根式和一次函数

实数3.1无理数有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。

反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。

1.无理数的概念:无限不循环小数叫做无理数(两个条件:①无限②不循环)。

练习：下列说法正确的是（）（A）无限小数是无理数；（B）带根号的数是无理数；（C）无理数是开方开不尽的数；（D）无理数包括正无理数和负无理数2.无理数: (1)特定意义的数，如∏；(2)特定结构的数；如2.02002000200002…(3)带有根号的数，但根号下的数字开不尽方，如3.分类:正无理数和负无理数。

3.2平方根1.定义:如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根（也叫做二次方根）。

2.表示方法: 正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根a；另一个是－a，它们是一对互为相反数，合起来是03.开平方:求一个数a的平方根的运算，叫做开平方(其中,a叫被开方数,且a为非负数)。

开平方与乘方是互为逆运算。

判断：（1） 2是4的平方根（）（2） -2是4的平方根（）（3）4的平方根是2 （）（4）4的算术平方根是-2 （）（5）17的平方根是17（）（6）-16的平方根是-4 （）小结: 一个正数有两个平方根,它们互为相反数；0只有一个平方根,它是0本身；负数没有平方根。

3.3立方根1.定义: 如果一个数x的立方等于a，即x3=a, 那么这个数x叫做a的立方根(三次方根)。

2.性质: 正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0。

3.开立方: 求一个数a的立方根的运算，叫做开立方(其中,a叫被开方数)。

4.平方根与立方根的联系与区别:(1)联系:①0的平方根、立方根都有一个是0；②平方根、立方根都是开方的结果。

(2)区别:①定义不同；②个数不同；③表示方法不同；④被开方数的取值范围不同。

（一）、二次根式及其性质一周强化一、一周知识概述1、二次根式一般地，我们把形如(≥0)的式子叫做二次根式，其中为整式或分式，叫做被开方式．2、二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件是≥0，即被开方式是非负数．3、二次根式的性质(3)4、积的算术平方根的性质(a≥0，b≥0)即两个非负数的积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．5、商的算术平方根的性质(a≥0，b＞0)商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．6、最简二次根式如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且被开方式中不含有能开得尽方的因式，这样的二次根式称为最简二次根式．二、重难点知识归纳1、从二次根式的定义看出，二次根式的被开方数可以是一个数，也可以是一个式子，且被开方数必须是非负数．2、二次根式的性质具有双重非负性，即二次根式中被开方数非负（a≥0）,算术平方根非负(≥0).3、利用得到成立，可以把任意一个非负数或式写成一个数或式的平方的形式．如．4、注意逆用二次根式的性质，即，，利用这两个性质可以对二次根式进行化简．5、运用二次根式的性质化简时，最后结果中的二次根式要化为最简二次根式或整式．最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方式中不含分母；(2)被开方式中不含能开得尽方的因数或因式．三、典型例题讲解例1、已知实数a、b在数轴上的位置如图．化简：．分析：待求式中的五个二次根式的被开方数都是完全平方式，且结构特征符合性质3的，但由题设中的a、b在数轴上的位置可知a、b有正有负，因此本题的关键是确定各个数的正负性．解：由数轴上点的位置可知a>b，0<a<1，b<－1，∴a>0，b<0，a－b>0，b－1<0，a－1<0总结：（1）由数轴上点的位置应确定两个要素：一是各数的正负性，二是比较各数的大小；（2）在运用性质计算时一定要明确底数的正负性．例2、化简下列二次根式：分析：（1）～（4）题均不含分母，因此要将其化为最简二次根式，即是将被开方数中能开得尽方的因数或因式运用积的算术平方根的性质，将其移至根号外，（5）～（8）题都含有分母，应首先根据分式的基本性质，将分母化为能开得尽方的，然后再运用商的算术平方根的性质将其化简，但不要忽视分子中含有能开得尽方的因式或因数也要化简．总结：（1）当被开方数中不含有分母，则用积的算术平方根性质进行化简；（2）当被开方数中含有分母，化简时既要用到商的算术平方根，也要用到积的算术平方根．例3、若x为实数，化简下列各式（1）（2）分析：由于x为实数，要确定中的x＋1和中的x－2的正负号，必须将实数划分为几个区域来讨论．解：（1）==|x＋1|当x＋1≥0，即x≥－1时，|x＋1|=x＋1当x＋1<0，即x<－1时，|x＋1|=－(x＋1)=－x－1（2）=＋2=|x－2|＋2|1＋x|令x－2=0，则x=2，令x＋1=0，则x=－1，x=2,x=－1称为零点值把x=2，x=－1这两点标在数轴上(如上图)这时数轴被分成三段：x≥2，－1≤x<2，x<－1,就按这三种情况去讨论脱绝对值符号．1）当x≥2时|x－2|＋2|1＋x|=(x－2)＋2(1＋x)=3x；2）当－1≤x<2时，|x－2|＋2|1＋x|=－(x－2)＋2(1＋x)=x＋4；3）当x<－1时|x－2|＋2|1＋x|=－(x－2)－2(1＋x)=－3x说明：解这类题的大致步骤：①找出零点值(使绝对值等于零的x的值)；②在数轴上标出这些点，将整个数轴分成若干区间；③按区间范围逐个讨论如何脱绝对值符号；从而达到化简目的．例4、已知x、y为实数，且实数m适合关系式，试确定m的值．分析：∵x－199＋y与199－x－y互为相反数，且x－199＋y≥0，199－x－y≥0同时成立，∴x－199＋y=0，即x＋y=199，又由算术平方根是非负数，可得到关于x、y、m的方程组，从而求出m的值．解：由二次根式有意义的条件知，∴x＋y=199将其代入已知等式得．又根据算术平方根为非负实数有②×2－①得x＋y－m＋2=0，结合③得m=x＋y＋2=199＋2=201．