南京盐城市2017届高三二模数学试卷

市、市2017届高三年级第二次模拟考试数 学 2017．03注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．函数f (x )＝ln 11－x的定义域为 ▲ ．2．若复数z 满足z (1－i)＝2i （i 是虚数单位），－z 是z 的共轭复数，则z ·－z ＝ ▲ ． 3．某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为 ▲ ．4．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据，人数如表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 个人做进一步的调研，若在“不喜欢戏剧的男性青年观众”的人中抽取了8人，则n 的值为 ▲ ． 5．根据如图所示的伪代码，输出S 的值为 ▲ ．6．记公比为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若a 1＝1，S 4－5S 2＝0， 则S 5的值为 ▲ ．7．将函数f (x )＝sin x 的图象向右平移π3个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，则函数y ＝f (x)＋g (x )的最大值为 ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为 ▲ ．（第5题图）9．若sin(α－π6)＝35，α∈(0，π2)，则cos α的值为 ▲ ．10．α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题中正确的是 ▲ （填上所有正确命题的序号）．①若α∥β，m α，则m ∥β； ②若m ∥α，n α，则m ∥n ；③若α⊥β，α∩β＝n ，m ⊥n ，则m ⊥β； ④若n ⊥α，n ⊥β，m ⊥α，则m ⊥β． 11．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为 ▲ ．12．若函数f (x )＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8有唯一零点，则满足条件的实数m 组成的集合为 ▲ ． 13．已知平面向量→AC ＝(1，2)，→BD ＝(－2，2)，则→AB •→CD 的最小值为 ▲ ． 14．已知函数f (x )＝ln x ＋(e －a )x －b ，其中e 为自然对数的底数．若不等式f (x )≤0恒成立，则ba的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，D 为边BC 上一点，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2． （1）若AD ⊥BC ，求∠BAC 的大小； （2）若∠ABC ＝π4，求△ADC 的面积．ABCD（第15题图2）（第15题图1）DC BA如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ⊥平面PAB ，AP ⊥AB ． （1）求证：CD ⊥AP ；（2）若CD ⊥PD ，求证：CD ∥平面PAB ；17．（本小题满分14分）在一足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB ，BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a ≥b ．（1）当a ＝90时，求纸盒侧面积的最大值；（2）试确定a ，b ，x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．（第17题图）DCBA（第16题图）PDCBA如图，在平面直角坐标系xOy 中，焦点在x 轴上的椭圆C ：x 28＋y 2b2＝1经过点(b ，2e )，其中e为椭圆C 的离心率．过点T (1，0)作斜率为k (k ＞0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点(A 在x 轴下方)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点O 且平行于l 的直线交椭圆C 于点M ，N ，求AT ·BTMN 2的值； （3）记直线l 与y 轴的交点为P ．若AP →＝25TB →，求直线l19．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝e x－ax －1，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ． （1）若a ＝e ，函数g (x )＝(2－e)x ．①求函数h (x )＝f (x )－g (x )的单调区间； ②若函数F (x )＝⎩⎨⎧f (x )，x ≤m ，g (x )，x ＞m的值域为R ，数m 的取值围；（2）若存在实数x 1，x 2∈[0，2]，使得f (x 1)＝f (x 2)，且|x 1－x 2|≥1，求证：e －1≤a ≤e 2－e ．20．（本小题满分16分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }，{c n }满足 (n ＋1) b n ＝a n ＋1－S nn， (n ＋2)＝a n ＋1＋a n ＋22－S nn，其中n ∈N*． （1）若数列{a n }是公差为2的等差数列，求数列{c n }的通项公式；（2）若存在实数λ，使得对一切n ∈N*，有b n ≤λ≤c n ，求证：数列{a n }是等差数列．（第18题图）市、市2017届高三年级第二次模拟考试数学附加题 2017．