浅谈解析几何教学中的思维训练
高中数学教学中如何培养学生的思维能力
高中数学教学中如何培养学生的思维能力摘要：数学教学实践表明，激发与引导学生的思维，是提高课堂教学效率的有效手段。
数学教学作为一种思维教育、素质教育，它的主要任务之一就是培养学生的数学思维能力，这也是每一位数学教师必须认真思考的问题。
关键词：高中学生；数学思维能力；培养策略数学作为一门基础科学，已越来越多地渗透到各个领域，成为各种科学技术、生产建设、文化教育、日常生活等不可缺少的工具。
数学教学作为一种思维教育、素质教育，培养学生的数学思维能力是其主要任务之一。
在数学教学中，只有多方式、多途径、有计划、有步骤地启发和调动学生进行积极的思维活动，培养学生创造性思维与数学思维能力，才能使他们适应社会的发展。
一、用链接式的方法训练学生的思维让学生在课堂上听懂教师讲的课并不难，让他们仿照例题解几道题也完全可以，但是要让学生用学过的知识去解决一个新的问题就不是轻而易举的事了。
对此，教师必须放弃“前提——结论”式的教学模式，以思维为主流，用链结式的方法使学生展开思路。
例如，数列概念一节，教师可以采用链接式的方法进行教学。
由集合的概念→引入数列概念→列举出课本中的几个数列→对比集合的特点→结合实例归纳出数列的特点→对比集合中的元素→引出数列中的项→由此得出其序号→由序号与项的对应→联想到映射→一一映射，整个过程都是联系对比学生所学知识，能很自然地引出新的问题，既突出了重点，又化解了难点，并且把所有知识串联起来，一气呵成。
二、以言育情，吸引学生的动情思维语音是思维工具，是数学教师的重要素养之一。
教师的课堂教学语言应声情并茂、言简意赅、准确生动、启发性强、思维严密，达到系统性与逻辑性、趣味性与艺术性的完美和谐统一，进而使学生的情思盎然。
教师在进行教学时，语言要简单、明了、形象，具有可行性、通俗性，不能含糊其词、模棱两可，否则会引起学生的思维混乱。
在数学教学中，教师的教学语言具有号召力，有利于教学信息的有效传输，有助于学生形成生动活泼、动情思维的学习状态，因此，教师在教学中应当注重以言育情，使学生用耳去听，用心领会，用脑思维。
落实新课程标准,培养数学思维能力——以高中解析几何教学为例
在高 中数学 的教 学过程 中，以前 的教 学方法是 以教 师 的教 为主体 ，不注重学生的实践 能力 。在新课程标 准下 ，结 合 了教 师的教 、学 生的学 、课 堂的评为 一致性 的教 学方 法， 做 到 以学生为主体 。关注学 生的思维逻 辑 、学 －＞－ｊ状 态等 ，新 课程标 准理 念从教 学 中做 出 比较大 的 改革 ，在教 学 中则 更 注 重于把数 学与 日常生活紧密联 系在 一起 ，让学 生体验到数 学在 日常生活中的实际应用 。因此，高 中数 学要提高教学质 量 ，得从培养学生数学思维能力开始。
２ （０ 总１第８年３００２５期月 ）
■理种研生 ／数 学
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Ｎ Ｓｏ ｅ． ｒ０ ｉａ５ｌ ，２ Ｎ０ｏ１８ ． ３０２
落实新课程标准 ，培 养数学思维能力
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—
以高 中解析 几何教 学为例
戴 荣
（江苏省 包场高级 中学 ，江 苏 南通 ２２６１００）
【摘 要 】在教 育改革 新课 程标准的理念 下，解析几何在 高中的数 学课 程 中是重 点题材 ，难度也是 比较 大 ，如果 不能够及 时发现 学生遇到的 问题帮助其解惑 ，那在教 学 当中是 不利的。本文以解析 几何教 学为例 ，提 出了当前高中生在数学解析几何
一 、 思维能力培养的障碍
１．学 习 态度 不端 正 数学这 一 门课 程对 思维逻辑 要求比较 高 。高 中的数 学 几何 学 ＞－－ｊ方法更是重 点难 点，学生不愿意 动脑 筋思考 ，所有
的题 目答案都等着老 师在课 堂依赖性太强 。这对 于 数学提 高教 学质量造 成 了极大影响。
解析几何解题思维策略
策略3.特殊与一般
例
4（2014
年浙江高考）如图，设椭圆
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a
b 0) ，动直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点
P ，且点 P 在第一象限． （Ⅰ）已知直线 l 的斜率为 k ，用 a,b, k 表示点 P 的坐标；
y kx m
【分析】设直线 l 的方程为 y
kx mk
且由韦达定理得
xP
xP
2a2km b2 a2k2
．由点
P
在第一象限，
xP
a2k b2 a2k2
故点 P 的坐标为
a2k
,
b2
．
b2 a2k2 b2 a2k2
策略3.特殊与一般
y
A( 3,1)
M
E
F
N
O
x
策略3.特殊与一般
y
A( 3,1)
M
E
F
N
O
x
策略3.特殊与一般
y
A( 3,1)
PQ MO AO a
主抓运算、更重分析
主抓运算、更重分析
例3.
