探究三角函数最值问题的一些求法

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三角函数最值问题常见的求解策略

三角函数最值问题常见的求解策略三角函数最值问题是三角函数学习中的难点之一．求三角函数的最值，往往要涉及二次函数、不等式等其他重要知识，是历年高考考查的热点之一．本文试对常见三角函数最值问题作归纳、梳理．１．ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂ型应对策略：令ｔ＝ｓｉｎｘ，化为求一次函数ｙ＝ａｔ＋ｂ在闭区间上的最值．例１　求函数ｙ＝－３ｓｉｎｘ＋２的最值．解　令ｔ＝ｓｉｎｘ，则原式化为ｙ＝－３ｔ＋２，ｔ∈［－１，１］，得－１≤ｙ≤５．故ｙｍｉｎ＝－１，ｙｍａｘ＝５．２．ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＋ｃ型应对策略：引进辅助角φｔａｎφ＝ｂ（）ａ，化为ｙ＝ａ２＋ｂ槡２ｓｉｎ（ｘ＋φ）＋ｃ，再利用正弦、余弦函数的有界性．例２　已知ｘ∈－π２，π［］２，求函数ｆ（ｘ）＝５ｓｉｎｘ＋槡５３ｃｏｓｘ的最值．解　ｆ（ｘ）＝５ｓｉｎｘ＋槡５３ｃｏｓｘ＝１０ｓｉｎｘ＋π（）３，令ｔ＝ｘ＋π３，则ｙ＝１０ｓｉｎｔ，ｔ∈－π６，５π［］６．故当ｔ＝－π６时，ｓｉｎｔ有最小值－１２，ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝－５；当ｔ＝π２时，ｓｉｎｔ有最大值１，ｆ（ｘ）ｍａｘ＝１０．３．ｙ＝ａｓｉｎ２ｘ＋ｂｓｉｎｘ＋ｃ型应对策略：令ｔ＝ｓｉｎｘ，化为求二次函数ｙ＝ａｔ２＋ｂｔ＋ｃ在闭区间上的最值．例３　求ｙ＝２ｓｉｎ２ｘ＋ｓｉｎｘ＋３－π２≤ｘ≤π（）６的最值．解　令ｔ＝ｓｉｎｘ，则由－π２≤ｘ≤π６，得ｔ［∈－１，］１２．于是ｙ＝２ｔ２＋ｔ＋３＝２ｔ＋（）１４２＋２３８．当ｔ＝－１４时，ｙｍｉｎ＝２３８；当ｔ＝－１或１２时，ｙｍａｘ＝４．４．ｙ＝ａｓｉｎ２ｘ＋ｂｓｉｎｘｃｏｓｘ＋ｃｏｓ２ｘ型应对策略：降次，整理化为类型２，求ｙ＝Ａｓｉｎ２ｘ＋Ｂｃｏｓ２ｘ＋ｃ的最大值、最小值．例４　函数ｆ（ｘ）＝６ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋８ｃｏｓ２ｘ，求ｆ（ｘ）的周期与最大值．解　ｆ（ｘ）＝３ｓｉｎ２ｘ＋４ｃｏｓ２ｘ＋４＝５ｓｉｎ（２ｘ＋φ）＋４．故周期Ｔ＝π，ｆ（ｘ）最大值为９．５．ｙ＝ａｓｉｎｘｃｏｓｘ＋ｂ（ｓｉｎｘ±ｃｏｓｘ）＋ｃ型应对策略：令ｔ＝ｓｉｎｘ±ｃｏｓｘ，化为求二次函数ｙ＝±ａ２（ｔ２－１）＋ｂｔ＋ｃ在ｔ∈［－槡２，槡２］上的最值．例５　求函数ｙ＝（１＋ｓｉｎｘ）（１＋ｃｏｓｘ）的最值．解　ｙ＝１＋ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ），令ｔ＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ，则ｙ＝１＋ｔ＋ｔ２－１２＝１２（ｔ＋１）２，ｔ∈［－槡２，槡２］．当ｔ＝槡２时，ｙｍａｘ＝３＋槡２２２；当ｔ＝－１时，ｙｍｉｎ＝０．６．ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂｃｓｉｎｘ＋ｄ型应对策略：反解出ｓｉｎｘ，利用正弦函数的有界性或用分析法来求解．例６　求函数ｙ＝ｓｉｎｘ－３ｓｉｎｘ＋３的最值．解法一：解出ｓｉｎｘ＝３（ｙ＋１）１－ｙ，由｜ｓｉｎｘ｜≤１，得－２≤ｙ≤－１２．解法二：（“部分分式”分析法）原式＝１－６ｓｉｎｘ＋３，再由｜ｓｉｎｘ｜≤１，解得－２≤ｙ≤－１２．故ｙｍｉｎ＝－２，ｙｍａｘ＝－１２．７．ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂｃｃｏｓｘ＋ｄ型十种特殊条件下的三角恒等变换□韩玉宝三角变换的关键在于发现题目中条件与结论之间在角、函数名称、次数这三方面的差异及联系，然后通过角变换、函数名称变换、升降幂变换等方法找到已知式与所求式之间的联系．三角变换的方法很多，本文将课本中出现的特殊条件下的一些变换方法归纳如下：一、条件或所求中出现“ｓｉｎα＋ｃｏｓα”，将其平方．例１　设α∈（０，π），ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝７１３，求ｔａｎα的值．解　将ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝７１３两边平方，得ｓｉｎαｃｏｓα＝－６０１６９，两式联立解得ｓｉｎα＝１２１３，ｃｏｓα＝－５１３，从而ｔａｎα＝－１２５．二、已知ｔａｎα，求ａｓｉｎ２α＋ｂｓｉｎαｃｏｓα＋ｃｃｏｓ２α的值，先将ａｓｉｎ２α＋ｂｓｉｎαｃｏｓα＋ｃｃｏｓ２α除以（ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α）（即１），然后分子、分母同除以ｃｏｓ２α．