03注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，请务必将自己的、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定．．．．区域．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，△ABC 的顶点A ，C 在圆O 上，B 在圆外，线段AB 与圆O 交于点M ． （1）若BC 是圆O 的切线，且AB ＝8，BC ＝4，求线段AM 的长度； （2）若线段BC 与圆O 交于另一点N ，且AB ＝2AC ，求证：BN ＝2MN ．B ．选修4—2：矩阵与变换设a ，b ∈R ．若直线l ：ax ＋y －7＝0在矩阵A = ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 0－1 b 对应的变换作用下，得到的直线为l ′：9x ＋y －91＝0．数a ，b 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋35t ，y ＝45t(t 为参数)，与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝4k 2，y ＝4k (k 为参数)交于A ，B 两点，求线段AB 的长．（第21(A)图）D ．选修4—5：不等式选讲设a ≠b ，求证：a 4＋6a 2b 2＋b 4＞4ab (a 2＋b 2)．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面四边形ABCD 为菱形，A 1A ＝AB ＝2， ∠ABC ＝π3，E ，F 分别是BC ，A 1C 的中点．（1）求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值； （2）点M 在线段A 1D 上，A 1MA 1D＝λ ．若CM ∥平面AEF ，数λ的值．23．（本小题满分10分）现有n (n ＋1)2（n ≥2，n ∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：* ………………… 第1行 * * ………………… 第2行 * * * ………………… 第3行 …………… …………………* * ………… * * ………………… 第n 行设M k 是第k 行中的最大数，其中1≤k ≤n ，k ∈N*．记M 1＜M 2＜…＜M n 的概率为p n ． （1）求p 2的值；（2）证明：p n ＞C 2n ＋1(n ＋1)!．D 1C 1 B 1MFED CBA A 1（第22题图）市、市2017届高三年级第二次模拟考试数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）1．(－∞，1) 2．2 3．23 4．30 5．17 6．317． 3 8． 6 9．43－310 10．①④ 11．3 2 12．{2}13．－94 14．－1e二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）解：（1）设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β． 因为AD ⊥BC ，AD ＝6，BD ＝3，DC ＝2，所以tan α＝12，tan β＝13， ………………… 2分所以tan ∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝12＋131－12×13＝1． ………………… 4分又∠BAC ∈(0，π)，所以∠BAC ＝π4． ………………… 6分（2）设∠BAD ＝α．在△ABD 中，∠ABC ＝π4，AD ＝6，BD ＝3．由正弦定理得ADsinπ4＝BD sin α， 解得sin α＝24． ………………… 8分 因为AD ＞BD ，所以α为锐角，从而cos α＝1－sin 2α＝144． ………………… 10分 因此sin ∠ADC ＝sin(α＋π4)＝sin αcos π4＋cos αsin π4＝ 22( 24＋ 144)＝1＋74． ………………… 12分 △ADC 的面积S ＝12×AD ×DC ·sin ∠ADC＝12×6×2×1＋74＝32(1＋7)． ………………… 14分16．（本小题满分14分）证明：（1）因为AD ⊥平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，所以AD ⊥AP ． ………………… 2分 又因为AP ⊥AB ，AB ∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以AP ⊥平面ABCD ． ………………… 4分 因为CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥AP ． ………………… 6分 （2）因为CD ⊥AP ，CD ⊥PD ，且PD ∩AP ＝P ，PD ⊂平面PAD ，AP ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ． ① ………………… 8分 因为AD ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ， 所以AB ⊥AD ．又因为AP ⊥AB ，AP ∩AD ＝A ，AP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD ． ② ………………… 10分 由①②得CD ∥AB ， ………………… 12分 因为CD /平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD ∥平面PAB ． ………………… 14分 17．