北师大版计算导数教案
计算导数教案1北师大版选修11
§导数的计算 几个常用函数的导数教学目标：1.使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式; 2.掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数. 教学重点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式及应用. 教学难点：四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=的导数公式. 教学过程： 一、创设情景我们知道,导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率,物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.那么,对于函数()y f x =,如何求它的导数呢？由导数定义本身,给出了求导数的最基本的方法,但由于导数是用极限来定义的,所以求导数总是归结到求极限这在运算上很麻烦,有时甚至很困难,为了能够较快地求出某些函数的导数,这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法,下面我们求几个常用的函数的导数. 二、新课讲授1.函数()y f x c ==的导数 根据导数的定义：几何意义：0y '=y c =上每一点处的切线的斜率都为物理意义：若y c =表示路程关于时间的函数,则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为 ,即物体一直处 于 状态.2.函数()y f x x ==的导数 根据导数的定义：几何意义：1y '=y x =上每一点处的切线的斜率都为物理意义：若y x =表示路程关于时间的函数,则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的 运动. 3.函数2()y f x x ==的导数 根据导数的定义：几何意义：2y x '=2y x =上点(,)x y 处的切线的斜率都为2x ,说明随着x 的变化,切线的斜率也在变化.另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,表明:当0x <时,随着x 的增加,函数2y x =减少得越来越慢;当0x >时,随着x 的增加,函数2y x =增加得越来越快.物理意义：若2y x =表示路程关于时间的函数,则2y x '=可以解释为某物体做变速运动,它在时刻x 的瞬时速度为2x . 4.函数1()y f x x==的导数 根据导数的定义：5.函数()y f x ==根据导数的定义：推广: 若()n y f x x ==,则 注:这里n 可以是全体实数测评第五页⒈―――⒌基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(第一课时)教学目标：1.熟练掌握基本初等函数的导数公式;2.掌握导数的四则运算法则;3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 教学难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学过程： 一、创设情景五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y =的导数公式及应用二、新课讲授 (一)基本初等函数的导数公式表(二)推论: []'()cf x =(常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数) 二、典例分析例1根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求下列函数的导数.(1)323y x x =-+(2)y =(3)sin ln y x x x =⋅⋅(4)4x x y =(5)1ln 1ln xy x-=+分析:根据导数运算法则，师生共同完成(1)'3'3'''2(23)()(2)(3)32y x x x x x =-+=-+=-'232y x =-。
3.3计算导数 教案(高中数学选修1-1北师大版)
§3计算导数●三维目标1．知识与技能：能根据导数的定义求常用函数的导数，掌握基本初等函数的求导公式．2．过程与方法：利用导数的定义推导简单函数的导数公式．3．情感、态度与价值观：通过定义求导数的过程，培养学生归纳、探求规律的能力，提高学生的学习兴趣．●重点难点重点：利用导数的定义求导数．难点：导函数的理解．教学时引导学生在上节课的基础继续计算在某点处的导数，让学生观察、比较、分析某点x0的变化，如在区间上任取值，进而理解导函数的概念．●教学建议本节课是上节课的继续、延伸，教学时让学生充分理解f′(x0)与f′(x)的关系．本节课宜采用探究式课堂教学模式，以“f′(x0)与f′(x)的之间的关系”为探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生在“活动”中学习，在“探究”中提高．●教学流程创设问题情境，提出问题通过回答问题，理解计算导数的方法及导数的含义通过例1及变式训练，使学生进一步掌握利用导数定义求导数 通过例2及变式训练，使学生掌握利用公式计算导数 通过例3及变式训练，使学生掌握导数的应用 完成当堂双基达标，巩固所学知识归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识对于函数y ＝－12x 2＋2x ，如何求f ′(1)、f ′(x )？f ′(x )与f ′(1)有何关系？ 【提示】 f ′(1)＝错误！未指定书签。