例２　已知ｔａｎα＝２，求ｓｉｎ２α＋３ｓｉｎαｃｏｓα＋４的值．解　ｓｉｎ２α＋３ｓｉｎαｃｏｓα＋４＝ｓｉｎ２α＋３ｓｉｎαｃｏｓα＋４ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝ｔａｎ２α＋３ｔａｎα＋４ｔａｎ２α＋１＝１４５．三、化简１＋ｓｉｎ槡α，１－ｓｉｎ槡α，１＋ｃｏｓ槡α，１－ｃｏｓ槡α，引用倍角公式或将１用平方代换．应对策略：化归为ｙ′＝Ａｓｉｎｘ＋Ｂｃｏｓｘ型求解或用数形结合法（常用到直线斜率的几何意义）．例７　求函数ｙ＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋２的最大值及最小值．解法一：将原式ｙｃｏｓｘ－ｓｉｎｘ＋２ｙ＝０化为ｙ２＋槡１ｓｉｎ（ｘ＋φ）＝－２ｙ，即ｓｉｎ（ｘ＋φ）＝－２ｙｙ２＋槡１，由｜ｓｉｎ（ｘ＋φ）｜≤１，得－２ｙｙ２＋槡１≤１，解得－槡３３≤ｙ≤槡３３．故ｙｍｉｎ＝－槡３３，ｙｍａｘ＝槡３３．解法二：函数ｙ＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ＋２的几何意义为点Ｐ（－２，０）与点Ｑ（ｃｏｓｘ，ｓｉｎｘ）连线的斜率ｋ，而点Ｑ的轨迹为单位圆，如右图，可知－槡３３≤ｋ≤槡３３．故ｙｍｉｎ＝－槡３３，ｙｍａｘ＝槡３３．８．ｙ＝ａｓｉｎｘ＋ｂｓｉｎｘ型应对策略：转化为利用函数ｙ＝ａｘ＋ｂｘ的单调性求最值．例８　求函数ｙ＝ｓｉｎｘ＋４ｓｉｎｘｘ∈０，π（］（）２的最小值．解　令ｔ＝ｓｉｎｘ，ｘ∈０，π（］２，则ｙ＝ｔ＋４ｔ，ｔ∈（０，１］．利用函数ｙ＝ａｘ＋ｂｘ的单调性得，函数ｙ＝ｔ＋４ｔ在ｔ∈（０，１］上为单调递减函数．故当ｔ＝１时，ｙｍｉｎ＝５．巩固练习１．若函数ｙ＝２ｓｉｎｘ＋槡ａｃｏｓｘ＋４的最小值为１，求ａ的值．２．求函数ｙ＝－２ｃｏｓ２ｘ＋２ｓｉｎｘ＋３的值域．３．求函数ｙ＝（ｓｉｎｘ＋槡３）（ｃｏｓｘ＋槡３）的最值．（参考答案见第４１页）由π４－α＝π１２－（）α＋π６，可得ｃｏｓα－π（）４＝－槡３＋４３１０．故所求值为：槡－３３＋２０３５０．《常见三角函数最值问题的求解策略》１．ａ＝５．　２．ｙ∈１２，［］５．　３．ｙｍａｘ＝７２槡＋６，ｙｍｉｎ＝７２槡－６．《十种特殊条件下的三角恒等变换》１．略．　２．１１６．《“整体思维”巧解三角恒等变换题》１．５９７２．　２．±７１２．　３．５６６５．　４．１４．　５．１．《例谈构造法在三角问题中的妙用》１．提示：解析式看作是动点Ｐ（ｃｏｓｘ，ｓｉｎｘ）与定点Ｑ（３，０）连线的斜率，为此构造直线斜率这一几何模型处理．ｙ＝ｓｉｎｘｃｏｓｘ－３最小值为－槡２４，最大值为槡２４．２．提示：已知条件可视为关于ｓｉｎα２的一元二次方程模型去证明．３．提示：构造几何模型将条件化为（１－ｃｏｓβ）ｃｏｓα－ｓｉｎβｓｉｎα＋ｃｏｓβ－３２＝０．因为点（ｃｏｓα，ｓｉｎα）在直线（１－ｃｏｓβ）ｘ－ｓｉｎβｙ＋ｃｏｓβ－３２＝０上，同时也在圆ｘ２＋ｙ２＝１上，所以直线和圆有公共点，故ｄ≤ｒ，即ｃｏｓβ－３２（１－ｃｏｓβ）２＋ｓｉｎ２槡β≤１，整理得ｃｏｓβ－（）１２２≤０，即ｃｏｓβ＝１２．又β为锐角，所以β＝π３．同理α＝π３．《向量问题的几何解法》１．ａ２１＋ａ２２＝ｂ２１＋ｂ２２．　２．１２０°．　３．槡６．《一道课本向量题的探究与应用》１．设→ＡＧ＝→ ｍＧＣ，→ ＦＧ＝→ ｎＧＥ，则→ ＢＧ＝→ ＢＡ＋→ｍＢＣ１＋ｍ．又→ＢＧ＝→ ＢＦ＋→ ｎＢＥ１＋ｎ＝→ ＢＡ＋→ ＡＦ＋→ｎＢＥ１＋ｎ＝→ＢＡ＋１３→ ＡＤ＋ｎ２→ ＢＣ１＋ｎ＝→ ＢＡ＋１３＋ｎ（）２→ＢＣ１＋ｎ．故１１＋ｍ＝１１＋ｎ，ｍ１＋ｍ＝１３＋ｎ２１＋烅烄烆ｎｍ＝ｎ＝２３．从而→ＡＧ＝２３→ ＧＣ，→ ＡＧ＝２５→ ＡＣ．单元测试参考答案１．１　２．５６６５　３．③　４．槡４５９　５．１１６　６．［槡－３，槡３］　７．２　８．π２　９．槡２－１２　１０．ｄ１ｄ２１１．因为ｓｉｎＣ＝ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）＝ｓｉｎＡｃｏｓＢ＋ｃｏｓＡｓｉｎＢ，所以ｓｉｎＡｃｏｓＢ＝ｃｏｓＡｓｉｎＢ，即ｓｉｎ（Ａ－Ｂ）＝０．所以三角形是等腰三角形．１２．原式＝２ｓｉｎ５０°＋２ｓｉｎ８０°ｃｏｓ１０°１２ｃｏｓ１０°＋槡３２（）ｓｉｎ１０°槡２ｃｏｓ５°＝２ｓｉｎ５０°＋２ｓｉｎ８０°ｃｏｓ１０°ｃｏｓ（６０°－１０°）槡２ｃｏｓ５°＝２槡２２ｓｉｎ５０°＋槡２２（）ｃｏｓ５０°ｃｏｓ５°＝２ｃｏｓ（５０°－４５°）ｃｏｓ５°＝２．１３．因为ｔａｎα＋β２＝槡６２，所以ｃｏｓ（α＋β）＝１－ｔａｎ２α＋β２１＋ｔａｎ２α＋β２＝－１５，即ｃｏｓαｃｏｓβ－ｓｉｎαｓｉｎβ＝－１５．①又因为ｔａｎαｔａｎβ＝１３７，所以ｓｉｎαｓｉｎβｃｏｓαｃｏｓβ＝１３７，即１３ｃｏｓαｃｏｓβ－７ｓｉｎαｓｉｎβ＝０②联立①、②，解得ｃｏｓαｃｏｓβ＝７３０，ｓｉｎαｓｉｎβ＝１３３０．。

