加权余量法简介
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03加权余量法
dx u0 u1 0
解： （1）取近似解
Lu
d 2u
2
u x 0
0 x 1
u x1 x 1 2 x
（2）求余量
R Lu p
x 2 x x 2 1 2 6 x x 2 x 3 2
2 1 0
0 1
2
积分整理得
202 101 1 55 707 1572 399 2
(4)解出
1 0.1875419 2 0.1694706
(5)近似解
u x1 x 0.1875419 0.1694706 x
4.矩量法 取权函数
i 1 Wi r
i 1,2,..., n
D
则
R, Wi
Rr i 1dD 0
例（同前）：
D
步骤（3）取
i 1,2 W1 1,W2 x
x 2 x x 2 6 x x
1 2 1
2
x 3 2 dx 0 x 3 2 xdx 0
解出R中所含的n个αj，可得近似解。 例（同前）： 步骤（3）取两个子区域
1 0 x 2 0 x 1
R, Wi
1 2
D
0 x 3 2 dx 0 x 3 2 dx 0
x 2 x x 2 6 x x
2 1
2
x 2 x x 2 6 x x
2 1 0
0 1
2
积分整理得
11 11 1 6 12 1 2 11 19 1 2 3 12 20
有限元第2讲：加权余量法
x
u x 1 x a1
R1x x a1 2 x x2
有限单元法
崔向阳
18
例题解析
子域法(Sub-domain Method)
考虑两项近似解：
u x1 x a1 x2 1 x a2
将整个问题域分为两个子域，取： R2x x a1 2 x x2 a2 2 6x x2 x3
边界欲求解问题问题域在问题域内对于一个问题可以归结为在一定的边界条件或动力问题的初始条件下求解微分方程的解这些微分方程为问题的控制方程微分算子与未知函数u无关的已知函数域值待求的未知函数有限单元法崔向阳边界欲求解问题问题域在问题域内
湖南大学 机械与运载工程学院
Hunan University
College of Mechanical & Vehicle Engineering
考虑一项近似解：
取x=1/2作为配点，得到：
R
1 2
1 2
-
7 4
a1
0
解得： a1 2 / 7
可以得一项近似解为：
u1
2 7
x
1
x
u x 1 x a1
R1x x a1 2 x x2
考虑两项近似解：
取x=1/3, 2/3作为配点，得到：
R
1 3
1 3
- 16 9
a1
2 27
有限单元法
崔向阳
17
例题解析
子域法(Sub-domain Method)
考虑一项近似解：
取整个问题域作为子域，即：
W1 1, 0 x 1
余量加权的积分为零
1 0
R1
x
dx
1 0
x
a1
元分析理论基础 大全 超详细
线弹性有限元一般包括线弹性静力学分析与线弹性动力学分析两方面。
非线性问题与线弹性问题的区别： 1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解； 2）非线性问题不能采用叠加原理； 3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。
有限元求解非线性问题可分为以下三类： 1）材料非线性问题
材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移 呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能提供能普 遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试 验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们 的局限性。在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分 段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。
的平均值作为此两个单元合成的较大四边形单元形心处的应力。 如 2 单元的情况下，取平均应力可以采用算术平均， 即平均应力=（单元 1 的应力+单元 2 的应力）/2。 也可以采用精确一些的面积加权平均，
即平均应力=[单元 1 应力× 单元 1 的面积+单元 2 应力× 单元 2 面积]（/ 单 元 1 面积+单元 2 面积）
有限元分析概念