f （1＋Δx ）－f （1）Δx .f ′(x )＝错误！未指定书签。
f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx.f ′(1)可以认为把x ＝1代入导数f ′(x )得到的值． 1. 导数如果一个函数f (x )在区间(a ，b )上的每一点x 处都有导数，导数值记为f ′(x )，f ′(x )＝错误！未指定书签。
_f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx，则f ′(x )是关于x 的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．2. 几种常见函数的导数(1)利用导数的定义求f′(x)；(2)利用f′(x)分别求函数y＝f(x)在点x＝0和x＝1处的导数．【思路探究】(1)先求函数f(x)在区间[x，x＋Δx]上的平均变化率，再求当Δx趋于0时平均变化率的极限值，即得f′(x)；(2)将x＝0和x＝1分别代入f′(x)即可求解．【自主解答】(1)∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝－3(x＋Δx)2＋2(x＋Δx)－1－(－3x2＋2x－1)＝(2－6x)Δx－3(Δx)2，∴ΔyΔx＝（2－6x）Δx－3（Δx）2Δx＝2－6x－3Δx，当Δx趋于0时，可以得到导数f′(x)＝错误！未指定书签。
高中数学第二章变化率与导数3计算导数教学案北师大版选修2
学 习 资 料 汇编§3 计算导数[对应学生用书P18]对于函数y ＝－x 2＋2.问题1：试求f ′(1)，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12. 提示：f ′(1)＝li mΔx →0－＋Δx2＋2－－1＋Δx＝li m Δx →0(－2－Δx )＝－2. f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝li m Δx →0 －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋Δx 2＋2－⎝⎛⎭⎪⎫－14＋2Δx＝li m Δx →0 (1－Δx )＝1. 问题2：求f ′(x 0)的值． 提示：f ′(x 0)＝li m Δx →0－x 0＋Δx2＋2－－x 20＋Δx＝li m Δx →0(－2x 0－Δx )＝－2x 0.问题3：利用f ′(x 0)可求f ′(1)和f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－12吗？提示：可以．只要令x 0＝1，x 0＝－12.问题4：若x 0是一变量x ，则f ′(x )还是常量吗？提示：因f ′(x )＝－2x ，说明f ′(x )不是常量，其值随自变量x 而改变．1．导函数若一个函数f (x )在区间(a ，b )上的每一点x 处都有导数，导数值记为f ′(x )：f ′(x )＝li m Δx →0f x ＋Δx －f xΔx，则f ′(x )是关于x 的函数，称f ′(x )为f (x )的导函数，简称为导数．2．导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)1．f ′(x )是函数f (x )的导函数，简称导数，它是一个确定的函数，是对一个区间而言的；f ′(x 0)表示的是函数f (x )在x ＝x 0处的导数，它是一个确定的值，是函数f ′(x )的一个函数值．2．对公式y ＝x α的理解：(1)y ＝x α中，x 为自变量，α为常数；(2)它的导数等于指数α与自变量的(α－1)次幂的乘积，公式对α∈R 都成立．[对应学生用书P19][例1] 求函数f (x )＝x 2＋5x 在x ＝3处的导数和它的导函数．[思路点拨] 先用导函数的定义求f ′(x )，再将x ＝3代入即可得f ′(3)． [精解详析] f ′(x )＝li m Δx →0 x ＋Δx2＋x ＋Δx －x 2＋5xΔx＝li m Δx →0 2Δx ·x ＋Δx 2＋5ΔxΔx＝li m Δx →0 (2x ＋Δx ＋5)＝2x ＋5. ∴f ′(3)＝2×3＋5＝11.[一点通] 利用定义求函数y ＝f (x )的导函数的一般步骤： (1)确定函数y ＝f (x )在其对应区间上每一点是否都有导数； (2)计算Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )； (3)当Δx 趋于0时，得到导函数f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx.1．利用导数定义求f (x )＝1的导函数，并求f ′(2)，f ′(3)． 解：Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝1－1＝0，ΔyΔx ＝0.