已知椭圆C：x 2 4
y2
1 ，过点P(0,-
3 5
)作直线交C于A、B两点，
是否存在一个定点Q在以AB为直径的圆上？若存在，求出定点坐标；
若不存在，说明理由.
策略2：熟悉一些常用方法（例如点差法）
策略2: 熟悉常用方法之点差法
2
2
对称.
(I)求实数m的取值范围；
(II)求AOB面积的最大值(O为坐标原点).
常用方法：点差法！
方法本质：对称点的中点和它们连线的斜率的关系.
试析高中解析几何的学习障碍与解决方法
试析高中解析几何的学习障碍与解决方法高中解析几何是数学课程中的一项重要内容，其涉及到平面几何、立体几何、向量、解析几何等多个方面的知识。
由于解析几何的抽象性、复杂性和逻辑性，学生在学习过程中容易遇到各种障碍。
本文将从学习障碍出发，分析高中解析几何的学习障碍，并提出一些解决方法。
一、学习障碍1. 抽象性强解析几何是一门较为抽象的数学学科，许多定理、概念需要学生充分理解并掌握。
对于一些学生来说，抽象性强的知识往往难以理解和运用，导致学习难度加大。
2. 逻辑性强解析几何的学习需要学生具备较强的逻辑思维能力，能够理清各种定理和命题之间的逻辑关系。
一些学生缺乏逻辑思维的训练，导致在解析几何学习中遇到困难。
3. 缺乏实际运用解析几何是一门理论性较强的学科，但是在学习过程中往往缺乏实际的运用场景，学生难以将所学知识与实际生活联系起来，形成认知隔阂。
4. 数学基础薄弱许多学生在学习解析几何前，数学基础较差，对于向量、坐标等数学概念认识不够清晰，导致后续的学习更加困难。
二、解决方法1. 提高抽象思维能力针对解析几何抽象性强的特点，学校可以加强学生的抽象思维能力培养，通过丰富的例题和练习，引导学生从具体事物中抽象出解析几何中的基本概念和方法，帮助学生更好地理解和掌握知识。
2. 强化逻辑思维训练解析几何需要学生具备较强的逻辑思维能力，学校可以增加逻辑思维训练的内容，包括逻辑思维课程、逻辑思维能力测试等，帮助学生提升逻辑思维水平，为解析几何的学习打下基础。
3. 增加实际应用案例学校在教学过程中可以增加一些解析几何的实际应用案例，例如航空航天、工程测绘等领域，让学生了解解析几何在实际生活中的应用，增强学生的学习兴趣，提高学习积极性。
4. 补充数学基础知识对于数学基础薄弱的学生，学校可以采取差异化教学的方式，对这部分学生进行有针对性的辅导和补课，帮助他们夯实数学基础知识，为解析几何的学习打下基础。
高中解析几何的学习障碍主要包括抽象性强、逻辑性强、缺乏实际运用、数学基础薄弱等问题。
“解析几何”中常用的数学思想方法
“解析几何”中常用的数学思想方法数学思想是数学的灵魂，是将知识转化为能力的桥梁，也是解决问题的思维策略．《解析几何》内容中蕴含着丰富的数学思想，例谈如下：1.数形结合的思想数形结合是研究曲线与方程的最重要的思想方法．应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.例1．如图,圆O 1与圆O 2的半径都是1,O 1O 2=4,过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PM =,试建立适当的坐标系，并求动点 P 的轨迹方程．思路分析：本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：ＰＭ＝PN 2,即 ＰＭ２＝２ＰＮ２，结合图形由勾股定理转化为：)1(212221-=-PO PO ,设P(x ,y ),由距离公式写出代数关系式,化简整理得出所求轨迹方程解：以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则O 1（-2，0），O 2（2，0），由已知：ＰＭ＝PN 2,即ＰＭ２＝２ＰＮ２，因为两圆的半径都为1,所以有：)1(212221-=-PO PO ，设P （x ,y ）则（x +2）2+y 2-1=2[(x -2)2+y 2-1]，即33)6(22=+-y x综上所述，所求轨迹方程为：33)6(22=+-y x （或031222=+-+x y x ）． 2.分类讨论的思想所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。
