Fractional Fourier Transform
分数阶傅立叶变换
分数阶傅立叶变换分数阶傅立叶变换（Fractional Fourier Transform）是一种多阶数学变换，可以将一个函数的时域特征转换到频域特征，同时也具有快速的计算特性。
它能够提供更加准确的信息处理方法，能够在信号处理中有效地应用。
分数阶傅立叶变换是在标准傅立叶变换基础上进行改进，其基本思想是将原始信号的时间域特征转换到频域特征。
转换后的信号可以更好地反映信号的频率分布，并且可以更好地处理诸如正弦波、高斯函数等不同形态的信号。
分数阶傅立叶变换的基本概念是将原始信号的时域特征变换到频域特征，这样就可以有效地处理各种不同形态的信号，而不会损失信号的细节和特征。
分数阶傅立叶变换的基本原理是将一个函数的时域特征转换到频域特征。
它是由一组数学公式组成的，可以将时域信号转换为频域信号，从而使信号可以在频域进行处理。
接下来要介绍的是分数阶傅立叶变换的公式。
首先，变换的基本公式是：$$F_T (f) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i 2 \pi f t}dt $$其中，$f$为一个函数，$t$是时间坐标。
要实现分数阶傅立叶变换，需要对这个公式作出改变：$$F_T (f) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i 2 \pi f t + i \alpha}dt $$其中，$\alpha$为变换参数，可以改变信号在时域和频域之间的映射关系，从而实现对信号的更加准确处理。
另外，分数阶傅立叶变换也可以通过建立矩阵进行表示：$$F_T (f) = \frac{1}{2\pi} \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cos(2 \pi f t) dt \\ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \sin(2 \pi f t) dt\end{bmatrix} $$可以看出，分数阶傅立叶变换的矩阵表示其实就是一个二维旋转矩阵。
分数阶FOURIER变换在信号处理领域的研究进展_陶然
中国科学E辑信息科学 2006, 36(2): 113~136 113分数阶Fourier变换在信号处理领域的研究进展*陶然1**邓兵1,2王越1(1.北京理工大学电子工程系, 北京 100081; 2. 海军航空工程学院电子工程系, 烟台 264001)摘要分数阶Fourier变换是对经典Fourier变换的推广. 最早由Namias以数学形式提出, 并很快在光学领域得到了广泛应用. 而其在信号处理领域的潜力直到20世纪90年代中期才逐渐得到发掘. 尽管分数阶Fourier变换的定义式直观上看仅是chirp基分解, 而实质上分数阶Fourier变换更具有时频旋转的特性, 它是一种统一的时频变换, 随着变换阶数从0连续增长到1而展示出信号从时域逐步变化到频域的所有特征. 从信号处理的角度对分数阶Fourier变换的研究进展作全面的总结和系统的归纳, 力图将分数阶Fourier变换从定义到应用的全程都清晰地刻画出来, 既能为相关的专业研究人员提供参考, 又可以为感兴趣的读者提供入门的阶梯.关键词分数阶Fourier变换信号处理时频分析自从法国科学家Fourier在1807年为了得到热传导方程简便解法首次提出Fourier分析技术以来, Fourier变换迅速得到了广泛应用, 在科学研究与工程技术的几乎所有领域发挥着重要的作用. 但随着研究对象和研究范围的不断扩展, 也逐步暴露了Fourier变换在研究某些问题的局限性. 这种局限性主要体现在: 它是一种全局性变换, 得到的是信号的整体频谱, 因而无法表述信号的时频局部特性, 而这种特性正是非平稳信号的最根本和最关键的性质. 为了分析和处理非平稳信号, 人们提出并发展了一系列新的信号分析理论: 分数阶Fourier变换、短时Fourier变换、Wigner分布、Gabor变换、小波变换、循环统计量理论和调幅-调频信号分析等. 而分数阶Fourier变换作为Fourier变换的广义形式, 由于其独有的特点(本文后续部分将逐步展开阐述)而受到了众多科研人员的青睐, 近10年来关收稿日期: 2005-05-23; 接受日期: 2005-10-18*国家自然科学基金资助项目(批准号: 60572094)和高校青年教师奖资助项目及国家部委基金资助项目(6140445) ** E-mail: rantao@114 中国科学 E 辑 信息科学 第36卷于分数阶Fourier 变换理论与应用的研究成果层出不穷, 掀起了一个不小的高潮.1980年Namias 从特征值和特征函数的角度, 以纯数学的方式提出了分数阶Fourier 变换(fractional Fourier transform, FRFT)的概念[1], 用于微分方程求解. 