Δx 趋于0时，ΔyΔx 趋于0.所以f ′(x )＝0.所以有f ′(2)＝0，f ′(3)＝0. 2．求函数y ＝x 的导函数． 解：Δy ＝x ＋Δx －x ，Δy Δx ＝x ＋Δx －x Δx ＝1x ＋Δx ＋x ， 所以y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →01x ＋Δx ＋x ＝12x .[例2] 求下列函数的导数．(1)y ＝x 13，(2)y ＝4x ，(3)y ＝log 3x ，(4)y ＝15x2.[思路点拨] (1)(3)直接套用公式，(2)(4)先将分式、根式转化为幂的形式，再求解． [精解详析] (1)y ′＝(x 13)′＝13x13－1＝13x 12；(2)y ′＝(4x )′＝(x 14)′＝14x 114－＝14x 34；(3)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3； (4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫15x 2′＝(x －25)′＝－25x 215--＝－25x 75-.[一点通] 求简单函数的导函数有两种基本方法： (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给函数的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x 的导数是________．解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ，所以y ′＝－sin x . 答案：－sin x4．若f (x )＝x 2－e x，则f ′(－1)＝________. 解析：f ′(x )＝2x －e x ，∴f ′(－1)＝－2－e －1. 答案：－2－e －1 5．求下列函数的导数： (1)y ＝x2 014；(2)y ＝3x3；(3)y ＝5x；(4)y ＝3x 2.解：(1)y ′＝(x2 014)′＝2 014x2 013；(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x3′＝－9x －4；(3)y ′＝(5x)′＝5xln 5；(4)y ′＝(3x 2)′＝23x ⎛⎫ ⎪⎝⎭′＝2313x －[例3] 点P 是曲线y ＝e x上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．[精解详析] 根据题意设平行于直线y ＝x 的直线与曲线y ＝e x相切于点(x 0，y 0)，该切点即为与y ＝x 距离最近的点，如图．则在点(x 0，y 0)处的切线斜率为1， 即f ′(x 0)＝1. ∵y ′＝(e x)′＝e x，∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x，y 0＝1， 即P (0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为22. [一点通] 利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的最值问题．解题的关键是将问题转化为切点或切线的相关问题，利用导数求解．6．过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2或⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2 解析：由y ′＝－1x 2＝－4，得x ＝±12，故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2. 答案：B7．曲线y ＝1x与y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x，y ＝x 2联立得交点为(1,1)，而⎝ ⎛⎭⎪⎫1x′＝－1x2；(x 2)′＝2x ，∴斜率分别为：－1和2， ∴切线方程为：y －1＝－(x －1)， 及y －1＝2(x －1)．令y ＝0得与x 轴交点为(2,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，∴S △＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12×1＝34.答案：348．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的一条切线，求k 的值． 解：设切点坐标为(x 0，y 0)．∵y ＝ln x ，∴y ′＝1x .∴f ′(x 0)＝1x 0＝k .∵点(x 0，y 0)既在直线y ＝kx 上，也在曲线y ＝ln x 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝kx 0， ①y 0＝ln x 0， ②把k ＝1x 0代入①式得y 0＝1，再把y 0＝1代入②式求出x 0＝e. ∴k ＝1x 0＝1e.1．f ′(x 0)与f ′(x )的异同：2．