圆锥曲线
圆锥曲线的定义
圆锥曲线的定义
用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线。
通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。
具体而言：
1、当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。
2、当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。
3、当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。
4、当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。
5、当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。
6、当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。
7、当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。
圆锥曲线
圆锥曲线概述圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。
其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
圆锥曲线的由来两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并且获得了大量的成果。
古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。
用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。
阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。
事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。
定义几何观点用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线。
通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。
具体而言：1) 当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。
2) 当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。
3) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。
4) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。
5) 当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。
6) 当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。
7) 当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。
代数观点在笛卡尔平面上，二元二次方程ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0的图像是圆锥曲线。
根据判别式的不同，也包含了椭圆，双曲线，抛物线以及各种退化情形。
焦点-准线观点（严格来讲，这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形，因而不能算是圆锥曲线的定义。
但因其使用广泛，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线知识点总结圆锥曲线，是由平面上一个动点到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹。
圆锥曲线是解析几何的重要内容，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将对圆锥曲线的相关知识进行总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、基本概念1. 定义：圆锥曲线是平面上一个动点到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹。
2. 定点：圆锥曲线的两个定点分别称为焦点。
3. 对称轴：通过两个焦点并垂直于准线的直线称为对称轴。
4. 准线：通过两个焦点的直线段称为准线。
二、椭圆1. 定义：椭圆是圆锥曲线的一种，其离心率小于1，且焦点不重合的曲线。
2. 方程：椭圆的标准方程为x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。
3. 性质：椭圆具有对称性、渐近线和切线性质等。
4. 应用：椭圆在天文学、建筑学和电子等领域应用广泛。
三、双曲线1. 定义：双曲线是圆锥曲线的一种，其离心率大于1的曲线。
2. 方程：双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是双曲线的半长轴和半短轴。
3. 性质：双曲线具有渐近线和切线性质，且有两个分支。
4. 应用：双曲线在物理学、天文学和通信等领域有重要应用。
四、抛物线1. 定义：抛物线是圆锥曲线的一种，其离心率等于1的曲线。
2. 方程：抛物线的标准方程为y^2 = 4ax，其中a是抛物线的焦点到准线的距离。
3. 性质：抛物线具有对称性、渐近线和切线性质等。
