂∂∂∂. 6、 设ln(ln )z x y =+，求2z x y∂∂∂. 7、设函数z = ，求y x z x z ∂∂∂∂∂2,. 9、设函数2sin (sin sin )z y x F y x =+-，其中)(u F 可导，试求z z x y∂∂∂∂，． 10、 设函数22(,)z f xy x y =,且(,)f u v 具有二阶连续偏导，求2z x y ∂∂∂. 11、 设函数()2ln z x y =+，求y x z ∂∂∂2。
第九章多元函数微分学(方向导数在前)总结
E
若存在点 P 的某邻域 U(P) E ,
则称 P 为 E 的内点；
若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ,
则称 P 为 E 的外点 ; 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E 的外点 , 则称 P 为 E 的边界点 . 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E .
(2) 聚点
若对任意给定的 , 点P 的去心 邻域
E
内总有E 中的点 , 则
称 P 是 E 的聚点. 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E (因为聚点可以为 E 的边界点 ) 所有聚点所成的点集成为 E 的导集 .
(3) 开区域及闭区域
若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集；
E 的边界点的全体称为 E 的边界, 记作E ;
当函数在此点可微时那末函数在该点沿任意方向l的方向导数都存在且有coscoscos设方向l的方向角为定义设函数内具有一阶连续偏导数则对于每一点最快沿哪一方向增加的速度函数在点问题sincossincos上的单位向量由方向导数公式知函数在某点的梯度是这样一个向量它的方向与取得最大方向导数的方向一致而它的模为方向导数的最大值
x
y
图形为
空间中的超曲面.
三、多元函数的极限
定义2. 设 n 元函数 f ( P), P D R n , P0 是 D 的聚 点 , 若存在常数 A , 对任意正数 , 总存在正数 , 对一 切 P D U ( P0 ,δ ) , 都有
则称 A 为函数
记作
P P0
lim f ( P) A (也称为 n 重极限)
第九章 第3节 全微分
这一结论常用来判断函数 z f ( x , y ) 在某点的可微性.
z z , (2)由定理2可知如果函数 z f ( x , y ) 的偏导数 x y 在点 ( x , y ) 连续 , 则函数在该点可微分.
函数可微 偏导数连续 偏导数存在 函数可微
12
多元函数连续、可导、可微的关系 函数连续 函数可导
当( x , y ) (0,0) 时， 1 x2 y 1 cos 2 , f x ( x, y ) y sin 2 2 2 2 3 2 x y (x y ) x y
( 当点 P ( x , y ) 沿直线 y x 趋于 0,0) 时,
( x , x ) ( 0 , 0 )
lim
取 y x
说明它不能随着 0 而趋于 0,
当 0时， z [ f x (0,0) x f y (0,0) y] o( ), 函数在点(0,0) 处不可微.
偏导存在不一定可微 .
10
如果函数z f ( x , y ) 在点( x , y ) 可微分, 则 函数在该点连续. lim z lim ( A x B y ) o ( ) 0
注:对 x 的偏增量
x x
x
Ax o ( x )
其中 Ax 称为对 x 的偏微分
5
例1
z xy在( x, y )点是否可微？
解 : z ( x x )( y y ) xy yx xy xy
A y, B x
xy 1 ( ( x )2 ( y )2 )2 而 lim lim 0 0 0 2
f ( x ,0) f (0,0) 00 lim lim 0, f x (0,0) x0 x 0 x x
第九章 多元函数微分法及其应用
第九章 多元函数微分法及其应用§9.1多元函数的基本概念1.填空选择（1）设()22,y x y x f +=，()22,y x y x g -=，则()2[,,]f g x y y = 。
（2）设()y x f y x z -++=，且当0=y 时，2x z =，则=z 。
（3）设()xy y x z -+=22arcsin ，其定义域为 。
（4）若22),(y x x y y x f -=+，则(,)_________f x y =。
（5）下列极限中存在的是（ ）A . y x y x y x +-→→)1(lim 00；B . 24200lim y x y x y x +→→； C .22200lim y x y x y x +→→； D . 2200lim y x xy y x +→→. 2.求下列各极限：（1）22(,)(2,0)lim x y x xy y x y→+++； （2）(,)(0,0)lim x y →；（3）22(,)(0,0)1lim ()sin x y x y xy →+； （4）()()xyxy y x 42lim 0,0,+-→；（5）1(,)(0,1)lim (1)x x y xy →+； （6）22(,)(,)lim ()x y x y x y e --→+∞+∞+。
3.证明极限(,)(0,0)lim x y x yx y →+-不存在。
4. 指出下列函数在何处间断：（1）22ln()z x y =+；（2）x y x y z 2222-+=。