有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构 成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成 各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特 性和复杂的边界条件
有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。由一些简单形状的单元组成， 单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。
为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插
值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数
非线性问题与线弹性问题的区别： 1）非线性问题的方程是非线性的，一般需要迭代求解； 2）非线性问题不能采用叠加原理； 3）非线性问题不总有一致解，有时甚至没有解。
有限元求解非线性问题可分为以下三类： 1）材料非线性问题
材料的应力和应变是非线性的，但应力与应变却很微小，此时应变与位移 呈线性关系，这类问题属于材料的非线性问题。由于从理论上还不能提供能普 遍接受的本构关系，所以，一般材料的应力与应变之间的非线性关系要基于试 验数据，有时非线性材料特性可用数学模型进行模拟，尽管这些模型总有他们 的局限性。在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性（包括分 段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。
的平均值作为此两个单元合成的较大四边形单元形心处的应力。 如 2 单元的情况下，取平均应力可以采用算术平均， 即平均应力=（单元 1 的应力+单元 2 的应力）/2。 也可以采用精确一些的面积加权平均，
即平均应力=[单元 1 应力× 单元 1 的面积+单元 2 应力× 单元 2 面积]（/ 单 元 1 面积+单元 2 面积）
有限元分析概念
有限元法：把求解区域看作由许多小的在节点处相互连接的单元（子域）所构 成，其模型给出基本方程的分片（子域）近似解，由于单元（子域）可以被分割成 各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好地适应复杂的几何形状、复杂的材料特 性和复杂的边界条件
有限元模型：它是真实系统理想化的数学抽象。由一些简单形状的单元组成， 单元之间通过节点连接，并承受一定载荷。
为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插
值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数
4 有限元素法
2-2 几何方程
位移与应变之间的几何方程为
x
u x
， y
v y
， z
w z
xy
yx
u y
v， yz
zy
w v y z
对于平面问题，几何方程只有三个：
x
u x
， y
v y
， xy
yx
u y
v x
2-3 广义虎克定律
x 2
x
y 2
y
z
用变分法求解微分方程，首先要找到相 应的泛函。
对于有些问题相应的泛函尚未找到，或 者根本不存在相应的泛函。在这种情况 下，就无法用变分法求解。
加权余量法（也称加权余值法）是求微 分方程近似解的一种有效方法。
设有微分方程 G(x,y,y')0
假设有一个满足边界条件和具有一定连续程度
的试探函数 （~y其中含有若干待定系数）使
因为只需要满足本质性边界条件，而不 必考虑自然边界条件（第二、第三类边 界条件自动满足），试探函数的选取是 比较容易的。
试探函数阶次提高，解的精度也提高。
当网格特别细密时，相邻节点之间的变 化就很小，因此单元内分布假设的实际 细节变得不再重要。离散化方程的解将 趋近于相应微分方程的精确解。
单元形状
理复杂区域、复杂边界条件。 而对于具有规则的几何特性和均匀的材料特性
问题,差分法的程序设计比较简单,收敛性也比 有限元法好。 有限元法同时具有里兹法与差分法的优点，使 变分问题的直接解法变成了工程计算中的现实。
FEM的特点
有限元素方法是物理量的矩阵分析方法在连续 体中的有效推广。每个元素都采用有限个参数 来描述它的物理特性。
a
实现极值的必要条件是函数y(x)满足一维 欧拉方程
0.7+加权余量法
Ii S
Bi
dS = 0 式的权平均意
加权余量法对许多非线性问题具有收敛性，当 m → ∞ 时 φ 趋向 φ 。但是至今还缺少在一般情况下 的收敛性和误差界限的研究。 加权余量法对权的选取，有许多不同的形式。若权函数 Wi ( i = 1, 2 , m ) 就取试探函数项 N i ，这 种加权余量法就是熟知的 Galerkin 法。即