实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。
例2．在平面直角坐标系中，已知矩形ＡＢＣＤ的长为２，宽为１，ＡＢ、ＡＤ边分别在ｘ轴、ｙ轴的正半轴上，Ａ点与坐标原点重合（如图５所示）．将矩形折叠，使Ａ点落在线段ＤＣ上．（Ⅰ）若折痕所在直线的斜率为ｋ，试写出折痕所在直线的方程； （Ⅱ）求折痕的长的最大值。
高中数学解析几何解题策略意识培养的研究
高中数学解析几何解题策略意识培养的研究摘要：高中阶段是培养我们的创新思维的黄金时期，并且对我们的数学创新思维的形成具有特别重要的影响。
分析几何是高考数学的重要组成部分，在所有问题类型中占相对较高的比例。
所谓解题策略，是指选择、组合、改变或者操作背景命题的一系列规则，以便填补问题的固有空隙。
其功能就在于减少尝试与错误的任意性节约解题时间。
解题策略就是解决数学问题的思想方法，是为了实现解题目标而采取的方针，同时也是增强效果、提高效率的艺术。
关键词：高中数学；解析几何；解题技巧引言：在整个高中数学知识体系中解析几何非常重要。
我们数学教育工作者，要站在新的高度来改进数学教学，用现代教学观指导教学。
现代认知心理学家从信息加工的观点得出，策略性知识是个体关于如何获取知识的知识，这种知识侧重于学习或问题解决过程中隐藏在“事实知识”背后的内在方法，即反省事实“为什么”和“怎么样”。
数学教学的核心任务就在于教会学生学习与学会应用数学策略性知识，使之学会高效率学习，并且高效率解决问题的方法和技巧。
因此，数学教学过程中促成学生对策略性知识的学习是现代数学教学的显著特征，也是现代数学教学的要求。
1、高中数学引入解析几何的重要性分析教师在多年的教学实践中，逐步得出一些解决数学问题的通用性解题策略。
我们结合高中数学解析几何的特点和教学实际，用具体的案例介绍了常用的解题策略与解题技巧，即模式识别策略、化归变换策略、差异分析策略、逆向思维策略、动静转换策略、数形结合策略等。
策略性知识是高层次的信息处理方法，它可以节约学习所需要的时间和精力，使成功具有更大的可能性。
通过策略性知识教学使学生的学习欲望增强，逐渐形成合理的成败归因类型，同时促进了学习策略向其他学科之间的广泛迁移，解决了学生学习中长期存在的难点。
教学实践证明，教师有意识地对学生进行解题策略意识培养和训练，有助于学生数学成绩的提高。
2、强化运算素养在高中阶段，学生所遇到的数学是围绕对基本概念的深入探索而展开的，特别是解析几何的各个部分，它们需要对联立方程和三维几何图形的概念有透彻的理解和掌握一些学生害怕这类问题。
高中数学解析几何的思路与方法
高中数学解析几何的思路与方法解析几何是高中数学的重要组成部分，它涉及到坐标系、方程、图形等多个方面。
在学习解析几何时，我们需要掌握一定的思路和方法，才能更好地理解和掌握相关知识。
一、理解基本概念解析几何涉及到许多基本概念，如坐标系、方程、向量、曲线等。
在学习时，我们需要对这些概念有清晰的认识，并能够正确地理解它们的含义和用途。
只有掌握了基本概念，才能为后续的学习打下基础。
二、掌握解题方法解析几何的解题方法有很多，如代入法、配方法、几何法等。
在学习时，我们需要掌握这些方法的基本原理和使用技巧，并能够根据题目要求选择合适的解题方法。
同时，我们还需要多做练习，积累解题经验，不断提高解题能力。
三、建立坐标系在解析几何中，建立坐标系是解题的重要步骤。
通过建立合适的坐标系，我们可以将曲线上的点用坐标来表示，从而方便地求出曲线的性质和形状。
在建立坐标系时，我们需要根据题目的要求和曲线的情况选择合适的坐标系，如直角坐标系、极坐标系等。
四、利用方程求解解析几何中的方程是联系曲线和数值的桥梁。
通过解方程，我们可以得到曲线上点的坐标，进而求出曲线的性质和形状。
在学习时，我们需要掌握方程的基本形式和求解方法，如联立方程、化简方程、代入数值等。
同时，我们还需要注意方程的解法和数值的取值范围，避免出现错误和遗漏。
五、结合图形理解解析几何是一门与图形密切相关的学科，通过图形可以更加直观地理解曲线的性质和形状。
在学习时，我们需要结合图形来理解解析几何的知识，如通过画图来理解坐标系和方程的含义和作用，通过观察图形来分析曲线的性质和特点等。
同时，我们还需要注意图形的形状和特点，以便更好地理解和应用解析几何的知识。
六、拓展应用领域解析几何不仅在数学领域中有广泛的应用，还在物理、工程、经济等多个领域中有着重要的应用价值。
在学习时，我们需要了解解析几何在不同领域中的应用情况，并能够根据实际情况选择合适的解题方法和应用领域。
同时，我们还需要注意不同领域中的问题特点和应用要求，以便更好地解决实际问题。
培养学生抽象思维的教学指导
培养学生抽象思维的教学指导抽象思维是指能够从具体事物中抽象出普遍规律、概念、原则的思维能力。
在现代教育中，培养学生的抽象思维已经成为教学的重要目标之一。
本文将介绍几种教学指导方法，帮助教师有效地培养学生的抽象思维。
一、引导学生提炼共性特征在教学过程中，教师可以通过引导学生观察、比较、归纳等方式，帮助学生提炼出事物的共性特征。
比如，在学习解析几何时，教师可以引导学生观察不同图形的顶点、边数、角度等特征，让学生通过比较和归纳找出规律，进而形成几何图形的定义和性质。
二、鼓励学生进行概括归纳在知识掌握一定程度后，教师可以引导学生进行概括归纳，将不同的现象、概念进行分类整合。
比如，在学习数学时，教师可以要求学生将学过的数学公式按照不同的性质进行分类，并且要求学生给出每类公式的定义和适用范围。
通过这样的练习，学生可以更好地理解和运用不同的数学公式。
三、进行思维导图训练思维导图是一种用图形化方式表示思维过程和思维结构的工具，可以帮助学生整理和梳理知识，培养抽象思维能力。
教师可以要求学生根据所学知识，制作思维导图，将知识点和概念之间的关系图形化展示出来。
这样的训练可以帮助学生理清思路，提升他们的抽象思维能力。
四、开展实践活动抽象思维是需要实践基础的，教师可以组织学生进行实践活动，培养他们的抽象思维。
比如，在学习生物时，教师可以带领学生去实地考察生物的生长环境、形态特征等，并结合所学理论知识，让学生进行观察、实验、分析，从而培养学生的抽象思维和科学实验能力。
五、提供类比思维训练类比思维是一种将已有的知识、经验应用到新情境中的思维方法。
教师可以通过提供不同领域的类比案例，引导学生将已掌握的知识和经验应用到新的问题上。
比如，在学习语文时，教师可以给学生提供一个与所学文章类似但又不完全相同的情境，要求学生运用已有的知识和经验进行类比思考和解决问题。
总之，培养学生的抽象思维是教学中至关重要的任务。
通过引导学生提炼共性特征、概括归纳、进行思维导图训练、开展实践活动以及提供类比思维训练等教学指导方法，可以有效提升学生的抽象思维能力。
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浅谈解析几何教学中的思维训练
思维是数学的灵魂，数学教学的核心是思维训练。
我在课堂实践中，将思维教学贯穿于数学教学，既提高学生思维的积极性、深刻性、灵活性和广阔性，又激发学生对数学自主学习的能力，收到了良好的教学效果。
本文试就解析几何教学中思维训练做一些探究。
一、展示知识的形成过程，激发学生思维的积极性
几何教学是一个逻辑性很强的思维活动的过程，它包含传授知识和发展能力两个方面的要求。
知识是思维的产物，它的发生、发展、深入过程就是一个思维训练过程，如果能加强知识形成过程的教学，把结果教学转变为过程教学，将发现过程返璞归真地交给学生，让他们清楚地感受集合逻辑体系，而不是“固定”的定义、公式、定理。
这样就能有效地发挥书本知识的思维价值，激发学生思维的积极性。
如在数学概念的教学中，让学生明确数学概念是现实世界事物（数量关系和空间形式）的本质属性在人们头脑中的反映。
教学中首先要淡化概念，根据教材特点，选择教学方法，揭示概念的发生过程，呈现概念的形成过程，从而让学生掌握概念的本质属性。
