专题10 计数原理(解析版)
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专题10 计数原理
【要点提炼】
1.分类加法计数原理
做一件事,完成它有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,……,在第n类办法中有m n种不同的方法.则完成这件事共有N=m1+m2+…+m n种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
做一件事,完成它需要分成n个步骤,做第一个步骤有m1种不同的方法,做第二个步骤有m2种不同的方法,……,做第n个步骤有m n种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1×m2×…×m n种不同的方法.
3.分类加法和分步乘法计数原理,区别在于:分类加法计数原理针对“分类”问题,其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对“分步”问题,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了才算完成这件事.
4.排列与组合的概念
5.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.
6.排列数、组合数的公式及性质
考向一计数原理
考向一分类加法计数原理的应用
【典例1】(1)从甲地到乙地有三种方式可以到达.每天有8班汽车、2班火车和2班飞机.一天一人从甲地去乙地,共有________种不同的方法.
(2)满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个数为________.
解析(1)分三类:一类是乘汽车有8种方法;一类是乘火车有2种方法;一类是乘飞机有2种方法,由分类加法计数原理知,共有8+2+2=12(种)方法. (2)当a=0时,b的值可以是-1,0,1,2,故(a,b)的个数为4;当a≠0时,要使方程ax2+2x+b=0有实数解,需使Δ=4-4ab≥0,即ab≤1.
若a=-1,则b的值可以是-1,0,1,2,(a,b)的个数为4;
若a=1,则b的值可以是-1,0,1,(a,b)的个数为3;
若a=2,则b的值可以是-1,0,(a,b)的个数为2.
由分类加法计数原理可知,(a,b)的个数为4+4+3+2=13.
答案(1)12(2)13
规律方法分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在,应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置.
(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准.
(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类,并且分别属于不同种类的两种方法才是不同的方法,不能重复.
(3)分类时除了不能交叉重复外,还不能有遗漏,如本典例(2)中易漏a=0这一类. 考向二分步乘法计数原理的应用
【典例2】(1)用0,1,2,3,4,5可组成无重复数字的三位数的个数为________.
(2)五名学生报名参加四项体育比赛,每人限报一项,则不同的报名方法的种数为________.五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列),则获得冠军的可能性有
______种.
解析(1)可分三步给百、十、个位放数字,第一步:百位数字有5种放法;第二步:十位数字有5种放法;第三步:个位数字有4种放法,根据分步乘法计数原理,三位数的个数为5×5×4=100.
(2)五名学生参加四项体育比赛,每人限报一项,可逐个学生落实,每个学生有4种报名方法,共有45种不同的报名方法.五名学生争夺四项比赛的冠军,可对4个冠军逐一落实,每个冠军有5种获得的可能性,共有54种获得冠军的可能性. 答案(1)100(2)4554
规律方法 1.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发生的过程合理分步,即分步是有先后顺序的,并且分步必须满足:完成一件事的各个步骤是相互依存的,只有各个步骤都完成了,才算完成这件事.
2.分步必须满足两个条件:一是步骤互相独立,互不干扰;二是步与步确保连续,逐步完成.
考向三两个计数原理的综合应用
【典例3】(1)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有________个(用数字作答). (2)如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()
A.48
B.18
C.24
D.36
解析(1)当不含偶数时,有A45=120(个),
当含有一个偶数时,有C14C35A44=960(个),
所以这样的四位数共有1 080个.
(2)在正方体中,每一个表面有四条棱与之垂直,六个表面,共构成24个“正交线面对”;而正方体的六个对角面中,每个对角面有两条面对角线与之垂直,共构成12个“正交线面对”,所以共有36个“正交线面对”.
答案(1)1 080(2)D
规律方法 1.在综合应用两个原理解决问题时应注意:
(1)一般是先分类再分步.在分步时可能又用到分类加法计数原理.(2)对于较复杂
的两个原理综合应用的问题,可恰当地列出示意图或列出表格,使问题形象化、直观化.
2.解决涂色问题,可按颜色的种数分类,也可按不同的区域分步完成.
[方法技巧]
1.应用两个计数原理的难点在于明确分类还是分步.
在处理具体的应用问题时,首先必须弄清楚“分类”与“分步”的具体标准是什么.选择合理的标准处理事情,可以避免计数的重复或遗漏.
2.(1)分类要做到“不重不漏”,分类后再分别对每一类进行计数,最后用分类加法计数原理求和,得到总数.
(2)分步要做到“步骤完整”,完成了所有步骤,恰好完成任务,当然步与步之间要相互独立,分步后再计算每一步的方法数,最后根据分步乘法计数原理,把完成每一步的方法数相乘,得到总数.
3.混合问题一般是先分类再分步.
4.要恰当画出示意图或树状图,使问题的分析更直观、清楚,便于探索规律.
考向二排列组合
考向一排列问题
【典例1】有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数.
(1)选5人排成一排;
(2)排成前后两排,前排3人,后排4人;
(3)全体排成一排,女生必须站在一起;
(4)全体排成一排,男生互不相邻;
(5)(一题多解)全体排成一排,其中甲不站最左边,也不站最右边;
(6)(一题多解)全体排成一排,其中甲不站最左边,乙不站最右边.
解(1)从7人中选5人排列,有A57=7×6×5×4×3=2 520(种).
(2)分两步完成,先选3人站前排,有A37种方法,余下4人站后排,有A44种方法,共有A37·A44=5 040(种).
(3)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列,有A44种方法,再将女