2010-2019高考数学(理科)真题分类汇编 专题十 计数原理
2019年高考真题理科数学分类汇编专题10 概率与统计和计数原理(解析版)
专题10 概率与统计1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7D ．0.8【答案】C【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ．【名师点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差D ．极差 【答案】A【解析】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x <<<<<．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x 后剩余2348x x x x <<<<，中位数仍为5x ，A 正确； ②原始平均数1234891()9x x x x x x x =<<<<<，后来平均数23481()7x x x x x '=<<<，平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确； ③2222111[()()()]9q S x x x x x x =-+-++-，22222381[()()()]7s x x x x x x '=-'+-'++-'，由②易知，C 不正确；④原极差91x x =-，后来极差82x x =-，显然极差变小，D 不正确．故选A ． 3．【2019年高考浙江卷】设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是则当a 在（0,1）内增大时， A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小D ．()D X 先减小后增大【答案】D【分析】研究方差随a 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查． 【解析】方法1：由分布列得1()3aE X +=， 则2222111111211()(0)()(1)()333333926a a a D X a a +++=-⨯+-⨯+-⨯=-+， 则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大．故选D ．方法2：则222221(1)222213()()()0[()]3399924a a a a D X E X E X a +-+=-=++-==-+，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大．故选D ．【名师点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式．4．【2019年高考江苏卷】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________． 【答案】53【解析】由题意，该组数据的平均数为678891086+++++=，所以该组数据的方差是22222215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63-+-+-+-+-+-=． 5．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________． 【答案】0.98【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10201040++=，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=． 【名师点睛】本题考查了概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养，侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．6．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是______________． 【答案】0.18【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．【解析】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是30.60.50.520.108,⨯⨯⨯=前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.520.072,⨯⨯⨯=综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+=【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算． 7．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P （C ）的估计值为0.70． （1）求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． 【答案】（1）a =0.35，b =0.10；（2）甲、乙离子残留百分比的平均值的估计值分别为4.05，6.00． 【解析】（1）由已知得0.70=a +0.20+0.15，故a =0.35． b =1–0.05–0.15–0.70=0.10．（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为 2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05． 乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．8．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束． （1）求P （X =2）；（2）求事件“X =4且甲获胜”的概率． 【答案】（1）0.5；（2）0.1．【解析】（1）X =2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束， 则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分． 因此P （X =2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–0.4）=0.5．（2）X =4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束， 且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分． 因此所求概率为[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1． 9．【2019年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（1）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望； （2）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率． 【答案】（1）分布列见解析，()2E X ；（2）20243．【分析】本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．【解析】（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为23，故2~(3,)3X B ，从而3321()C ()(),0,1,2,333kkkP X k k -===．所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()323E X =⨯=．（2）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y ， 则2~(3,)3Y B ，且{3,1}{2,0}M X Y X Y =====． 由题意知事件{3,1}X Y ==与{2,0}X Y ==互斥，且事件{3}X =与{1}Y =，事件{2}X =与{0}Y =均相互独立， 从而由（1）知()({3,1}{2,0})P M P X Y X Y =====(3,1)(2,0)P X Y P X Y ===+== (3)(1)(2)(0)P X P Y P X P Y ===+==824120279927243=⨯+⨯=． 10．【2019年高考北京卷理数】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率；（2）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．【答案】（1）0.4；（2）分布列见解析，E （X ）=1；（3）见解析．