第6章 平面问题(二) 离散化、三角形单元分析

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平面问题（ 离散化、 第六章 平面问题（二） 离散化、三角形单元分析
§6–2 2
三节点三角形单元特性分析
• 针对三节点三角形单元，可以导出单元形函 数的下列性质: 性质1：单元上某节点的形函数在该节点的值为1， 性质1 单元上某节点的形函数在该节点的值为1 在其它节点上的值为零。 在其它节点上的值为零。
是位移插值基函数，称为单元的形状函数——简称形函数
u和 合并 用 阵 示 ： v 后 矩 表 为 u Nl = v 0 0 Nl Nm 0 0 Nm Nn 0 0 {δ} = [N]{δ}e Nn
[N]称为单元的形函数矩阵，是对单元节点位移进行插值得到单
元位移分布函数的转换矩阵。 • 用节点位移插值表示单元位移模式是有限元法中除了离散化 之外最具代表性，最重要的步骤。
a1 坐标取节点值 u = [1 x y]a2 a 3
ul 1 xl um = 1 xm u 1 x n n
yl a1 a ym 2 yn a3
yl a4 a ym 5 yn a6
yl ym yn
−1
ul al 1 um = bl u 2∆ c n l
am an ul bm bn um cm cn un
1
其中： 2∆ = Λ = 1
xl xm xn
yl ym yn
∆为 角 面 三 形 积
a1 ~ a6
为待定系数，称为广义坐标。
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§6–2 2
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三节点三角形单元特性分析
由于有限元法中未知量是节点位移，所以上面单元位移模式需要 转换为以节点位移分量为待定参量的形式。过程如下。 位移多项式写成矩阵形式： 代入各节点坐标取值后：
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三节点三角形单元特性分析
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显然，形函数决定了单元上位移分布的形态。事实上， 单元位移模式就是所有形函数的线性组合。 一个单元的位移模式决定了该单元描述局部位移场的能 力，决定求解的精度、收敛性等，而形函数是最重要的 因素。
离散化系统中的载荷只有节点载荷（集中力），原来的分布载荷 和非节点位置上的集中力都要近似等效到节点上。离散结构某节 点i的载荷表示为：
{Qi } =
Xi Yi
离散化系统的位移边界条件只施加在节点上。
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§6–1 1
§6–1 1
• 离散化系统的描述
平面问题离散化
连续体结构离散化以后，转变为有限个小单元组成的离散结构—— “有限单元”概念的由来。 问题的基本未知量从未知场函数（位移）转变为离散节点上的未知 位移分量。平面问题离散结构中某节点i有2个位移分量，表示为：
ui {δi } = vi
ul 1 xl 由第一组方程求解 a1 ~ a3 : um = 1 xm u 1 x n n
yl a1 ym a2 yn a3
a1 1 xl a2 = 1 xm a 1 x n 3
第六章
离散化、 离散化、三角形单元分析
6.1
6.2
6.3
平面问题 离散化
简单三角形单 元特性分析
单元载荷 移置
平面离散化的过程？ 平面离散化的过程？
什么是单元位移模式？ 什么是单元位移模式？ 如何求解单元应力和应变？ 如何求解单元应力和应变？
载荷移置的三种情况
什么是形函数，其有哪些性质？ 什么是形函数，其有哪些性质？ 如何求解单元刚度矩阵和刚度方程？ 如何求解单元刚度矩阵和刚度方程？ 简单三角形单元刚度矩阵的讨论
−1
vl 1 xl vm = 1 xm v 1 x n n
a4 1 xl a5 = 1 xm a 1 x n 6
yl ym yn
vl al 1 vm = bl v 2∆ c n l
按弹性力学位移法求近似解的思路，位移作为基本未知量时，需 要对单元上位移的分布作出假设，即构造含待定参量的简单位移 函数——位移模式。 通常用多项式函数作位移模式，对三节点三角形单元，有6个待定 节点位移分量，所以单元上的位移函数只能是含6个待定系数的完 全一次多项式：
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u(x, y) = a1 + a2x + a3 y v(x, y) = a4 + a5x + a6 y
两个单元上位移线性连续分布，各 单元在公共边界上位移线性分布， 数值相同——边界位移协调！
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三节点三角形单元特性分析
由图形几何性质可以推断简单三角形单元形函数的下列结论：
{δ }e