三角函数中的最值问题(4种方法)

三角函数中的最值问题（4种方法）基本方法1、直接法：形如f (x )＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b ),值域为[－|a |＋b ，|a |＋b ]，形如y＝asinx＋bcsinx＋c 的函数可反解出sinx，利用|sinx|≤1求解，或分离常数法.2、化一法：形如f (x )＝a sin x ＋b cos x ，f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＋c sin x cos x 的函数可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，利用正弦函数的有界性求解，给定x 范围时要注意讨论ωx ＋φ的范围，注意利用单位圆或函数图象．3、换元法：形如f (x )＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a cos 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a (sin x ±cos x )＋b sin x ·cos x 的函数可通过换元转化为二次函数在某区间上的值域求解．4、几何法（数形结合）：形如dx c bx a y ++=cos sin 转化为斜率问题，或用反解法.典型例题例1已知函数f (x )=(sin x+cos x )2+cos 2x ,求f (x )在区间.解：（化一法）因为f (x )=sin 2x+cos 2x+2sin x cos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=2sin 2 +1,当x ∈0,2 ∈由正弦函数y=sin x 当2x+π4π2,即x=π8时,f (x )取最大值2+1;当2x+π45π4,即x=π2时,f (x )取最小值0.综上,f (x )在0,上的最大值为2+1,最小值为0.例2求函数y ＝2＋sin x ＋cos x 的最大值.解：（化一法）y ＝2＋2sin(x ＋π4)，当x ＝π4＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝2＋2例3求函数f (x )＝cos2x ＋6cos(π2－x )的最大值.解：（换元法）f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2(sin x －32)2＋112.令sin x ＝t ，则t ∈[－1,1]，函数y ＝－2(t －32)2＋112在[－1,1]上递增，∴当t ＝1时，y 最大＝5，即f (x )max ＝5，例4已知x 是三角形的最小内角，求函数y ＝sin x ＋cos x －sin x cos x 的最小值.解：（换元法）由0≤x ≤π3，令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，又0<x ≤π3，∴π4<x ＋π4≤712π，得1<t ≤2；又t 2＝1＋2sin x cos x ，得sin x cos x ＝t 2－12，得y ＝t －t 2－12＝－12(t －1)2＋1，例5已知sin α＋sin β＝22，求cos α＋cos β的取值范围.解：（换元法）令cos α＋cos β＝t ，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝t 2＋12，即2＋2cos(α－β)＝t 2＋12⇒2cos(α－β)＝t 2－32，∴－2≤t 2－32≤2⇒－12≤t 2≤72，∴－142≤t ≤142，即－142≤cos α＋cos β≤142.例6求函数y ＝1＋sin x3＋cos x的值域解法一：（几何法）1＋sin x3＋cos x可理解为点P (－cos x ，－sin x )与点C (3,1)连线的斜率，点P (－cos x ，－sin x )在单位圆上，如图所示．故t ＝1＋sin x3＋cos x满足k CA ≤t ≤k CB ，设过点C (3,1)的直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k |k 2＋1≤1，解得0≤k ≤34.从而值域为[0，34]．解法二：（反解法）由y ＝1＋sin x3＋cos x 得sin x －y cos x ＝3y －1，∴sin(x ＋φ)＝3y －11＋y2其中sin φ＝－y 1＋y 2，cos φ＝11＋y 2.∴|3y －11＋y2|≤1，解得0≤y ≤34.例7求函数y ＝2sin x ＋1sin x －2的值域解法一：（分离常数法）y ＝2sin x ＋1sin x －2＝2＋5sin x －2，由于－1≤sin x ≤1，所以－5≤5sin x －2≤－53，∴函数的值域为[－3，13]．解法二：（反解法）由y ＝2sin x ＋1sin x －2，解得sin x ＝2y ＋1y －2，∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤2y ＋1y －2≤1，解得－3≤y ≤13，∴函数的值域为[－3，13]．针对训练1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为____.此时x ＝____.2.函数xxy cos -3sin -4的最大值为.3.函数f (x )=sin 2x+3cos ∈的最大值是.4.函数y ＝12＋sin x ＋cos x的最大值是【解析】1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．2.解析式表示过A (cos x ,sin x ),B (3,4)的直线的斜率,则过定点(3,4)与单位圆相切时的切线斜率为最值,所以设切线的斜率为k ,则直线方程为y-4=k (x-3),即kx-y-3k+4=+11,∴k max3.由题意可知f (x )=1-cos 2x+3cos x-34=-cos 2x+3cos x+14=-cos -+1.因为x ∈0,cos x ∈[0,1].所以当cos f (x )取得最大值1.4.∵y ＝12＋2sin (x ＋π4)，又2－2≤2＋2sin(x ＋π4)≤2＋2∴y ≤12－2＝1＋22，含参问题一、单选题1．已知函数()sin cos (0,0)62af x x x a πωωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭，对任意x ∈R ，都有()f x ≤，若()f x 在[0,]π上的值域为3[2，则ω的取值范围是（）A．11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．12,33⎡⎤⎢⎣⎦C．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()sin cos 62af x x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos 2a x x ωω++max ()f x =02a a >∴= ，())3f x x πω∴=+0,0x πω≤≤> ，333x πππωωπ∴≤+≤+，3()2f x ≤ 2233πππωπ∴≤+≤，1163ω∴≤≤.故选：A2．已知函数()()cos 0f x x x ωωω=+>，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，关于函数()g x ，下列说法正确的是（）A．在,42ππ⎡⎤⎢⎣⎦上是增函数B．其图像关于直线6x π=对称C．在区间,1224ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,1--D．函数()g x 是奇函数【解析】因()()cos 2sin 06f x x x x πωωωω⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，则()f x 的最小正周期为22T ππω==，即4ω=，所以()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得()2sin 42sin 42cos 46662f x g x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=，所以，()g x 为偶函数，故D 选项不正确；由4,k x k k Z πππ≤≤+∈，即,44k k x k Z πππ+≤≤∈，故()g x 在区间(),44k k k Z πππ+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以()g x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故A选项不正确；由4,2x k k Z ππ=+∈，即,48k x k Z ππ=+∈，所以()g x 图像关于,48k x k Z ππ=+∈对称，故B选项不正确；当,1224x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，4,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，则()21g x -≤≤-，所以C 选项正确.