= RI L φ − f
()
（在 V 内
）
和
= RB B φ − g
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
()
（在 S 边界）
可见， RI , RB 反映了试函数与真实解之间的误差，即余量。加权余量法就是要选择 m 个参数 ci ，使余 量 RI , RB 在某种权平均意义下为零。在 V 内选择 WIi ( i = 1, 2 , m ) 为 m 个线性独立的权函数，在边界
()
Bi
R dS ∫ W=
S B
0= ( i 1, 2 m )
3、混合法
试函数不满足控制方程和边界条件，此时用式 除余量。
41
∫ W R dV + ∫ W
V Ii I S
Bi
RB dS = 0
1, 2 m ) 消 (i =
显然，混合法对于试函数的选取最方便，但在相同精度条件下，工作量最大。对内部法和边界法 必须使基函数事先满足一定条件，这对复杂结构分析往往有一定困难，但试函数一经建立，其工作量 较小。
e
由于试函数 φ 的不同，余量 RI , RB 可能有如下三种情况，依此加权余量法可分为： 1、内部法 试函数满足边界条件，也即 R = B φ −= g 0 ，此种情况下，消除残差的条件为： B
()
R dV ∫ W=
Bi
dS = 0 式的权平均意
加权余量法对许多非线性问题具有收敛性，当 m → ∞ 时 φ 趋向 φ 。但是至今还缺少在一般情况下 的收敛性和误差界限的研究。 加权余量法对权的选取，有许多不同的形式。若权函数 Wi ( i = 1, 2 , m ) 就取试探函数项 N i ，这 种加权余量法就是熟知的 Galerkin 法。即
= RI L φ − f
()
（在 V 内
）
和
= RB B φ − g
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
()
（在 S 边界）
可见， RI , RB 反映了试函数与真实解之间的误差，即余量。加权余量法就是要选择 m 个参数 ci ，使余 量 RI , RB 在某种权平均意义下为零。在 V 内选择 WIi ( i = 1, 2 , m ) 为 m 个线性独立的权函数，在边界
()
Bi
R dS ∫ W=
S B
0= ( i 1, 2 m )
3、混合法
试函数不满足控制方程和边界条件，此时用式 除余量。
41
∫ W R dV + ∫ W
V Ii I S
Bi
RB dS = 0
1, 2 m ) 消 (i =
显然，混合法对于试函数的选取最方便，但在相同精度条件下，工作量最大。对内部法和边界法 必须使基函数事先满足一定条件，这对复杂结构分析往往有一定困难，但试函数一经建立，其工作量 较小。
e
由于试函数 φ 的不同，余量 RI , RB 可能有如下三种情况，依此加权余量法可分为： 1、内部法 试函数满足边界条件，也即 R = B φ −= g 0 ，此种情况下，消除残差的条件为： B
()
R dV ∫ W=
有限元伽辽金法
3
hN eT Ne ds
K
e
H
e
H e hNeTNeds
3
H
e rs
hNr Nsds
r,s=i, j, m
3
设对流换热系数 h 是常数，3若 是ij边
热传导刚度矩阵
Ke
k 4A
bi2
bib j
bmbi
bibj b2j bmb j
bibm bjbm bm2
k 4A
ci2 cic
l jm
Ni Nj
qds
Nm
ql jm 2
0 1 1
F e a
NeTh ds
3
lij
Ni Nj
h
ds
Nm
h lij
2
1 1 0
9.3二维稳态热传导有限元方程 三、四结点等参元
对四结点等参元，须要导数变换
Nr
Nr
x
N
r
J 1
N
r
r
i,
j, m
y
j
cmci
cic j
c
2 j
cmc j
2 1 0
He
hlij 6
1 0
2 0
0 0
cicm c jcm cm2
hlij 6
2 1 0
1 2 0
0 0 0
9.3二维稳态热传导有限元方程
二、三结点三角形单元
温度载荷列阵
F e Biblioteka NeTQd NeTqds+
NeT
h
ds=F e Q
Fe h
Fe a
D
~
u
r
R
x
~
加权余量法简介
在V域内
在S边界上
显然
R I， R B
反映了试函数与真实解之间的偏差，它们分别称
做内部和边界余量。
若在域V内引入内部权函数 W ，在边界S上引入边界权函数 则可建立n个消除余量的条件，一般可表示为：
I
WB
V
W Ii R I d V
S
W Bi R B d S 0
( i 1, 2 , , n )
方法概述及按试函数分类
设问题的控制微分方程为:
在V域内
L (u ) f 0