§9.2偏导数1.填空选择（1）设()y x y y x y x f arctan arctan ,22-⋅=，则()=∂∂y x f ,0 。
（2）设()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=000sin ,2xy xy xyy x y x f ，则()=1,0x f 。
（3）已知函数()22,y x y x y x f z -=-+=，则=∂∂+∂∂yz x z 。
高等数学基础第九章
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9.2偏导数—二元函数的偏导数
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9.2偏导数—二元函数的偏导数
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9.2偏导数—高阶偏导数
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9.3全微分—全微分的定义
返回9.3全微分—全微分的 Nhomakorabea义返回
9.3全微分—全微分在近似计算中的应用
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9.4复合函数与隐函数的微分法— 复合函数的微分法
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9.4复合函数与隐函数的微分法— 复合函数的微分法
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9.4复合函数与隐函数的微分法— 隐函数的微分法
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9.4复合函数与隐函数的微分法— 偏导数的几何应用
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9.4复合函数与隐函数的微分法— 偏导数的几何应用
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9.4复合函数与隐函数的微分法— 偏导数的几何应用
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9.5多元函数的极值
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9.5多元函数的极值－多元函数的最值
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9.5多元函数的极值－条件极值
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高等数学基础
第九章 多元函数微分学
主讲:
多元函数微分学
多元函数的极限与连续性 偏导数 全微分 复合函数与隐函数的微分法 多元函数的极值
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9.1多元函数的极限与连续性—多元函数
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9.1多元函数的极限与连续性—多元函数
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9.1多元函数的极限与连续性— 二元函数的极限
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9.1多元函数的极限与连续性— 二元函数的连续性
9-1 多元函数
{( x, y) | 0 < x + y ≤ 1}
2 2
(0,0) 是聚点但不属于集合． 是聚点但不属于集合． 例如, 例如
{( x, y) | x2 + y2 = 1}
边界上的点都是聚点也都属于集合． 边界上的点都是聚点也都属于集合．
（4）三维立体空间的相关概念
如：两点间距离、邻域、区间等，自行推广 两点间距离、邻域、区间等，
y
o
x
开区域连同它的边界一起称为闭区域. 开区域连同它的边界一起称为闭区域
y
例如， 例如，{( x, y) | 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4}.
o
x
对于点集 E 如果存在正数 K ，使一切点 P ∈ E 与某一定点 A间的距离 AP 不超过 K ， 即 AP ≤ K 成立， 为有界点集， 对一切 P ∈ E 成立，则称 E 为有界点集，否 则称为无界点集． 则称为无界点集．
第九章
多元函数微分法及其应用
前面介绍了一元函数关于自变量x的变化率 前面介绍了一元函数关于自变量 的变化率 与函数的微小变化，即导数与微分。作为推广， 与函数的微小变化，即导数与微分。作为推广， 下面介绍二元函数关于两个自变量的变化率以 及沿任意方向的函数的微小变化， 及沿任意方向的函数的微小变化，即偏导数和 全微分。 全微分。多元函数偏导数和全微分统称为多元 函数微分学。
二、多元函数的概念
（1）定义
是平面上的一个点集， 设 D是平面上的一个点集，如果对于每个点 P( x, y) ∈ D， 变量 z 按照一定的法则总有确定的值 和它对应， 的二元函数， 和它对应 ，则称 z 是变量 x, y 的二元函数 ，记为 z = f ( x, y)（或记为 z = f (P)）.