在讲授椭圆的概念时，我准备了四颗钉子、两根细绳、两根粉笔，让六名学生分成两组到黑板前面自己动手演示，得出椭圆是由到两个定点（两颗钉子）的距离和是常数（一根绳长）点的轨迹的结论。
在具体过程中让学生总结出必须在满足绳长大于两颗钉子的距离时，轨迹才是一个椭圆。
而且，发现随着两颗钉子的距离的改变，椭圆的形状也发生变化等等。
在此基础上进行方程的推导、应用也就水到渠成。
这一节课，学生们兴趣盎然，思维积极。
通过对概念的展示，不仅大部分学生完全掌握了概念，而且在此为基础推导出椭圆的方程，突破教学难点，抓住教学重点，为后面的学习打好基础。
实践证明，让学生直接参与发现知识的发生与形成过程，有利于克服认知领域的困难，引发头脑中智慧的火花，伴随着积极思维所带来的成功的愉悦，学生们的学习兴趣和求知欲望进一步被调动起来，由于教师把枯燥的原理形象化了，把抽象的结论具体化了，使得学生学得轻松，学得愉快，学得好，记得牢，用得活。
二、重视数学思想的渗透，提高学生思维的深刻性
数学思维是数学知识的灵魂，是对教学规律的理性认识。
解析几何是一门基础学科，它的基本特点是数形结合、形象思维。
在教学中，教师注意培养学生思维深刻性品质，引导学生领悟教学内容所蕴涵的思想方法，及时渗透一些类比、化归、数形结合等数学思想，提高学生的能力，发展学生的智力。
如在教学圆的方程时，把高中新知识与初中学习过的点与圆、线与圆、圆与圆的位置关系相衔接。
在教学双曲线、抛物线时与刚学过的椭圆知识相对照，既注意知识的纵向联系，又注意知识结构中横向联系，帮助学生架起新旧知识的“认知桥梁”，逐渐形成类比的思想意识。
数与形在学生的脑海中犹如油和水，是两个完全分离的事物，要让学生转变观念，就必须用事实让学生知其然，并让学生知其所以然，学生才能心服口服。
而圆锥曲线中点与曲线、直线与曲线、曲线与曲线的位置关系中一些问题结合图形才能解答。
又如曲线交点则要通过联立方
程组由解的个数才能确定等。
很显然，在教学中有意识地渗透一些数学思想方法，让学生从不自觉到自觉地运用这些科学方法对问题进行分析、归纳、总结、概括。
从而克服思维的盲目性，提高思维的深刻性，实现由“学会”到“会学”的转变。
三、注重技能方法的训练，培养学生思维的灵活性
技能的训练是学生把知识、思想方法内化的过程。
它是巩固知识、培养能力、发展智力的重要途径。
因此也是教学过程的重要组成部分。
在教学中，教师要注重问题的典型性，以质保量，以少胜多，充分挖掘题目中知识因素和能力因素，引导学生触类旁通。
同时，注意对题目进行变式、变形和延伸，让学生的思维进一步发散，在动态中开发智力因素。
合理地转化或变更问题是衡量思维的灵活性的重要标志，培养学生思维的灵活性，就是使学生思维始终处于那种“追求从另一角度观察和思考问题”的动态之中。
如问题一：已知圆的方程x 2+y 2=2，当b 为何值时，直线y =kx +b 与圆有两个交点；一个交点；没有交点。
变式一：集合M=｛)
,(y x y =x x 22+-｝，N=｛),(y x y =k （3-x ）+1｝，且M N =○，则k 的范围。
变式二：设直线y=kx+1及曲线x=
12+y 有两个不同的交点，求k
的取值范围。
变式三：试问能否找到一个斜率为k （k ≠0）的直线1与椭圆32x +2y =1
交于两个不同的点M 、N 且使M 、N 到点A （0，-1）的距离相等，若存在，
试求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由。
又如问题二：过抛物线y=a 2x （a ＞0）的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为p 、q ，则p 1+81
等于（ ） （A ）2a （B ）a 21
（C ）4a （D ）a 4
这个问题可以先让学生各抒己见，发表意见，然后引导学生分别从交点弦长、直线的参数方程、极坐标、矩形、极限等角度解决问题。
通过一题多解，培养学生思维的灵活性。
另外，教学中还要选择一些常规方法难以解决或解法很繁而用某种特殊方法却能迅速获解的题目来启迪学生思维，消除思维定势的影响，跳出常规解法的圈子，从而培养思维的灵敏性。