时变电磁场
时变电磁场的波动方程式
时变电磁场的波动方程式
哎呀，今天我们在学校学到了一些很有意思的东西，老师说今天要讲“时变电磁场的波动方程式”。
我有点听不懂，心里咯噔一下。
老师笑了笑，开始用小故事给我们解释。
她说：“想象一下，你在湖里丢了一颗石子，哗啦啦，一圈圈的波纹就扩散开来了。
”哇，听得我眼睛都睁得大大的，脑袋里嘀咕着：“原来是这样呀！”
老师又说：“电磁波也像这样在空间里传播。
当电场和磁场变来变去，就像石子的波纹一样，一波一波地传播开去。
”我突然觉得，好像能听到‘嗡嗡’的声音，电磁波就在空中嗡嗡地跑来跑去啦。
老师接着讲了一个神奇的公式，“时变电磁场的波动方程式”，虽然我还是不太懂，可是我记住了这个好长好长的名字。
老师还告诉我们，这个公式就像魔法一样，可以让我们知道波纹是怎么在空间里动的！
“哇，原来波浪是这么神奇的东西呀！”我在心里偷偷地想。
下午，我还忍不住模仿着电磁波的样子，一边“嗡嗡”地跑，一边拍着手，觉得自己像个小小电磁波一样呢。
—— 1 —1 —。
时变电磁场中,数学表达
时变电磁场中,数学表达今天我们要讨论的是时变电磁场的数学表达。
我们将会首先了解时变电磁场的基本概念，然后了解如何使用数学来描述时变电磁场，以及用数学解决时变电磁场的动力学问题。
最后，我们将进一步探讨时变电磁场的实际应用。
时变电磁场是指物体周围与时间有关的电磁场。
它可以被描述为由电场强度E和磁场强度B所组成，电场强度和磁场强度可以根据特定空间点以及时间上的变化来表达。
在物理学中，时变电磁场和时空有着密切的关系。
一般来说，时变电磁场可以定义为由电场强度E和磁场强度B所组成的矢量场，其中电场强度E和磁场强度B根据某一特定空间点和时间上的变化表达出来。
那么，如何使用数学来描述时变电磁场呢？最常用的方法是使用微分方程。
更具体地说，根据电磁学的基本原理，可以导出一个非常重要的时变电磁场的微分方程组，即Maxwell方程，用于描述时变电磁场的动态变化。
这组方程表达出时变电磁场的物理变化，因此可以得到时变电磁场的数学表达。
Maxwell方程是用于描述时变电磁场动态变化的一组通用的微分方程，通过解决Maxwell方程组，我们可以得到时变电磁场的具体表达。
Maxwell方程的特征在于它描述的是电磁场的动态变化而不是静态特征。
因此，只有解决Maxwell方程组，我们才能够正确描述时变电磁场。
另外，Maxwell方程还可以用于求解时变电磁场动力学问题。
这是因为Maxwell方程组描述的是时变电磁场的动态特性，这些特性受时空结构的影响而变化。
通过解决Maxwell方程组，可以计算出某一特定时间点上电场强度和磁场强度的分布情况，从而研究时变电磁场在不同时间点上的变化特性。
最后，我们来看看时变电磁场的实际应用。
时变电磁场的应用主要涉及到电磁力学，电磁辐射，电磁波和时变电磁场的传播等领域。
例如，时变电磁场可以用于电路的仿真和设计，特别是在高频信号处理领域，时变电磁场可用于设计和仿真各种高频电路系统。
另外，时变电磁场还可以用于电磁波传播计算，例如通信领域，电磁辐射领域等。
电磁场第五章 时变电磁场
H2
同理得
en
(E1
E2
)
0
或
E1t E2t
5.4.2 两种常见的情况 1. 两种理想介质分界面
上的边界条件
在两种理想介质分界 面上，通常没有电荷和 电流分布，即JS＝0、ρS ＝0，故
en
媒质 1 媒质 2
Er、Hr 的切向分量连续
en
媒质 1 媒质 2
Dr、Br的法向分量连续
en
dt
BgdS
S
即
Ñ 若空间同时存在由电荷产生的电场
rr r 。E由 于Ein Ec
，故有
C
rr Ec gdl
0
Er c,则总电场
应Er为
与Erin 之E和rc ，
rr d r r
ÑC Egdl
dt
S BgdS
这就是推广的法拉第电磁感应定律。