其后, McBride 等用积分形式为分数阶Fourier 变换作出了更为严格的数学定义[2], 为其后从光学角度提出分数阶Fourier 变换的概念奠定了基础. 1993年Mendlovic 和Ozaktas 给出了分数阶Fourier 变换的光学实现, 并将之应用于光学信息处理[3,4]. 由于分数阶Fourier 变换采用光学设备容易实现, 所以在光学领域很快便得到了广泛应用[5]. 尽管在信号处理领域分数阶Fourier 变换具有潜在的用途, 但是由于缺乏有效的物理解释和快速算法, 使得分数阶Fourier 变换在信号处理领域迟迟未得到应有的认识. 直到1993年Almeida 指出分数阶Fourier 变换可以理解为时频平面的旋转, 1996年Ozaktas 等提出了一种计算量与FFT 相当的离散算法后, 分数阶Fourier 变换才吸引了越来越多信号处理领域学者的注意, 并出现了大量的相关研究文章. 国内开始分数阶Fourier 变换的研究并不算晚, 但是从发表的论文数量和质量来看, 尚处于起步阶段[6]. 尽管国内1996年便有过关于分数阶Fourier 变换的综述文章[7,8], 但是那时分数阶Fourier 变换在信号处理领域的潜力才刚刚得到挖掘. 而迄今国际上也未有从信号处理角度对分数阶Fourier 变换的综述. 本文的目的是总结近年来分数阶Fourier 变换在信号处理领域的研究成果, 从基础、应用基础、应用三个层面对分数阶Fourier 变换的理论体系进行阐述, 供相关研究人员参考.本文组织如下: 首先介绍了分数阶Fourier 变换的定义及其含义: 第二部分阐述了分数阶Fourier 变换的基本性质及分数阶Fourier 变换与传统时频分析工具的关系, 认为分数阶Fourier 域可以理解为一种统一的时频变换域, 并给出了其不确定性原理; 第三部分对基于分数阶Fourier 变换而定义的一些信号分析工具作了系统归纳; 第四部分给出了基于分数阶Fourier 变换的采样定理, 并总结了分数阶Fourier 变换的离散定义和算法; 有关分数阶Fourier 变换在信号处理领域中的应用放在第五部分进行阐述; 最后, 总结了全文.1 分数阶Fourier 变换定义接下来给出分数阶Fourier 变换的定义式:[]()()()(,)d ,p p p X u F x u x t K t u t +∞−∞==∫ (1)其中()()22j πcot 2csc cot , π, (,)(), 2π, (), 21π,t ut u p n K t u t u n t u n ααααδαδα−+≠=−=+=±⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ (2)第2期 陶 然等: 分数阶Fourier 变换在信号处理领域的研究进展 115其中πp α= p 为分数阶Fourier 变换的阶数, F p 表示分数阶Fourier 变换算子, 本文后续部分将沿用这种表达. 可以发现分数阶Fourier 变换以4为周期, 且当p = 4n +1 (即2ππ2n α=+)时, 分数阶Fourier 变换便成了Fourier 变换.经变量代换u =和t = (1)式可以化为[]22j cot j cot csc 22()d , π, ()()(), 2π, (), u t jut p p x t e t n X u F x u x u n x u ααααα−+∞−∞≠===−∫() 21π,n α⎧⎪⎪⎪⎨⎪=±⎪⎪⎩ (3)由(3)式可以看出分数阶Fourier 变换分解为如下三步[9]:1) 乘以chirp 信号, ()2j cot 2();t g t x t α=2) Fourier 变换(自变量存在尺度转变), ()()csc ,pX u G u α=% 其中G (u )= ()j d ;ut g t e t +∞−−∞∫3) 乘以chirp 信号, 2j cot 2()().u p pX u e X u α=% 可以发现信号()x t 存在分数阶Fourier 变换与存在Fourier 变换的条件是相同的. 也就是说, 如果()X ω存在, 则()p X u 也存在. 