【解析】（1）由题意知，样本中仅使用A 的学生有18+9+3=30人，仅使用B 的学生有10+14+1=25人，A ，B 两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A ，B 两种支付方式都使用的学生有100−30−25−5=40人．所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率估计为400.4100=． （2）X 的所有可能值为0，1，2．记事件C 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”． 由题设知，事件C ，D 相互独立，且93141()0.4,()0.63025P C P D ++====． 所以(2)()()()0.24P X P CD P C P D ====，(1)()P X P CD CD == ()()()()P C P D P C P D =+ 0.4(10.6)(10.4)0.6=⨯-+-⨯0.52=，(0)()()()0.24P X P CD P C P D ====．所以X 的分布列为故X 的数学期望()00.2410.5220.241E X =⨯+⨯+⨯=．（3）记事件E 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”． 假设样本仅使用A 的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化， 则由上个月的样本数据得33011()C 4060P E ==．答案示例1：可以认为有变化． 理由如下：P （E ）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化． 答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下： 事件E 是随机事件，P （E ）比较小，一般不容易发生， 但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．11．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ． （1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性． 【答案】（1）分布列见解析；（2）(i)证明见解析，(ii) 45 127p =，解释见解析． 【解析】X 的所有可能取值为1,0,1-．(1)(1)P X αβ=-=-，(0)(1)(1)P X αβαβ==+--， (1)(1)P X αβ==-，所以X 的分布列为（2）（i ）由（1）得0.4,0.5,0.1a b c ===．因此110.40.5 0.1i i i i p p p p -+=++，故110.1()0.4()i i i i p p p p +--=-， 即114()i i i i p p p p +--=-． 又因为1010p p p -=≠， 所以1{}(0,1,2,,7)i i p p i +-=为公比为4，首项为1p 的等比数列．（ii ）由（i ）可得88776100p p p p p p p p =-+-++-+877610()()()p p p p p p =-+-++-81413p -=．由于8=1p ，故18341p =-， 所以44433221101( 411()327)(5())p p p p p p p p p p -=-+-+-+=-=． 4p 表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时， 认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈， 此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．专题 计数原理1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16 C ．20 D ．24【答案】A【解析】由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ．【名师点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．2．【2019年高考浙江卷理数】在二项式9)x 的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________．【答案】 5【解析】由题意，9)x 的通项为919C (0,1,29)rr r r T x r -+==，当0r =时，可得常数项为0919C T ==；若展开式的系数为有理数，则1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项．故答案为：5．【名师点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确．3．【2019年高考江苏卷理数】设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++≥∈N ．已知23242a a a =．（1）求n 的值；（2）设(1na +=+*,ab ∈N ，求223a b -的值．【答案】（1）5n =；（2）32-．【解析】（1）因为0122(1)C C C C 4n n n n n n n x x x x n +=++++≥，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==． 因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n +=02233445555555C C C C C C =++++a =+解法一：因为*,a b ∈N ，所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-．解法二：50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++02233445555555C C C C C C =--+-．因为*,a b ∈N ，所以5(1a -=-．因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=⨯-=-=-．【名师点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力．。
高考数学 专题十 计数原理
专题十 计数原理一、单项选择题1.(2016课标Ⅱ,5,5分)如图,小明从街道的E 处出发,先到F 处与小红会合,再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A.24B.18C.12D.9答案 B 分两步,第一步,从E→F ,有6条可以选择的最短路径;第二步,从F→G ,有3条可以选择的最短路径.由分步乘法计数原理可知有6×3=18条可以选择的最短路径.故选B .2.(2023届黑龙江牡丹江二中段考一,2)若3个班级分别从6个风景点中选择一处游览,则不同选法有( )A.A 63种B.C 63种C.36种D.63种答案 D 每个班级有6种选法,则3个班级有6×6×6=63种不同的选法.故选D . 3.(2023届贵阳一中月考一,5)二项式定理,又称牛顿二项式定理,由艾萨克·牛顿于1664年—1665年间提出,据考证,我国至迟在11世纪,北宋数学家贾宪就已经知道了二项式系数法则.在(x 2+12x)5的展开式中,x 的系数为( )A.10B.52C.54D.58答案 C (x 2+12x )5的展开式的通项为T k +1=C 5k (x 2)5k(12x )k=C 5k (12)kx103k (k =0,1,2,3,4,5),令10-3k =1,解得k =3,所以在(x 2+12x )5的展开式中,x 的系数为C 53×(12)3=54.故选C .4.(2022河南开封模拟,4)(x √x3)8的展开式中所有有理项的系数和为( )A.85B.29C.-27D.-84答案 C (x −√x3)8展开式的通项为T r +1=C 8rx8−r √x3)r=(-1)r C 8rx8−4r3,其中r =0,1,2,3,4,5,6,7,8.当r =0,3,6时,T r +1为有理项,故有理项系数和为(-1)0C 80+(-1)3C 83+(-1)6C 86=1+(-56)+28=-27,故选C .5.(2023届哈尔滨质检,5)小张接到5项工作,要在周一、周二、周三、周四这4天中完成,每天至少完成1项,且周一只能完成其中1项工作,则不同的安排方式有( ) A.180种 B.480种 C.90种D.120种答案 A 首先从5项工作中选一项安排到周一,再从其余4项工作中选出2项作为一个整体,最后将这三组安排到周二、周三、周四三天,则不同的安排方式有C51C42A33=180种.故选A.6.(2023届四川南江中学阶段测试,9)4张卡片的正、反面分别写有数字1,2;1,3;4,5;6,7.