在应用正余弦函数及指数、对数函数的求导公式时应注意的问题：(1)对于公式(sin x )′＝cos x ，(cos x )′＝－sin x ，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化．(2)对于公式(ln x )′＝1x 和(e x )′＝e x 很好记，但对于公式(log a x )′＝1x ln a 和(a x)′＝a xln a 的记忆就较难，特别要注意ln a 所在的位置．[对应课时跟踪训练七1．设函数f (x )＝cos x ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2′＝( ) A ．0 B ．1C ．－1D.以上均不正确解析：注意此题中是先求函数值再求导，所以导数是0，故答案为A. 答案：A2．下列各式中正确的是( ) A ．(log a x )′＝1xB ．(log a x )′＝ln 10xC ．(3x)′＝3x D.(3x )′＝3x·ln 3解析：由(log a x )′＝1x ln a，可知A ，B 均错；由(3x )′＝3xln 3可知D 正确． 答案：D3．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－4，则α的值是( ) A ．－4 B ．4 C ．±4D.不确定解析：f ′(x )＝αx α－1，f ′(－1)＝α(－1)α－1＝－4，∴α＝4.答案：B4．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．－12D.－1解析：因为y ′＝2ax ，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝2a . 又由题设条件知切线的斜率为2， 即2a ＝2，即a ＝1，故选A. 答案：A5．若f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，则适合f ′(x )＋1＝g ′(x )的x 值为________． 解析：由导数的公式知，f ′(x )＝2x ，g ′(x )＝3x 2. 因为f ′(x )＋1＝g ′(x )，所以2x ＋1＝3x 2， 即3x 2－2x －1＝0，解得x ＝1或x ＝－13.答案：1或－136．正弦曲线y ＝sin x (x ∈(0,2π))上切线斜率等于12的点为________________．解析：∵y ′＝(sin x )′＝cos x ＝12，∵x ∈(0,2π)， ∴x ＝π3或5π3.答案：⎝⎛⎭⎪⎫π3，32或⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，－327．求与曲线y ＝f (x )＝3x 2在点P (8,4)处的切线垂直，且过点(4,8)的直线方程． 解：∵y ＝3x 2，∴y ′＝(3x 2)′＝(x 23)′＝23x 13-.∴f ′(8)＝23·813-＝13.即曲线在点P (8,4)处的切线的斜率为13.∴适合条件的直线的斜率为－3.从而适合条件的直线方程为y －8＝－3(x －4)． 即3x ＋y －20＝0. 8．求下列函数的导数： (1)y ＝log 2x 2－log 2x ； (2)y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4.解：(1)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ， ∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2.(2)y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝2sin x 2⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2x4－1＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝cos x .敬请批评指正。
数学北师大版选修1-1导学案-3-3计算导数
§3.3计算导数【学习目标】1、熟练求解几种常用函数的导数。
2、能利用求导公式求基本初等函数的导数．一、知识记忆与理解【自主预习】阅读教材P66-P69，完成下列问题1、导函数如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为______；f′(x)＝____________________，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的________，通常也简称为______．2、导数公式表导数公式表(三角函数的自变量单位是弧度) 函数导函数y＝C(C是常数)y′＝______y＝xα(α为实数)y′＝______y＝a x(a>0，a≠1)y′＝______ 特别地(e x)′＝______y＝log a x(a>0，a≠1)y′＝______ 特别地(ln x)′＝_____y＝sin x y′＝______ y＝cos x y′＝______ y＝tan x y′＝______y＝cot x y′＝－1sin2x【预习检测】1、已知函数f(x)＝x2＋x，则f′(x)＝()A．1B．2C．2x D．2x＋12、判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若f(x)＝1x，则f′(x)＝ln x．