4. 应用：抛物线在物理学、工程学和天文学等领域有广泛应用。
五、圆1. 定义：圆是圆锥曲线的一种，其离心率等于0的曲线。
2. 方程：圆的标准方程为(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2，其中(h, k)是圆心的坐标，r是半径长度。
3. 性质：圆具有对称性、切线性质和切圆定理等。
4. 应用：圆在几何学、物理学和工程学等领域有广泛应用。
总结：圆锥曲线是解析几何的重要内容，包括椭圆、双曲线、抛物线和圆。
(完整版)圆锥曲线知识点归纳总结
完整版)圆锥曲线知识点归纳总结1.圆锥曲线的定义和构造圆锥曲线是在平面上由一个固定点（焦点）和一个固定直线（准线）决定的点集。
三种经典的圆锥曲线分别为椭圆、抛物线和双曲线。
构造圆锥曲线需要确定焦点和准线的位置以及确定参数值。
2.椭圆的特性椭圆是圆锥曲线中最常见的一种形式，由两个焦点和一个大于等于焦距的参数决定。
椭圆的离心率小于1，且离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
椭圆的焦缩比为焦点到椭圆上某一点的距离与该点到准线的距离的比值。
重要公式：椭圆的标准方程为(x^2/a^2) + (y^2/b^2) = 1；焦缩比为e = c/a，其中c^2 = a^2 – b^2.3.抛物线的特性抛物线是圆锥曲线中的一种形式，由一个焦点和一个参数决定。
抛物线的离心率为1，焦缩比为1.抛物线的轴是准线，顶点是焦点和准线的交点。
重要公式：抛物线的标准方程为(x^2/4a) = y。
4.双曲线的特性双曲线是圆锥曲线中的一种形式，由两个焦点和一个焦距决定。
双曲线的离心率大于1，离心率等于焦点到准线的距离除以准线长度。
双曲线的焦缩比为c^2 = a^2 + b^2.重要公式：双曲线的标准方程为(x^2/a^2) – (y^2/b^2) = 1.5.圆锥曲线的应用圆锥曲线在数学和物理学中都有广泛的应用。
椭圆的应用包括轨道运动、天体力学以及密码学等领域。
抛物线的应用包括抛物面反射器、人工卫星的轨道设计等。
双曲线的应用包括电磁波的传播、双曲线钟的标定等。
6.圆锥曲线的性质圆锥曲线有许多共同的性质，如对称性、切线性质和焦点性质等。
对称性：椭圆和双曲线关于x轴和y轴都有对称性，抛物线关于y轴有对称性。
切线性质：圆锥曲线上任意一点的切线与焦点到该点的连线垂直。
焦点性质：圆锥曲线上的任意一点到焦点的距离与焦缩比成正比。
此文档总结了圆锥曲线的定义、特性、应用和性质等重要知识点，并提供了相关公式和图示。
熟悉了这些知识后，我们可以更加深入地理解和应用圆锥曲线的概念。
圆锥曲线定义
答案： D . 2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把 无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个 元素插入上述几个元素的空位和两端. 例 2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻， 那么不同的排法种数是（ ） A、1440 种 B、3600 种 C、4820 种 D、4800 种
（2）若双曲线方程为
若渐近线方程为 y
x2 y2 x2 y2 若双曲线与 2 2 1 有公共渐近线，可设为 2 2 a b a b
（ 0 ，焦点在 x 轴上， 0 ，焦点在 y 轴上） （3）特别地当 a b时 离心率 e
2 两渐近线互相垂直，分别为 y= x ，此
m
(K) k k k
Tr+1= Cn a
r n－r
b
r
An =n(n－1)(n－2)(n－3)„(n－m+1)=
n! (n m)!
An =n!
n
Cn =
m
m
n(n 1)(n 2)(n m 1) n! m! (n m)!m!
n－m
Cn = Cn
Cn ＋Cn
2 2 2 2
m
A 的右边（ A, B 可以不相邻）那么不同的排法有（
）
A、24 种 B、60 种 C、90 种 D、120 种 解析： B 在 A 的右边与 B 在 A 的左边排法数相同，所以 题设的排法只是 5 个元素全排列数的一半， 即
1 5 A5 60 2
种，选 B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把 某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继 续下去，依次即可完成. 例 4.将数字 1，2，3，4 填入标号为 1，2，3，4 的四 个方格里， 每格填一个数， 则每个方格的标号与所填数字 均不相同的填法有（ ） A、6 种 B、9 种 C、11 种 D、23 种 解析：先把 1 填入方格中，符合条件的有 3 种方法，第二 步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格， 又有三种 方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有 3 ×3×1=9 种填法，选 B . 5. 有序分配问题逐分法 : 有序分配问题指把元素分成若 干组，可用逐步下量分组法. 例 5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需 2 人承担，乙丙各 需一人承担，从 10 人中选出 4 人承担这三项任务，不同 的选法种数是（ A、1260 种 ） B、2025 种 C、2520 种 D、5040
圆锥曲线的三个定义
圆锥曲线的三个定义
圆锥曲线（二次曲线）的（不完整）统一定义：到定点（焦点）的距离与到定直线（准线）的距离的商是常数e（离心率）的点的轨迹。
当e\ue1时，为双曲线的一支，当e=1时，为抛物线，当0\uce\uc1时，为椭圆，当e=0时，为一点。
