第10章 含有耦合电感的电路总结
电路第十章含有耦合电感的电路
.. . . .. .. . . .. 一致，故1，4是同名端，（不2是，同名端，1，4是同名端，
3也是同名i1 端） i2 （2，3也是同名端i1 ） i2
1 23 4
1 23 4
同名端只与线圈的绕向有关，与电流方向无关。 只要知道线圈的绕向，就能标出同名端。
L L1L2 M2 L1 L2 2M
M2 L1L2
M L1L2 M L1 L2
2
几何平均值（小） 算术平均值（大）
除非两电感相同，一般：几何平均值< 算术平均值
∴用几何平均值求M更严格
∴互感M必须满足 M L1L2 的要求 ∴ M的最大值 Mmax L1L2
3.耦合系数 k M M max
最大值
i(t)
••
u ( t ) L1 L2
i(t)
u(t)
L1 -
di
M
dt +
L2
+
M
di
- dt
utL1d d ti Md d ti L2d d ti Md dti
L1
L2
2Mdi
dt
L
di dt
反接时，串联电感值为
LL1L22M
电感贮能 WL 12LiL2 0
即L一定为正值
L1L22M
M L1 L2 2
实际值
M L1 L 2
0k1
k 反应了磁通相耦合的程度
k=1 k→1 k<0.5 k=0
全耦合
线圈中电流产生的磁通全部与另一个线 圈交链达到使M无法再增加
紧耦合，强耦合
松耦合，弱耦合
无耦合
4.耦合电感的T型等效
第十章含有耦合电感的电路-精选文档
d di u L dt dt
+
u _
在此电感元件中，磁链Ψ和感 应电压u均由流经本电感元件的电 流所产生，此磁链感应电压分别称 为自感磁链和自感电压。
2、互感：如图所示表示两个耦合电感，电流i1在线 圈1和2中产生的磁通分别为Φ11和Φ21，则Φ21≤Φ11。 这种一个线圈的磁通交链于另一线圈的现象，称为 磁耦合。电流i1称为施感电流。Φ11称为线圈1的自感 磁通，Φ21称为耦合磁通或互感磁通。如果线圈2的 匝数为N2，并假设互感磁通Φ21与线圈2的每一匝都 交链，则互感磁链为Ψ21＝N2Φ21。
§10-1 互感
耦合电感：耦合元件，储能元件，记忆元件。
一、耦合电感：为互感线圈的理想化电路模型
1 、自感：对于线性非时变电感元件，当电流的 参考方向与磁通的参考方向符合右螺旋定则时， 磁链Ψ与电流I满足Ψ＝Li，L为与时间无关的正实 常数。
根据电磁感应定律和线圈的绕向，若电压的参考 正极性指向参考负极性的方向与产生它的磁通的参 考方向符合右螺旋定则时，也就是在电压和电流关 联参考方向下，则
输入阻抗Z为
Z Z Z ( 8 j 4 ) 8 . 94 26 . 57 1 2
为： 50 0 V 令U ，解得 I
50 0 I U / Z A 5 . 59 26 . 57 A 8 . 94 26 . 57
第十章 含有耦合电感的电路
内容提要
本章主要介绍耦合电感中的磁耦合 现象、互感和耦合因数、耦合电感的同 名端和耦合电感的磁通链方程、电压电 流关系；还介绍含有耦合电感电路的分 析计算及空心变压器、理想变压器的初 步概念。
§10-1 互感 §10-2 含有耦合电感电路的计算 §10-3 空心变压器
第10章 含有耦合电感的电路
2. 耦合电感的并联
i
M
①同侧并联
+
u
L1
di1 dt
M
di2 dt
u –
i1 * * i2
L1
L2
u
L2
di2 dt
M
di1 dt
i = i1 +i2
解得u, i 的关系：
u
(L1L2 M 2 ) L1 L2 2M
di dt
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等效电感：
Leq
(L1L2 M 2 ) L1 L2 2M
有了同名端，表示两个线圈相互作用时，就不
需考虑实际绕向，而只画出同名端及u、i参考方
向即可。
M
*
*
i1
+ u21 –
u21
M
di1 dt
M
* i1
* – u21 +
u21
M
di1 dt
返回 上页 下页
例 i1 M i2
+* *+ u_1 L1 L2 _u2
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
M
di1 dt
第10章 含有耦合电感的电路
本章重点
10.1 互感 10.2 含有耦合电感电路的计算 10.3 耦合电感的功率 10.4 变压器原理 10.5 理想变压器
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重点
1.互感和互感电压 2.有互感电路的计算 3.变压器和理想变压器原理