（）(2)xx cos)(sin=', xx sin)(cos-='（）(3)(log3π)′＝1πln 3. （）二、思维探究与创新【问题探究】探究一：利用导数的定义求导数用定义法求下列函数的导数：(1)y＝f(x)＝x2；(2)y＝f(x)＝1x；(3)y＝f(x)＝x.变式训练1：1、若xxf10)(=，则=')1(f________．2、若32cos)(π=xf，求f′(x)3、求函数f(x)＝－x2＋3x的导函数f′(x)，并利用f′(x)求f′(3)，f′(－1).整理反思2、利用导数公式求导数 探究二:求下列函数的导数(1)y ＝x ·x ； (2)y ＝log 2x 2－log 2x ；(3)y ＝2－x ； (4))4cos 21(2sin 22xx y --=变式训练2:求下列函数的导数：(1)y ＝sin π3； (2)y ＝5x ； (3)y ＝1x 3； (4)y ＝4x 3；3、导数公式应用探究三:已知曲线y ＝sin x ，求在点A ）（1,2π处的切线方程．变式训练3:已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．【总结归纳】1、求函数y ＝f (x )导函数的步骤： (1)求函数的增量Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )；(2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ；(3)当Δx 趋于0时，得导函数f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx.2、求f ′(x 0)的方法： (1)利用定义直接求f ′(x 0)，f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx；(2)先求导函数，再求f ′(x 0)．三、技能应用与拓展【当堂检测】1、求下列函数的导数．(1)y ＝1x 4. (2)y ＝2x .(3)y ＝5x 3. (4)y ＝2sin x 2cos x2.(5)y ＝lg x . （6）1+=πy2、求曲线y ＝x 过点(3,2)的切线方程．【拓展延伸】(1)若直线l 过点A （0，-1）且与曲线3x y =切于点B ，求B 点坐标．(2)若直线l 与曲线y ＝x 3在第一象限相切于某点，切线的斜率为3，求直线l 与坐标轴围成的三角形面积．整理反思。
2.4导数的四则运算法则教案(北师大版选修2-2)
§4 导数的四则运算法则4．1导数的加法与减法法则4．2导数的乘法与除法法则(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)引导学生发现两函数和、差、积、商的求导法则；(2)运用两函数和、差、积、商的求导法则计算函数的导数．2．过程与方法通过对特殊的两个函数的和、差、积、商的导数与两函数导数的和、差、积、商的关系的探究学习，培养学生发现数学规律的方法与能力；通过法则的应用，提高学生化归转化的意识和能力．3．情感、态度与价值观(1)通过两函数和、差、积、商的求导法则的探索及推广，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律，培养探究归纳意识和能力；(2)通过法则的应用实践，体会数学中“化繁为简”这一基本的解题策略，体会数学在认识世界、改变世界中的价值．●重点难点重点：和、差、积、商的求导法则的运用．难点：法则的提出与推导．教学时从具体实例出发，引导学生分析实例中函数的结构与基本初等函数的关系，并引导学生提出问题，然后利用导数的定义解决问题，从而从具体问题中化解难点，再通过对法则的适用，突出重点．(教师用书独具)●教学建议本节内容安排在学生学习了导数的定义和基本初等函数的求导公式之后，是对上述知识的应用和升华．因此，通过具体实例的分析和探索，让学生从联系与转化的角度提出问题、解决问题是本节课教学的关键．故本节课宜采用“探究→发现→应用”式教学模式，即在具体实例及教师的引导下，经过学生的探究发现问题，揭示规律并运用规律解决问题．●教学流程比较f′x，g′x与f x±g x，f x·g x，f xg x的导数关系.?通过学生归纳、猜想得出导数四则运算法则.?通过例1及变式训练，巩固导数四则运算法则的运用.?通过例2及变式训练，强化求导法则的应用，增强综合运用知识的能力.?通过例3及变式训练，完善已学知识使之系统.?归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识.?。
高中数学选修1-1北师大版 计算导数 学案1