在S边界上 B ( u ) g 0 式中 : L、B——分别为微分方程和边界条件中的微分算子； f、g ——为与未知函数u无关的已知函数域值； u——为问题待求的未知函数。
当利用加权余量法求近似解时，首先在求解域上建立一个试函数 u ， 一般具有如下形式：
5．矩法(Method of Moment) 本法与伽辽金法相似，也是用完备函数集作权函数。 但本法的权函数与伽辽金法又有区别，它与试函数无关。 消除余量的条件是从零开始的各阶矩为零，因此 对一维问题 对二维问题 其余类推 这五种基本方法在待定系数足够多(称做高阶近似)时，其精
W Ii x
W Iij x
不难验证其满足边界条件，也即 R B R I 为:
0 。而控制方程的内部余量
R I E Ic (1 2 0 x 2 4 l ) q
子域法解 由于试函数仅一个待定常数，因此只需取一个子域（等于全域） 即可，消除余量的条件为:
由此可解得:
l 0
E Ic 1 2 0 x 2 4 l q d x 0
i -1
i -1
第三章有限元法基础通常将有限元法分为两大类变分法和加权余量法
第三章 有限元法基础通常将有限元法分为两大类：变分法和加权余量法。
两种方法的出发点不同，但最后都归结为：①离散化：用若干个子区域（即单元）代替整个连续区域，②算子解析方程，即偏微分方程转化为代数方程组：区域的物理性质可以用节点上有限个自由度来描述，再应用离散系统分析方法将其汇集在一起。
§3-1 算子方程及变分原理 3.1.1 算子的概念（1）静电场中，泊松方程 ρϕε-=∇⋅∇ 可以写为 ρϕ=L ，其中∇⋅-∇=εL 称为算子。
（2）稳态磁场中，双旋度方程 J A =⨯∇⨯∇μ1J LA =⇒（3）时变场中，波动方程 J H H 2⨯∇=-⨯∇⨯∇νννk J H ⨯∇=⇒νL3.1.2 泛函 1、泛函的概念泛函是函数空间H 中，函数到数的映像，如()()[]x y I x I =也可以说泛函是函数的函数，函数空间中的某一函数()x y 有一个I 值与之对应，变量I 就是D 空间的函数()x y 的泛函。
例如 求()x y 所表示的曲线长度及所围面积。
曲线长度 ()[]⎰⎪⎭⎫⎝⎛+=2121x x dx dx dy x y I曲线所围面积 ()[]()⎰=21x x dx x y x y I不同的()x y ，有不同的I 与之对应，不同的 图3-1 求曲线长度及所围面积()[]x y I 构成了函数空间H 。
2、泛函连续若对于()x y 的微小改变，有泛函()[]x y I 的微小改变与之对应，就称泛函是连续的。
3、线性泛函若泛函满足 ()[]()[]x y cI x cy I = c 为常数 或 ()()[]()[]()[]x y I x y I x y x y I 2121+=+ 则称其为线性泛函。
4、函数的变分y δ泛函()[]x y I 的宗量()x y 的变分y δ是()x y 的微小增量 ()()x y x y y 1-=δ 5、泛函的变分I δ对于宗量()x y 的变分y δ，泛函的增量为()[]()[]()[]()[]y ,x y o y ,x y L I I I x y I y x y I I δδδδδδ+=+++=-+=∆ 32式中，()[]y x y L δ,是对y δ的线性泛函，是I ∆的主要部分，称为一阶（或一次）变分()[]y x y L I δδ,=()[]y x y o δ,是误差项。
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5.1 加权余量法的基本概念 加权余量法(Method of Weighted Residuals)或称加权残值
法或加权残数法，是一种直接从所需求解的微分方程及边 界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。
早在20世纪30年代就在数学领域得到应用，随着计算机 的发展，它受到了国内外学者的普遍重视，得到了迅速的 发展。自1982年召开“全国加权残数法学术会议”后，我
前面所介绍的各种有限元法都是将整个求解域进行离 散，以单元为分析对象，设法建立单元的变量场，然后应 用能量原理或广义变分原理导出单元列式及整体分析方法， 从而解出用于建立单元变量场的基本未知量，进而求得其 他所需的物理量。
为解决工程实际计算还有一些其他数值方法，如加权余 量法、边界元法、样条有限元法、半解析法等，它们在计算 力学中形成了自己独特的理论和方法，内容也非常丰富，已 有大量文献资料和专著。本章只能对加权余量的基本概念、 方法和基本思路等作一简单介绍，为深入研究或进一步学习 打下必要的基础。
5.1.1 方法概述及按试函数分类
设问题的控制微分方程为:
在V域内
L(u) f 0