当平面与二次锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。
当平面与二次锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。
平面内一个动点至一个定点与一条的定直线的距离之比是一个大于1的正常数e。
平面内一个动点至两个定点（焦点）的距离和等同于定长2a的点的子集（设动迪潘县p，两个定点为f1和f2，则pf1+pf2=2a）。
根据e的范围不同，曲线也各不相同。
具体如下：
1) e=0，轨迹为一点或一个圆；
2) e=1（即到p与到l距离相同），轨迹为抛物线；
3) 0\uce\uc1，轨迹为椭圆；
4) e\ue1，轨迹为双曲线。
圆锥曲线 课件
利用线性代数知识求解圆锥曲线问题
线性方程组
线性方程组是线性代数中的基础内容， 它可以用来求解与圆锥曲线相关的问题 。例如，通过解线性方程组，可以找到 满足特定条件的点的坐标。
VS
特征值与特征向量
特征值和特征向量在解析几何中也有广泛 应用。通过计算圆锥曲线的特征值和特征 向量，可以深入了解曲线的性质，从而更 好地解决相关问题。
椭圆离心率的范围是0<e<1，双曲线的离心率范围是e>1。
圆锥曲线的光学性质
01
光线经过圆锥曲线上的点时，其 方向会发生改变，这种现象叫做 圆锥曲线的光学性质。
02
光线经过椭圆时，会沿着椭圆的 主轴方向折射；经过双曲线时， 会沿着双曲线的副轴方向折射。
圆锥曲线的对称性
圆锥曲线具有对称性，即如果将圆锥 曲线沿其对称轴旋转180度，它仍然 与原来的曲线重合。
02 圆锥曲线的性质
焦点与准线
焦点
圆锥曲线上的点到曲线的两个焦 点的距离之和等于常数，这个常 数等于椭圆的长轴长，等于双曲 线的实轴长。
准线
与圆锥的母线平行的线，在平面 内与准线相交的直线与圆锥相切 于一点，这个点叫做切点。
离心率
离心率：是描述圆锥曲线形状的一个重要参数，它等于圆锥顶点到曲线的距离与 圆锥的半径之比。离心率越大，圆锥曲线越扁平，反之则越接近于球形。
双曲线的极坐标 方程
$frac{rho^2}{a^2} frac{rho^2}{b^2} = 1$
圆锥曲线在极坐 标下的表…
将圆锥曲线问题转化为极 坐标形式，便于理解和求 解。
利用极坐标求解圆锥曲线问题
利用极坐标求解圆锥曲线问题的步骤
首先将问题转化为极坐标形式，然后利用极坐标的性质和公式进行求解。
圆锥曲线知识点全归纳(完整精华版)
圆锥曲线知识点全归纳（精华版）圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。
其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
一、圆锥曲线的方程和性质：1）椭圆文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。
定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。
标准方程：1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：(x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2.参数方程：X=acosθY=bsinθ(θ为参数，设横坐标为acosθ，是由于圆锥曲线的考虑，椭圆伸缩变换后可为圆此时c=0，圆的acosθ=r)2）双曲线文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。
定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线,常数e是双曲线的离心率。
标准方程：1.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线标准方程：(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.2.中心在原点,焦点在y轴上的双曲线标准方程：(y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1.其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2.参数方程：x=asecθy=btanθ(θ为参数 )3）抛物线标准方程：1.顶点在原点,焦点在x轴上开口向右的抛物线标准方程：y^2=2px 其中 p>02.顶点在原点,焦点在x轴上开口向左的抛物线标准方程：y^2=-2px 其中 p>03.顶点在原点,焦点在y轴上开口向上的抛物线标准方程：x^2=2py 其中 p>04.顶点在原点,焦点在y轴上开口向下的抛物线标准方程：x^2=-2py 其中 p>0参数方程x=2pt^2 y=2pt (t为参数) t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t 可等于0直角坐标y=ax^2+bx+c (开口方向为y轴, a<>0 ） x=ay^2+by+c （开口方向为x轴, a<>0 )圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为ρ=ep/(1-e×cosθ)其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
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圆锥曲线一、椭圆定义：平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a的动点的轨迹。
二、椭圆图像与性质一、双曲线定义：平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹。