2. 引起回路中磁通变化的几种情况：
(1) 回路不变，磁场随时间变化
2.6.2 麦克斯韦方程组的微分形式
H
J
D
E
t B
t
B 0
D
麦克斯韦第一方程，表明传导电 流和变化的电场都能产生磁场
麦克斯韦第二方程，表 明变化的磁场产生电场
麦克斯韦第三方程表明磁场是 无源场，磁力线总是闭合曲线
麦克斯韦第四方程， 表明电荷产生电场
5.3.2 媒质的本构关系
在时变的情况下不适用
解决办法： 对安培环路定理进行修正
由
D
J
(
D)
将
H
J
修正为：
H
t J
D
t
时变电场会激发磁场
(J
D )
5.1 电磁感应定律 5.2 全电流定律
Φ=∫
S
r r r r B ⋅ d S = B ⋅ en S
α =ω t
r r = ( e y B0 sin ω t ) ⋅ ( en hw ) = B0 hw sin ω t ⋅ cos α = B0 hw sB hw(cos dt
0
2
ω t − sin 2 ω t )
r r ∂D Jd = 位移电流密度： 位移电流密度： ∂t
位移电流密度等于电位移矢量的时间变化率
单位 A/m2
}
r dq r ∫ Jd ⋅d S = d t S
5.2.3 全电流定律
r r 将传导电流与位移电流的总和称为全电流： 将传导电流与位移电流的总和称为全电流： J c + J d
r r r r r ∂D r ⋅d S 安培环路定律扩展为： 安培环路定律扩展为： ∫ H ⋅ d l = ∫ J c ⋅ d S + ∫ ∂t l S S
ε
dΦ d r r ε =− = − ∫ B⋅d S dt dt S
楞次定律
直观理解：感应电动势的符号总是与磁通变化率的正负相反 直观理解：感应电动势的符号总是与磁通变化率的正负相反 物理含义：闭合回路中，感应电动势产生的感应电流方向， 物理含义：闭合回路中，感应电动势产生的感应电流方向，总是使得它 所激发的磁场阻碍引起感应电动势的磁通量的变化。 所激发的磁场阻碍引起感应电动势的磁通量的变化。 阻碍引起感应电动势的磁通量的变化 感应电动势的分类： 感应电动势的分类： 感生电动势 动生电动势
时变电磁场
电磁感应定律 全电流定律 电磁场基本方程，分界面衔接条件 电磁场基本方程， 坡印廷定理和坡印廷矢量 正弦电磁场 动态位及其积分解 准静态场
第 5 章
电磁场理论 时变场
变化的电流 J 磁准静态场 （MQS）
变化的磁场 B 1 变化的电场 E 1
变化的磁场 B 2
电流、磁场、电场的相互激发关系
磁准静态场 基本方程
B 0 H J
D B E t
磁准静态场特点： 计算磁场忽略位移电流，只考虑传导电流的作用； 传导电流是外加电流与导体中感应电流的总和； 计算电场要同时电荷的作用和感应电场。 磁准静态场的分析：先求磁场，再解电场。若涉及涡 流，则必须电、磁联解。 适应对象：低频交流线圈；低频下一小段同轴电缆； 涡流场等。 似稳条件 R
即： 式中，
2
H H 1 2 z z j k Hz 0 2 r r r
2
。阶数为零的含虚宗量的贝塞尔 k
方程，通解为：
J ( jkr ) C K ( jkr ) C H z 1 0 2 0
K0 ( jkr )
r 0
0 C 2
f (r , t ) jt Im[ 2j f (r )e ] t f (r , t ) (r ) j f t
时谐电磁场
对于正弦矢量函数，一切都类似：
时谐矢量 A(r , t ) 2 A( x, y , z )sin(t ) 定义相量 关
(r ) A(r )e j A
集肤深度 d
2
z
0.71mm, 50Hz Fe：d 0.16mm, 1kHz 5.03 m, 1MHz
9.35mm, 50Hz Cu： d 2.09mm, 1kHz 0.07mm, 1MHz
• 邻近效应