故选：C.3．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是（）A．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．73,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．57,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为0>ω，所以当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[,]4424x ππωππω-∈--因为函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以52244πωπππ≤-≤，解得332ω≤≤，故选：B．4．已知函数()(2)f x x ϕ=+22ππϕ-≤≤，若()0f x >在5(0,)12π上恒成立，则3(4f π的最大值为（）B．0C．D．2-【解析】因为5(0,)12x π∈,故52(,)6x πϕϕϕ+∈+；由()0f x >，即1sin(2)2x ϕ+>-，得722266k x k πππϕπ-+<+<+，k Z ∈，故57(,)(2,2)666k k πππϕϕππ+⊆-++，k Z ∈，故2657266k k πϕπππϕπ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得2263k k πππϕπ-+≤≤+，k Z ∈；又22ππϕ-≤≤，故63ππϕ-≤≤，5．已知曲线()sin cos f x x m x ωω=+，()m R ∈相邻对称轴之间的距离为2π，且函数()f x 在0x x =处取得最大值，则下列命题正确的个数为（）①当0,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，m的取值范围是⎣；②将()f x 的图象向左平移04x 个单位后所对应的函数为偶函数；③函数()()y f x f x =+的最小正周期为π；④函数()()y f x f x =+在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点．故33()()42f ππϕϕ⎡⎤+++-⎢⎥⎣⎦，故3()4f π的最大值为0．故选：BA．1B．2C．3D．4【解析】函数()f x 的相邻对称轴之间的距离为2π，则周期为22T ππ=⨯=，∴22πωπ==，()sin 2cos 2f x x m x =+)x ϕ=+，其中cos ϕ=，sin ϕ=[0,2)ϕπ∈，()f x 在0x 处取最大值，则022,2x k k Z πϕπ+=+∈，0222k x πϕπ=+-，k Z ∈，①若0[,]126x ππ∈，则[2,2]63k k ππϕππ∈++，1sin 2ϕ≤≤，12解m ≤正确．②如()sin(28f x x π=+，0316x π=时函数取最大值，将()f x 的图象向左平移04x 个单位后得313()sin[2(4)sin(2)1688g x x x πππ=+⨯+=+，不是偶函数，错；③()()y f x f x =+中，()y f x =是最小正周期是π，()y f x =的最小正周期是2π，但()()y f x f x =+的最小正周期还是π，正确；④003[,44x x x ππ∈++时，()()0y f x f x =+=，因此在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有无数个零点，错；∴正确的命题有2个．故选：B．6．已知函数()cos 4cos 12=+-xf x x 在区间[0,]π的最小值是（）A．-2B．-4C．2D．4【解析】22()cos 4cos 12cos 14cos 12(cos 1)42222x x x x f x x =+-=-+-=+-，由[0,]x π∈知，[0,]22x π∈，cos [0,1]2x ∈，则当x π=时，函数()f x 有最小值min ()2f x =-.故选：A.7．已知()cos31cos xf x x=+,将()f x 的图象向左平移6π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的12得到()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法中正确的个数为（）①函数()g x 的周期为2π;②函数()g x 的值域为[]22-,;③函数()g x 的图象关于12x π=-对称;④函数()g x 的图象关于,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称.A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】()()cos 2cos311cos cos x x xf x x x+=+=+cos 2cos sin 2sin 12cos 2cos x x x x x x -=+=.即：()2cos 2f x x =且,2x k k Z ππ≠+∈.()2cos(4)3g x x π=+且,62k x k Z ππ≠+∈.①因为函数()g x 的周期为2π，因此①正确.②因为,62k x k Z ππ≠+∈，故() 2.g x ≠-因此②错误.③令4,3x k k Z ππ+=∈，得,124k x k Z ππ=-+∈.故③正确k ππ二、填空题8．函数()2sin()sin()2sin cos 66f x x x x x ππ=-++在区间[0,2π上的值域为__________．【解析】由11(x)sinx cosx)(sinx cosx)sin 2x2222f =-++22312(sin x cos x)sin 2x 44=-+2231sin cos sin 222x x x=-+11cos 2sin 22x x =--+1x )24π=-当[0,]2x π∈时，2[,]444x ππ3π-∈-，则sin(2)[42x π-∈-，所以11(x)[,22f ∈-.故答案为：11[,22-9．若函数()()2cos 2cos 202f x x x πθθ⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭的图象过点()0,1M ，则()f x 的值域为__________.【解析】由题意可得()02cos 2cos 02cos 211f θθ=+=+=，得cos 20θ=，02πθ<<，02θπ∴<<，22πθ∴=，则4πθ=，()22cos cos 2cos 22sin 2sin 2sin 12f x x x x x x x π⎛⎫∴=++=-=--+ ⎪⎝⎭2132sin 22x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，令[]sin 1,1t x =∈-，则213222y t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.当12t =-时，该函数取最大值，即max 32y =，当1t =时，该函数取最小值，即min 3y =-.因此，函数()y f x =的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.10．函数32()sin 3cos ,32f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域为_________．【解析】由题意，可得()3232ππf x sin x 3cos x sin x 3sin x 3,x ,,32⎡⎤=+=-+∈-⎢⎥⎣⎦，令t sinx =，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()32g t t 3t 3=-+，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()2g't 3t 6t 3t t 2=-=-，当t 0<<时，()g't 0>，当0t 1<<时，()g't 0>，即()y g t =在⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，在[]0,1为减函数，又g ⎛=⎝⎭()g 03=，()g 11=，故函数的值域为：⎤⎥⎣⎦．11．（2019·广东高三月考（文））函数()cos 2|sin |f x x x =+的值域为______．【解析】2219()cos 2|sin |12|sin ||sin |2|sin |48f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭,所以当1sin 4x =时,()f x 取到最大值98,当sin 1x =时,()f x 取到最小值0,所以()f x 的值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