二、双曲线图像与性质一、抛物线定义：平面内到定点与到定直线的距离相等的动点的轨迹。
二、抛物线图像与性质考点一：直线与圆锥曲线的位置关系1、直线与圆锥曲线的位置关系的判断：方法一:半径R 比较法：若d<R ，则直线与曲线相交；若d=R ，则直线与曲线相切；若d>R ，则直线与曲线相离。
方法二:联立曲线方程和直线方程，若△>0，则直线与曲线相交；若△=0，则直线与曲线相切；若△<0，则直线与曲线相离。
2、直线与圆锥曲线相交的弦长问题：2121x x k AB -+=公式一：3、弦AB 的中点与直线AB 斜率的关系;),(M 2AB ;),(M 1AB ;),(M 1AB )1(000202020022220202002222y p k y x px y y a x b k y x b y a x y a x b k y x b y a x AB AB AB ====--==+，则的一条弦，其中点是抛物线已知，则的一条弦，其中点是双曲线已知，则的一条弦，其中点是椭圆已知))A (2,)A (2(0A ),(2200220000BA C By xB y B AC By x A x C By x y x +++-+++-=++的对称点坐标为关于直线【知识拓展】点2121212121212122212221210002020002022122122121212121212221222122222222122100)(2)()()(2))((),(222),(,),,(),,(A AB 3),(,),,(),,(A AB 2)()()()(0))(())((0,11,),(,),,(),,(A AB 1y py y p x x y y k x x p y y y y x x p y y px y px y y x M x x y x B y x y a x b k y x M x x y x B y x y a x b y y a x x b x x y y k by y y y a x x x x y y x x b y a x by a x B A y x M x x y x B y x AB ABAB =+=--=∴-=-+∴-=-⎪⎩⎪⎨⎧==≠=≠-=++-=--==+-++-∴=--⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∴≠，两式相减得则弦中点的斜率，设点，运用点差法求直线公式推导过程则弦中点的斜率，设点，运用点差法求直线公式推导过程两式相减得都在椭圆上，弦中点的斜率，设点，运用点差法求直线公式推导过程椭圆焦点弦常用结论及推导过程：11cos )1(FB AF B A F 2;cos )(2AB B A F 122222+-=≥=--=→→λλαλλαααe b a a ab 有，则两点，且，的直线交椭圆于的倾斜角、过椭圆的一个焦点两点，则，的直线交椭圆于作倾斜角、过椭圆的一个焦点0202212212212100)()()()(),(,),,(),,(A AB 3y a x b y y a x x b x x y y k y x M x x y x B y x k ABAB -=++-=--=≠弦中点，设点的斜率、过椭圆的直线[])(cos 1B ,cos 1900AB F 5离是对应焦点到准线的距较长焦半径，则有较短焦半径，夹角为与椭圆的焦点所在的轴的弦、过点p e epF e epAF θθθ+=-=∈︒)(2AB ),(B ),(A )0,(F );(2AB ),(B ),(A )0,(F 4212211212211x x e a y x y x c x x e a y x y x c +-=++=-的焦点弦长为：，，且端点为过椭圆右焦点的焦点弦长为：，，且端点为、过椭圆左焦点考点二：圆锥曲线的轨迹问题一、直译法 顾名思义，就是直接翻译题目中的条件，将题目中的文字用数学方程表达出来即可。
218)2()0(),(M M 218)2.1(F M 22=--+-=y y x y x y ，所以译，设点解析：根据题意直接翻的轨迹方程是多，则点：的距离之比为线，的距离和它们到定直到一个定点例：点二、定义法定义法就是题目中给出的条件其实是某种我们学过的曲线的定义，这种情况下，可以根据题目描述，确定曲线类型，再根据曲线的性质，确定曲线的参数。
各类常见曲线的定义如下:到定点的距离为定植的动点的轨迹是圆；到两个定点的距离之和为定值的动点轨迹是椭圆； 到两个定点的距离之差的绝对值的动点轨迹是双曲线； 到定点于定直线的距离之比为定值的动点轨迹是圆锥曲线，根据比值大小确定是哪一种曲线。
ba by a x y y ,1M M 218)2,0(F M 2222方程，离心率可解出，根据焦点坐标，准线设轨迹为轴，轨迹是椭圆，且焦点在解析：根据题意，的轨迹方程是什么？，则点：的距离之比为的距离和它到定直线到一个定点例：点=+=三、相关点法若题目中已知动点P 的轨迹，另外一个动点M 的坐标与P 有关系，可根据此关系，用M 的坐标表示P 的坐标，再带入P 的满足的轨迹方程，化简即可得到M 的轨迹方程。
适用范围：双动点的轨迹问题，常采用相关点法。
相关点法求轨迹方程一般步骤：式；带入已知点满足的关系点坐标；用待求点坐标表示已知设待求点坐标；)3()2()1( 1)2()32(C 1)2()32(),(,2322023),(C ),(A C A C AB C A ),0,2(B ,12020202000000022=+-=+-⎩⎨⎧=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+==+y x y x y x y y x x y y x x y x y x y x 的轨迹方程为：，故点圆的方程得代把点则，点是相关点，设与解析：的轨迹方程。
的中点，求点是是圆上的点，点点点例：已知圆的方程为点坐标间的等量关系在于找到动点与其相关【点评】代入法的关键的轨迹方程为：整理得动点从而有上，在椭圆点又即点中点，可得为线段，则由，而设解析：设动点的轨迹方程。