利用上述分解步骤, Zayed 等得到了分数阶Fourier 域的带限信号采样定理[10]; Erseghe 等基于chirp 周期(chirp-periodicity)信号将Fourier 变换所具有的时、频域连续和离散的四种对应关系推广到了时域、分数阶Fourier 域连续和离散的四种对应关系, 也同样得到了分数阶Fourier 域的带限信号采样定理[11].分数阶Fourier 变换也可以理解为chirp 基分解[9], 因为分数阶Fourier 变换的逆变换如()()()(,)d .p p p p x t F X t X u K t u u +∞−−−∞⎡⎤==⎣⎦∫ (4)可以发现()x t 由一组权系数为()p X u 的正交基函数(,)p K t u −所表征, 这些基函数是线性调频的复指数函数. 不同u 值的基函数间存在着不同的时移和相位因子 2j tan 2(,)(sec ,0).u p p K t u e K t u αα−=− (5)116 中国科学 E 辑 信息科学 第36卷2 分数阶Fourier 变换的主要性质2.1 主要性质由于分数阶Fourier 变换是Fourier 变换的推广形式, 所以Fourier 变换的大部分性质在分数阶Fourier 变换都具有相应的推广, 分数阶Fourier 变换的基本性质请参看附录A. 注意到Fourier 变换中的一个重要性质——卷积定理并没有出现在附录A 中, 这是因为该性质并不能简单地推广过来, 感兴趣的读者可以参看文献[12, 13].接下来介绍一个十分重要的性质: 分数阶Fourier 变换是角度为α的时频面旋转. 这个性质建立起分数阶Fourier 变换与时频分布间的直接联系, 并且为分数阶Fourier 域理解为一种统一的时频变换域奠定了理论基础, 同时也为分数阶Fourier 变换在信号处理领域中的应用提供了有利条件. 以Wigner 分布为例, 令R φ表征二维函数作角度为φ的顺时针旋转算子, 即[]()()cos sin sin cos ,R y t,y t ,t φωφωφφωφ=+−+(6)那么存在如下关系: ()[](),x u W t,R W t,αωω=(7) 其中()j d ,22τu p p ττW t,X t X t e τωω+∞∗−−∞⎛⎞⎛⎞=+−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∫ ()22x ττW t,x t x t ω+∞∗−∞⎛⎞⎛⎞=+−⋅⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∫ j d τe τω−分别表征(),p X u ()x t 的Wigner 分布. 类似的关系对于模糊函数、修正的短时Fourier 变换和谱图依然成立[9]. Lohmann 将(7)式作了进一步推广, 得出分数阶Fourier 变换的模平方与Radon-Wigner 变换间的关系[14]:[]()()2,x p W u X u αℜ= (8) 其中αℜ为Radon 变换算子, 表征二维函数对与t 轴夹角为π2p α=的坐标轴的积分投影算子. (8)式也可以理解为坐标旋转α 后的边缘积分, 即()()2cos sin sin cos d , π2.x p W u v ,u v v X u ϕϕϕϕϕα+∞−∞−+==+∫ (9) 既然分数阶Fourier 变换与这些常用的时频表示存在上述关系, 那么是否存在更具普遍意义的表达形式呢？令()()()d d ,x x t,f t τ,f θW ,τθξψτθτθ=−−∫∫ (10) 其中()t,f ψ为变换核, ()x W ,τθ为()x t 的Wigner 分布, ()x t,f ξ表征()x t 的Cohen 类时频分布. 那么只要变换核()t,f ψ关于原点旋转对称, 则()x t,f ξ与分数阶Fourier 变换一样, 也满足上述时频旋转关系[15]. 需要留意的是(10)式与基于模糊第2期 陶 然等: 分数阶Fourier 变换在信号处理领域的研究进展 117函数的Cohen 类时频分布定义(见(27)式)不尽相同.由上述分数阶Fourier 变换与时频分布的关系可以看出, 分数阶Fourier 变换提供了信号从时域到频域全过程的综合描述, 随着阶数从0连续增长到1, 分数阶Fourier 变换展示出信号从时域逐步变化到频域的所有变化特征(如图1). 可见, 分数阶Fourier 变换实际上体现了一种统一的时频观, 是介于时域和频域之间的信号时频分析方法, 可以为信号的时频分析提供更大的选择余地[6,16].图1 矩形脉冲信号的分数阶Fourier 变换2.2 不确定性原理既然分数阶Fourier 域是一个统一的时频变换域[17], 那么时频域的不确定性原理扩展到分数阶Fourier 域会是什么呢？