总结：当两个二次根式的被开方数互为相反数时，可用“夹逼”的方法推出，两个被开方数同时为零．例1、（河南）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：解析：由数轴上实数a、b的位置可知，a－b<0，例2、（绵阳市）已知是正整数，则实数n的最大值为（）A．12B．11C．8D．3解析：是正整数，12－n是一个整数的平方数，当n增大时，12－n减小，所以当n=11时，12－n=1，所以n的最大值为11．答案：B例3、（荆门市）若，则x－y的值为（）A．－1B．1C．2D．3解析：本题考查二次根式的意义，由题意可知x－1≥0且1－x≥0,∴，，∴x－y=2，故选C．答案：C二次根式的加减法一周强化一、一周知识概述1、同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．同类二次根式与整式中的同类项类似．2、合并同类二次根式合并同类二次根式与合并同类项相似．将同类二次根式的系数相加减，根指数与被开方数不变．3、二次根式的加减法二次根式加减，应先把各个二次根式化成最简二次根式，然后把同类二次根式分别合并．合并方法为系数相加减，根式不变．注意：二次根式的加减常分为两大步骤进行，第一步化简；第二步合并．4、二次根式的加、减运算的依据二次根式的加、减运算实质上是运用实数的加法交换律、结合律，以及乘法对于加法的分配律．二、重难点知识二次根式的加减法运算实质上是运用实数的运算律，在进行二次根式的加减法时，注意先把各个二次根式化简为最简二次根式，再把同类二次根式合并．三、典型例题讲解例1、下列二次根式中与是同类二次根式的是（）A、B、C、D、分析：本题主要是考查化简二次根式的能力和同类二次根式的概念的理解及判断能力，解此题，首先应将所给的选择项中的二次根式化简，然后再看化简的最简二次根式，哪个被开方数是3.解：∵，是最简二次根式，不能再化简.，故是同类二次根式.答案：D例1、（贵阳市）计算：=__________.分析：本题主要考查二次根式的加减运算，应先将各项化为最简二次根式，再合并其中的同类二次根式.解：.例2、（上海市）在下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．解析：要判断几个二次根式是否为同类二次根式，必须先把各个二次根式化成最简二次根式后再看被开方式是否相同．因为是最简二次根式，，，，所以与是同类二次根式的是．答案：C例2、计算：（1）．（2）．分析：本组题中各个加数都不是最简二次根式，因此需先进行化简，然后再把同类二次根式进行合并．解：(1)．(2)．例3、计算：分析：先根据去括号的法则，去掉括号，再进行二次根式的加减运算．总结：解此类问题分为三个步骤：一是去括号，二是化简，三是合并，但在去括号时应注意符号的处置．二次根式的乘除法一周强化一、一周知识概述1、二次根式的乘法法则(a≥0，b≥0)即：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变．注意：①此法则可推广到多个二次根式的情况：如（a，b，c，d都是非负数）；②如果根号前有系数，就把各个系数相乘，仍旧作为二次根号前的系数；③二次根式运算的结果，应该尽量化简，如最终结果不要写成；④被开方数相乘的时候，往往不求出乘积，而是考虑因数分解或因式分解，以便进一步的化简. 如直接得到，而不要先写成；⑤二次根式相乘也要有一定的灵活性，如果不是最简二次根式，也可以先把它们化简成最简二次根式，然后再相乘，反而简便些. 如.2、二次根式的除法法则(a≥0，b＞0)即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变．注意：①如果根号前有系数，就把各个系数相除，仍旧作为二次根号前的系数；②这种方法的局限性比较大，它只适用于被除式与除式的被开方数恰好能整除的情况. 如. 当被除式与除式的被开方数不能整除时，如我们把它化成没有什么意义，这时就要采用分母有理化的方法来进行. 因此二次根式的除法运算，通常是采用化去分母中根号的方法来进行.③二次根式相除，最后的结果必须化成最简二次根式.3、二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与有理数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．注意：①在运算过程中，每一个根式可以看作是一个“单项式”，多个被开方数不同的二次根式的和可以看作“多项式”；②有理数(或整式)中的运算律、运算法则及所有的乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；③二次根式的运算结果必须是最简二次根式．二、重难点知识1、注意逆用二次根式的乘除法则，即，，利用这两个性质可以对二次根式进行化简．2、二次根式的运算中，最后结果中的二次根式要化为最简二次根式或整式．最简二次根式必须满足两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．3、二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去掉括号）．在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”；实数运算中的运算律（分配律、结合律、交换律）、运算法则及所有的乘法公式（平方差公式、完全平方公式等），在二次根式的运算中仍然适用．三、典型例题讲解例1、计算（1）；（2）；（3）.分析：逆向利用积的算术平方根的性质，（a≥0，b≥0）得到（a≥0，b≥0）这就是二次根式的乘法法则. 有理数的运算律、乘法公式对于二次根式同样适用.解：（1）（2）（3）例2、计算（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．分析：利用二次根式除法法则进行，被开方数相除时，用除以一个数（非零）等于乘以这个数的倒数，约分再化简．解：（1）原式．（2）原式．（3）原式．（4）原式．（5）原式．（6）原式．小结：当除式是分数或分式时，可转化为乘法计算．运算的结果一定要最简．即：①被开方数不能有开得尽方的因数或因式；②被开方数中不能含有分母．例1、（新疆乌鲁木齐市）计算：．解：原式．例2、（山东青岛）计算：＝_____________．解析：本题考查二次根式的乘法和除法运算，根据运算顺序先计算，，所以.答案：1一次函数6.1函数常量:在变化过程中，保持不变取值的量叫常量。