时变电磁场

2020/7/7
第六章
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6.3 麦克斯韦方程组
一、麦克斯韦方程组
麦克斯韦将电场与磁场的环量及通量方程，推
1、广微至分时形变式电：磁场 中EH， 就J成B为D 其t 方程有组有旋旋。
40
t
无散
(6-3-1)
B 0
D
有散
41
时变电场有散有旋，即电力线可以是闭合的（有旋），也可以是不闭合的
求当 f1 1MHz 和 f1 1GHz 时，位移电流同传导
电流幅值的比值。
解：J位D 移 电Dt流密D度为0：rE 0r Em sin t
其幅值为：Jdm 0r Em
传导电流密度为：Jc E Em cost
其幅值为：J cm Em
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则位移电流与传导电流幅值之比为：
J D t
(6-2-3)
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3、安培环路定律的修正：
Hale Waihona Puke Baidu
(J JD) 0 (H) 0
于是H安H培J环路JJD定律J（D6-2Dt-1)式(6-2被-4)安修培正环路为定律: 的微11分形式 t
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二、全电流定律：
1、全电流：含传导电流、运流电流、位移电流。其 中传导电流、运流电流称真实电流。
Jdm 0r Em 0r
比较运算结果发
当
Jcm Em
f1 1MH时，z
Jdm 0r 1.125 10 3
现：当频率越高 时，位移电流越 大，即变化的电 场产生的磁场也
Jcm
越大。这就是为
当 f1 1G时H，z
什么，时变电磁 场在实际应用中
Jdm 0r 1.125 Jcm
往往使用较高频 率的缘故。
时变电磁场的特点
❖ 电场和磁场不再独立,而是互相依存、互相转 化。即变化的磁场会产生电场；变化的电场 也能产生磁场。电场和磁场不可分割地成为 统一的电磁现象。
❖ 时变电磁场的核心理论是麦克斯韦方程组。
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６.１ 法拉第电磁感应定律与麦氏第二方程
一、法拉第电磁感应定律(实验):
1、数学表示式:
感应电场 Ei为单位正电荷所受的力：则
Ei
感应电动势 为：
vB i C
Ei
dl
d dt
(v B)dl
(6-1-1)
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2、变压器次级线圈中产生的电动势： n1 n2
~
导体回路静止不动，磁场 B是
时间 t 的函数.则:
i
d d
C Ei dl
dt
dt
（有散）；时变磁场则是有旋无散的，故磁力线永远是闭合的。
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2、积分形式：
H dl J dS
D
dS
C
S
E dl
B
S
dS
t
C
S t
(6-3-2)
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3、麦克斯韦第二方程：
若静止 媒质中既有感应电场 Ei ，又有
库仑场 E库 ，其总电场为 E ，则
库仑场是无旋的
E ＝ Ei＋ E库
而 E库 dl 0 C
环量
故
E dl
S
B t
dS
(6-1-6)
C
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据斯托克斯定理: 则
E
B
t
(6-1-7)
B dS
S
回路静止不动,则S与时间无关,即微分号可以从积
分号外移到积分号内,再考虑到 B 可能不仅仅是 t
的函数,它还可能是空间位置的函数,故将微分号改
故
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写成偏i 导C数E,以i d使l其第具六章有S 普Bt遍 d意S 义.
(6-1-2)
5
3、导体回路以速度 v运动时，且
左边 H 0
右边
时变情况下,
t
0
真实电流 传导 运流
电流连续性方程
J
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t
缺陷
即(6-2-1)式两边取散度后,时变情况,左边不等于右边.
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2、位移电流：
D
而电流连 续性( 方程D为)
J
0
t
J
0
t D
即 (J ) 0 (6-2-2)
定义：
t D
位移电流密度
上式说明:变化的磁场能产生电场,
且电场不再是无旋场.
同理:当
B t
0
时,则
E
0
说明:恒定磁场是独立的,若其中存在电场, 也必是库仑场或恒定电场,为无旋场.
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6.2 位移电流和全电流定律
1、安培 环路定律：
CH dl I
H J (6-2-1)
对上式两边取 散度,则:
2、全电流定律 ： H J
D
t
( H) dS J dS
D
dS
S
S
S t
由斯托克 斯定 理：则
D
CH dl SJ dS S t dS
(6-2-5)
上式说明：变化的电场能产生磁场。
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例：海水的电导率 4s m，相对介电常数r 81， 若设海水中的电场是按余弦变化的，E Em cost ,
则
i
C
Ei
dl
d dt
S
B t
B
dS
是时间
C (v
t 的函数。
B) dl
(6-1-3)
据斯托克斯定理：得
E
B
(v
B)
t
(6-1-4)
三、麦克斯韦第二方程：
2020/7/17 、静止i闭合C导E体i d回l路第C六，章S 法Bt拉 第dS电磁感应定律为：6
2、推论：
导体回路C
任意媒质以至真空中的任意闭
合曲线C，由于媒质中导电率不同（导电能力的
不同），曲线C中不一定产生感生电流，但只要C
中的磁感应强度对时间的变化率
B t
0 ，则曲
线C上就必定有感应电动势，周围媒质中也必定
即有感应i 电C场EiE dil存在 （S 因Bt闭 d合S 曲线C的任意性）。
其中C为任意媒质中的任意闭合曲线.
. i
i
C
Ei
dl
d dt
d dt
B dS
S
上式说明:感应电场的环路线积分值不恒为零.
即感应电场为有旋场。
闭合导线中处处有 i ，处处有
Ei
。
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二、导体回路中磁链对时间的变化率：（单匝）
1、发电机中的电动势：
导体回路对恒定磁场 B 有相对运动 v 。
由受洛 力仑 为兹公 式df，导dq体(v回路B线) 元 dl 中的元电荷 dq
i
d dt
d dt
B dS
S
物理意义:通过任意闭合导线回路的磁通发生变化,回路中就会产生感
应电流,感应电流的产生可以认为是产生了感应电动势 ,其大小等于
回路中磁通对时间的变化率,方向为感应电流的磁通总是阻止与回路相交
链的原来的磁通的变化. i
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2、感应电场 Ei：
环路积分为感应电动势