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10.1 互感
耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中， 如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整 流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟 悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件 的电路问题的分析方法是非常必要的。
电路原理第十章含耦合电感电路
•
•
•
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U R1 I1 +j L1 I1 －j M I 2
•
•
•
•
U R 2 I 2 +j L2 I 2 －j M I1
•
•
•
I I1 I2
根据前面的电路图，列写方程：
U (R1 jL1)I1 jMI2 Z1I1 ZM I2
U (R2 jL2 )I2 jMI1 Z2I2 ZM I1
Ψ21 Ψ22
Ψ11 Ψ12
Ψ21 Ψ22
i1 a + u1
i2
-b
c+
u2
d
i1 *a + u1 -b
i2 c + u2 -d *
(a)
(b)
说明耦合线圈的伏安关系用图
Ψ1=Ψ11 +Ψ12 Ψ2=Ψ22 +Ψ21
Ψ1=Ψ11 －Ψ12 Ψ2=Ψ22 －Ψ21
11
21
N1 i1
N2
+ u11 – + u21 –
同名端与两个线圈的绕向和相对位置有关。
11
s
0
N1 i1 * •
+ u11 –
N2
N3
*
•
+ u21 – – u31 +
i
1*
*2
1•*
2
3
1'
2'
1'
2'*
3' •
两个以上线圈彼此耦合时，同名端应一对一对加以标记。 如果每个电感都有电流时，每个电感的磁通链等于自感磁 通链和所有互感磁通链的代数和。
通链Ψ22 。22 部分或全部与线圈1相链，产生线圈2对线圈
CH10含有耦合电感的电路
CH10含有耦合电感的电路第⼗章含有耦合电感电路§10-1 互感⼀、互感: 当两个线圈都有电流时，每⼀线圈的磁链为⾃磁链与互磁链的代数和： 1111211122L i M i ψψψ=±=± 2222122211L i M i ψψψ=±=±注意：1）互感系数M 12和M 21的值与线圈形状、⼏何位置、空间媒质有关，与线圈中的电流⽆关，因此，满⾜ M 12 =M 21 =M ，单位为（H ）2）⾃感系数L 总为正值，互感系数 M 值有正有负。
正值表⽰⾃感磁链与互感磁链def ⼀般有：1k ≤；当 k =1 称全耦合。
耦合因数 k 与线圈的结构、相互⼏何位置、空间磁介质有关。
三、耦合电感上的电压、电流关系I 注意：互感电压的正负：（1）与电流的参考⽅向有关（2）与线圈的相对位置和绕向有关。
四、互感线圈的同名端：当两个电流分别从两个线圈的对应端⼦同时流⼊或流出时，若产⽣的磁通相互增强，则这两个对应端⼦称为两互感线圈的同名端。
注意：当有多个线圈之间存在互感作⽤时，同名端必须两两线圈分别标定。
确定同名端的⽅法：(1) 当两个线圈中电流同时流⼊或流出同名端时，两个电流产⽣的磁场将相互增强。
(2) 当随时间增⼤的时变电流从⼀线圈的⼀端流⼊时，将会引起另⼀线圈相应同名端的电位升⾼。
同名端的实验测定：实验线路如图所⽰，当开关 S 闭合时，线圈 1 中流⼊*号⼀端的电流 i 增加，在线圈 2 的*号⼀端产⽣互感电压的正极，则电压表正偏。
如图所⽰（a ）、（b ）、（c ）、（d ），已知同名端和各线圈上电压电流参考⽅向，试写出每⼀互感线圈上的电压电流关系。
例 10-1 图（a ）例 10-1 图（b ）例 10-1 图（c ）例 10-1 图（d ）⼀、耦合电感的串联（1）顺向串联:122L L L M =++，互感起“增助”作⽤，耦合电感等效阻抗⼤于⽆互感时。
（2）反向串联: 122L L L M =+-，互感起“削弱”作⽤，耦合电感等效阻抗⼩于⽆互感时。
电路学：第10章 耦合电感和变压器电路分析-1
同名端用标志‘.’或‘*’等表示。注意：同 名端不一定满足递推性，故当多个线圈时有 时必需两两标出。 在要V根C据R电中流u参M1 考 方M向ddi和t2 同到名底端取来正确还定是：取负，
当自磁链与互磁链的参考方向一致时取正号， 不一致时取负号。或者说，根据同名端，电 流在本线圈中产生的自感电压与该电流在另 一个线圈中产生的互感电压极性是相同的。