§3 计算导数1．计算函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤：(1)通过自变量在x 0处的改变量Δx 确定函数在x 0处的改变量Δy ＝______________； (2)确定函数y ＝f (x )在x 0处的平均变化率：Δy＝__________________；(3)当Δx 趋于0时，得到导数：f ′(x 0)＝________________________________. 预习交流1f ′(x )与f ′(x 0)的区别是什么？ 2．导数：一般地，如果一个函数f (x )在(a ，b )上的每一点x 处都有导数，导数值记为f ′(x )：f ′(x )＝____________________________，则f ′(x )是关于x 的函数，称f ′(x )为f (x )的________，通常也简称为______．下列各式正确的是________．①(sin α)′＝cos α(α为常数)；②(cos x )′＝sin x ；③(sin x )′＝cos x ；④(x －5)′＝－15x －6.答案：1．(1)f (x 0＋Δx )－f (x 0) (2)f(x 0＋Δx)－f(x 0)Δx(3)lim Δx →0 f(x 0＋Δx)－f(x 0)Δx 预习交流1：提示：f ′(x )是函数f (x )的导函数的简称，是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x 0，Δx 无关；f ′(x 0)表示的是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，是对一个点而言的，它是一个确定的值，与给定的函数及x 0的位置有关，而与Δx 无关．2.lim Δx →0 f(x ＋Δx)－f(x)Δx导函数 导数 3．0 cos x αx α－1 －sin x a x ln a e x 1cos 2x 1xln a 1x －1sin 2x 预习交流2：③ 解析：α为常数，则sin α为常数，∴(sin α)′＝0，故①错；(cos x )′＝－sin x ，故②错；(sin x )′＝cos x ，故③对；(x －5)′＝－5x －6，故④错．一、利用定义求导数一运动物体的位移s (单位：m)关于时间t (单位：s)的函数关系式为s (t )＝t 2＋t .求s ′(0)，s ′(2)，s ′(5)，并说明它们的意义．思路分析：先求出s (t )的导函数，然后分别把t ＝0,2,5代入即可．求函数y ＝x 2在x ＝1处的导数．求函数在某一点处的导数的两种方法：(1)定义法，简记为“一差、二比、三极限”，其步骤如下： ①求函数的增量，Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； ②求平均变化率，Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；③取极限，f ′(x 0)＝lim Δx →ΔyΔx. (2)导函数的函数值法，即先利用导数的定义求出导函数f ′(x )，再把x ＝x 0代入f ′(x )得f ′(x 0)．求函数在某一点处的导数，一般是先求出函数的导数，再计算这点的导数值． 二、利用导数公式求导数求下列函数的导数：(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x4；(3)y ＝cos(2π－x )；(4)y ＝x x.思路分析：将题中函数的结构进行调整，使其在形式上都满足基本函数的结构特征，从而直接应用导数公式求导．1．给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y ′＝133x ；③若y ＝1x2，则y ′＝－2x 3；④若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3，其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 2．求下列函数的导数：(1)y ＝x 2x；(2)y ＝2cos 2x2－1；(3)y ＝f ′(1)．对于简单函数的求导，关键是辨清函数形式，准确套用导数公式表，在不能直接应用时，可适当运用代数、三角恒等变换手段转化函数关系式，以免求导过程中出现运算失误．三、导数公式与几何意义的综合应用求曲线y ＝1x 和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积．思路分析：首先求得两条曲线的交点，然后利用导数的几何意义与求导公式求得曲线在切点处的切线的斜率，从而构造出三角形，求得面积．求过曲线y ＝cos x 上点P ⎝⎛⎭⎫π3，12且与曲线在这点的切线垂直的直线的方程．求曲线在某点的切线斜率的关键是准确计算导数值；而已知曲线上某点的切线这一条件则具有双重含义：一是切点在切线及曲线上；二是切线的斜率等于导函数值，从而可以构造方程(组)解决问题．答案：活动与探究1：解：首先，给自变量t 一个改变量Δt ，得到相应函数值的改变量Δs ＝s (t ＋Δt )－s (t )＝(t ＋Δt )2＋(t ＋Δt )－(t 2＋t )＝(Δt )2＋2t ·Δt ＋Δt .再计算相应的平均变化率为Δs Δt ＝(Δt)2＋2t·Δt ＋Δt Δt＝Δt ＋2t ＋1. 当Δt 趋于0时，可以得出导函数为s ′(t )＝lim Δt →0 s(t ＋Δt)－s(t)Δt ＝lim Δt →0(Δt ＋2t ＋1)＝2t ＋1.因此，s ′(0)＝2×0＋1＝1，它表示物体的初速度为1 m/s ；s ′(2)＝2×2＋1＝5，它表示物体在第2 s 时的瞬时速度为5 m/s ； s ′(5)＝2×5＋1＝11，它表示物体在第5 s 时的瞬时速度为11 m/s. 迁移与应用：解：首先，对x ＝1给定自变量x 的一个改变量Δx ，得到相应函数值的改变量Δy ＝(1＋Δx )2－1＝2Δx ＋(Δx )2，计算相应的平均变化率ΔyΔx＝2＋Δx ，当Δx 趋于0时，可以得到导数f ′(1)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2.