解析几何总复习

空间曲线:
x x( t ) L : y y( t ) z z(t )
曲线
x x( t ) L : y y( t ) z z(t )
在xoy坐标面上的投影曲线为
x x(t ) y y( t ) z 0
x x(t ) y y( t ) z v
6
0 y 6 1 2 2 y x 4 y 3 3 0 z 6 x y
0
.
6
y
4 x 6
例3： 曲面 x 2 y 2 a 2，x 2 z 2 a 2 , x 0, y 0, z 0所围成 的区域
1.
b
ab
ab
a
a
b
a
b
a b
定比分点向量表示
AT TB, 则 OT
O
OA OB 1
A
2.
T
B
(
)
夹角
ab cos(a , b) | a || b |
常用公式： Lagrange恒等式： (a b) (c d ) (a c )(b d ) (a d )(b c )
l1 v1 v2 l2
| ( P1 P2 , v1 , v 2 ) | | v1 v 2 |
v1 v2
P2
( P P , v v , v ) 0 1 2 1 异面直线的公垂线： l : 1 ( P2 P , v1 v 2 , v 2 ) 0
l
直线的一般方程:
(2).参数方程：
z M
x f (t ) 曲线 C z g (t )
绕 z轴旋转一周
( f (t ) 0)
P
i
o
得旋转曲面
i
x
x f (t ) cos S : y f (t ) sin z g (t )
其 : (i， ) 中 PM
~
设：
A (aij ) (i , j 1,2,3), X ( x
y z)
坐标变换： ( x
y z ) ( x
y z)
(1) 求A的单位正交特征向量为行向量组成正交矩阵 (2)通过转轴变换消去交叉项 (3)通过配方作移轴变换消一次项
T SO(3)
y z)
X XT
X ( x
A SO(3)
用不等式表示空间区域
例1 曲面 x 2 y 2 z 2 4与 z x 2 y 2 围成的区域 由
z 2 x 2 y 2 z x 2 y 2
得交线L：
x2 y2 1 z 1
.
z 2 x2 y2 与z x 2 y 2
x2 y2 1 围成的区域 x2 y2 z 2 x2 y2
z L
1
x2 y2 1 L: z 0
.
x2 y2 1
. .
o
. .
x
z =0
2
y
例2 平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和x+y+z =6 所围成的区域 z
新原点旧坐标:
O ( x0 , y0 , z0 )
*
x* * y z*
* x0 x * A y y0 z z* 0
x * x0 x * T y A y y0 z* z z 0
消去z

f ( x, y) 0 F2 ( x , y .z ) 0
则 f ( x, y ) 0 是曲线 L 在xoy坐标面上的投影柱面
f ( x, y ) 0 是曲线 L 在xoy坐标面上的投影曲线 z0
参数方程：
空间曲面:
x x( u, v ) : y y( u, v ) z z( u, v )


P0 ( x0 , y0 , z0 )
定义 设n 是实数，函数F (x, y, z) 满足F(tx,ty,tz)= t F (x, y, z) ， 则称 F (x, y, z ) 为关于x, y, z 的n 次齐次函数，F (x, y, z)= 0 称为关于x, y, z 的n 次齐次方程． 定理 关于x, y, z 的n 次齐次方程表示以坐标原点为顶点的锥面．
l:
A1 x B1 y C1 z D1 0 A2 x B2 y C 2 z D2 0
n1 r D1 0 n2 r D2 0
其方向向量:
v n1 n2
过直线 l 的平面束方程:
( A1 x B1 y C1 z D1 ) ( A2 x B2 y C2 z D2 ) 0
o
y
x
双曲面的渐进锥面
z
x2 y 2 z 2 双叶： 2 2 2 1 a b c x2 y2 z2 渐进锥面： 2 2 2 0 a b c
o
y
x2 y2 z2 单叶： 2 2 2 1 a b c
x
椭圆抛物面
x y 2 z 2 a b
内部
2
2
z
x y 2 z 2 a b
X X X0
X 0 ( x0
y0
z0 )
O* ( x0 , y0 , z0 ) 取若已知三个过新原点
且互相垂直的平面为新的坐标面
Z*
y*
0* 0
x* P（x*,y*,z*）
z*
Y*
x*
.
.
a1 x b1 y c1 z d1 * x 坐标变换: a12 b12 c12 旧原点新坐标: * a 2 x b2 y c2 z d 2 y 2 2 2 * * * a 2 b2 c2 O( x0 , y0 , z0 ) z * a3 x b3 y c3 z d 3 2 2 a3 b32 c3
四. 二次曲面
1.球面
( x a)2 ( y b)2 ( z c)2 r 2
球面方程一般形式：
Ax 2 Ay 2 Az 2 2Bx 2Cy 2Dz E 0
（1）没有交叉项 （2）平方项系数相等且非零
椭球面
z
2 2
x y z 2 2 1 2 a b c
绕 直线 l: x x0 y y0 z z0
X
l
Y
Z
旋转
MN l | P0 M || P0 N |
.
N ( x1 , y1, z1 )
M
且有
F1 ( x1 , y1 , z1 ) 0 F2 ( x1 , y1 , z1 ) 0
C
.
S
椭球面内部
2
c
o
2
b
y
x y z 2 2 1 2 a b c
x
2
2
a
单叶双曲面
z
x y z 2 2 1 2 a b c
内部
o
2
2
2
y
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
x
单叶双曲面是直纹面
x2 y2 z2 2 2 1 2 a b c
含两个直母线系
.
F1 ( x , y .z ) 0 L: F2 ( x , y .z ) 0
空间曲线:
F1 ( x , y .z ) 0 L: F2 ( x , y .z ) 0
L
v

P1 ( x1 , y1 , z1 )
v ( X ,Y , Z )

P ( x, y, z )
3.旋转面：
F1 ( x, y, z ) 0 F2 ( x, y, z ) 0
l
母线 C:
x x0 y y0 z z0 旋转轴 l: X Y Z
C
曲线
F1 ( x , y , z ) 0 C: F2 ( x , y , z ) 0
v
r r0
a
r0
O
r
r ( x, y, z ), v ( X ,Y , Z ), r0 ( x0 y0 z0 )
平面:
n ( A, B,C)
nr D 0
Ax By Cz D 0
点 P* ( x* y* z* ) ，直线 l : r tv r0，平面 : nr D 0 之间 的相关位置：
平行于平面 Ax By Cz D 0 的平面束方程:
Ax By Cz 0
, 不全为零
三. 空间曲线和曲面
空间曲面: : F ( x, y, z ) 0 1.柱面 准线： 母线方向：
P1 P // v
x x1 y y1 z z1 t X Y Z
P0
消去 x1 , y1 , z1 即得旋转曲面 S的方程.
以坐标轴为旋转轴的旋转面： （1）一般方程： 曲线 C f ( y, z ) 0 x 0 得旋转曲面 绕 z轴旋转一周
z
C
2 2
S：f ( x y , z ) 0
o
y
坐标面上曲线绕该坐标面内坐标轴旋转所得旋转曲面方程 可通过在母线方程中保留与坐标轴同名的坐标不变，将另 一个用其他两个坐标的平方和的平方根代替而获得
在xoy坐标面上的投影柱面为