用符号 k表示，即 由于:
k 12 21 11 22
11 L1i1, 21 Mi1, 22 L2i2 , 12 Mi2
得:
k M
L1L2
k 1
当k＝1时称为全耦合，此时一个线圈中电流 产生的磁通全部与另一线圈铰链，互感达到 最大值，即；
若线圈电流变化，则自磁链，互磁链也随之变 化。由电磁感应定律，线圈两端会产生感应电 压，若电压与电流采取关联参考方向，则：
耦合电感伏安关系(VCR)表达式：
u1
d1
dt
d11
dt
d12
dt
uL1
uM1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
d2
dt
d22
dt
d21
dt
uL2
uM 2
L2
di2 dt
M
di1 dt
第二步：按要求(消去假设的变量)改变相 应互感电压的符号。
例 列写伏安关系式，电路模型如下图。
a-
i1
M
i2
-c
u1
uL1
uM1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u1
b+
L*1
L *2
i u2
+d
第10章含有耦合电感的电路37072共42页
i1 +
i2 +
L1
L2
- - u1
M
di2 dt
+
–
-
+
M
di1 dt
–
u2
-
i2
注意受控电压源 （即互感电压）的 极性问题
12
相量模型：耦合电感的受控电源模型
i1
+
u 1 L1
-
M
L2
+ i2
+
•
U1
u2
-
-
•
I1
jωL1
•+
jM I2
-
•
I2
+
jω L2
•
U2
+
•
jM I1
-
-
•
•
•
U1 jωL1 I1 jωM I2
jωM
•
I
.
.
R1
+
jωL1
U1 -
jωL2 R2
a
b
16
• 解：1、求开路电压
•+
U1 -
•
I
.
jωM
.
R1
jωL1
jωL2 R2
•
•
•
U oc R2 I jωM I
•
( R2
jωM ) R1
U1 jωL1 R2
300V
a +
•
U oc
b-
17
• 2、求等效阻抗
Jω(L1-M) R1
+ uL11
*
L2
+ u2 u
-
含有耦合电路要点
第10章 含有耦合电感的电路（小结）1、 耦合电感的概念理解耦合电感是线性电路中一种重要的多端元件。
分析含有耦合电感元件的电路问题，重点是掌握这类多端元件的特性，即耦合电感的电压不仅与本电感的电流有关，还与其它耦合电感的电流有关，这种情况类似于含有电流控制电压源的电路。
2、 含有耦合电感电路的分析分析含有耦合电感的电路一般采用的方法有列方程分析和应用等效电路分析两类。
考虑到耦合电感的特性，在分析中要注意以下特殊性：（1） 耦合电感上的电压、电流关系式的形式与其同名端位置有关，与其上电压、电流参考方向有关。
认识到这一点是正确列写方程及正确进行去耦等效的关键。
（2） 由于耦合电感上的电压是自感电压和互感电压之和，因此列方程分析这类电路时，如不采用去耦等效，则多采用网孔法回路法，不宜直接应用结点电压法。
（3） 应用戴维宁定理（或诺顿定理）分析时，等效内阻抗应按含受探源电路的内阻抗求解法。
但当负载与有源两端网络内部有耦合电感存在时，戴维宁定理（或诺顿定理）不便使用。
3、 理想变压器的三个理想化条件理想变压器是在耦合电感元件基础上加进3个理想化条件而抽象出的一类多端元件。
这3个理想化条件是：（1）全耦合，即耦合系数k=1；（2）参数无穷大，即L1，L2，M →∞，但满足L1/L2=常数；（3）无损耗。
4、 理想变压器的主要性能在满足上述三个理想化条件下，具有如下性能：（1） 变电压。
即元件的初、次级电压满足代数关系22211nu u N N u ±=±=（n 为初次级线圈匝数比）。
（2） 变电流。
即元件的初、次级电流满足代数关系211i n i ±=。
（3） 变阻抗。
即由理想变压器初级端看进去的输入阻抗为L in Z n Z 2=。
（4） 理想变压器在任何时刻吸收的功率为零，是不储能、不耗能、只起能量传输作用的无记忆元件。
5、 理想变压器在应用上述性能时需注意以下事项：（1） 理想变压器的变压关系式u 1、u 2的参考极性及同名端位置有关。
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第十章 含有耦合电感的电路重点：1． 互感的概念及意义2． 具有耦合电感的正弦交流电路计算 3． 理想变压器的变量关系10.1 互感10.1.1 有关物理知识的复习1．电感与楞次定理对于单个无限长（磁通均匀）密绕（各匝均与相同磁通交链）线圈来说，线圈的磁通仅与其本身交链，与电流的方向关系满足右手螺旋定则。