活动与探究2：解：(1)y ′＝(x 12)′＝12x 11；(2)y ′＝⎝⎛⎭⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x5；(3)y ′＝[cos (2π－x )]′＝(cos x )′＝－sin x ；(4)y ′＝(x x)′＝(x 32)′＝32x.迁移与应用：1．B 解析：②y ′＝133x 2；③y ′＝－2x －3，所以只有①④是正确的．2．解：(1)y ′＝⎝⎛⎭⎫x 2x ′＝(x 32)′＝32x ；(2)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x ；(3)f ′(1)表示一个确定的实常数，y ′＝[f ′(1)]′＝0. 活动与探究3：解：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x ，y ＝x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即交点为(1,1)，∵y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝－x －2，∴f ′(1)＝－1， ∴曲线y ＝1x在点(1,1)处的切线方程为：y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0， 其与x 轴的交点为(2,0)； 又∵y ′＝(x 2)′＝2x ， ∴f ′(1)＝2，∴曲线y ＝x 2在点(1,1)处的切线方程为： y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0，其与x 轴的交点为⎝⎛⎭⎫12，0；且两切线的交点为(1,1)，所以构成的三角形的面积为34. 迁移与应用：解：∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x .∴曲线在点P ⎝⎛⎭⎫π3，12处的切线的斜率为：f ′⎝⎛⎭⎫π3＝－sin π3＝－32. ∵所求直线与切线垂直，∴其斜率为23，∴所求直线的方程为：y －12＝23⎝⎛⎭⎫x －π3， 即2x －3y －2π3＋32＝0.1．下列结论正确的是( )A ．若y ＝sin x ，则y ′＝cos xB ．若y ＝cos x ，则y ′＝sin xC ．若y ＝1x ，则y ′＝1x2D ．若y ＝x ，则y ′＝12x2．设y ＝π2，则y ′等于( ) A ．2π B ．π2 C ．0 D ．以上都不是 3．若曲线y ＝f (x )在点P (a ，f (a ))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，那么( ) A ．f ′(a )＝0 B ．f ′(a )＜0 C ．f ′(a )＞0 D ．f ′(a )不确定。
高级中学高中数学(北师大版)选修2-2导学案：第二章 计算导数(第4讲)
4．基本初等函数的导数公式：
函数
导数
函数
导数
■合作探究（对学、群学）
例1:（1）求函数 在x=2处的导数；
（2）求函数 在x=a处的导数；
（3）求函数 的导数。
【教学流程】
■自主学习（课前完成，含独学和质疑）
阅读教材内容，完成下列问题：
1．函数f(x)在x=x0处的导数的定义是。
2．求函数y=f(x)在x=x0处导数的步骤：
（1）求函数的改变量 _______________
（2）求平均变化率 _______________
（3）取极限得导数 _______________
例2:（1）求函数 在 处的切线方程；
（2）求过曲线 上点P 且与过点的切线垂直的直线方程。
例3：求下列函数的导数：
（1）y=3 (2) (3) (4) (5)
■知识总结（评价提升）
1.讨ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ“导函数”与“函数在一点x0处的导数”的区别与联系。
2.根据函数y=f(x)在x=x0处导数的步骤写出求函数y=f(x)导函数的步骤。
A.2B. C.－1D.0
3.曲线3x2－y＋6=0在x=－ 处的切线的倾斜角是（）
A. B.－ C. πD.－ π
4．设曲线 在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为（）
A．（1，1）B．（－1，1）C．（ , ）D．（- , ）
5.函数y= 图像上一点P，以P为切点的切线L的倾斜角范围是__________
6.求函数 的导函数 ，并利用导数 求 ， 的值。
高中数学第二章变化率与导数2.3计算导数教案北师大版
3 计算导数
一、复习：
1、导数的定义；
2、导数的几何意义；
3、求函数的导数的步骤。
二、探究新课
自学课本38-40页,，得出以下定义:
（一）.导函数的定义
.)()()()()(''''0y x f x f x x f x x f x x x f 或的导函数，记作为的一个函数，我们称它便是化时，变当是一个确定的数，那么到处求导数的过程可以看在从求函数= x x f x x f y x f x ∆-∆+==→∆)()(lim
)(0''即
注 意： .