将这4张卡片排成一排,可构成不同的四位数的个数为( ) A.288 B.336 C.368 D.412答案 B 当四位数中不出现1时,排法有C21×C21×A44=96种;当四位数中出现一个1时,排法有2×C21×C21×A44=192种;当四位数中出现两个1时,排法有C21×C21×A42=48种.所以可构成不同的四位数的个数为96+192+48=336.故选B.7.(2022湖北荆门龙泉中学二模,3)若今天(第一天)是星期二,则第1510天是( )A.星期三B.星期日C.星期二D.星期五答案 C 1510=(14+1)10的展开式的通项为T r+1=C10r1410-r,又14可被7整除,所以当10-r≠0时,T r+1均可被7整除,当10-r=0时,T11=1,所以第1510天是星期二.故选C.8.(2023届黑龙江牡丹江二中段考一,8)若(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=( ) A.1 B.32 C.81 D.243答案 D 因为-2<0,所以x的奇数次幂的系数a1,a3,a5均为负数,即|a1|=-a1,|a3|=-a3,|a5|=-a5,令x=-1,可得a0-a1+a2-a3+a4-a5=35=243,即|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|=243,故选D.二、多项选择题9.(2022重庆巴蜀中学3月适应性月考(八),11)若122 022+a能被7整除,则整数a的值可以是( ) A.4 B.6 C.11 D.13答案BD 122 022=(14-2)2 022与(-2)2 022=22 022被7除同余,22 022=8674=(7+1)674被7除余1,故1+a能被7整除,则a=7k+6(k∈Z),故选BD.10.(2022湖南新高考教学教研联盟联考一,10)已知(1+x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a n x n(n∈N*),则下列结论正确的是( )A.a0=a nB.当a3=10时,n=5C.若(1+x)n(n∈N*)的展开式中第7项的二项式系数最大,则n等于12或13D.当n=4时,a12+a24+a38+a416=6516答案ABD a0=a n=1,A正确;x3的系数a3=C n3,则C n3=10,所以n=5,B正确;若(1+x)n(n∈N*)的展开式中第7项的二项式系数最大,当n为偶数时,n等于12,当n为奇数时,n等于11或13,C错误;当n=4时,(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4.令x=12,则(1+12)4=a0+a12+a24+a38+a416=8116,又a0=1,所以a12+a24+a38+a416=6516,D正确.故选ABD.11.(2021江苏百校联考4月调研,11)设(1-2x)29=a0+a1x+a2x2+…+a29x29,则下列结论正确的是( )A.a15+a16>0B.a1+a2+a3+…+a29=-1C.a1+a3+a5+…+a29=-1+3292D.a1+2a2+3a3+…+29a29=-58答案ACD 对于选项A,a15+a16=C2915(-2)15+C2916(-2)16>0,故选项A正确;对于选项B,令x=0,可得a0=1,令x=1,得a0+a1+…+a29=-1,所以a1+a2+…+a29=-2,故选项B错误;对于选项C,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…-a29=329,则2(a1+a3+…+a29)=-1-329,故选项C正确;对于选项D,在等式两边对x求导可得-58(1-2x)28=a1+2a2x+…+29a29x28,令x=1,可得a1+2a2+…+29a29=-58,故选项D正确.故选ACD.12.(2022山东滨州邹平一中3月月考,9)如图,在某城市中,M,N两地之间有整齐的方格形道路网,其中A1,A2,A3,A4是道路网中位于一条对角线上的4个交会处.今在道路网M,N处的甲、乙两人分别要到N,M处,他们分别随机地选择一条沿街的最短路径,以相同的速度同时出发,直到到达N,M处为止,则下列说法正确的有( )A.甲从M到达N处的方法有120种B.甲从M必须经过A3到达N处的方法有9种C.甲、乙两人在A3处相遇的概率为9100D.甲、乙两人相遇的概率为41100答案BD 对于A,甲从M到达N处,需要走6步,其中向上3步,向右3步,所以从M 到达N处的方法有C63=20种,故A错误;对于B,甲从M到达A3,需要走3步,其中向上1步,向右2步,共C31=3种,从A3到达N,需要走3步,其中向上2步,向右1步,共C31=3种,所以甲从M必须经过A3到达N处的方法有3×3=9种,故B正确;对于C,甲经过A3的方法数为C31×C31=9,乙经过A3的方法数为C31×C31=9,所以甲、乙两人在A3处相遇的方法数为C31×C31×C31×C31=81种,故甲、乙两人在A3处相遇的概率P=81C63C63=81400,故C错误;对于D,甲、乙两人沿着最短路径行走,只能在A1,A2,A3,A4处相遇,若甲、乙两人在A1处相遇,甲经过A1处,前3步必须向上走,乙经过A1处,则前3步必须向左走,两人在A1处相遇走法有1种,若甲、乙两人在A2或A3处相遇,由选项C知,各有C31×C31×C31×C31=81种,若甲、乙两人在A4处相遇,甲经过A4处,则前3步必须向右走,乙经过A4处,则乙前3步必须向下走,则两人在A4处相遇的走法有1种.所以甲、乙两人相遇的概率P=1+81+81+1C63C63=164400=41100,故D正确.故选BD.三、填空题13.(2023届成都七中万达学校9月月考,14)(5-3x+2y)n的展开式中不含y的项的系数和为64,则展开式中的常数项为.答案15 625解析(5-3x+2y)n的展开式中不含y的项,即展开式中y的指数为0,即(5-3x)n的展开式.令x=1,得(5-3x+2y)n的展开式中不含y的项的系数和为(5-3)n=64,所以n=6.因为(5-3x+2y)6=[5-(3x-2y)]6,所以展开式中的常数项为C60×56=15 625.14.(2023届陕西师范大学附属中学期中,16)已知(a2+1)n的展开式中各项系数之和等于(16 5x2+√x5的展开式的常数项,而(a2+1)n的展开式的二项式系数最大的项为54,则正数a的值为. 答案√3解析(165x2+√x)5的展开式的通项为T r+1=C5r·(165)5−r·x10−2r·x−r2=(165)5−r·C5r·x10−5r2,0≤r≤5,r∈Z.令10-5r2=0,解得r=4,故(165x2+√x5的展开式的常数项为165×C54=16.令a2=1,则(a2+1)n=2n=16,故n=4.∵(a2+1)n=(a2+1)4的展开式的二项式系数最大的项为C42a4=54,∴a2=3,解得a=±√3.∵a>0,∴a=√3.15.(2022福建漳州三模,13)711除以6的余数是.答案1解析711=(1+6)11=C11060+C11161+C11262+⋯+C1111611,因为C11161+C11262+⋯+C1111611可被6整除且C11060=1,所以711除以6的余数是1.16.(2018课标Ⅰ,15,5分)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案)答案16解析解法一:从2位女生,4位男生中选3人,且至少有1位女生入选的情况有以下2种:①2女1男:有C22C41=4种选法;②1女2男:有C21C42=12种选法,故至少有1位女生入选的选法有4+12=16种.解法二:从2位女生,4位男生中选3人有C63=20种选法,其中选出的3人都是男生的选法有C43=4种,所以至少有1位女生入选的选法有20-4=16种.。
十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题01 集合
十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学专题01 集合1.(2019•全国1•理T1)已知集合M={x|-4<x<2},N={x|x2-x-6<0},则M∩N=( )A.{x|-4<x<3}B.{x|-4<x<-2}C.{x|-2<x<2}D.{x|2<x<3}【答案】C【解析】由题意得N={x|-2<x<3},则M∩N={x|-2<x<2},故选C.2.(2019•全国1•文T2)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩∁U A=( )A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7}【答案】C【解析】由已知得∁U A={1,6,7},∴B∩∁U A={6,7}.故选C.3.(2019•全国2•理T1)设集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},则A∩B=( )A.(-∞,1)B.(-2,1)C.(-3,-1)D.(3,+∞)【答案】A【解析】由题意,得A={x|x<2,或x>3},B={x|x<1},所以A∩B={x|x<1},故选A.4.(2019•全国2•文T1)已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2},则A∩B=( )A.(-1,+∞)B.(-∞,2)C.(-1,2)D.⌀【答案】C【解析】由题意,得A∩B=(-1,2),故选C.5.(2019•全国3•T1)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},则A∩B=( )A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}【答案】A【解析】A={-1,0,1,2},B={x|-1≤x≤1},则A∩B={-1,0,1}.故选A.6.(2019•北京•文T1)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|x>1},则A∪B=( )A.(-1,1)B.(1,2)C.(-1,+∞)D.(1,+∞)【答案】C【解析】∵A={x|-1<x<2},B={x|x>1},∴A∪B=(-1,+∞),故选C.7.(2019•天津•T1)设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B=( )A.{2}B.{2,3}C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4}【答案】D【解析】A∩C={1,2},(A∩C)∪B={1,2,3,4},故选D.8.(2019•浙江•T1)已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},则(∁U A)∩B=( )A.{-1}B.{0,1}C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}【答案】A【解析】∁U A={-1,3},则(∁U A)∩B={-1}.9.(2018•全国1•理T2)已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁R A=( )A.{x|-1<x<2}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|x<-1}∪{x|x>2}D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}【答案】B【解析】A={x|x<-1或x>2},所以∁R A={x|-1≤x≤2}.10.(2018•全国1•文T1)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=( )A.{0,2}B.{1,2}C.{0}D.{-2,-1,0,1,2}【答案】A【解析】由交集定义知A∩B={0,2}.11.(2018•全国2•文T2,)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=( )A.{3}B.{5}C.{3,5}D.{1,2,3,4,5,7}【答案】C【解析】集合A、B的公共元素为3,5,故A∩B={3,5}.12.(2018•全国3•T1)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=( )A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}【答案】C【解析】由题意得A={x|x≥1},B={0,1,2},∴A∩B={1,2}.13.(2018•北京•T1)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=( )A.{0,1}B.{-1,0,1}C.{-2,0,1,2}D.{-1,0,1,2}【答案】A【解析】∵A={x|-2<x<2},B={-2,0,1,2},∴A∩B={0,1}.14.(2018•天津•理T1)设全集为R,集合A={x|0<x<2},B={x|x≥1},则A∩(∁R B)=( )A.{x|0<x≤1}B.{x|0<x<1}C.{x|1≤x<2}D.{x|0<x<2}【答案】B【解析】∁R B={x|x<1},A∩(∁R B)={x|0<x<1}.故选B.15.(2018•天津•文T1)设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=( )A.{-1,1}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{2,3,4}【答案】C【解析】A∪B={-1,0,1,2,3,4}.又C={x∈R|-1≤x<2},∴(A∪B)∩C={-1,0,1}.16.(2018•浙江•T1)已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁U A=( )A.⌀B.{1,3}C.{2,4,5}D.{1,2,3,4,5}【答案】C【解析】∵A={1,3},U={1,2,3,4,5},∴∁U A={2,4,5},故选C.17.(2018•全国2•理T2,)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( )A.9B.8C.5D.4【答案】A【解析】满足条件的元素有(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,1),(0,0),(0,-1),(1,-1),(1,0),(1,1),共9个。
2019-2021三年高考真题分类汇编(理科)： 计数原理(原卷版)
2019-2021三年高考真题分类汇编（理科）专题17 计数原理1．【2021·全国高考真题（理）】将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A ．60种B ．120种C ．240种D ．480种2．【2020年高考全国Ⅰ卷理数】25()()x x y xy ++的展开式中x 3y 3的系数为 A ．5B ．10C ．15D ．20 3．【2020年新高考全国Ⅰ卷】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种4．【2020年高考北京】在52)-的展开式中，2x 的系数为A ．5-B ．5C ．10-D ．10 5．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为A ．12B ．16C ．20D ．24 6．【2021·天津高考真题】在6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，6x 的系数是__________． 7．【2021·北京高考真题】341()x x -展开式中常数项为__________．8．【2021·浙江高考真题】已知多项式344321234(1)(1)x x x a x a x a x a -++=++++，则1a =___________，234a a a ++=___________.9．【2020年高考全国II 卷理数】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．10．【2020年高考全国III 卷理数】262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．11．【2020年高考天津】在522()x x+的展开式中，2x 的系数是_________． 12．【2020年高考浙江】二项展开式23450123545(2)1x a a x a x a x a x a x ++++++=，则4a =_______，135a a a ++=________．13．【2019年高考浙江卷理数】在二项式9)x 的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________．14．【2019年高考江苏卷理数】设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++≥∈N ．已知23242a a a =．（1）求n 的值；（2）设(1n a +=+*,a b ∈N ，求223a b -的值．。
十年(2010-2019)高考数学真题分类汇编(试卷版+解析版)：常用逻辑用
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
28.(2014•陕西•理 T8)原命题为“若 z1,z2 互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真
假性的判断依次如下,正确的是( )
A.真,假,真 B.假,假,真
C.真,真,假 D.假,假,假
的( )
A.充要条件
B.充分而不必要条件
C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3
18.(2016•山东•理 T6)已知直线 a,b 分别在两个不同的平面 α,β 内.则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面
α 和平面 β 相交”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
13.(2017•天津•理 T4)设 θ∈R,则“
π
- 12
<
π
12”是“sin
1
θ<2”的(
)
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
14.(2017•浙江•理 T6)已知等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和为 Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的 ( )
+ ≥ 6, 1.(2019•全国 3•文 T11)记不等式组 2 - ≥ 0 表示的平面区域为 D.命题 p:∃(x,y)∈D,2x+y≥9;命题 q:∀(x,y)∈D,2x+y≤12.下面给出了四个命题 ①p∨q ②￢p∨q ③p∧￢q ④￢p∧￢q 这四个命题中,所有真命题的编号是( ) A.①③ B.①② C.②③ D.③④
高考数学专题复习十-10.1计数原理、排列与组合-模拟练习题(附答案)
专题十计数原理10.1计数原理、排列与组合基础篇考点计数原理、排列与组合考向一两个计数原理的应用1.(2023届河南洛阳模拟,1)一个电路中含有(1)(2)两个零件,零件(1)含有A,B两个元件,零件(2)含有C,D,E三个元件,每个零件中有一个元件能正常工作则该零件就能正常工作,则该电路能正常工作的线路条数为()A.9B.8C.6D.5答案C2.(2023届黑龙江牡丹江二中段考一,2)若3个班级分别从6个风景点中选择一处游览,则不同选法有() A.A63种 B.C63种 C.36种 D.63种答案D3.(2021江西宜春月考,8)“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22,121,3443等.那么在四位数中,回文数共有()A.81个B.90个C.100个D.900个答案B4.(2016课标Ⅱ,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.9答案B5.(2022福建泉州科技中学月考,6)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.如图,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,则不同的染色方法总数为()A.180B.240C.420D.480答案C6.(2023届甘肃张掖重点校检测四,16)如图,节日花坛中有5个区域,现有4种不同颜色的花卉可供选择,要求相同颜色的花不能相邻栽种,则符合条件的种植方案有种.答案72考向二排列与组合1.(2020新高考Ⅰ,3,5分)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有() A.120种 B.90种C.60种D.30种答案C2.(2021全国乙,6,5分)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有() A.60种 B.120种C.240种D.480种答案C3.(2022新高考Ⅱ,5,5分)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同的排列方式共有() A.12种 B.24种 C.36种 D.48种答案B4.(2022新疆莎车一中期中,7)7个人排成一排准备照一张合影,其中甲、乙要求相邻,丙、丁要求分开,则不同的排法有() A.480种 B.720种 C.960种 D.1200种答案C5.(2022西安二模,5)现有语文、数学、英语、物理各1本书,把这4本书分别放入3个不同的抽屉里,要求每个抽屉至少放一本书且语文和数学不在同一个抽屉里,则放法种数为() A.18 B.24 C.30 D.36答案C6.(2023届哈尔滨质检,5)小张接到5项工作,要在周一、周二、周三、周四这4天中完成,每天至少完成1项,且周一只能完成其中1项工作,则不同的安排方式有() A.180种 B.480种 C.90种 D.120种答案A7.(2022陕西交大附中模拟,7)将4个9和2个6随机排成一行,则2个6不相邻的排法有()A.240种B.120种C.20种D.10种答案D8.(2020课标Ⅱ,14,5分)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有种.答案369.(2021云南顶级名校检测,15)某班6名同学去A,B,C,D四个城市参加社会调查,要求将这6名同学分成四组,每组去一个城市,其中两组各有两名同学,另外两组各有1名同学,则不同的分配方案的种数是.(用数字作答)答案1080综合篇考法一排列问题的解题方法1.(2022哈尔滨六中期中,8)用1,2,3,4,5,6六个数字组成六位数,其中奇数不相邻且1、2必须相邻,则满足要求的六位数共有() A.72个 B.96个 C.120个 D.288个答案A2.(2021四川顶级名校检测,7)成都七中举行的秋季运动会中,有甲、乙、丙、丁四位同学参加了50米短跑比赛,现将四位同学安排在1,2,3,4这4个跑道上,每个跑道安排一名同学,则甲不在1跑道,乙不在2跑道的不同安排方法有() A.12种 B.14种 C.16种 D.18种答案B3.(2023届四川南江中学阶段测试,9)4张卡片的正、反面分别写有数字1,2;1,3;4,5;6,7.将这4张卡片排成一排,可构成不同的四位数的个数为()A.288B.336C.368D.412答案B4.(2018浙江,16,4分)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有重复数字的四位数.(用数字作答)答案12605.(2022四川诊断性测试,16)电影院一排有八个座位,甲、乙、丙、丁四位同学相约一起观影,他们要求坐在同一排,则恰有两个连续的空座位的情况有种.答案7206.(2022江西智学联盟联考一,15)某公司在元宵节组织了一次猜灯谜活动,主持人事先将10条不同的灯谜分别装在了如图所示的10个灯笼中,猜灯谜的职员每次只能任选每列最下面的一个灯笼中的谜语来猜(无论猜中与否,选中的灯笼都被拿掉),则这10条灯谜依次被选中的所有不同顺序种数为.(用数字作答)答案25200考法二分组、分配问题的求解策略1.(2023届安徽蚌埠第一次质检,8)为贯彻落实《中共中央国务院关于全面深化新时代教师队伍建设改革的意见》精神,加强义务教育教师队伍管理,推动义务教育优质均衡发展,安徽省全面实施中小学教师“县管校聘”管理改革,支持建设城乡学校共同体.2022年暑期某市教体局计划安排市区学校的6名骨干教师去4所乡镇学校工作一年,每所学校至少安排1人,则不同安排方案的总数为()A.2640B.1440C.2160D.1560答案D2.(2022吉林东北师大附中模拟,4)某中学响应国家双减政策,开设了乒乓球,羽毛球,书法,小提琴四门选修课程,要求每位同学每学年至多选2门,初一到初三三学年将四门选修课程选完,则每位同学的不同选修方式有()A.60种B.78种C.54种D.84种答案C3.(2023届山东潍坊临朐实验中学月考,5)某市因新冠疫情封闭管理期间,为了更好地保障社区居民的日常生活,选派6名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务,每人只能去一个地方,每地至少派一人,则不同的选派方案共有() A.540种 B.180种 C.360种 D.630种答案A4.(2023届安徽江淮十校联考,14)安徽省地形具有平原、台地(岗地)、丘陵、山地等类型,其中丘陵地区占了很大比重,因此山地较多,著名的山也有很多.某校开设了研学旅行课程,该校有6个班级分别选择黄山、九华山、天柱山中的一座山作为研学旅行的地点,每座山至少有一个班级选择,则恰好有2个班级选择黄山的方案有种.答案2105.(2022成都模拟,15)将甲、乙、丙、丁四人安排到A,B,C三所学校工作,每校至少安排一人,每人只能到一所学校,甲不能到A学校工作,则不同的安排方法共有种.答案24。
理科数学2010-2019高考真题分类训练专题十--计数原理第三十一讲--二项式定理
专题十 计数原理第三十一讲 二项式定理2019年1.（2019全国III 理4）（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为A ．12B ．16C ．20D ．242．（2019浙江13）在二项式9)x 的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是_______.3.（2019天津理10）83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是展开式中的常数项为 .2010-2018年一、选择题1．(2018全国卷Ⅲ)252()x x +的展开式中4x 的系数为A ．10B ．20C ．40D ．80 2．（2017新课标Ⅰ）621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．353．（2017新课标Ⅲ）5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为A ．-80B ．-40C ．40D ．804．(2016年四川) 设i 为虚数单位，则6()x i +的展开式中含4x 的项为A ．－154xB ．154xC ．－204ixD ．204ix5．（2015湖北）已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为A ．122B ．112C ．102D ．926．（2015陕西）二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n = A ．4 B ．5 C ．6 D ．77．（2015湖南）已知5的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =A B ． C ．6 D ．－68．（2014浙江）在46)1()1(y x ++的展开式中，记n m y x 项的系数为),(n m f ，则(3,0)f +(2,1)f +(1,2)f +(0,3)f =A ．45B ．60C ．120D ． 2109．（2014湖南）51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数是 A ．－20 B ．－5 C ．5 D ．2010．（2013辽宁）使得()3nx n N+⎛+∈ ⎝的展开式中含常数项的最小的n 为 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 11．（2013江西）5232x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为 A ．80 B ．－80 C ．40 D ．－4012．（2012安徽）2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是（ ） A ．3- B ．2- C ．2 D ．3 13．（2012天津）在251(2)x x -的二项展开式中，x 的系数为 A ．10 B ．－10 C ．40 D ．－4014．（2011福建）5(12)x +的展开式中，2x 的系数等于A ．80B ．40C ．20D ．1015．（2011陕西）6(42)x x --（x ∈R ）展开式中的常数项是A ．20-B ．15-C ．15D ．20二、填空题16．(2018天津)在5(x -的展开式中，2x 的系数为 ．17．(2018浙江)二项式81)2x 的展开式的常数项是___________． 18．（2017浙江）已知多项式32(1)(2)x x ++=543212345x a x a x a x a x a +++++，则4a =___，5a =___．19．（2017山东）已知(13)n x +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = ．20．(2016年山东)若25(ax+的展开式中5x 的系数是-80，则实数a =_______．21．(2016年全国I)5(2x +的展开式中，x 3的系数是 ．（用数字填写答案） 22．（2015北京）在()52x +的展开式中，3x 的系数为．（用数字作答） 23．（2015新课标2）4()(1)a x x ++ 的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =______．24．（2014新课标1）8()()x y x y -+的展开式中27x y 的系数为 ．(用数字填写答案)25．（2014新课标2）()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =___．(用数字填写答案) 26．（2014山东）若62b ax x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为 ． 27．（2013安徽）若8x ⎛+ ⎝的展开式中4x 的系数为7，则实数a =______． 28．（2012广东）261()x x+的展开式中3x 的系数为______．（用数字作答）29．(2012浙江)若将函数5()f x x =表示为2012()(1)(1)f x a a x a x =++++ 55(1)a x +++，其中0a ，1a ，2a ，…，5a 为实数，则3a = ．30．（2011浙江）设二项式)0()(6>-a x a x 的展开式中3x 的系数为A ，常数项为B ，若B =4A ，则a 的值是 ．31．（2010安徽）6展开式中，3x 的系数等于 ．。
理科数学2010-2019高考真题分类训练专题十计数原理第三十一讲二项式定理答案
专题十 计数原理第三十一讲 二项式定理答案部分 2019年1. 解析 24(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为313441C 12C 112⨯⨯+⨯⨯=．故选A ．2．解析：二项式)9x的展开式的通项为992199C 2C r rrrr r r T x x --+==．由0r =，得常数项是1T =r =1，3，5，7，9时，系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数是5个．3.解析 由题意，可知此二项式的展开式的通项为()8r+1831C 28rrrT x x -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()88848488311C 2C 128r rr r r r rr rx x x ----⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以当840r -=，即2r =时，r 1T+为常数项，此时()228423218C 1228T T -⨯+==⋅-=．2010-2019年1．C 【解析】251031552C ()()C 2rrr r r rr T x xx--+==，由1034r -=，得2r =，所以4x 的系数为225C 240⨯=．故选C ．2．C 【解析】621(1)(1)x x ++展开式中含2x 的项为224426621130C x C x x x⋅+⋅=，故2x 前系数为30，选C ．3．C 【解析】5(2)x y -的展开式的通项公式为：515C (2)()r r r r T x y -+=-，当3r =时，5(2)x x y -展开式中33x y 的系数为3235C 2(1)40⨯⨯-=-， 当2r =时，5(2)y x y -展开式中33x y 的系数为2325C 2(1)80⨯⨯-=，所以33x y 的系数为804040-=．选C ．4．A 【解析】通项616(0,1,2,,6)r r r r T C x i r -+==⋅⋅⋅，令2r =，得含4x 的项为2424615C x i x =-，故选A ．5．D 【解析】因为(1)nx +的展开式中的第4项与第8项的二项式系数相等，所以37C C n n =，解得10n =，所以二项式10(1)x +的展开式中奇数项的二项式系数和为1091222⨯=．6．C 【解析】由122(1)(1)1n n n n n n n x x C x C x C x +=+=+++⋅⋅⋅+，知215n C =，∴(1)152n n -=，解得6n =或5n =-(舍去)，故选C ． 7．D 【解析】5215(1)r r rrr T C a x-+=-，令1=r ，可得530a -=6a ⇒=-，故选D ．8．C 【解析】由题意知3064(3,0)C C f =，2164(2,1)C C f =，1264(1,2)C C f =，0364(0,3)C C f =，因此(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)120f f f f +++=．9．A 【解析】由二项展开式的通项可得，第四项32323451()(2)202T C x y x y =-=-，故23x y的系数为－20，选A ． 10．B 【解析】通项52(3)3n r rn rrr n rnnC x C x---=，常数项满足条件52n r =，所以2r =时5n =最小．11．C 【解析】2510515532()()(2)rrrr r r r T C x C x x--+=-=-，令1050r -=，解得2r =，所以常数项为225(2)40C -=．12．D 【解析】第一个因式取2x ，第二个因式取21x得：1451(1)5C ⨯-=，第一个因式取2，第二个因式取5(1)-得：52(1)2⨯-=- 展开式的常数项是5(2)3+-=．13．D 【解析】∵25-1+15=(2)()r r r r T C x x -⋅-=5-10-352(1)r r r rC x -，∴103=1r -，即=3r ，∴x 的系数为40-．