利用第1节中分数阶Fourier 变换的三步分解法及传统时频域的不确定性原理, 可以得到信号的两个不同阶数分数阶Fourier 变换间不确定性原理如下: ()2221sin ,4u u αβαβΔΔ−≥(11) 其中()()2202πd ,u u u X u u γγγ+∞−∞Δ=−∫ ()202πd ,u u X u u γγ+∞−∞=∫,.γαβ= Shinde 等在(11)式的基础上, 给出了更为严格的表示[18].分数阶Fourier 域的不确定性原理. 设()x t 为具有单位能量的实信号, 则()222222sin sin sin cos cos ,44u u t t αβαβαβαβ−⎛⎞ΔΔΔ++⎜⎟Δ⎝⎠≥ (12) 其中()()220d ,t t t x t t +∞−∞Δ=−∫ ()20d ,t t x t t +∞−∞=∫ 2,u αΔ 2u βΔ如(11)式所示. 当()()214221,πt x t e σσ−= (13)118 中国科学 E 辑 信息科学 第36卷σ 为任取的实常数时, (12)式等号成立.3 分数阶算子及变换因为分数阶Fourier 变换是一种统一的时频分析方法, 可以理解为角度α 的时频面旋转, 因此依据分数阶Fourier 变换可以定义一些有用的分数阶算子和变换[19~32].3.1 分数阶算子卷积和相关是常用的两种信号处理算子, 文献[19, 20]分别从时域和变换域的角度定义了分数阶卷积和分数阶相关, 前者定义如(14)式所示[19], 适于信号检测和参数估计, 后者定义如(15)式所示[20], 适于滤波器设计、波束形成、模式识别.[]()()()[]()()()22j πcos sin j2πsin conv j πcos sin j2πsin corr ,cos d ,,cos d ,p rμr p μx y r e x μy r e x y e x μy e αααηααηαΓαμμΓημηαμ−∗−=−=−∫∫ π2,p α= (14) [][]123312conv ,,corr ,()(),,()().p p pP p p p p p P x y u F X Y u x y u F X Y u ΓΓ−∗⎡⎤=⋅⎣⎦⎡⎤=⋅⎣⎦%% (15)在时频分析理论中, 酉算子和Hermite 算子是比较重要的两类算子, 酉性是设计变换算子时经常需要考虑的要素之一, 而不同的变换域表示往往能够通过某种Hermite 算子联系起来, 因此, 推导分数阶酉算子和Hermite 算子也吸引了人们的浓厚兴趣. 基于时移算子和频移算子的概念(这是两种基本的酉算子), Akay 定义了分数阶位移算子,,τT φ 即分数阶酉算子[21], 如[]()()2j πcos sin j2πsin cos τt τ,τT x t x t e φφφφτφ−+=− (16) 所示. 然后利用Stone’s Theorem 可以得到分数阶Hermite 算子, 如[]()()()j d cos sin 2πd Z x t tx t x t tφφφ−=+⋅ (17) 所示.分数阶酉算子,τT φ对信号的作用既有时移分量cos ,τφ 又有频移分量sin ,τφ 它是将信号在时频平面上沿着角度为φ的轴移动径向距离,τ 所以将之称为分数阶位移算子. 它与分数阶Fourier 变换的关系, 如(18)式所示, 可以看出信号范数保持不变. 对比(14)和(16)式不难发现, (14)式所定义的分数阶卷积和分数阶相关与算子,τT φ的关系如(19)式所示, 这个关系将在第5节应用部分的一种无源雷达动目标检测新算法中用到.第2期 陶 然等: 分数阶Fourier 变换在信号处理领域的研究进展 119[]()[]()[]()[]()j2π11,,u p ,τp p ,τp F T x u e F x u F T x u F x u τφφτ−++==− π2,p φ= (18) []()[]()[]*conv 2corr ,,(),,,(),p ,τp ,τx y r x T F y u x y x T y u φφΓΓη⎡⎤=⎣⎦= π2,p φ= (19)(19)式中符号,⋅⋅表示内积.3.2 分数阶变换本节所研究的分数阶变换是指基于分数阶Fourier 变换而定义的一些信号分析工具, 主要包含两大类, 一类是利用分数阶Fourier 变换是Fourier 变换的广义形式, 而将原来基于Fourier 变换的信号分析工具作了相应的推广; 另一类是利用分数阶Fourier 变换的时频旋转性质来设计新的时频分析工具. 接下来对主要的分数阶变换做了总结, 阐述了其各自的特点和优势.3.2.1 基于Fourier 变换的广义形式Hilbert 变换是一种重要的信号处理工具, 已经在通信调制、图像边缘检测等领域得到了广泛应用. 通过将Hilbert 变换的频域传递函数推广到分数阶Fourier 域, 便得到了分数阶Hilbert 变换[22]:[]()Hil (),p p p P x t F X H t Γ−⎡⎤=⋅⎣⎦ (20) 其中Hil p Γ为p 阶分数阶Hilbert 变换算子, j π2j π2, 0 (). , 0p P p e u H u eu −⎧⎪=⎨<⎪⎩≥ 其实质仍然是对负谱的抑制, 只是谱由频谱扩展为分数阶Fourier 谱. 在此基础上, Pei 利用分数阶Fourier 变换的特征分解型离散算法给出了分数阶Hilbert 变换的一种离散表达形式[23], 并对数字图像的边缘检测做了仿真验证. 在文献[24]中, 有关分数阶Hilbert 变换器的设计和应用问题得到了进一步的探讨, 提出了多种FIR 和IIR 分数阶Hilbert 变换器的设计方法, 并基于分数阶Hilbert 变换对信号分数阶Fourier 变换负谱分量的抑制, 提出了一种单边带(SSB)通信系统, 利用分数阶Hilbert 变换的变换阶数作为解调密钥来实现安全通信.正弦变换、余弦变换和Hartley 变换都属于酉变换, 已经在图像压缩和自适应滤波方面得到了广泛应用, 利用它们与Fourier 变换的关系, 我们可以得到分数阶的正弦变换、余弦变换和Hartley 变换[6,25]. 需要注意的是: 第一, 与分数阶Fourier 变换周期为4不同, 分数阶正弦变换、余弦变换和Hartley 变换的周期都是2; 第二, 分数阶正弦变换没有偶特征函数, 而分数阶余弦变换没有奇特征函数, 因此, 最好用分数阶正弦变换来处理奇函数, 而用分数阶余弦变换来处理偶函数.120 中国科学 E 辑 信息科学 第36卷[]()[]()[]()()j π21,2p p p p S x u e F x u F x u =−− (21) []()[]()[]()()1,2p p p C x u F x u F x u =+− (22) []()[]()[]()j πj π2211,22p p p p p e e Ψx u F x u F x u +−=+− (23),p S ,p C p Ψ依次表示分数阶的正弦变换、余弦变换和Hartley 变换算子.短时Fourier 变换和模糊函数是比较常用的两种时频工具, 通过对定义式进行直观的替换, 我们就得到了两种新的时频工具[26,27], 如(24)和(25)式所示, 本文中称之为短时分数阶Fourier 变换和分数阶模糊函数, 两者都适于处理多项式相位信号. 其中, 分数阶模糊函数对三次相位信息十分敏感, 在某阶分数阶Fourier 域三次相位信息将形成一个冲激[27], 而短时分数阶Fourier 变换是线性变换, 没有交叉项, 且不会对原时频结构在解线调时产生压缩扭曲, 因此, 适于解析信号的时频结构. 但前提条件是信号局部需要相似于chirp 信号, 这个问题在一定程度上可以通过选择合适的窗函数来解决.[]()()()()()()()()()S I ,d ,p p p ST x t,u X t,u F x w t t,u x t F X t,u w t t t,t t σσ∗−⎡⎤==⋅−⎣⎦′′′=⋅−⎡⎤⎣⎦∫ ()()S I d 1,w t w t t ∗=∫ (24) []()(,)d ,22p p ττAF x u,τx t x t K t u t +∞∗−∞⎛⎞⎛⎞=+−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∫ (25) (24)式给出了短时分数阶Fourier 正变换和反变换及完全重构条件表达式, p ST 表示短时分数阶Fourier 变换算子. (25)式是分数阶模糊函数的定义式, (,)p K t u 是分数阶Fourier 变换核.3.2.2 基于时频旋转性质Alieva 等人利用分数阶Fourier 变换的时频旋转性对传统二次型时频工具(Cohen 类时频分布和S 法时频分布[28])的核函数作时频旋转来减少交叉项而极少降低自项的聚集性[29,30]. 实质上他们所做的努力就是确定合适的分数阶Fourier 域使得信号的分数阶Fourier 谱宽度最小, 再在该域上用传统的二次型时频工具进行分析就能够在一定程度上减少交叉项而不怎么损失自项聚集性. 仿真结果来看, 时频旋转S 法时频分布[30]的效果要好于时频旋转Cohen 类时频分布[29], 且都好于相应的不旋转的结果. 但是, 如果信号没有明显的谱聚集分数阶Fourier 域或存在不止一个这样的分数阶Fourier 域, 那么, 时频旋转所获得的好处将极为有限. 此外, 为了确定分数阶Fourier 谱聚集域的阶数ˆ,p他们提出了一种基于分数第2期 陶 然等: 分数阶Fourier 变换在信号处理领域的研究进展 121阶Fourier 变换二阶矩极值点的方法, 对分数阶Fourier 变换二阶矩以阶数p 求一次导的零值来确定ˆp[29]:()()0.501012ˆtan π,w w w p w w −+=− (26)[]()2222010ππ()d cos sin sin π,22p p p p w F x u u u w w p μ+∞−∞⎛⎞⎛⎞==++⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∫ (27) 其中p w 表示p 阶分数阶Fourier 变换二阶矩, p μ表示p 阶分数阶Fourier 变换二阶中心矩[29]. 从(27)式不难看出, 对p w 求一次导, 并令其等于零, 再将(27)式中0.5p =所得到的()00.5012w w w μ=−+代入, 我们便得到了ˆp如(26)式. 通过比较()ˆcos πp和10μμ−的符号可以确定ˆp 阶分数阶Fourier 域是谱聚集域还是谱发散域[30].利用(8)式所展示的分数阶Fourier 变换与Radon-Wigner 变换间的关系, 容易想到: 当Wigner 分布不好直接求取时, 通过对信号的分数阶Fourier 变换做逆Radon 变换就可能成为分析信号时频结构的一种有效方法. Zhang 等就对该问 题作了仔细研究, 提出了一种新的时频分析方法——TTFT(tomography time-fre- quency transform), 并通过分数阶Fourier 域的自适应滤波来抑制交叉项[31].自适应信号扩展是把信号扩展到一组有限的、具有较好时频局部化的基函数上. 该方法具有较好的时频分辨率, 且无窗效应、交叉项干扰. 文献[32]研究了以Gauss 函数的分数阶Fourier 变换为基函数的信号扩展方法, 之所以选择Gauss 函数, 是因为它可以满足时-频域不确定性原理的边界条件(时宽带宽积最小). 而分数阶Fourier 变换的介入, 可以通过阶数的变化使得基函数的选择更为灵活, 也就能够更为准确地描述信号的时频特征.时频分布所希望的数学性质之一就是边缘特性, Xia 将(9)式定义为广义边缘特性, 并推导了相应具有广义边缘特性的Cohen 类时频分布(如(28)式所示)的充要条件为: 任取实数τ, 均有()sin cos 1.τ,τψϕϕ−= 显而易见, 传统的时域、频域边缘特性就成为了广义边缘特性0,π2ϕ=的两个特例, 而Wigner-Ville 分布满足所有角度的广义边缘特性. 需要满足的广义边缘特性越多, 则对核函数的选择限制越多, 极限情况下的核函数是1, 所得到的分布就是Wigner-Ville 分布. 依据上述充要条件, 不难得到满足角度,1,2,,k k N ϕ=L 的广义边缘特性的Cohen 类时频分布, 限于篇幅, 本文不再一一列出, 感兴趣的读者可以查阅文献[33].()()()()j2πd d ,t ντf x z νt,f τ,A τ,e τξψνντν−+=∫∫ (28) 其中()z A τ,ν表示模糊函数, ()τ,ψν为核函数.122 中国科学 E 辑 信息科学 第36卷4 离散分数阶Fourier 变换随着数字信号处理在工程应用中的蓬勃发展, 采样和离散算法已经成为了分数阶Fourier 变换应用于工程实践中一个难以回避的问题.4.1 分数阶Fourier 域的采样定理[34]设模拟信号()x t 被一冲激脉冲串以采样周期s T 均匀采样, 则()()(),s s n x t x t t nT δ+∞=−∞=−∑ (29)22cot cot j j 2212πsin []()(),u u p s p s n F x t e X u e u n T T αααδ+∞−=−∞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=∗−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠∑ (30) 其中∗表示卷积算子, π2.p α= 由(30)式可以看到, 在分数阶Fourier 域上, 2cot j 2()u p X u e α−以周期2πsin s T α延拓. 如果信号()x t 是分数阶Fourier 域上的带限信号, 即,,l h ΩΩ∃ 且0l h ΩΩ<≤使得()0,p X u = h u Ω> 或 .l u Ω< (31) 那么就能在1int h l N ΩΩ⎛⎞⎜⎟⎝⎠≤≤范围内选择到合适的N , ()int ⋅表示取整, 使得下式成立:2πsin 2,h s N T αΩ≥ ()2πsin 12.l s N T αΩ−≤ (32) 这样采样后信号的分数阶Fourier 谱就不会发生混叠。