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第九章 多元函数微分法及其应用一、填空题1.若 f ( x, y) x 2 y 2 xy tan x,则 f (tx , ty ) t 2 x 2 t 2 y 2 t 2xy tanxt 2 f ( x, y) .y y 2.若 f ( x)x 2 y 21 u2.y( y 0) ,则 f (x)y3.函数 z arcsin y的定义域为 {( x, y) || y| 1且x0} .xx14. lim(1 xy) sin xy e .xy5.若 ze xyyx 2,则zxe xy x 2 .y6.若 f ( x, y) 5x 2 y 3 ,则 f x (0,1) 10xy 3 |(0,1) 0 .7.若 u ln(1 x 2y 22) ,则 du22 ( xdx ydy zdz) .zx 2y 2zyyy8.设 z e x ,则 dzy e x dx 1e x dy .x 2 x9.已知 z sin( y e x) ,而 y x 3,则dz(3x 2 e x )cos( x 3 e x ) .dx10. 已知 ze x 2 y,而 x sin t , y t 3,则 dzsin t 2 t 3(cost 6t 2).dte11. 设 zln(1 x2y 2) , 则 dz x 11dx2dy .y 23312. 设 zu 2v , 而 u x cos y, v x sin y , 则 z 3x 2 cos 2 ysin y ,xz 32y 2sin 2y) .yx cos y(cos13.若 z f (x, y) 在区域 D 上的两个混合偏导数2z,2z 连续 ，则在 D 上x yy x2z2z.x yy x14.函数 z f (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 处可微的 必要 条件是 z f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处的偏导数存在 .(填“充分”、“必要”或“充分必要” )15.函数 z f (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 可微是 zf (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 处连续的 充分 条件 . (填“充分”、“必要”或“充分必要” )16．设 f ( x, y, z) xy 2 z 3 ，其中 z z( x, y) 是由方程 x 2 y 2 z 2 3xyz 0所确定的 隐函数，则 f x (1,1,1) 2 . 二、选择题1.二元函数 zlnx 2 4arcsin x 21的定义域是 ( A ) y 2y 2（ A ）{( x, y) |1 x 2y 24};（ ） {( x, y) |1 x 2 y 24} ;B （C ）{( x, y) |1 x 2y 24}; （ ） {( x, y) |1 x 2 y 24} .D2. 设函数 z ln( xy) , 则z( C )x（A ）1;（B ） x;（C ） 1;（ D ） y.yyxx3. 设函数 z sin( xy 2) , 则z( D )x（ A ）2; （ ） xy cos(xy 2（ ） 22) ; （ ） 2 2xy cos(xy ) B ) ;Cy cos(xy D y cos( xy ) .4. 设函数 z 3xy, 则z( D )x（ A ） 3xy（ ） xy ; （C ） xy 1 ; （D ） 3xyln 3y ; 3 ln3 xy3 y .B5. 设函数 z1 , 则 z( C )xyy（ A ）1 ; （ ） 1 ; （C ） 12 ; （ ） 1 2 .2Bx 2yxyDxyx y6. 设函数 z sin xy , 则2z( A )x2（ A ）y 2sin xy ;2sin xy ;（ ） 2 sin xy ; （ D ） x 2sin xy .（ B ） yCx 7. 设二元函数 zx y, 则 dz ( B )x y（ A ）2( xdx ydy) ; （B ）2( xdy ydx) ;（ C ）2( ydyxdx) ; （D ）2( ydx xdy) .(x y)2( x y) 2( x y)2( x y)28. 设函数 y f ( x) 是由方程 y xeyx 0 确定 , 则dy(B )dx（ A ） e y y;（B ） ey1y ;（C ） ey1y ;（D ） e yy.1 xe 1 xe1 xe1 xe9. 设函数 zf (x, y) 是由方程 x2y3xyz20 确定 , 则z( B)x（ A ）2x yz 2 ; （ B ）2x yz 2; （C ）3y 2xz 2; （ D ） 3y 2xz 2 .2xyz2xyz2xyz2xyz 10. 若函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处不连续，则 ( C)（ A ） lim f (x, y) 必不存在；（B ）0 , y 0 ) 必不存在；xx 0 yy 0（ C ） f (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 必不可微；（ D ） f x ( x 0 , y 0 ), f y (x 0, y 0 ) 必不存在 .f(x11.考虑二元函数 f (x, y) 的下面 4 条性质：①函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处连续；②函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处两个偏导数连续；③函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处可微；④函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处两个偏导数存在 .则下面结论正确的是（A ）（A ）②③ ①；（ B ）③ ②①；（C ）③ ④ ①；D ）③ ① ④。