求三角函数最值的四种方法

求三角函数最值的四种方法求解三角函数最值问题的基本途径与其他函数最值问题相同，一方面要利用三角函数的特殊性质，例如有界性，另一方面要将问题转化为我们熟悉的函数的最值问题。

以下介绍几种常见的求解三角函数最值的策略。

1.配方转化策略对于能够化为形如y = a sin x + b sin x + c或y = a cos x +b cos x + c的三角函数最值问题，可以将其看作是sin x或cosx的二次函数最值问题，常常利用配方转化策略来解决。

例如，对于函数y = 5 sin x + cos 2x的最值问题，可以将其转化为y = -2 sin x + 5 sin x + 1，然后利用sin x的范围[-1.1]求得最小值为-6，最大值为4.2.有界转化策略对于能够通过变形化为形如y = A sin(ωx + φ)等形式的三角函数，可以利用其有界性来求解最值。

这是常用的求解三角函数最值问题的策略之一。

3.单调性转化策略借助函数单调性是求解函数最值问题常用的一种转化策略。

对于三角函数来说，常常是先化为y = A sin(ωx + φ) + k的形式，然后利用三角函数的单调性求解。

4.导数法对于一些较为复杂的三角函数最值问题，可以利用导数法求解。

通过对函数求导，找到其临界点，然后比较临界点和函数在端点处的取值，即可求得函数的最值。

在求解三角函数最值问题时，需要注意将三角函数准确变形为sin x或cos x的二次函数的形式，正确配方，并把握sinx或cos x的范围，以防止出错。

1，即y=−x+2设点P的坐标为(x,y)，则y−0=y−yPx−2=x−xP解得xP=cosx，yP=sinx代入直线方程得y=−(cosx−2)+2=4−cosx所以y的最小值为3，当x=π/2时取到最小值。