傅里叶变换在信号处理中的应用
傅里叶变换在信号处理中的应用姓名董柱班级电气工程及其自动化学号1109141013摘要：傅里叶变换是一种特殊的积分变换。
通过傅里叶变换把信号的从时域变换到频域研究，采用频域法较之经典时域的方法有很多突出的优点，虽然傅里叶分析不是信息科学与技术领域中唯一的变换域方法，但是不得不承认，在此领域中，傅里叶变换分析始终有着广泛的应用，通过傅里叶变换实现信号的滤波，调制，抽样是傅里叶变换在信号处理中最主要的作用。
通过对信号的调制可以将信号的低频成分调制到高频，实现频谱搬移，减少马间串扰，提高抗噪声新能，有利于信号的远距离传输，另外，对信号采样可以使连续信号离散化，有利于用计算机对信号进行处理，总之，傅里叶变换在信号处理中有着非常重要的作用。
傅里叶变换是学习其他频域变换的基础。
关键词：傅里叶变换，时域，频域，信号处理，信息科学与技术，滤波，调制，抽样。
一傅里叶变换1.定义f(t）是t的函数，如果t满足狄里赫莱条件：具有有限个间断点；具有有限个极值点；绝对可积。
则有下图①式成立。
称为积分运算f(t）的傅立叶变换，②式的积分运算叫做F（ω）的傅立叶逆变换。
F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做F（ω）的像原函数。
F（ω）是f(t）的像。
f(t）是F（ω）原像。
①傅里叶变换傅里叶逆变换2.分类连续傅立叶变换：一般情况下，若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅立叶变换”。
“连续傅立叶变换”将平方可积的函数f(t) 表示成复指数函数的积分或级数形式。
f(t) = \mathcal^[F（ω）] = \frac{\sqrt{2π}}\int\limits_{-\infty}^\infty F（ω）e^{iωt}\,dω.上式其实表示的是连续傅立叶变换的逆变换，即将时间域的函数f(t）表示为频率域的函数F（ω）的积分。
反过来，其正变换恰好是将频率域的函数F（ω）表示为时间域的函数f(t）的积分形式。
matlab 分数阶傅里叶变换
matlab 分数阶傅里叶变换摘要：一、分数阶傅里叶变换介绍1.分数阶傅里叶变换的定义2.分数阶傅里叶变换与传统傅里叶变换的区别二、MATLAB 中实现分数阶傅里叶变换1.使用MATLAB 实现分数阶傅里叶变换的函数2.函数的参数及其意义3.分数阶傅里叶变换的实例三、分数阶傅里叶变换的应用1.分数阶傅里叶变换在信号处理中的应用2.分数阶傅里叶变换在图像处理中的应用正文：一、分数阶傅里叶变换介绍分数阶傅里叶变换（Fractional Fourier Transform，FRFT）是一种在频域上对信号进行操作的数学技术。
与传统的傅里叶变换（Fourier Transform，FT）相比，分数阶傅里叶变换可以更好地处理非周期性的信号。
它能够将一个信号分解为不同频率、不同相位的正弦和余弦波的叠加，从而更好地分析和处理信号。
分数阶傅里叶变换与传统傅里叶变换的主要区别在于，分数阶傅里叶变换允许频域上的分辨率比时间域上的分辨率更高。
这意味着，在进行分数阶傅里叶变换时，我们可以更精确地分析信号的频率成分。
二、MATLAB 中实现分数阶傅里叶变换在MATLAB 中，可以使用`fft`函数实现分数阶傅里叶变换。
`fft`函数的调用形式为：```matlabY = fft(x, N, M)```其中，`x`是需要进行分数阶傅里叶变换的信号，`N`是信号的长度，`M`是分数阶数。
例如，我们有一个长度为10 的信号`x`，想要对其进行分数阶傅里叶变换，分数阶数为2，可以按照如下方式进行操作：```matlabx = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10];= length(x);M = 2;Y = fft(x, N, M);```三、分数阶傅里叶变换的应用分数阶傅里叶变换在信号处理和图像处理领域有着广泛的应用。
在信号处理领域，分数阶傅里叶变换可以用于音频信号的分析和处理，提高音频信号的质量。
分数阶傅里叶变换
分数阶傅里叶变换
分数阶傅里叶变换（Fractional Fourier Transform，简称FrFT）是傅里叶变换（FFT）的一种变体，主要用于信号和图像的处理和分析，它能够重构信号或图像的频域特征。
跟FFT相比，它可以提供更多的