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： 姓名： 学号： 命题： 审题： 审批： ------------------------------------------------ 密 ---------------------------- 封 --------------------------- 线 -----------------------------------------------------------
（答题不能超出密封装订线）
2011～2012 学年第 2 学期 多元函数微分法及其应用 单元测验题
使用班级（教师填写）：11级全校各工科专业
一． 填空题（每空2分，共20分） 1．函数z =
）
A ．2{(,)|0,0,}x y x y x y >>>；
B ． 2{(,)|0,0,}x y x y y x >>>；
C ．(){}
x y y x y x ≥≥2
00，，， ； D ． 2{(,)|0,
0,}x y x y x y >>≥。
2．若函数()y x f z ,=在点000(
,)P x y 处间断，则该函数在点000(,)P x y 处（
）
A ．一定无定义；
B ． 极限一定不存在；
C ．可能有定义，也可能有极限；
D ．有定义，也有极限，但极限值不等于该点函数值。
3．二元函数在()y x f z ,=在点000(,)P x y 处的两个偏导数存在是该函数在点000(,)P x y 处可微分的（ ）
A ．充分条件；
B ．必要条件；
C ．充要条件；
D ．既非充分也非必要条件。
4．若z =()2,1x
z ∂∂=（ ）
A ；
B ．
； C ； D ．。
5．曲线⎪⎩
⎪⎨⎧=+=
44
22y y x z 在点(2,4,5)处的切线对于X 轴的倾角为（ ） A ．π； B ．
3π； C ．4
π
； D ． 0 。
6．二元函数()()()()()
⎪⎩
⎪
⎨⎧=≠+=0,0,00,0,,2
2y x y x y x xy y x f 在点(0,0)处（ ）
A ．连续，偏导数存在；
B ．连续，偏导数不存在；
C ．不连续，偏导数存在；
D ．不连续，偏导数也不存在。
7．设arcsin(),z x y =-而33,4x t y t ==，则dz
dt
=（ ） A ．
2； B ．
2；
C ．
2 D ． 0 。
8．设y
z x =，则dz =（ ）
A ．1ln y y yx dx x x dy -+⋅；
B ． 1ln y y yx dx y x dy -+⋅；
C ． 1ln y y xy dx y x dy -+⋅；
D ．11ln y y yx dx y x dy --+⋅。
9．曲面221z x y =+-在点（2，1，4）处的切平面的法向量为（ ）
A ．(1,4,2)n = ；
B ．(4,1,2)n = ；
C ．(4,1,2)n =- ；
D ．(4,2,1)n =-。
10．函数(,)1xy f x y e x y =+--在点（1，1，）的梯度为（ ）
A ．(32)e i j + ；
B ．(1)()e i j -+ ；
C ．(1)(1)e i e j ++- ；
D ．23i j + 。
二．填空题（每小题3分，共18分）
11．设x
z y =，则2z
x y
∂=∂∂（ ）。
12．设1xy
z e x y =++-，求dz =（ ）。
13．在曲线3
2,,t z t y t x =-==的所有切线中，与平面42=++z y x 平行的切线的条
数为（ ）。
14．曲面3z e z xy -+=在点（2，1，0）处的切平面方程为（ ）。
15．函数2y
z xe =在点(1,1)P 处沿从点P 指向原点(0,0)的方向导数（ ）。
16．由曲线⎩⎨⎧==+0
122322z y x 绕Y 轴旋转一周所成的旋转曲面在点()
230，，处指向外侧
的单位法向量为（ ）。
三．求解下列问题（每小题6分，共48分）
17．设3
33z xyz -=，求2z
y x
∂∂∂
18．设,(),()y z x x t y t ϕψ===，求
dz dt
19．求曲面2
22
x z y =+平行于平面220x y z +-=的切平面方程。
20．求函数u x y z =++在球面222
1x y z ++=上点000(,,)x y z 处，沿球面在该点的
外法线方向的方向导数。
21．求曲线⎩
⎨⎧=++=++01
222z y x z y x ，在点(1,2,1)-处的切线与法平面方程。
22．将周长为2p 的矩形绕它的一边旋转而成一个圆柱体，问矩形的边长各为多少时， 才可使圆柱体的体积为最大？
23．求函数3
u xy z =在点0(1,1,2)P -处变化最快的方向，并求沿这个方向的方向导数。
24．设函数()f u 具有二阶连续导数，而(sin )x
z f e y =满足方程22222x
z z e z x y
∂∂+=∂∂，求
()f u
四．综合题（每题7分，任选二题，共14分） 24．某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R （万元）与电台广告费用1x （万元）及报纸广告费用2x （万元）之间的关系有如下经验公式： 2
22
121211028321415x x x x x x R ---++=
（1） 在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；
（2） 若提供的广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略。
25．在椭圆：4422=+y x 上求一点，使其到直线0632=-+y x 的距离最短。
26．设()z y x f u ,,=有连续的一阶偏导数，又函数()x y y =与()x z z =分别由下列两式确
定：2=-xy e xy
和⎰
-=
z
x x
dt t t e 0
sin ，求dx
du。