答案]3。

三角函数最值的特征解法

三角函数最值的特征解法三角函数是高中数学中非常重要的内容之一，涉及到三角函数的最值问题是解析几何中非常经典的问题，也是数学中的一个重要研究方向之一、三角函数的最值问题可以用几何方法解决，也可以通过数学分析的方法解决。

几何方法解决三角函数最值问题：一、用三角形的面积求解：对于给定的三角形ABC，若要求最大值或最小值，则把三角形的三个顶点坐标x,y表示成已知直角边x与角度的函数形式（坐标x=af(θ),坐标y=bg(θ)），作直角坐标中的参数方程，然后求它的面积。

一般地，对于三角形的最大或最小面积问题，以到形如y=af(x)与y=bg(x)的直线为直角边的直角三角形的面积最小或最大。

这只是抛物线和双曲线的纵坐标当作已知直角边进行求解的特例。

二、利用三角形的性质求解：对于给定的三角形ABC，已知ΔABC正弦的值，即sinA, sinB, sinC,则根据三角形的面积公式Δ=1/2ABSinc，我们可以求出最大或最小的三角形的面积，进而求出三角形的最值。

通过数学分析的方法解决三角函数最值问题：一、利用函数导数的零点求解：对于给定的三角函数f(x)，我们可以通过求f(x)的导数，然后求导数的零点来求解函数的极值点。

对于一个周期函数，我们只需关注一个周期内的导数的零点。

通过求解导数的零点，可以找到函数的极值点。

二、利用函数的变化趋势求解：通过观察函数的图像或者利用函数的性质，可以确定函数的最值点。

例如，对于周期函数，我们只需关注一个周期内的函数变化趋势即可。

通过观察函数的周期、周期内的对称性等特点，可以推测出函数的最值点。

三、利用辅助角的方法求解：对于给定的三角函数f(x)，复杂的问题可以通过引入辅助角来简化。

通过引入辅助角，可以将原问题转化为一个更简单的三角函数问题，从而求解函数的最值。

四、利用三角函数的周期性求解：对于三角函数的最值问题，我们可以利用函数的周期性来求解。

通过观察函数的周期，可以确定函数的最值点。

高中数学如何求解三角函数的极值和最值

高中数学如何求解三角函数的极值和最值一、引言三角函数是高中数学中的重要内容，求解三角函数的极值和最值是数学分析的基本技能之一。

本文将介绍如何通过分析和计算来求解三角函数的极值和最值，以及一些常见的解题技巧。

二、求解三角函数的极值1. 极值的定义在数学中，极值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值。

对于三角函数而言，极值点就是函数图像上的顶点或谷底。

2. 求解极值的方法（1）利用导数法求解对于一元函数，可以通过求导数来确定其极值点。

对于三角函数而言，可以先求出函数的导数，然后令导数等于零，解方程得到极值点。

例如，考虑函数f(x) = sin(x)，其导数f'(x) = cos(x)。

令f'(x) = 0，解得x = π/2 + kπ，其中k为整数。

因此，函数sin(x)在x = π/2 + kπ处取得极值。

（2）利用周期性求解由于三角函数具有周期性，可以利用周期性来求解极值。

例如，考虑函数f(x)= sin(2x)，它的周期为π。

因此，只需求解f(x)在一个周期内的极值即可。

在区间[0, π]上，函数f(x)在x = π/4处取得最大值1，而在x = 3π/4处取得最小值-1。

三、求解三角函数的最值1. 最值的定义在数学中，最值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值。