δl = δm = [ul δ n
vl
um
vm
un
vn ]
T
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三节点三角形单元特性分析
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单元平衡时要在节点处受到节点力（节点对单元的作用力）， 每节点有2个节点力分量，单元有6个节点力分量。单元节点力 列阵为：
i =l ,m,n
v = Nl vl + Nmvm + Nnvn =
∑N v
i i
至此，单元位移模式已转换为节点位移的插值形式。
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§6–2 2ຫໍສະໝຸດ 上式中：三节点三角形单元特性分析
1 Ni = (ai + bi x + ci y) （ = l， ， ） i m n 2∆
Nl (xl , yl ) = 1 Nl (xm, ym) = 0 Nl (xn , yn ) = 0
(l，m，n)
性质2 单元上所有形函数之和处处等于1 性质2：单元上所有形函数之和处处等于1。
Nl + Nm + Nn = 1
（表明简单三角形单元的形函数只有2个独立）
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三节点三角形单元特性分析
性质3 推论）： 性质3（推论）： 某节点的形函数在该点相邻边上呈 线性分布，取值在0 1之间，在该点对边上值恒为零。 线性分布，取值在0~1之间，在该点对边上值恒为零。 （简单三角形单元的形函数在边界上的性质）。 由形函数表达式和性质1可画出下列形函数几何图形， 并可验证性质3。
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平面问题离散化
上述包括结构、未知量、边界条件的离散化过程称为问题的离 散化。这里采用了直观的、按物理观点的理解，也称为物理 （模型）离散化。 离散化后要解决的问题： 1) 如何进行离散结构的求解？ 2) 如何得到小单元（小弹性块）的刚度特性？这种小单元与杆 梁单元有什么区别？ 3) 如何保证离散化的有限元结构能正确模拟原连续结构？ 4) 如何保证离散化结构的解能作为原连续问题的近似解？ 研究上述问题就涉及到弹性力学有限元法的基本原理和基本理论， 核心是单元分析的理论。
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下面研究有限元法中特有的求解该特 殊弹性力学问题的方法。
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§6–2 2
三节点三角形单元特性分析
一、单元作为分析对象
• • 有限元离散结构受力平衡后，取出一个典型三节点三角形单元e。 三角形顶点设为节点，其局部编号为l，m，n（逆时针）。每节 点有总体坐标x，y方向两个待求位移分量：u，v。单元共有6个 位移分量——6个自由度，单元节点位移列阵为：
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三节点三角形单元特性分析
根据位移模式表达式及其形函数的性质，可以推断出两个相邻 三角形单元上位移分布形状和公共边界上位移的情况：
u = Nlul + Nmum + Nnun v = Nl vl + Nmvm + Nnvn
（ i = l， m ， n ）
得到： u(x, y) = Nl
=1
um = un = 0
Nl是 节 发 单 位 ， , n节 固 不 时 元 位 分 ， l 点 生 位 移 m 点 定 动 单 的 移 布 所 称 l节 的 状 数 简 形 数 单 每 节 对 一 以 为 点 形 函 ， 称 函 。 元 个 点 应 个 形 数 函 。
a4 坐标取节点值 vl 1 xl v = [1 x y]a5 vm = 1 xm a v 1 x 6 n n
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§6–2 2
分别解出6个待定系数：
三节点三角形单元特性分析
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三节点三角形单元特性分析
三节点三角形（简单三角形）单元的特性分析 • 按前面结构矩阵位移法分析思想，要求 解平面问题的有限元离散结构，需要知 道单元（三角形薄片）在节点上受力时 的弹性特性或刚度特性。这是一个新问 题，一个特殊的弹性力学问题。
pl {p}e = pm = pxl p n
[
pyl
pxm
pym
pxn
pyn
]
T
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我们要研究的问题是该三角形薄片弹性体在保持平衡时所受节 点力和节点位移的关系。
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