（本小题满分14分）解：（1）因为矩形纸板ABCD 的面积为3600，故当a ＝90时，b ＝40， 从而包装盒子的侧面积S ＝2×x (90－2x )＋2×x (40－2x )＝－8x 2＋260x ，x ∈(0，20) ． ………………… 3分因为S ＝－8x 2＋260x ＝－8(x －654)2＋42252，故当x ＝654 时，侧面积最大，最大值为 42252平方厘米．答：当x ＝654 时，纸盒的侧面积的最大值为42252平方厘米． ………………… 6分（2）包装盒子的体积V ＝(a －2x )(b －2x ) x ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]，x ∈(0，b2)，b ≤60．…………… 8分V ＝x [ab －2(a ＋b )x ＋4x 2]≤x (ab －4abx ＋4x 2)＝x (3600－240x ＋4x 2)＝4x 3－240x 2＋3600x ． ………………… 10分当且仅当a ＝b ＝60时等号成立．设f (x )＝4x 3－240x 2＋3600x ，x ∈(0，30)． 则f ′ (x )＝12(x －10)(x －30)．于是当0＜x ＜10时，f ′ (x )＞0，所以f (x )在(0，10)上单调递增；当10＜x ＜30时，f ′ (x )＜0，所以f (x )在(10，30)上单调递减．因此当x ＝10时，f (x )有最大值f (10)＝16000， ……………… 12分 此时a ＝b ＝60，x ＝10．答：当a ＝b ＝60，x ＝10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．……………… 14分18．（本小题满分16分）解：（1）因为椭圆 x 28＋y 2b 2＝1经过点(b ，2e )，所以b 28＋4e 2b2＝1．因为e 2＝c 2a 2＝c 28，所以b 28＋c 22b2＝1．因为a 2＝b 2＋c 2，所以 b 28＋8－b 22b2＝1． …………………… 2分整理得 b 4－12b 2＋32＝0，解得b 2＝4或b 2＝8(舍) ．所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1． …………………… 4分 （2）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．因为T (1，0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)．联立直线l 与椭圆方程 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 28＋y 24＝1，消去y ，得 (2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－8＝0，所以⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1．……………… 6分 因为MN ∥l ，所以直线MN 方程为y ＝kx ，联立直线MN 与椭圆方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 28＋y 24＝1，消去y 得 (2k 2＋1)x 2＝8，解得x 2＝8 2k 2＋1．因为MN ∥l ，所以AT ·BT MN 2＝(1－x 1)·(x 2－1)(x M －x N )2． …………………… 8分 因为 (1－x 1)·(x 2－1)＝－[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝72k 2＋1， (x M －x N )2＝4x 2＝32 2k 2＋1，所以 AT ·BT MN 2＝(1－x 1)·(x 2－1)(x M －x N )2＝72k 2＋1·2k 2＋132＝732． ………………… 10分 （3）在y ＝k (x －1)中，令x ＝0，则y ＝－k ，所以P (0，－k )，从而 AP →＝(－x 1,－k －y 1)， TB →＝(x 2－1，y 2)．因为 AP →＝25TB →，所以－x 1＝25(x 2－1)，即x 1＋25x 2＝25．…………………… 12分由(2)知， ⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1．由⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k22k 2＋1，x 1＋25x 2＝25，解得 x 1＝－4k 2＋23(2k 2＋1)，x 2＝16k 2－23(2k 2＋1)． ……………… 14分 因为x 1x 2＝2k 2－8 2k 2＋1， 所以 －4k 2＋23(2k 2＋1)×16k 2－23(2k 2＋1)＝2k 2－82k 2＋1， 整理得 50k 4－83k 2－34＝0，解得k 2＝2或k 2＝－1750(舍) ．又因为k ＞0，所以k ＝2． …………………… 16分 19．（本小题满分16分）解：（1）当a ＝e 时，f (x )＝e x－e x －1．① h (x )＝f (x )－g (x )＝e x－2x －1，h ′ (x )＝e x－2． 由h ′ (x )＞0得x ＞ln2，由h ′ (x )＜0得x ＜ln2．所以函数h (x )的单调增区间为 (ln2，＋∞)，单调减区间为 (－∞，ln2)．………………… 3分② f ′ (x )＝e x－e ．当x ＜1时，f ′ (x )＜0，所以f (x )在区间(－∞，1)上单调递减； 当x ＞1时，f ′ (x )＞0，所以f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 1° 当m ≤1时，f (x )在(－∞，m ]上单调递减，值域为[e m－e m －1，＋∞)，g (x )＝(2－e)x 在(m ，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m )，因为F (x )的值域为R ，所以e m－e m －1≤(2－e)m ， 即e m－2m －1≤0． （*）由①可知当m ＜0时，h (m )＝e m－2m －1＞h (0)＝0，故（*）不成立．