相互靠近的导体通有交变电流时,会受到邻近导体的影 响，这种现象称为邻近效应。频率越高，导体靠得越近， 邻近效应愈显著。邻近效应与集肤效应共存，它会使导体 的电流分布更不均匀。
电磁场与电磁波 第五章时变电磁场
D H J t 位移电流是电流概念的扩充，它不是带电粒子的定向运动 形成的，而是人为定义的，不能直接由实验测出。
l
H dl (J Jd ) dS
S
D J dS dS S S t
年中发生的美国内战 （1861-1865）将会降低为一个地区性琐事而
黯然失色”。
陕西科技大学编写
电磁场与电磁波
第5章 时变电磁场
14
评价
处于信息时代的今天，从婴儿监控器到各种遥控设备、从雷达到
微波炉、从地面广播电视到太空卫星广播电视、从地面移动通信到 宇宙星际通信、从室外无线局域网到室内蓝牙技术、以及全球卫星 定位导航系统等，无不利用电磁波作为传播媒体。 无线信息高速公路更使人们能在任何地点、任何时间同任何人取 得联系，发送所需的文本、声音或图象信息。电磁波的传播还能制 造一种身在远方的感觉，形成无线虚拟现实。 电磁波获得如此广泛的应用，更使我们深刻地体会到19世纪的麦 克斯韦和赫兹对于人类文明和进步的伟大贡献。
D (J )0 t
全电流连续 位移电流
D Jd 陕西科技大学编写 t
电磁场与电磁波
第5章 时变电磁场
7
流进曲面S1的传导电流 S1 S2 等于流出S2的位移电流 ② 位移电流与传导电流、运流电流一样具有磁的效应；
J dS Jd dS
令 l2 0
H 2t H1t J s
磁场： ( H - H ) J 即 en 1 2 S
B1n B2n 电场：H 2t H1t J s
陕西科技大学编写
电磁场与电磁波
第5章 时变电磁场
第七章 时变电磁场
全电流的无散性和连续性
4、推广的安培回路定律的几点说明： 、推广的安培回路定律的几点说明： ①分布电流和时变的电场都是磁场的源
v v r ②位移电流 ∂ D / ∂ t 与分布电流 J 有着本质的区别，∂ D / ∂ t 的
存在并不要求伴随电荷的定向运动，而只是电场的变化率。 ③定律本身无法用实验直接验证。但由此得到的电磁理论与时 变场的所有现象相吻合，从而被间接的得到验证。
π
π
8 频率为 f = 4 × 10 Hz ，写成对应的瞬时表达式。
解： 利用公式 j = e
j
π
2
将所给表达式写成模值和辐角的形式
π
2
H y = 120π e
j
e
− j[ ( x − 2 y − z )+ ] 3 4
π
π
= 120π e
− j[ ( x − 2 y − z )− ] 3 4
π
π
对应的瞬时分量表达式为
例7.1 试证明电容器中的位移电流等于导线中的传导电流 证明：①导线上的传导电流是 I = ∂ Q ∂ t 假设电容器极板面积为S，电荷在极板 上均匀分布，则 Q = ρ s S
K I
S
S1
v d ∂ ρs D 所以传导电流为 I =S ∂t S2 ②由导体的边界条件知 D = ρ s I ∂ D ∂ ρs Jd = = 则位移电流为 图7－1 接有电容器的电路 ∂t ∂t ∂ ρs ③因此 Id = Jd S = S =I ∂t ★位移电流作为传导电流的继续，从电极1 流到电极2
所以复矢量表达式为
π v j[ ( 2 x + ˆ E ( x, y, z ) = x120π e 3
时变电磁场不同介质分界面上的衔接条件
时变电磁场不同介质分界面上的衔接条件
时变电磁场在不同介质分界面上的衔接条件由两个主要方面决定：电场的切向分量和磁场的法向分量。
以下是在不同介质分界面上衔接条件的简要说明：
1. 电场的切向分量：
●切向电场分量（电场强度的切向分量）在分界面上是连续的。
这意味着两个相邻介质的
切向电场分量的大小和方向必须相等。
●假设在介质1中的电场强度为E1，介质2中的电场强度为E2，当电磁波从介质1传播