如果线圈周围的媒质为非铁磁物质，磁链（= 线圈匝数⨯磁通）与电流的大小关系为线性关系，在理想情况下（线圈无损耗R 、无电场C 作用时），可以将这种线圈用电感元件模型来描述：Li =ψ。
此时的L 也称为“自感”。
2．楞次定理当电感中的电流随着时间变化时，在电感两端会产生感应电压。
自感电压的参考方向选定为与电流方向关联，因此，其方向也就与磁通方向满足右手螺旋定则，其大小为：dt di Ldtd u =ψ=10.1.2 互感的引入互感的物理意义1111i L =ψ11ψ变化时dtdi L dtd u 111111=ψ=1111i L =ψ（111Φ=N ） 222222222i L N =Φ=ψ2i 变化时dtdi L dt d u 222222=ψ=（212Φ=N ） 12Φ21212112i M N =Φ=ψΦψ12121i M =ψ 2i 变化时dt di M dt d u 2121212=ψ= 1变化时dtdi Mdtd u 1212121==当线圈2形成闭合回路ΦΦΦ图10-1 密绕线圈的磁通与电流dt di M dtd u dt di Mdt d u 21212121212121=ψ==ψ=10.1.3 互感1．定义由线圈一中的电流1i 在线圈二中引起的磁链21ψ之间的关系呈线性时，它们之间的比值为常数，定义它为互感12121i Mψ=；同理由线圈二中的电流2i 在线圈一中引起的磁链12ψ之间的关系呈线性时，它们之间的比值为常数，定义它为互感21212i M ψ=。
2．符号及单位符号—M ，单位—亨利H 。
由于互感具有互易性质，即1221M M =，当只有两个线圈耦合时，略去下标，统一使用M 。
3．同名端1）由于施感电流与互感电压具有一定的一一对应的方向关系，因此在工程上用同名端（“∆”或“∙”）标注上述对应关系。
如下图（a ）中，1、2为同名端，图（b ）中，1、2’为同名端。
(a) (b) (a)(b)2）实验判定用增大的施感电流注入线圈，则与之耦合的线圈上电位升高的一端为其同名端。
4．互感符号的判定根据同名端即两个电感电流的参考方向来判定。
原则判断是当两个电感元件的电流参考方向均由互感的同名端流入（或流出）时，0>M ；当两个电感元件的电流参考方向一个由同名端流入，另一个由同名端流出时，0<M 。
如下图中，01>M ，02<M ，03<M ，04>M4．耦合系数k工程上定量描述两个耦合线圈的耦合紧密程度，定义两个线圈的互感磁通链与自感磁通量比值的几何平均值为耦合系数，记为k ：1||||2122111222211112≤=⋅=ψψ⋅ψψ=L L M i L Mi i L Mi k10.2 具有耦合电感的电路计算10.2.1 方法一 ——直接列写方程22’2+ _1 U 23U2121II U 11 M j L j ω+ω= 3132121I II U 11 M j M j L j ω+ω+ω= 121222I I U M j L j ω+ω=323121222I I I U M j M j L j ω+ω+ω=332231333I I I U M j M j L j ω-ω-ω-=其中：1221M M=1221>=M M ，3113<=M M ，03223<=M M10.2.2 方法二 ——互感消去法如图所示的电路部分可以用相应的消去了互感的电路来取代。
－|－|L 1 L 210.2.3 例题1．互感元件串联后，其等效电感值与两线圈的连接方式有关。
下图(a)所示的情况为顺接串联，图(b)为反接串联，分别求其等效电感。
+顺接时I I I I I I U )2()2()()(212121M L L j M j L j L j M j L j M j L j ++ω=⋅ω+ω+ω=ω+ω+ω+ω=，所以等效电感为：M L L L 221++=反接时I I I I I I U )2()2()()(212121M L L j M j L j L j M j L j M j L j -+ω=⋅ω-ω+ω=-ω+ω+-ω+ω=，所以等效电感为：M L L L221-+=因为0≥L ，所以0221≥±+M L L ，即：)(2121L L M +≤2．互感元件并联后，其等效电感值也与两线圈的连接方式有关。
分别求下图的等效电感。
(a)(b)(a)中，⎪⎩⎪⎨⎧=+ω+ω=ω+ω=I I I I I I I U 21122211M j L j M j L j ，所以：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-ω-=-ω-=)()()()(2121221221L L M M L j L L M M L j U I U I ，这样：U I )()2(21221L L M M L L j -ω-+=，M L L M L L j M L L j L L M Z 2)2()(2122121212-+-ω=-+-ω==I U ，等效电感为：M L L ML L L 221221-+-=(b)中，⎪⎩⎪⎨⎧=+ω-ω=ω-ω=I I I I I I I U 21122211M j L j M j L j ，所以：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-ω+=-ω+=)()()()(2121221221L L M M L j L L M M L j U I U I，这样：U I )()2(21221L L M M L L j -ω++=，M L L M L L j M L L j L L M Z 2)2()(2122121212++-ω=++-ω==I U ，等效电感为：M L L ML L L 221221++-=因为0≥L ，而0221≥±+M L L ，所以0221≥-M L L ，即：21L L M ≤。
3．已知：电路如图所示，tV u ω=cos 230122’2求：（1）付边开路时的电压（2）付边短路时的电流解：（1）付边开路，2I 为零，⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅+⋅=⋅=⋅+⋅=102010301030222jjjjjj11111IIIUIIIU，即：⎪⎩⎪⎨⎧⋅=⋅=︒∠103302jj11IUI，所以：⎪⎩⎪⎨⎧=-=102UI1j即tVuω=cos2102（2）付边短路，2U 为零，⎪⎩⎪⎨⎧=⋅+⋅=︒∠=⋅+⋅=2010301030222jjjjIIUIIU111，所以⎪⎩⎪⎨⎧︒∠==-=906.06.02.12jjII1即Ati)90cos(26.02︒+ω=4．已知：电路如图所示，其中电源Vtu os）301000sin(20+=求：L1I ，2LIi10Ω20m HΩ-j方法一方法二解：方法一：直接列写方程23LL1III+=)(2211LL1L1L1L1IIIIIU-+++=RjXjXRMLS)(22222LL1LLIIII-=+RjXjXML即：o2302020)3030(∠=-+LL1IIj1220)2020(LLII=+j解得：o24.28404.0-∠=L1I ，o237.81404.0-∠=LI方法二：去耦法去耦电路如图所示。
所以可以直接得出结论：)(24.28404.0121630103020)1020//(203010ooA jj j j j S-∠=+++∠=-++=U I L1)(37.81404.0422624.28404.020********oo12A jjj j -∠=+-∠=+--⨯=L L I I10.3 空心变压器和理想变压器10.3.1空心变压器空心变压器即为能够用自感与互感模型抽象的一种实际器件。
其模型为2+ _2’2UR L j X L在理解原边、副边、原边回路阻抗、副边回路阻抗，反映（引入）阻抗，原副边等效电路等基本概念的基础上，用前面有关互感的计算方法来解决其分析。
本节着重介绍有关理想变压器的知识。
10.3.2理想变压器一、理想变压器的符号定义变压器的原副线圈的匝数比为变比：21/N N n =二、理想变压器的条件理想变压器是空心变压器在一定理想条件下的抽象。
从理论上来说条件有三： 1．变压器无损耗2．全耦合——耦合系数121==L L M k3．1L 、2L 、M 为无穷大，但是21/L L 为常数且等于变比，即n L L =21/ 从实际上讲，采用高导磁率的铁磁材料作为铁心，尽量增加线圈匝数，且线圈尽量紧密耦合的变压器可以使用理想变压器模型。
三、理想变压器的变量关系1．电压关系：nu u =212．电流关系n i i 121-=+ +u u 2_n ：3．阻抗关系221||||n ZZ=四、理想变压器的应用1．应用变压关系——供配电系统中的变压器：如三相变压器，调压器（实验中，实际上是一种自耦变压器）2．应用变流关系——测量中常常用到的电流互感器（测大电流，保证安全）和测流钳（不必断开电路，且可以不必固定在一处）。
3．应用变阻抗关系——电子技术中常用它进行阻抗匹配。
uZnZ⋅=2'在前面讲到最大功率传输的时候，我们曾经提到只改变负载的大小不改变负载的性质时获得的最大功率传输，就是用理想变压器来实现的。