因为h (m )在(0，ln2)上单调递减，在(ln2，1)上单调递增，且h (0)＝0，h (1)＝e －3＜0， 所以当0≤m ≤1时，h (m )≤0恒成立，因此0≤m ≤1． ………………… 6分 2° 当m ＞1时，f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，m ]上单调递增，所以函数f (x )＝e x－e x －1在(－∞，m ]上的值域为[f (1)，＋∞)，即[－1，＋∞)．g (x )＝(2－e)x 在(m ，＋∞)上单调递减，值域为(－∞，(2－e)m )．因为F (x )的值域为R ，所以－1≤(2－e)m ，即1＜m ≤1e －2． 综合1°，2°可知，实数m 的取值围是[0，1e －2]． ………………… 9分（2）f ′ (x )＝e x－a ．若a ≤0时，f ′ (x )＞0，此时f (x )在R 上单调递增． 由f (x 1)＝f (x 2)可得x 1＝x 2，与|x 1－x 2|≥1相矛盾，所以a ＞0，且f (x )在(－∞，ln a ]单调递减，在[ln a ，＋∞)上单调递增． …………………… 11分 若x 1，x 2∈(－∞，ln a ]，则由f (x 1)＝f (x 2)可得x 1＝x 2，与|x 1－x 2|≥1相矛盾， 同样不能有x 1，x 2∈[ln a ，＋∞)．不妨设0≤x 1＜x 2≤2，则有0≤x 1＜ln a ＜x 2≤2．因为f (x )在(x 1，ln a )上单调递减，在(ln a ，x 2)上单调递增，且f (x 1)＝f (x 2)， 所以当x 1≤x ≤x 2时，f (x )≤f (x 1)＝f (x 2)． 由0≤x 1＜x 2≤2，且|x 1－x 2|≥1，可得1∈[x 1，x 2]，故f (1)≤f (x 1)＝f (x 2)． …………………… 14分 又f (x )在(－∞，ln a ]单调递减，且0≤x 1＜ln a ，所以f (x 1)≤f (0)， 所以f (1)≤f (0)，同理f (1)≤f (2)．即⎩⎨⎧e －a －1≤0，e －a －1≤e 2－2a －2，解得e －1≤a ≤e 2－e －1， 所以 e －1≤a ≤e 2－e ． …………………… 16分 20．（本小题满分16分）解：（1）因为{a n }是公差为2的等差数列，所以a n ＝a 1＋2(n －1)，S n n＝a 1＋n －1， …………………… 2分 从而 (n ＋2)＝a 1＋2n ＋a 1＋2(n ＋1)2－(a 1＋n －1)＝n ＋2，即c n ＝1． ……… 4分（2）由(n ＋1)b n ＝a n ＋1－S n n，得n (n ＋1) b n ＝na n ＋1－S n ，(n ＋1)(n ＋2) b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2－S n ＋1，两式相减，并化简得a n ＋2－a n ＋1＝(n ＋2) b n ＋1－nb n ． ……………………… 6分 从而 (n ＋2)＝a n ＋1＋a n ＋22－S n n ＝ a n ＋1＋a n ＋22－[a n ＋1－(n ＋1) b n ] ＝a n ＋2－a n ＋12＋(n ＋1) b n＝(n ＋2) b n ＋1－nb n2＋(n ＋1) b n＝12(n ＋2)( b n ＋b n ＋1)． 因此c n ＝12( b n ＋b n ＋1)． ……………………… 9分因为对一切n ∈N*，有b n ≤λ≤c n ，所以λ≤c n ＝12(b n ＋b n ＋1)≤λ，故b n ＝λ，c n ＝λ． ……………………… 11分 所以 (n ＋1)λ＝a n ＋1－S n n， ①(n ＋2)λ＝12(a n ＋1＋a n ＋2)－S nn ， ②②－①，得12(a n ＋2－a n ＋1)＝λ，即a n ＋2－a n ＋1＝2λ．故a n ＋1－a n ＝2λ (n ≥2)． ……………………… 14分 又2λ＝a 2－S 11＝a 2－a 1，则a n ＋1－a n ＝2λ (n ≥1)．所以数列{a n }是等差数列． ……………………… 16分市、市2017届高三年级第一次模拟考试数学附加参考答案及评分标准21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲解：（1）因为BC 是圆O 的切线，故由切割线定理得BC 2＝BM ·BA ． …………… 2分 设AM ＝t ，因为AB ＝8，BC ＝4，所以42＝8(8－t )，解得t ＝6 ，即线段AM 的长度为6． ………………………… 4分 （2）因为四边形AMNC 为圆接四边形，所以∠A ＝∠MNB ． …………………… 6分 又∠B ＝∠B ，所以△BMN ∽△BCA ， ……………………… 8分 所以BN BA ＝MNCA．因为AB ＝2AC ，所以BN ＝2MN ． ……………………… 10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：（方法一）在直线l ：ax ＋y －7＝0取点A (0，7)，B (1，7－a )．因为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 7＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 7b ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 7－a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 b (7－a )－1， …………… 4分所以A (0，7)，B (1，7－a )在矩阵A 对应的变换作用下分别得到点A ′(0，7b )，B ′(3，b (7－a )－1)．