到介质2时，有E1⊥= E2⊥，即切向电场分量垂直于分界面。
2. 磁场的法向分量：
●法向磁场分量（磁感应强度的法向分量）在分界面上也是连续的。
这意味着两个相邻介
质的法向磁场分量的大小和方向必须相等。
●假设在介质1中的磁感应强度为B1，介质2中的磁感应强度为B2，当电磁波从介质1
传播到介质2时，有B1⊥= B2⊥，即法向磁场分量垂直于分界面。
这些衔接条件基于麦克斯韦方程组和电磁场的连续性原理，确保了电场和磁场在介质分界面上的平滑衔接。
遵循这些衔接条件可以确保电磁波在介质分界面上的传播正确和连续。
需要注意的是，当介质的性质不同时（例如，电介质到导体的分界面），衔接条件可能会有所不同。
在这种情况下，还需要考虑介质表面上的电荷分布和电流分布，以满足电磁场的连续性。
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左边 H 0
右边
时变情况下,
t
0
真实电流 传导 运流
电流连续性方程
J
13
t
缺陷
即(6-2-1)式两边取散度后,时变情况,左边不等于右边.
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第六章
10
2、位移电流：
D
而电流连 续性( 方程D为)
J
0
t
J
0
t D
即 (J ) 0 (6-2-2)
定义：
t D
位移电流密度
B dS
S
回路静止不动,则S与时间无关,即微分号可以从积
分号外移到积分号内,再考虑到 B 可能不仅仅是 t
的函数,它还可能是空间位置的函数,故将微分号改
故
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写成偏i 导C数E,以i d使l其第具六章有S 普Bt遍 d意S 义.
(6-1-2)
5
3、导体回路以速度 v运动时，且
感应电场 Ei为单位正电荷所受的力：则
Ei
感应电动势 为：
vB i C
Ei
dl
d dt
(v B)dl
(6-1-1)
2020/7/7
第六章
4
2、变压器次级线圈中产生的电动势： n1 n2
~
导体回路静止不动，磁场 B是
时间 t 的函数.则:
i
d d
C Ei dl
dt
dt
（有散）；时变磁场则是有旋无散的，故磁力线永远是闭合的。
2020/7/7
第六章
16
2、积分形式：
H dl J dS
D
dS
C
S
E dl
B
S
dS
t
C
S t
(6-3-2)
求当 f1 1MHz 和 f1 1GHz 时，位移电流同传导
电流幅值的比值。
解：J位D 移 电Dt流密D度为0：rE 0r Em sin t
其幅值为：Jdm 0r Em
传导电流密度为：Jc E Em cost
其幅值为：J cm Em
2020/7/7
第六章
14
则位移电流与传导电流幅值之比为：
J D t
(6-2-3)
2020/7/7
第六章
11
3、安培环路定律的修正：
(J JD) 0 (H) 0
于是H安H培J环路JJD定律J（D6-2Dt-1)式(6-2被-4)安修培正环路为定律: 的微11分形式 t
2020/7/7
第六章
12
二、全电流定律：
1、全电流：含传导电流、运流电流、位移电流。其 中传导电流、运流电流称真实电流。
2020/7/7
第六章
7
3、麦克斯韦第二方程：
若静止 媒质中既有感应电场 Ei ，又有
库仑场 Ei＋ E库
而 E库 dl 0 C
环量
故
E dl
S
B t
dS
(6-1-6)
C
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第六章
8
据斯托克斯定理: 则
E
B
t
(6-1-7)
. i
i
C
Ei
dl
d dt
d dt
B dS
S
上式说明:感应电场的环路线积分值不恒为零.