对于三角函数而言，最值点就是函数图像上的最高点或最低点。

2. 求解最值的方法（1）利用周期性求解与求解极值类似，由于三角函数具有周期性，可以利用周期性来求解最值。

例如，考虑函数f(x) = sin(x)，它的周期为2π。

因此，只需求解f(x)在一个周期内的最值即可。

在区间[0, 2π]上，函数f(x)在x = π/2处取得最大值1，而在x = 3π/2处取得最小值-1。

（2）利用函数图像求解通过观察函数的图像，可以直观地确定函数的最值点。

例如，考虑函数f(x) = cos(x)，它的图像是一条波浪线。

从图像上可以看出，函数f(x)在x = 0处取得最大值1，而在x = π处取得最小值-1。

三角函数求最值五种题型

三角函数求最值五种题型一、最值问题的一般解法：求解三角函数的最值问题可以分为以下五种题型：基本最大、基本最小、最大最小（上下界）、最大、最小。

1.基本最大：即求函数的最大值，通常通过对函数进行求导并令导数为零来求得。

这种情况下，需求导数在给定区间内的零点，并进行极值判断来确定最值。

2.基本最小：与基本最大相反，求函数的最小值，同样需要对函数进行求导并求导数为零，进行极值判断来确定最值。

3.最大最小（上下界）：在给定区间内求函数的最大最小值，需将区间的端点以及函数的驻点和不可导点的值进行比较，以确定最大最小值。

4.最大：在给定区间内寻找函数的最大值。

可以通过对函数进行求导来确定驻点和不可导点，并与区间的端点进行比较，以确定最大值。

5.最小：在给定区间内寻找函数的最小值。

同样可以通过求导来确定驻点和不可导点，并与区间的端点进行比较，以确定最小值。

二、详细解答五种题型：以下是对上述五种题型的详细解答：1.基本最大：Example 1: 求函数f(x) = sin(x)的最大值。

解：首先求得导数f'(x) = cos(x)，令cos(x) = 0，解得x = π/2 + kπ，其中k为整数。

然后对于x = π/2 + kπ，求得对应的函数值f(x) = sin(π/2 +kπ) = (-1)^k，即奇数项取最大值为1，偶数项取最小值为-1所以函数f(x) = sin(x)的最大值为12.基本最小：Example 2: 求函数f(x) = cos(x)的最小值。

解：同样求导得到f'(x) = -sin(x)，令-sin(x) = 0，解得x = kπ，其中k为整数。

然后对于x = kπ，求得对应的函数值f(x) = cos(kπ) = (-1)^k，即奇数项取最小值为-1，偶数项取最大值为1所以函数f(x) = cos(x)的最小值为-13.最大最小（上下界）：Example 3: 在区间[0, 2π]内，求函数f(x) = 2sin(x) + cos(x)的最大最小值。

三角函数最值问题求法

三角函数最值问题求法三角函数是高中数学中常见的一种函数类型，它与三角形的边长和角度之间的关系密切相关。

在解决三角函数最值的问题时，我们通常需要根据特定的条件和信息来确定函数的最大值或最小值。

下面将详细介绍三角函数最值问题的求解方法。

1.函数的定义域和值域分析：在解决三角函数最值问题之前，我们首先要对函数的定义域和值域进行分析。

不同的三角函数具有不同的定义域和值域，对于正弦函数和余弦函数，其定义域是整个实数集，值域是[-1,1]；而对于正切函数，其定义域是除去kπ（k∈Z）的全体实数，值域是整个实数集。

2.函数的周期性利用：三角函数具有周期性的特点，即对于一些三角函数f(x)，存在正整数T，使得对于任意实数x，有f(x+T)=f(x)。

利用函数的周期性特点，我们可以通过分析一个周期内的变化趋势，从而确定函数的最值。

常见的周期为π或2π。

在具体求解过程中，我们可以通过将函数的自变量进行换元，使其处于一个周期内进行分析。

3.导数的求解和极值点分析：如果一个三角函数是连续的，并且在一些区间内可导，则可以通过求导数的方法来确定指定区间上的局部最值。

我们可以通过求导数并令其等于零，求解出导数为零的点，然后通过第一、第二导数的正负性进行判断，得出函数的极值点和最值。

同时，我们还可以利用导数的符号变化来确定驻点和极值点的位置。

4.图像分析法：对于特定的三角函数问题，我们可以通过观察函数的图像来推测函数的最值。

通过绘制函数的图像，并结合定义域和值域的分析，我们可以直观地判断出函数在一些区间上的最值。

对于常见的正弦函数、余弦函数和正切函数，我们可以通过观察其图像的特点，确定函数在一个周期内的最值位置。

5.利用特殊三角函数的性质：在求解三角函数最值问题时，我们可以利用特殊的三角函数性质来进行分析。

例如，正弦函数和余弦函数在定义域内是交错递增和递减的，因此我们可以通过分析数值的正负性来确定函数在一些区间上的最值。

而正切函数在定义域上的周期是π，其在相邻两个零点之间是增函数还是减函数，从而确定函数的极值点。

初中数学如何求解三角函数的最值问题

初中数学如何求解三角函数的最值问题在三角函数中，最值问题是一个常见的问题，需要我们通过一些方法来求解。

下面将介绍如何求解三角函数的最值问题。

1. 求取最大值和最小值的方法-方法一：求导数对于一个连续可导的函数f(x)，其最大值和最小值必定出现在导数为零的点或者在导数不存在的点处。

因此，我们可以通过求取导数来求取最大值和最小值。

-方法二：区间分析法对于一个周期函数f(x)，其最大值和最小值必然出现在一个周期内的某个点上。

因此，我们可以通过区间分析法来求取最大值和最小值。

-方法三：三角函数的性质对于一些特殊的三角函数，我们可以通过观察函数图像或者利用其性质来求取最大值和最小值。

2. 求解最大值和最小值的步骤-步骤一：确定函数的定义域。

-步骤二：求导数或者利用区间分析法，找出导数为零的点或者周期内的最值点。

-步骤三：判断导数为零的点是否为局部最值点，并确定最大值和最小值。

-步骤四：检验求出的最值是否为全局最值。

3. 例题分析例1：求函数f(x)=2sin(x)-cos(x)在区间[0,2π]内的最大值和最小值。

解：首先，求出函数的导数：f'(x)=2cos(x)+sin(x)令导数为零，得到2cos(x)+sin(x)=0cos(x)=-sin(x)因此，最值点为x=π/4和5π/4。

然后，我们可以通过判断二阶导数来确定这两个点是否为函数的最值点。

f''(x)=-2sin(x)+cos(x)当x=π/4时，f''(π/4)<0，因此x=π/4为函数的最大值点；当x=5π/4时，f''(5π/4)>0，因此x=5π/4为函数的最小值点。

