第四章微分方程的等效积分形式和加权余量法2014

q
式中nx和ny为边界外法线的方向余弦 进一步整理如下：
v v ~ k k vQ dxdy vk n n d Γ v k q dΓ 0 x y x y y y n x x
第四章 微分方程的等效积分形 式和加权余量法
• 微分方程的等效积分可以放松求解要求 • 基于微分方程的等效积分提法的加权余量法是求解线性和 非线性微分方程近似解的一种有效方法 • 有限元法中可以应用加权余量法来建立有限元求解方程， 但加权余量法本身是一种独立的数值求解方法。
本章重点： • 微分方程的等效积分形式 • 加权余量法的基本概念、求解步骤 • 不同加权余量法的特点
• 4.1 微分方程的等效积分形式
•
A1 ( u) 微分方程组：A(u) A2 ( u) 0
B1 (u) B( u) B2 ( u) 0
( )
( 4.1.1)
• 边界条件：
( 在上)
( 4.1.2)
Cn-1连续性函数：一个函数在域内本身（0阶导数）直至其n-1
阶导数连续，它的第n阶导数具有有限个不连续点，但在域内
可积，则称为Cn-1连续性函数
• 4.2 等效积分的“弱”形式
对（4.1.4）作分部积分有： C
T
( v)D(u)dΩ ET ( ~ v )F(u)dΓ 0

(4.2.1)
C、D、E、F为微分算子 （4.2.1）为原微分方程组的“弱”等效积分形式
作分部积分，近一步降低微分算子的阶数，放宽求解条件。
从形式上看“弱”形式对u的连续性要求降低了，但对实际的物理问 题却常常较原始的微分方程更逼进真正解。其原因是原始的微分方程 往往对解提出了过分“平滑”的要求。
q
上式为二维热传导问题的微分方程级边界条件的等效积分“弱”形式。 可以使温度φ 的一阶导数出现不连续
将上二式பைடு நூலகம்入原方程有：
v v ~ k k vQ dxdy vk n n d Γ v k q dΓ 0 n x x y y x y x y
q
边界上场函数φ的法线导数是： 设算子为：
T , x y
nx ny n x y
~ 并不失一般性设： v v
dΓ 0 n
将上三式代入分部积分结果中有： T vkdΩ vQdΩ vqdΓ vk
例题：二维热传导问题
~ qdΓ 0 v k k Q dxdy v k x y y n x q
边界条件满足强制边界条件。
对上式的第一项 和二项分部积分有：

k dxdy k dxdy v k n dΓ v x x x x x
x

v

v v k k dxdy v dxdy k y n y dΓ y y y y
例如热传导问题
• 在Ω域：
A ( u) 0
T • 对任意函数向量组V有： V A(u)d v1 A1 (u) v2 A2 (u) d 0
(4.1.3)
其中 V={v1，v2，…}T

(4.1.3)式是（4.1.1）式的完全等效积分形式
讨论：1）若（4.1.1）成立，则（4.1.3）成立； 2）若（4.1.3）不成立，则（4.1.1）不能 满足。
u-解的未知函数；A、B对于独立变量的 微分算子；可以是单个方程也可以是方 程组。
k k Q 0 x x y y 0 在 上 B( ) k q 0 在q 上 n A( )
A1 ( u) A(u) A2 ( u) 0
( )
( 4.1.1)
•
对边界条件B(u)同样有：
~T ~ ~ V B(u)dΓ v1B1 (u) v2 B2 (u) dΓ 0

• 对于微分方程组和边界条件都满足的等效积分形式为：
（4.2.1）讨论： 1）D比A 的微分阶数降低； 2）对u的连续性要求降低； ~ 3）对v及 V 的连续性要求提高； ~ 是已知函数，满足连续性并不困难。 4）v及 V
强制边界条件：选择的φ函数自动满足边界值
如： 0
自然边界条件：场函数φ在Γφ边界上自动满足边界条件
如： k q 0 n

V
T
~ A(u)dΩ VT B(u)dΓ 0

(4.1.4)
• • • •
保证（4.1.4）可积的条件： ~ 1） V 和 V 以函数自身形式出现； 2）在Ω域内和Γ上为单值可积函数； 3）u可以以导数和偏导数形式出现，取决于 微分算子A、B的最高阶次； • 4）u应满足Cn-1连续性，n为微分算子的最高 阶次。 • 以上积分形式还很严格。