故采用相关点法求动点，为相关点、的运动引起的，可见的运动是由运动是有规律的，显然的为动点，且点、为定点，而，其中、、点分析：题中涉及了三个的轨迹方程。
的中点为定点，求线段是椭圆例：点14)(4M 1)2()22(11),(B )2,22(B 2y 22x 20y 22x AB M ),(B ),(M M B M B M B M B A M B A M AB )0(1B 222222222202202222000000002222=+-=+-=+∴=+-⎩⎨⎧=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+>>=+by a a x b y a a x b y a x by a x y x y a x y a x y x ay x y x b a by a x为常数，使轴上存在定点故在此时的坐标可分别设为，轴垂直时，点与当此时即无关的常数，所以是与因为于是，，所以是上述方程的两个实根，则，有代入的方程是轴垂直时，设直线不与当为常数，使轴上存在定点假设在的轨迹方程是所以点也满足上述方程求得轴垂直时，与当代入上式，化简得将即两式相减得两点在双曲线上，所以，又因为，即轴垂直时，不与当的中点坐标为于是得：，，，则设解析：说明理由；的坐标；若不存在，请为常数？若存在，求出，使轴上是否存在定点在的轨迹方程。
，求点为坐标原点其中满足若动点两点，于的动直线与双曲线相交，过点、的左、右焦点分别为例：已知双曲线→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→∙-=-=∙--=∙==-∙+--+-=+-+-=++-+--++=++++--=--+--=∙-+=-=+=+---=-±≠-=∙=--===----=--=--+-=+-=-=---=--=--=---⎩⎨⎧+=++=+=+=+=+=∙++==-CB CA )0,1(C 1)2,1)(2,1(CB CA )2.2(),2,2(B A AB 1CB CA ,1,044CB CA 144)21(2)1(2)1(24)1()2(4)1()24)(1(4))(2()1()2)(2())((CB CA 124140)24(4)1(2)1)(2(AB AB .CB CA )0.(C )2(4)6(M ),0,8(M ,2AB 4)6()(8)()4)((),)(())((,2,2B A )(882242AB ),2,24(AB ,62)0,2(O F ),2(B F ),2(),,2(M F ),(M )1(C CB CA C )2(M )(O F B F A F M F M )1(B A F F F 222222222222222221221221221222122212122222222212221212121212121212222212121212121212112211111111122122x x m m k mk m m m k k m m k k m k k k k k m k x x m k x x k x x k m x m x k k x x k k x x x x k x k x k y x k x k y x m x y x x x x y x x x x yy y y y y x x x y y y y x x x x y x y x x x x y y y x y x yx x y y x y x y y y x x x y x y x A F y x y x x O y x四、参数法当动点坐标x 、y 之间和直接关系难以找到时，可以先找到x 、y 与另一参数t 的关系，得在消去参数t ，得到轨迹方程。
00022cos sin sin 21)cos 1(21P sin cos 1Q P C 1)1(C ;y x t t t y t x ty t x y x ，的关系可表示出，利用的坐标为的坐标为解析：设圆上一点的轨迹方程是任意弦，求弦中点，过原点○做圆：设圆例⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=∴⎩⎨⎧=+==+-)44(02)44(2),,()22(4),2(,4)()2(046242222222<<-=+⇒⎩⎨⎧=<<--=<<----=-++=-+-++x y x by x b x y x b b b b b b y b x b by bx y x 参数法设圆心为；半径：圆心：解析：，求圆心的轨迹方程为例：一个动圆的解析式)0(04P )3((0,0),B A L )3()0(04444),(P )48,42()2,2()(21OP ,4842032)4()2((1))2(14y x 1(1)kx y ),(),,(1kx y L k L M(0,1)L P M L )(21OP P L O B A L M(0,1)142222222221212212212222221122≠=-+∴≠=-+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=++-=++=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=+=-++⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=+==+→←→→←→y y y x y y y x k k y k k x y x k k k y y x x OB OA k y y k k x x kx x k y x B y x A OB OA y x 的轨迹方程为点也满足方程的中点坐标为原点、的斜率不存在时，可得当直线得：消去参数，则的坐标为设点于是则并化简得：式代入的解将是方程组设的方程为，则率为的斜率存在时，设其斜，当过点解析：直线的轨迹方程旋转时，求动点绕点，当满足上的动点是坐标原点，、、交椭圆于点的直线，过点例：设椭圆方程为注意取值范围。