14．B 【解析】5(12)x +的展开式中含2x 的系数等于2225(2)40C x x =，系数为40.答案选B ． 15．C 【解析】62(6)1231666(4)(2)222r x r x r r x r xr rx xr r T C C C -----+==⋅⋅=⋅， 令1230x xr -=，则4r =，所以45615T C ==，故选C ．16．52【解析】35521551C (C ()2r r r r rr r T x x --+==-，令3522r -=，得2r =，所以2x 的系数为22515C ()22-=． 17．7【解析】8843318811C ()C ()22r rr r r rr T xx x --+==，令8403r -=，解得2r =，所以所求常数项为2281C ()72⨯=．18．16,4【解析】将32(1)(2)x x ++变换为32(1)(2)x x ++，则其通项为3232C 1C 2r rr m m mx x --，取0,1r m ==和1,0r m ==可得，0110243232C C 2+C C 241216a =⨯⨯=+=，令0x =，得54a =．19．4【解析】()1C 3C 3rr rr r r n n Τx x +==⋅⋅，令2r =得：22C 354n ⋅=，解得4n =．20．2-【解析】因为5102552155()r rrr r rr T C ax C a x ---+==，所以由510522r r -=⇒=，因此252580 2.C a a -=-⇒=-21．10【解析】由5(2x +得5552155C (2)2C r rrr rr r T x x---+==，令532r-=得4r =，此时系数为10．22．40【解析】由通项公式，5152r r r r T C x -+=⋅，令3r =，得出3x 的系数为325C 240=． 23．3【解析】4(1)x +展开式的通项为14C r r r T x +=，由题意可知，1302444444()32a C C C C C ++++=，解得3a =．24．－20【解析】8()x y +中818C r r r r T x y -+=，令7r =，再令6r =，得27x y 的系数为768820C C -=-．25．12【解析】二项展开式的通项公式为10110r r rr T C x a -+=，当107r -=时，3r =， 337410T C a x =，则331015C a =，故12a =．26．2【解析】266123166()()r r r r r r rr b T C ax C a b x x---+==，令1230r -=，得3r =，故333620C a b =，∴221,22ab a b ab =+=≥，当且仅当1a b ==或1a b ==-时等号成立．27．21【解析】通项217,34348)(338388388=⇒==⇒=-⇒==--a a C r r x a C xa x C rr r r r r r 所以21． 28．20【解析】261()x x+的展开式中第1k +项为2(6)123166(0,1,2,,6)k k k k kk T C x x C x k ---+===K 令12333k k -=⇔=得：3x 的系数为3620C =．29．10【解析】法一：由等式两边对应项系数相等．即：545543315544310100a C a a a C a C a a =⎧⎪+=⇒=⎨⎪++=⎩． 法二：对等式：()()()()2550125111f x x a a x a x a x ==+++++++L 两边连续对求导三次得：2234560624(1)60(1)x a a x a x =++++，再运用赋值法，令1x =-得：3606a =，即310a =．法三：55()(11)f x x x ==-++，则3235(1)10a C =-=。
人教版高考数学理-专题10第10讲概率与统计
3．二项式定理 (1)定理：(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnn－1abn－1 ＋Cnnbn (n∈N*)． 通项(展开式的第 r＋1 项)：Tr＋1＝Crnan－rbr.其中 Crn(r＝0,1，…， n)叫做二项式系数． (2)二项式系数的性质 ①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式
5．互斥事件有一个发生的概率 P(A＋B)＝P(A)＋P(B) (1)公式适合范围：事件 A 与 B 互斥． (2)P( A )＝1－P(A)． 推广：若事件 A1，A2，…，An 两两互斥，则 P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
6．相互独立事件同时发生的概率 P(A·B)＝P(A)·P(B) (1)公式适合范围：事件 A 与 B 独立． (2)若事件 A1，A2，…，An 相互独立，则 P(A1·A2·····An)＝P(A1) ·P(A2) ·····P(An)．
10．利用样本频率估计总体分布 (1)当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布 表由所取的样本不同数值及相应的频率表示，其几 何表示就是相应的条形图． (2)当总体中的个体取不同数值较多时，用频率分布 直方图来表示相应样本的频率分布．
11．标准差和方差的关系计算 标准差的平方就是方差，方差的计算
5．(_2_－0_11_06x_0·_四__川．)2－31x6 的展开式中的第四项是 解析 展开式第四项为 T4＝T3＋1＝C3623－31x3＝－16x0.
6．(2009·辽宁理，13)某企业 3 个分厂生产同一种电子产 品，第一、二、三分厂的产量之比为 1∶2∶1，用分 层抽样方法(每个分厂的产品为一层)从 3 个分厂生产 的电子产品中共抽取 100 件作使用寿命的测试，由所 得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的 使用寿命的平均值分别为 980 h，1 020 h,1 032 h，则 抽取的 100 件产品的使用寿命的平均值为_1__0_1__3__h.
计数原理(讲)-2019年高考数学---精校解析 Word版
乙两机进行排列为,种根据分步计数原理可得满足要求的一共有
甲乙甲乙甲，甲丙甲丙甲，乙丙乙丙乙，丙乙丙乙丙四种情况不符合，故有
种不同的方法，在第类方案中有类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有+
种不同的方法，步有
步有N=
．
个男生的方法：】数列项，其中，且
种，再排第二行、第一列，有两种可能，该位置确定后，其余位置的元素就唯
种
时，有
＋＝
个不同元素中取出 ()个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从
元素中取出个元素的一个排列．
排列数的定义：从个不同元素中取出 ()个元素的所有不同排列的个数叫做从个元素的排列数，用
这里并且
全排列：个不同元素全部取出的一个排列，叫做
个不同元素中取出 (叫做从个不同元素中取出个元组合数的定义：从个不同元素中取出 ()个不同元素中取出个元素的组合数，用
，由于组合数的性质：①；②；③
种不同的分法；而平均分为两组则有种不同的分法．
个不同元素放在圆周
在于只计顺序而首位、末位之分，下列
个元素的圆排列数有因此可将某个元素固定展成单排，其它的
个不同元素排在个不同位置的排列数有。
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相邻，则不同的摆法有_______种． 26．（2014 广东）从 0,1,2,3,4,5,6,7,8，9 中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是 6 的
概率为 ．
27．（2014 江西）10 件产品中有 7 件正品、3 件次品，从中任取 4 件，则恰好取到 1 件次品
表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“ a ”表示取出一以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从 5 个无区别的红 球、从 5 个无区别的蓝球、5 个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或 都不取出的所有取法的是
( )( ) A． 1+ a + a2 + a3 + a4 + a5 1+ b5 (1+ c)5
A．243
B．252
C．261
D．279
12．（2012 新课标）将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会
实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有
A．12 种
B．10 种
C．9 种
D．8 种
13．（2012 浙江）若从 1，2，3，…，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数，