(5.1.1)
在S边界上
B(u) g 0
(5.1.2)
式中 :
L、B——分别为微分方程和边界条件中的微分算子；
f、g ——为与未知函数u无关的已知函数域值；
u——为问题待求的未知函数。
当利用加权余量法求近似解时，首先在求解域上建立一个试函数 u% ， 一般具有如下形式：
由此可见，本法权函数为:
WIi
RI Ci
(i 1, 2,L , n)
4．伽辽金法(Galerkin Method) 本法是使余量与每一个基函数正交，也即以基函数作为权函数
WIi Ni (i 1, 2,L , n)
当试函数 u%包含整个完备函数集时，用本法必可求得精确解。
5．矩法(Method of Moment) 本法与伽辽金法相似，也是用完备函数集作权函数。
(5.1.5)
不同的权函数 WIi 和 WBi 反映了不同的消除余量的准则。从上 式可以得到求解待定系数矩阵C的代数方程组。一经解得待定 系数，由式(5.1.3)即可得所需求解边值问题的近似解。
由于试函数 u%的不同，余量 RI 和 RB 可有如下三种情况， 依此加权余量法可分为： 1．内部法 试函数满足边界条件，也即 RB B(u%) g 0 此时消除余量的条件成为:
子域法是令余量在一个子域上的总和为零。而配点法是使
余量在指定的n个点上等于零，这些点称为配点。此法的权
函数为:
WIi （P Pi）
Dirac(犹拉克) 函数，它的定义为:
0 (x xi )
x xi x xi
b
(x
a
xi b
P、Pi—分别代表求解域内任一点和配点。 由于此法只在配点上保证余量为零，因此不需要作积分计算，
V WIiRI dV 0 (i 1, 2,L , n)
(5.1.6)
2．边界法 试函数满足控制WI方i 程，也即 RI L(u%) f 0 此时消除余量的条件为:
SWBi RBdS 0 (i 1, 2,L , n)
(5.1.7)
3．混合法 试函数不满足控制方程和边界条件，此时用式(5.1.5)来消除余量。
f g
在V域内 在S边界上
(5.1.4)
显然 RI 、 RB反映了试函数与真实解之间的偏差，它们分别称
做内部和边界余量。
若在域V内引入内部权函数 WI ，在边界S上引入边界权函数 WB 则可建立n个消除余量的条件，一般可表示为：
V WIi RI dV S WBi RBdS 0 (i 1, 2,L , n)
显然，混合法对于试函数的选取最方便，但在相同精度 条件下，工作量最大。对内部法和边界法必须使基函数事先 满足一定条件，这对复杂结构分析往往有一定困难，但试函 数一经建立，其工作量较小。
无论采用何种方法，在建立试函数时均应注意以下几点：
（1）试函数应由完备函数集的子集构成。已被采用过的试函 数有幂级数、三角级数、样条函数、贝赛尔函数、切比雪 夫和勒让德多项式等等。
1．子域法(Subdomain Method) 此法首先将求解域V划分成n个子域 Vi ，在每个子 域内令权函数 等于1，而在子域之外取权函数为零，也即:
1 WIi 0
(Vi内) (Vi外)
如果在各个子域里分别选取试函数，那么它的求解在形式上将 类似于有限元法。
2. 配点法(Collocation Method)
所以是最简单的加权余量法
3．最小二乘法(Least Square Method) 本法通过使在整个求解域上余量的平方和取极小来建立消除余 量的条件。
若记余量平方和为I(C)，即 I (C) V RI2dV V RIT RIdV
则极值条件为:
I (C) C
2
( RI V C
)T
RI dV
0
(2)试函数应具有直到比消除余量的加权积分表达式中最高 阶导数低一阶的导数连续性。
(3)试函数应与问题的解析解或问题的特解相关联。若计算 问题具有对称性，应充分利用它。
5.1.2 基本方法概述
下面以内部法为例，介绍按权函数分类时加权余量的五种基本 方法。对内部法来说，消除余量的统一格式是:
V WIiRI dV 0 (i 1, 2,L , n)
式中：
n
u% Ci Ni NC i 1
(5.1.3)
Ci —— 待定系数，也可称为广义坐标；
Ni ——取自完备函数集的线性无关的基函数。
由于 u% 一 般只是待求函数u的近似解，因此将式(5.1.3)
代入式(5.1.1)和式(5.1.2)后将得不到满足，若记：
RI RB
L(u%) B(u%)
国加 权余量法在结构分析领域内的应用已从静力发展到动力、 稳定、材料非线性和几何非线性等各方面。
大量的结构分析问题，如杆系结构分析、二维及三维 弹性结构分析，以及板、壳应力分析等等，都可归结为在 一定的边界条件(或动力问题的初始条件)下求解微分方程 的解，我们称这些微分方程为问题的控制方程。
下面以加权余量法的数学模型和基本方法两个方面来介 绍加权余量法的基本概念。