由题意，知A ′，B ′在直线l ′：9x ＋y －91＝0上，所以 ⎩⎨⎧7b －91＝0，27＋b (7－a )－1－91＝0．…………… 8分解得a ＝2，b ＝13． …………… 10分 （方法二）设直线l 上任意一点P (x ，y )，点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点Q (x ′，y ′)．因为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3 0－1 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′ y ′，所以⎩⎨⎧x ′＝3x ，y ′＝－x ＋by ． …………… 4分又因为点Q (x ′，y ′)在直线l ′上，所以9x ′＋y ′－91＝0．即27x ＋(－x ＋by )－91＝0，也即26x ＋by －91＝0，又点P (x ，y )在直线l 上，所以有ax ＋y －7＝0． …………… 8分 所以26a ＝b 1＝－91－7，解得a ＝2，b ＝13． …………… 10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：（方法一）直线l 的参数方程化为普通方程得4x －3y ＝4，将曲线C 的参数方程化为普通方程得y 2＝4x ． ……………… 4分联立方程组⎩⎨⎧4x －3y ＝4，y 2＝4x ， 解得 ⎩⎨⎧x ＝4，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝－1．所以A (4，4)，B (14，－1)． ……………… 8分所以AB ＝(4－14)2＋(4＋1)2＝254． ……………… 10分（方法二）将曲线C 的参数方程化为普通方程得y 2＝4x ． ……………… 2分 直线l 的参数方程代入抛物线C 的方程得 (45t )2＝4(1＋35t )，即4t 2－15t －25＝0，所以 t 1＋t 2＝154，t 1t 2＝－254． ……………… 6分所以AB ＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝(154)2＋25＝254． ……………… 10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明： a 4＋6a 2b 2＋b 4－4ab (a 2＋b 2)＝(a 2＋b 2)2－4ab (a 2＋b 2)＋4a 2b 2＝(a 2＋b 2－2ab )2＝(a －b )4． ……………… 5分 因为a ≠b ，所以(a －b )4＞0， 所以a 4＋6a 2b 2＋b 4＞4ab (a 2＋b 2)．…………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）解：因为四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，所以A 1A ⊥平面ABCD ． 又AE 平面ABCD ，AD 平面ABCD ，所以A 1A ⊥AE ，A 1A ⊥AD ． 在菱形ABCD 中∠ABC ＝π3，则△ABC 是等边三角形．因为E 是BC 中点，所以BC ⊥AE ． 因为BC ∥AD ，所以AE ⊥AD ．z D 1C 1 B 1MFA 1以{→AE ，→AD ，→AA 1}为正交基底建立空间直角坐标系． 则A (0，0，0)，C (3，1，0)，D (0，2，0)，A 1(0，0，2)，E (3，0，0)，F (32，12，1)． （1）→AD ＝(0，2，0)，→EF ＝(－32，12，1)，所以→AD ·→EF ＝1．从而cos ＜→AD ，→EF ＞＝→AD ·→EF |→AD |·|→EF |＝24．故异面直线EF ，AD 所成角的余弦值为24． ……………… 4分 （2）设M (x ，y ，z )，由于点M 在线段A 1D 上，且A 1MA 1D＝λ， 则→A 1M ＝λ→A 1D ，即(x ，y ，z －2)＝λ(0，2，－2)．则M (0，2λ，2－2λ)，→CM ＝(－3，2λ－1，2－2λ)． ……………… 6分 设平面AEF 的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)． 因为 →AE ＝(3，0，0)，→AF ＝(32，12，1)，由n ·→AE ＝0，n ·→AF ＝0，得x 0＝0，12y 0＋z 0＝0．取y 0＝2，则z 0＝－1，则平面AEF 的一个法向量为n ＝(0，2，－1)． ……………… 8分 由于CM ∥平面AEF ，则n ·→CM ＝0，即2(2λ－1)－(2－2λ)＝0，解得λ＝23．……………… 10分23．（本小题满分10分）解：（1）由题意知p 2＝2A 22A 33＝23， 即p 2的值为 23． ……………… 3分（2）先排第n 行，则最大数在第n 行的概率为n n (n ＋1)2＝2n ＋1； ……………… 5分去掉第n 行已经排好的n 个数， 则余下的n (n ＋1)2－n ＝n (n －1)2个数中最大数在第n －1行的概率为n n (n －1)2＝2n；……故p n ＝2n ＋1×2n ×…×23＝2n －1(n ＋1)×n ×…×3＝2n(n ＋1)!． ……………… 7分由于2n＝(1＋1)n＝C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ≥C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＞C 1n ＋C 2n ＝C 2n ＋1，故2n(n ＋1)!＞C 2n ＋1(n ＋1)!，即p n ＞C 2n ＋1(n ＋1)!． ……………… 10分。