2．D【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，
只要把工作分成三份：有 C24 种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式
共有 C24 A33 = 36 种． 故选 D．
3．C【解析】不放回的抽取 2 次有 C19C18 = 9 8 = 72 ，如图
1 2，3，4，5，6，7，8，9
7．D【解析】
P
=
24 − 24
2
=
7 8
．
1
8．D【解析】易知| x1 | + | x2 | + | x3 | + | x4 | + | x5 |= 1 或 2 或 3，下面分三种情况讨论．其一： | x1 | + | x2 | + | x3 | + | x4 | + | x5 |= 1，此时，从 x1, x2 , x3, x4 , x5 中任取一个让其等于 1 或-1，其余等于 0，于是有 C51C21 = 10 种情况；其二：| x1 | + | x2 | + | x3 | + | x4 | + | x5 |= 2， 此时，从 x1, x2 , x3, x4 , x5 中任取两个让其都等于 1 或都等于-1 或一个等于 1、另一个 等于-1，其余等于 0，于是有 2C52 + C52C21 = 40 种情况；其三： | x1 | + | x2 | + | x3 | + | x4 | + | x5 |= 3，此时，从 x1, x2 , x3, x4 , x5 中任取三个让其都等于
有 A13 种方法，其他数位上的数可以从剩下的 4 个数字中任选，进行全排列,有 A44 种方
法，所以其中奇数的个数为 A13A44 = 72 ，故选 D．
6．B【解析】据题意，万位上只能排 4、5.若万位上排 4，则有 2 A43 个；若万位上排 5，
则有 3 A43 个.所以共有 2 A43 +3 A43 = 5 24 = 120 个，选 B．
A．60
B．90
C．120
D．130
9．（2014 安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为 60 的共
有 A．24 对 B．30 对 C．48 对 D．60 对
10．（2014 福建）用 a 代表红球， b 代表蓝球， c 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从 1
个红球和 1 个篮球中取出若干个球的所有取法可由 (1+ a)(1+ b) 的展开式1+ a + b + ab
则不同的取法共有
A．60 种
B．63 种
C．65 种
D．66 种
14．（2012 山东）现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张，从中
任取 3 张，要求这 3 张卡片不能是同一种颜色，并且红色卡片至多 1 张，不同取法的种
数是
A．232
B．252
C．472
D．484
15．（2010 天津）如图，用四种不同颜色给图中的 A,B,C,D,E,F 六个点涂色，要求每个点涂
1 或都等于-1 或两个等于 1、另一个等于-1 或两个等于-1、另一个等于 1，其余等于
0,于是有 2C53 + C53C31 + C53C32 = 80 种情况．由于10 + 40 + 80 = 130 ．
开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
A．152 B．126 C．90 D．54
二、填空题
19．(2018 全国卷Ⅰ)从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，
则不同的选法共有___种．（用数字填写答案）
20．(2018 浙江)从 1，3，5，7，9 中任取 2 个数字，从 0，2，4，6 中任取 2 个数字，一共
黑色正方形相．邻．的着色方案共有
种，（结果用数值表示）
4
种，至少有两个
31．（2013 新课标 2）从 n 个正整数 1，2，…， n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数 之和等于 5 的概率为 1 ，则 n =________． 14
32．（2013 浙江）将 A, B, C, D, E, F 六个字母排成一排，且 A, B 均在 C 的同侧，则不同的
排方案共有
A．36 种
B．42 种
C．48 种
D．54 种
17．（2010 广东）为了迎接 2010 年广州亚运会，某大楼安装 5 个彩灯，它们闪亮的顺序不
固定．每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这 5 个彩灯闪亮的颜
色各不相同，记这 5 个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且只
有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为 5 秒。如果要实现所有不同的闪烁，
那么需要的时间至少是
A．1205 秒
B．1200 秒
C．1195 秒
D．1190 秒
18．（2010 湖北）现安排甲、乙、丙、丁、戌 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每
人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会
字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个．（用数字作答）
23．（2015 广东）某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那
么全班共写了
条毕业留言．（用数字作答）
24（2014 浙江）在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖．将这 8 张奖券分 配给 4 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）．
121，…，191，202，…，999．则
（Ⅰ）4 位回文数有
个；
（Ⅱ） 2n + 1 (n N+ ) 位回文数有
个．
30．给 n 个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当 n 4 时，在所有不同的着色方案中，
黑色正方形互．不．相．邻．的着色方案如下图所示：
由此推断，当 n = 6 时，黑色正方形互．不．相．邻．的着色方案共有
5．（2016 四川）用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为
A．24
B．48
C．60
D．72
6．（2015 四川）用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比 40000 大的
偶数共有
A．144 个
B．120 个
C．96 个
D．72 个
7．（2014 新课标 1）4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周
2 1，3，4，5，6，7，8，9
可知 (1, 2) 与 (2,1) 是不同，所以抽到的 2 张卡片上的数奇偶性不同有 2C15C14 =40，所求 概率为 40 = 5 ．
72 8 4．B【解析】由题意可知 E → F 有 6 种走法， F → G 有 3 种走法，由乘法计数原理知，共
有 6 3 = 18 种走法，故选 B． 5．D【解析】由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为 1、3、5 中任选一个，
日都有同学参加公益活动的概率为
A． 1 8
B． 3 8
C． 5 8
D． 7 8
8．（2014 广东）设集合 A= ( x1, x2, x3, x4, x5 ) xi {−1, 0,1},i = 1, 2,3, 4,5 ，那么集合 A 中
1
满足条件“1 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 3 ”的元素个数为
的概率是________．
28．（2013 北京）将序号分别为 1，2，3，4，5 的 5 张参观券全部分给 4 人，每人至少一张，
如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是
．
29．（2012 湖北）回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如 22，121，3443，
94249 等．显然 2 位回文数有 9 个：11，22，33，…，99．3 位回文数有 90 个：101，111，
A． 1 12
B． 1 14
C． 1 15
D． 1 18
2．（2017 新课标Ⅱ）安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人