即感应电场为有旋场。
闭合导线中处处有 i ，处处有
Ei
。
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第六章
3
二、导体回路中磁链对时间的变化率：（单匝）
1、发电机中的电动势：
导体回路对恒定磁场 B 有相对运动 v 。
由受洛 力仑 为兹公 式df，导dq体(v回路B线) 元 dl 中的元电荷 dq
2、全电流定律 ： H J
D
t
( H) dS J dS
D
dS
S
S
S t
由斯托克 斯定 理：则
D
CH dl SJ dS S t dS
(6-2-5)
上式说明：变化的电场能产生磁场。
2020/7/7
第六章
13
例：海水的电导率 4s m，相对介电常数r 81， 若设海水中的电场是按余弦变化的，E Em cost ,
导体回路C
任意媒质以至真空中的任意闭
合曲线C，由于媒质中导电率不同（导电能力的
不同），曲线C中不一定产生感生电流，但只要C
中的磁感应强度对时间的变化率
B t
0 ，则曲
线C上就必定有感应电动势，周围媒质中也必定
即有感应i 电C场EiE dil存在 （S 因Bt闭 d合S 曲线C的任意性）。
其中C为任意媒质中的任意闭合曲线.
2020/7/7
第六章
15
6.3 麦克斯韦方程组
一、麦克斯韦方程组
麦克斯韦将电场与磁场的环量及通量方程，推
1、广微至分时形变式电：磁场 中EH， 就J成B为D 其t 方程有组有旋旋。
40
t
无散
(6-3-1)
B 0
D
有散
41
时变电场有散有旋，即电力线可以是闭合的（有旋），也可以是不闭合的
时变电磁场的特点
❖ 电场和磁场不再独立,而是互相依存、互相转 化。即变化的磁场会产生电场；变化的电场 也能产生磁场。电场和磁场不可分割地成为 统一的电磁现象。
❖ 时变电磁场的核心理论是麦克斯韦方程组。
2020/7/7
第六章
1
６.１ 法拉第电磁感应定律与麦氏第二方程
一、法拉第电磁感应定律(实验):
1、数学表示式:
i
d dt
d dt
B dS
S
物理意义:通过任意闭合导线回路的磁通发生变化,回路中就会产生感
应电流,感应电流的产生可以认为是产生了感应电动势 ,其大小等于
回路中磁通对时间的变化率,方向为感应电流的磁通总是阻止与回路相交
链的原来的磁通的变化. i
2020/7/7
第六章
2
2、感应电场 Ei：
环路积分为感应电动势
则
i
C
Ei
dl
d dt
S
B t
B
dS
是时间
C (v
t 的函数。
B) dl
(6-1-3)
据斯托克斯定理：得
E
B
(v
B)
t
(6-1-4)
三、麦克斯韦第二方程：
2020/7/17 、静止i闭合C导E体i d回l路第C六，章S 法Bt拉 第dS电磁感应定律为：6
2、推论：
Jdm 0r Em 0r
比较运算结果发
当
Jcm Em
f1 1MH时，z
Jdm 0r 1.125 10 3
现：当频率越高 时，位移电流越 大，即变化的电 场产生的磁场也
Jcm
越大。这就是为
当 f1 1G时H，z
什么，时变电磁 场在实际应用中
Jdm 0r 1.125 Jcm
往往使用较高频 率的缘故。
上式说明:变化的磁场能产生电场,
且电场不再是无旋场.
同理:当
B t
0
时,则
E
0
说明:恒定磁场是独立的,若其中存在电场, 也必是库仑场或恒定电场,为无旋场.
2020/7/7
第六章
9
6.2 位移电流和全电流定律
1、安培 环路定律：
CH dl I
H J (6-2-1)
对上式两边取 散度,则: