有限元第2讲：加权余量法
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加权余量法的基本原理
加权余量法的基本原理
加权余量法是一种常用于工程设计中的计算方法，其基本原理是在设计时考虑各种偏差因素，通过对这些因素进行加权，得出可靠的设计参数。
加权余量法的主要思想是在设计时加入一定的安全余量，以应对可能存在的各种不确定因素，如材料强度、加工精度、负荷变化等。
这样，在实际使用时，即使存在一些误差或者随机因素，也能保证设计的可靠性和安全性。
在具体的计算中，加权余量法通常采用统计学方法，对各种偏差因素进行量化，并按照其权重进行加权。
这样，可以得到一个综合的设计余量，即在各种偏差因素都存在的情况下，仍能保证设计的可靠性和安全性。
总之，加权余量法是一种在工程设计中广泛应用的计算方法，其基本原理是考虑各种偏差因素，通过加权计算得出可靠的设计参数，以保证工程的可靠性和安全性。
- 1 -。
三维Biot固结有限元方程的加权余量法推导
三维 B i o t 固结有限元方程的加权余量法推导李 伟 马 骏 安延云(天津市海岸带公司, 天津 300192)摘 要本文从土的平衡微分方程和连续性方程出发, 采用加权余量法推导出便于应用的土体三维 B i o t 固结有限元方程。
关键词 B i o t 固结理论 加权余量法 有限元 中图分类号: P 75文献标识码: B前言1 土体的固结是指土体在荷载作用下, 内部含水缓慢渗出, 体积逐渐缩减的现象。
对于一维 固结问题, T e rzagh i 固结方程是精确的, 对于多维固结问题并不严格。
B i o t 固结方程从较严格 的固结机理出发, 能正确反映孔隙应力消散与土骨架变形间相互关系, 在工程实践中得到普遍 应用。
目前已经提出了许多建立 B i o t 固结理论有限元方程的方法, 其中变分法在数学上严格但 物理概念不太明确 1 ; 虚位移原理和流量平衡方法在物理概念上明确, 易于为工程界接受, 但 难以推广到任何网格情况 2 ; 加权余量法也是一种数学物理方法, 比变分法有更大的灵活性, 在解固结问题中比变分法易于理解。
B io t 固结理论2 B i o t 固结理论的基本公式包含平衡微分方程和连续性微分方程两部分, 对于空间问题, 土体中任一点的平衡微分方程为:5Ρx y 5Ρx z 5p + + 5x = 05y 5z 5Ρy 5Ρy z 5p (1)5y + + + 5y = 0 5z 5Ρz y 5Ρz 5p5y + 5z ++ 5z = - Χ式中 Ρ, Σ为有效应力, p 为孔隙水压力, Χ为土体饱和容重。
此外, 由达西定律, , , :第 4 期三维 B i o t 固结有限元方程的加权余量法推导73(2)将式 (2) 代入则得: 5Εv - 2 2 5 p + k 5 p + k k x y z 5x 2 5y 25t假设土的渗透性各向相同, 即 k x = k y = k x = k , 并将 Εv 用位移表示出来, 则上式可写为以位 :5Εv 5 5u 5v 5w 52 p 52 p (3)5t 5x + 5y + 5z = - 5y 2 +5z 2式 (1) 和式 (3) 联立即为 B i o t 固结方程。
有限元原理加权余量法和变分法PPT课件
第7页/共50页
• 3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
由此构建加权量法的目标函数：
关于函数的函数， 称为：泛函数，或
泛函
Fj(R)
j
R
d
j R
d，
令 Fj(R) 0 则余数最小， 趋于
上述过程中，已经将偏微分方程转化为j个代数方程组，便于计算机求解。
第8页/共50页
• 3. 加权余量法－－例1
d
3(
2 3
d )C2 10d 2
第13页/共50页
0
• 3. 加权余量法－－例1
4. 求解上述两个代数方程组，得到待定系数，从而确定近似解
解得：C1＝10 / d；C2＝0
2
近似解： （）＝
i 1
Ci xi＝C1x1
C2
x
2＝10 d
x
加权余量法求解流程：
1.选取尝试函数、构造近似解 2.结合问题，写出余数表达式 3. 写出加权余数表达式 4. 令各加权余数表达式为0，得到代数方程组，解之得到待定
数个数
• 4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳
n
{[ wj( i )d] [ w*j ( i )d]}Ci wjq d w*j s d
i 1
系数
激励
边界条件
代数方程写成矩阵形式： [K ][C] [F ][b]
系数矩
阵n×n
待定系数矩阵、源矩阵、 边界矩阵n×1
矩阵元素值：
n
n
w j[( Ci i ) q] d w*j[ ( Ci i ) s] d 0
i 1
i 1
第17页/共50页
• 4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳
• 3.电磁场位函数偏微分方程的数值求解方法－加权余量法
由此构建加权量法的目标函数：
关于函数的函数， 称为：泛函数，或
泛函
Fj(R)
j
R
d
j R
d，
令 Fj(R) 0 则余数最小， 趋于
上述过程中，已经将偏微分方程转化为j个代数方程组，便于计算机求解。
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• 3. 加权余量法－－例1
d
3(
2 3
d )C2 10d 2
第13页/共50页
0
• 3. 加权余量法－－例1
4. 求解上述两个代数方程组，得到待定系数，从而确定近似解
解得：C1＝10 / d；C2＝0
2
近似解： （）＝
i 1
Ci xi＝C1x1
C2
x
2＝10 d
x
加权余量法求解流程：
1.选取尝试函数、构造近似解 2.结合问题，写出余数表达式 3. 写出加权余数表达式 4. 令各加权余数表达式为0，得到代数方程组，解之得到待定
数个数
• 4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳
n
{[ wj( i )d] [ w*j ( i )d]}Ci wjq d w*j s d
i 1
系数
激励
边界条件
代数方程写成矩阵形式： [K ][C] [F ][b]
系数矩
阵n×n
待定系数矩阵、源矩阵、 边界矩阵n×1
矩阵元素值：
n
n
w j[( Ci i ) q] d w*j[ ( Ci i ) s] d 0
i 1
i 1
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• 4. 加权余量法求解一般化偏微分方程的归纳
03加权余量法
dx u0 u1 0
解： （1）取近似解
Lu
d 2u
2
u x 0
0 x 1
u x1 x 1 2 x
（2）求余量
R Lu p
x 2 x x 2 1 2 6 x x 2 x 3 2
2 1 0
0 1
2
积分整理得
202 101 1 55 707 1572 399 2
(4)解出
1 0.1875419 2 0.1694706
(5)近似解
u x1 x 0.1875419 0.1694706 x
4.矩量法 取权函数
i 1 Wi r
i 1,2,..., n
D
则
R, Wi
Rr i 1dD 0
例（同前）：
D
步骤（3）取
i 1,2 W1 1,W2 x
x 2 x x 2 6 x x
1 2 1
2
x 3 2 dx 0 x 3 2 xdx 0
解出R中所含的n个αj，可得近似解。 例（同前）： 步骤（3）取两个子区域
1 0 x 2 0 x 1
R, Wi
1 2
D
0 x 3 2 dx 0 x 3 2 dx 0
x 2 x x 2 6 x x
2 1
2
x 2 x x 2 6 x x
2 1 0
0 1
2
积分整理得
11 11 1 6 12 1 2 11 19 1 2 3 12 20
有限元第2讲：加权余量法
x
u x 1 x a1
R1x x a1 2 x x2
有限单元法
崔向阳
18
例题解析
子域法(Sub-domain Method)
考虑两项近似解：
u x1 x a1 x2 1 x a2
将整个问题域分为两个子域，取： R2x x a1 2 x x2 a2 2 6x x2 x3
边界欲求解问题问题域在问题域内对于一个问题可以归结为在一定的边界条件或动力问题的初始条件下求解微分方程的解这些微分方程为问题的控制方程微分算子与未知函数u无关的已知函数域值待求的未知函数有限单元法崔向阳边界欲求解问题问题域在问题域内
湖南大学 机械与运载工程学院
Hunan University
College of Mechanical & Vehicle Engineering
考虑一项近似解：
取x=1/2作为配点，得到：
R
1 2
1 2
-
7 4
a1
0
解得： a1 2 / 7
可以得一项近似解为：
u1
2 7
x
1
x
u x 1 x a1
R1x x a1 2 x x2
考虑两项近似解：
取x=1/3, 2/3作为配点，得到：
R
1 3
1 3
- 16 9
a1
2 27
有限单元法
崔向阳
17
例题解析
子域法(Sub-domain Method)
考虑一项近似解：
取整个问题域作为子域，即：
W1 1, 0 x 1
余量加权的积分为零
1 0
R1
x
dx
1 0
x
a1
加权余量法 ppt课件
加权余量法
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
~
( ~u )
泛函 ( ~u的) 极值问题（求函数u），转化为求 多元（ a~1 ....）..a~函n 数的极值问题。
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
~
(u ) ~ 0
a ~
Ka F ~~ ~
3）求解线性代数方程组
a ~
u的近似解
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
2.解的收敛性
讨论： 1）此方法的优点是不增加最后的线性方程组阶数
2）
K ~
2为奇异阵
K ~
2
0
K ~
1
相对 K~可2 以忽略。
1 K~2~aP ~
0
而 ~a ，0 必K~须2 是奇异，才有非零解。
加权余量法
§1.3.2 修正泛函变分原理
从实例中可见， K~为2 奇异的。 实例计算中需证明 K~的2 奇异性。
~~~
~
~~~
因为算子是线性、自伴随的，所以：
u TL (u )[1u TL (u ) 1u TL (u )]d
~~~
2~~~ 2~~~
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
u TL (u )[1u TL (u ) 1u TL (u )]d
Байду номын сангаас~~~
精品资料
• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
~
( ~u )
泛函 ( ~u的) 极值问题（求函数u），转化为求 多元（ a~1 ....）..a~函n 数的极值问题。
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
~
(u ) ~ 0
a ~
Ka F ~~ ~
3）求解线性代数方程组
a ~
u的近似解
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
2.解的收敛性
讨论： 1）此方法的优点是不增加最后的线性方程组阶数
2）
K ~
2为奇异阵
K ~
2
0
K ~
1
相对 K~可2 以忽略。
1 K~2~aP ~
0
而 ~a ，0 必K~须2 是奇异，才有非零解。
加权余量法
§1.3.2 修正泛函变分原理
从实例中可见， K~为2 奇异的。 实例计算中需证明 K~的2 奇异性。
~~~
~
~~~
因为算子是线性、自伴随的，所以：
u TL (u )[1u TL (u ) 1u TL (u )]d
~~~
2~~~ 2~~~
加权余量法
§1.3. 1 自然变分原理
u TL (u )[1u TL (u ) 1u TL (u )]d
Байду номын сангаас~~~
偏微分方程求解有限元法的原理加权余量法和变分法共52页
偏微分方程求解有限元法的原理加权 余量法和变分法
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
52
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
52
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
加权余量法简介
在V域内
在S边界上
显然
R I， R B
反映了试函数与真实解之间的偏差，它们分别称
做内部和边界余量。
若在域V内引入内部权函数 W ，在边界S上引入边界权函数 则可建立n个消除余量的条件，一般可表示为：
I
WB
V
W Ii R I d V
S
W Bi R B d S 0
( i 1, 2 , , n )
方法概述及按试函数分类
设问题的控制微分方程为:
在V域内
L (u ) f 0
在S边界上 B ( u ) g 0 式中 : L、B——分别为微分方程和边界条件中的微分算子； f、g ——为与未知函数u无关的已知函数域值； u——为问题待求的未知函数。
当利用加权余量法求近似解时，首先在求解域上建立一个试函数 u ， 一般具有如下形式：
5．矩法(Method of Moment) 本法与伽辽金法相似，也是用完备函数集作权函数。 但本法的权函数与伽辽金法又有区别，它与试函数无关。 消除余量的条件是从零开始的各阶矩为零，因此 对一维问题 对二维问题 其余类推 这五种基本方法在待定系数足够多(称做高阶近似)时，其精
W Ii x
W Iij x
不难验证其满足边界条件，也即 R B R I 为:
0 。而控制方程的内部余量
R I E Ic (1 2 0 x 2 4 l ) q
子域法解 由于试函数仅一个待定常数，因此只需取一个子域（等于全域） 即可，消除余量的条件为:
由此可解得:
l 0
E Ic 1 2 0 x 2 4 l q d x 0
i -1
i -1
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注意：对于二维问题，当i，j取到n时，其未知系数和权函数有(n+1)2个。
三维问题权函数怎么取？
有限单元法
崔向阳
12
加权余量法
最小二乘法(Least Square Method)
本法通过使在整个求解域上余量的平方和取极小来建立消除余量的条件。
若记余量平方和为I(a) :
则极值条件为:
I (a) RTRd
W1 1, 0 x 1/ 2在子域1内
W2 1, 1/ 2 x 1在子域2内
余量加权的积分为零
1/2 0
R2
x
dx
1/2 0
x
a1
2 x x2
a2
2 6x x2 x3
dx
1 8
11 12
a2
+
53 192
a2
0
1 1/2
R2
x
dx
1 1/2
x
a1
2 x x2
广泛。 ai 可以为任意值
有限单元法
崔向阳
14
例题解析
为说明上述方法，我们对一个二阶常微分方程进行求解：
控制方程:
d 2u dx2
u
x
0
0 x 1
当x=0时，u=0 边界条件: 当x=1时，u=0
若近似场函数为: u x 1 xa1 a2x =1a1 2a2
其中ai为待定参数，近似场函数的基函数为：1 x1 x， 2 x1 x x，
近似场函数对结果的影响如何？ 近似场函数如何取？
有限单元法
崔向阳
6
加权余量法
根据选取近似场函数的不同，余量 RI 和 RB 可有如下三种情况：
1）近似场函数满足边界条件：
RB B(u) g 0
消除余量的积分方程可改写为: WIiRI d 0 (i 1, 2, , n)
内部法
2）近似场函数满足控制方程：
(i 1, 2, , n)
上式实际意义是通过选定待定系数ai，强迫余量的加权积分值等于零， WIi及WBi 称为权函数 ， 这种方法就叫做加权余量法。
有限单元法
崔向阳
5
加权余量法
对上式展开，可得到一组余量的加权积分方程组:
WI1RI d WB1RBd 0
A11 A12
WI 2RI d WB2RBd 0 展开
它们反映了试函数与真实解之间的偏 差，它们分别称做内部和边界余量。
用n个规定的函数来代替任意函数W及V: W WIi ，V WBi ，近似场函数的
微分方程组及其边界条件的等效积分形式:
积分形式: WIi L(u) f d WBi B(u) g d=0 (i 1, 2, , n)
余量形式: WIi RI d WBi RBd 0
a2 0.1731
可以得两项近似解为： u2 0.1948x1 x 0.1731x2 1 x
有限单元法
崔向阳
17
例题解析
子域法(Sub-domain Method)
考虑一项近似解：
取整个问题域作为子域，即：
W1 1, 0 x 1
余量加权的积分为零
1 0
R1
x
dx
1 0
x
a1
2 x x2
2
微分方程的等效积分形式
由问题描述可知：
边界Γ
在问题域Ω内： L(u) f 0
（1）
对于任意函数W有： W L(u) f d 0 （2）
问题域Ω
(2)式是( 1)式的完全等效积分形式
欲求解问题
在边界Γ内：
B(u) g 0
（3） 保证式(5)可积的条件：
对于任意函数V有： V B(u) g d 0 （4） 1）W 和V以函数自身
我们采用前面介绍的不同权函 数对此问题进行求解！
有限单元法
崔向阳
16
例题解析
配点法(Collocation Method)
考虑一项近似解：
取x=1/2作为配点，得到：
R
1 2
1 2
-
7 4
a1
0
解得： a1 2 / 7
可以得一项近似解为：
u1
2 7
x
1
x
u x 1 x a1
R1x x a1 2 x x2
总之，对于复杂控制方程，简单边界问题，宜采用内部法；对简单控制方程， 复杂边界，适合用边界法；对控制方程和边界条件都较复杂的问题，采用混合 法较好。这三种方法中，内部法一般应用较多。
有限单元法
崔向阳
8
加权余量法
加权余量法是利用权函数对余量进行加权令其在问题域的积分为零。
权函数怎么取？
常用的权函数的选择有以下几种：
W1 x0 1
余量加权的积分为零
1 0
R1
x
dx
1 0
x
a1
2 x x2
dx
1 2
11 6
a1
0
解得：
3 11
x
1
x
u x 1 x a1
R1x x a1 2 x x2
有限单元法
崔向阳
20
例题解析
矩法(Method of Moment)
使余量与每一个基函数正交，也即以基函数作为权函数，并将边界与内部
的权函数取符号相反，可得:
n
u aii i 1
WIi i ,
其加权余量方程可表示为:
WBi i ,
(i 1, 2, , n)
i RI d i RBd 0
(i 1, 2, , n)
定义近似解 u 的变分为：
由敛残性值，方还程使 u和得试伽i函辽n1 数金i中法a的精i 每度一高个而基计函算数工正作u交量R这又I d一不性算质太，大不，uR仅所Bd保以证该了方0解法的应收用
湖南大学 机械与运载工程学院
Hunan University
College of Mechanical & Vehicle Engineering
第2讲: 加权余量法
崔向阳
从微分到积分
前面说过，微分方程不太容易直接求解，只好另觅蹊径！ 高老爷子有办法，微分方程难搞，积分容易啊 把微分方程弄成积分形式试一下？
不难验证其满足边界条件，即： RB 0
但不满足控制方程，其内部余量不为0，其加权余量为零：
i RI d 0
(i 1, 2, , n)
有限单元法
崔向阳
15
例题解析
为方便起见，我们只讨论一项和两项的近似解：
考虑一项近似解，即n=1：
近似场函数为: u x 1 x a1
d 2u u x 0 dx2
容易的。并且，由于边界条件已经满足，所以计算工作量较少。但是对 于复杂的边界，这一方法就很不方便。
边界法：由于基本控制方程已经满足，近似计算仅在边界上进行，因而 计算工作量少，精度较高，不足的是，要事先求得不同问题控制方程的 泛定解，比较困难。
混合法：对试函数要求不严，复杂的边界条件和复杂的控制方程都能适 应，缺点是计算工作量较大。
边界Γ
在边界Γ上 B(u) g 0
当我们面对复杂的实际问题时，精确解往往
问题域Ω
是很难找到，怎么办？
欲求解问题
我们可以采用近似场函数替代精确场函数，进而得到具有
一定精度的近似解，这种近似场函数叫做试函数。
假设u为精确场函数，u 为近似场函数，则未知场函数可表
示为：
基函数的要求：
待定系数，真
问题的自 正的求解目标 由度
n
u u aii i 1
基函数
1）取自完备函数集；
2）线性独立；
3）要满足强制边界条件 和连续性的要求。
有限单元法
崔向阳
4
加权余量法
近似场函数带入原问题的控制方程，由于近似解是不能满足精确微分方程式
或全部边界条件式的，他们将产生残差(也叫余量) ：
在问题域Ω内 RI L(u) f 在边界Γ上 RB B(u) g
此法的权函数取xi-1 (i=1，…n) :
对一维问题 Wi xi-1
(i 1, 2, , n)
对二维问题 Wij xi-1 y j-1
(i, j 1, 2, , n)
矩法实质是强迫余量的各阶次矩等于零
xi1Rd 0 i
(i 1, 2, , n)
xi1 y j1Rd 0 i
(i, j 1, 2, , n)
考虑两项近似解：
取x=1/3, 2/3作为配点，得到：
R
1 3
1 3
- 16 9
a1
2 27
a2
0
R
2 3
2 3
- 16 9
a1
-
50 27
a2
0
u x1 x a1 x2 1 x a2
R2x x a1 2 x x2 a2 2 6x x2 x3
解得： a1 0.1948
RI L(u) f 0
消除余量的积分方程可改写为: WBiRBd 0 (i 1, 2, , n)
边界法
3）近似场函数既不满足控制方程，也不满足边界体检
消除余量的积分方程为: WIi RI d WBi RBd 0
混合法
(i 1, 2, , n)
有限单元法
崔向阳
7
加权余量法
这三种方法各有自己的优点，当然也存在不足： 内部法：对于一般比较规则的边界，选取满足边界条件的试函数是比较
形式出现；
(4)式是( 3)式的完全等效积分形式
2）在Ω和Γ上为单值可 积函数；
对于整个问题都满足的等效积分形式为：
W L(u) f d V B(u) g d=0 （5）
3）u可以以导数和偏 导数形式出现，取 决于微分算子L和 B 的最高阶次