最终，得到f(x)在区间[0,2π]内的最大值为3，最小值为-1。

例2：求函数f(x)=cos2x+sin2x在区间[0,π/2]内的最大值和最小值。

解：由三角恒等式，cos2x+sin2x=1，因此f(x)=1。

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ｊ
ｙ＝ｔａｎｘ与ｙ＝ｃｏｔｘ在定义域内无最值。
的取值范围，也就是ｙ的取值范围。
四、利用数形结合思想
对于三角函数与常数经加、减、乘、除、乘方、开方运算所组成的
三角函数式之最值问题，教师要将其归为一次函数、二次函数、分式函数、无理函数的条件最值问题或ｘｌ，－＃Ｊ给以约束条件的最值问题。而对最值问题所附加的约束条件，题中常以三角函数的值域形式给出。
＝一
键的步骤，学生具体可考虑以下几点：（１将函数式化成ｙ＝Ａｓｉｎ＋或ｙ＝Ａｓｉｎ）形式，再利用正弦函数的有界性求出其最值；（２）通过换元，将函数解析式化成二次函数或二次方程进行求解，
学生需要注意的是，在换元后，要注意新变元的取值范围；ｆ３）将其转化为可利用不等式性质，均值不等式来求解的问题；（４）转化为可利用函数的单调性来求解的问题；ｆ５）改变主元，视函数为辅元，从而通过判别式法来分析的最值问题；ｆ６）化归为可利用几何解释
ｊ
值，则Ｍ＋ｍ等于（１
Ａ．鲁一Ｂ．一鲁一ｃ．一ｊｊ
Ｄ．一２
解析：由于ｙ＝ｃｏｓｘ的最大值与最小值分别为１，一１，所以Ｙ：
１ＣＯＳＸ－１，函数的最大值与最小值分别为一丁２４丁，一ｉＪＪｊ
ｊ
数的性质直接求出，过程如下：
ｙ＝ｓｉｎ（ａｘ＋ｑ￣），Ｙ妊＝ｌ，Ｙ最小＝一１；
ｙ＝ｃｏｓ（ａｘ＋￣ｐ），最大１，Ｙ最小＝一１；
说明：此函数式中只含有ｃｏ，而也没有区间限制，所以，根据不等式Ｉｃｏｓｘｌ ≤１，在此不等式基础上进行变形可得１ＣＯｓ一１
求解三角函数最值问题的基本思想１．教师要让学生认真观察函数式，分析其结构特征，确定类型。
一
例３．求ｙ＝
二的最大值与最小值
Ｓｌｒｌ￣－Ｚ
解析：此题除了利用三角函数的有界性求解外，还可根据函数式的特点，联想到斜率公式＝煦将原式中的ｙ看
一
综上可得学生首先可以观察到函数式的特点，不需要对
它进行什么变化，并且由于没有什么条件限制，所以，学生只须对
它分象限说明即可。三、直接运用三角函数的有界性（［ｓｉｎｘｌ ≤１，Ｉｃｏｓｘｌ ≤１）解题例２．设Ｍ和ｍ分别表示函数，，＝ＣＯＳＸ一１的最大值和最小
、
／／ ∞ ＼Ｃ二
２．学生要根据类型，适当地进行三角恒等变形或转化，这是关
作是定点Ｐ扛，ｙ）与动点Ｍ（ｓｉｎｘ，ＣＯＳＸ）连线的斜率，而动点Ｍ（ｓｉｎｘ，
ＣＯＳＸ）满足单位圆ｓｉｎ￣ｘ，ｃｏｓ￣ｘ＝ｌ，如上图所示。所以问题可转化为求定点｜口（２，２）到单位圆相切时取得的最值，由点到直线的距离得：
（４）当在第四象限时，ｙ＝－曼
－
＋旦塑＋ — 堕一十
Ｃ０一ｔａｎ
一一２
ｓｌｎ￣
－ｃｏｔ￣
体体现，在数学考试中有着很大的实际应用价值。本文介绍了几类常见类型的三角函数最值的求解方法，供学生学习参考。关键词：三角函数；数学思想；求值方法中图分类号：Ｇ６３３．６文献标识码：Ａ文章编号：１９９２ — ７７１１（２０１５）０９－０１２５三角函数将角的变化与函数值的变化紧密地联系起来。我们知道，函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质和约束关系的一种描述。由于角的变化与相应函数值的相依关系，学生可以利用函数来研究角，即利用函数思想解决三角问题。研究三角函数的最值问题，其方法与求三角函数值域的方法类似。学生可以通过三角恒等变换，使目标函数变量及函数的名称归
，
即Ｍ＋ｍ：－２
＿
，
然后利用基本函数的值域，求得原函数的最大值与最小值。另外，例如，关于他＋）型三角函数式的最值，学生可以由三角函
，
ｊ
在具体解题过程中，学生还要注意换元法的应用及定义域的限制。
＋（一４）／一２，故此题答案选Ｄ。
中孥．ｉ宰｛辅导２Ｏｌ５年９月
探究三角函数最值问题的一些求法
◎ 武志成
摘要： “ 三角函数最值问题 ” 既是对学生运用三角函数的概念、图像、性质及三角公式能力的综合考查，也是函数思想的具
来解决的问题。
４＋ｘ＿广／Ｔ
五、利用三角函数的单调性法
例４．当一１７＂ ≤ ≤ ７７＂，函数ａｆｘ）＝ｓｉｎｘ＋、／ＣＯＳＸ的最值为：（）