)(1'量的比值的极限，不是变变量该变量该点的函数该变量与自是一个定值，是函数在数）函数在某一点处的导（x f .2而言的一区间内任一点）函数的导数：是指某（x
例1、 求x x x f y -==23)(的导函数)(x f '，并
利用导函数)(x f '求)1(f '，)2(-'f ，)0(f '。
（二）. 基本初等函数的求导公式：
课本41页表2-5
例2、求下列函数导数。
（1）5-=x y （2）x y 4=
（3）x x x y = （4）x y 3log =
三、课堂检测：
1.课本40页练习1、2；
2.专家伴读24页变式2.
四、小结：
1.根据导数的定义求部分基本初等函数的导数；
2.导函数的概念；
3.熟记8个基本初等函数导函数公式。
五、作业。
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计算导数（2）
一、教学目标：掌握初等函数的求导公式，并能熟练运用。
二、教学重难点：用定义推导常见函数的导数公式．
三、教学方法：探析归纳，讲练结合
四、课时安排：1课时
四、教学过程
（一）、复习
1、导数的定义；
2、导数的几何意义；
3、导函数的定义；
4、求函数的导数的流程图。
（1）求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆
（2）求平均变化率x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)
()(
（3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x y
x ∆∆→∆0lim
本节课我们将学习常见函数的导数。
首先我们来求下面几个函数的导数。
（1）、y=x （2）、y=x 2 （3）、y=x 3
问题：1-=x y ，2-=x y ，3-=x y 呢？
问题：从对上面几个幂函数求导，我们能发现有什么规律吗？
（二）、新课探析
1、基本初等函数的求导公式：
⑴ ()kx b k '+= (k,b 为常数) ⑵ 0)(='C (C 为常数)
⑶ ()1x '= ⑷ 2()2x x '=
⑸ 32()3x x '= ⑹ 211
()x x '=-
⑺
'= 由⑶~⑹你能发现什么规律?
⑻ 1()x x ααα-'= （α为常数）
⑼ ()ln (01)x x a a a a a '=>≠，
⑽ a a 1
1
(log x)log e (01)x xlna a a '==>≠，且
⑾ x x e )(e =' ⑿ x
1)(lnx =' ⒀ cosx )(sinx =' ⒁ sinx )(cosx －=' 从上面这一组公式来看，我们只要掌握幂函数、指对数函数、正余弦函数的求导就可以了。
2、例题探析
例1、求下列函数导数。
（1）5-=x y （2）x y 4= （3）x x x y =
（4）x y 3log = （5）y=sin(2π+x) (6) y=sin 3
π （7）y=cos(2π－x) （8）y=(1)f '
例2、已知点P 在函数y=cosx 上，（0≤x ≤2π），在P 处的切线斜率大于0，求点P 的横坐标的取值范围。
例3、若直线y x b =-+为函数1y x =
图象的切线,求b 的值和切点坐标. 变式1、求曲线y=x 2在点(1,1)处的切线方程.
总结切线问题：找切点 求导数 得斜率
变式2、求曲线y=x 2
过点(0,-1)的切线方程
变式3、求曲线y=x 3过点(1,1)的切线方程
变式4、已知直线1y x =-,点P 为y=x 2上任意一点,求P 在什么位置时到直线距离最短.
（三）、课堂小结：（1）基本初等函数公式的求导公式（2）公式的应用
导数公式表
（四）、课堂练习：假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p （单位：元）与
时间t （单位：年）有如下函数关系0()(15%)t p t p =+，其中0p 为0t =时的物价．假定某种
商品的01p =，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？
解：根据基本初等函数导数公式表，有'() 1.05ln1.05t
p t = 所以'10(10) 1.05ln1.050.08p =≈（元/年）
因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨。
（五）、作业布置：见练习册P34页3、4、6、7
五、教学反
思：。