频域参数，它的使用可以减少信号、图像的处理的时间，提高处理的
速度。
分数阶傅里叶变换的原理是将时域信号和图像通过一定的欧拉角
旋转轴系变换到频域进行处理，此处欧拉角旋转轴系是指改变时域变
量t的旋转角度ω，表示为比率α。
对于某一序列的信号变换到频域，则可以写为：F(ω,α)=Ft(Aw，αω)。
当把FFT的轴系旋转，会到达一个新的傅里叶变换领域，可以构
建分数阶傅里叶变换。
分数阶傅里叶变换的关键参数是α ，α由下
式给出：（ω，α）=（t，αt）。
α参数越大，则傅里叶变换域的
缩放程度也就越大，即改变FFT轴系旋转的程度越大，最终能够把信
号变换到一个更大更远的领域，例如远离原点的时域。
分数阶傅里叶变换的基本运算是通过一组定义的参数，前面已介
绍的α的参数就是其中的关键参数，所有的运算都由这个参数决定，
而信号或图像则由傅里叶变换的子函数来完成变换。
分数阶傅里叶变换过程分为5步：第一步，先检查信号的长度；第二步，根据前面定义的α参数，计算轴系旋转的角度θ；第三步，在频域求解零级子函数来提取信号或图像的特征；第四步，计算转换后的特征值；第五步，对其进行融合，降低噪声等。
分数阶傅里叶变换用在信号和图像处理当中，有着很多应用，例如图像检测、图像压缩等，它能够提高处理效率，减少计算任务的复杂度，同时提供更多的频域参数来进行分析和处理。
傅里叶变换
Fractional Fourier Series Expansion forFinite Signals and Dual Extension toDiscrete-Time Fractional Fourier TransformSoo-Chang Pei,Min-Hung Yeh,and Tzyy-Liang Luo Abstract—Conventional Fourier analysis has many schemes for dif-ferent types of signals.They are Fourier transform(FT),Fourier series (FS),discrete-time Fourier transform(DTFT),and discrete Fourier trans-form(DFT).The goal of this correspondence is to develop two absent schemes of fractional Fourier analysis methods.The proposed methods are fractional Fourier series(FRFS)and discrete-time fractional Fourier transform(DTFRFT),and they are the generalizations of Fourier series (FS)and discrete-time Fourier transform(DTFT),respectively.Index Terms—Discrete-time fractional Fourier transform,fractional Fourier series.I.I NTRODUCTIONThe conventional Fourier analysis can obtain the frequency compo-nents of a signal[1],[2],and the fractional Fourier analysis can reveal the mixed time and frequency components of signals[3].Until now, fractional Fourier analysis has only two schemes to deal with different types of signals.The existing schemes are fractional Fourier transform (FRFT)and discrete fractional Fourier transform(DFRFT)[4],[5]. They can be used for the continuous and discrete signals,and their results are continuous and discrete,respectively.Until now,several methods for computing the DFRFT of signal have been proposed[4], [5].The method developed in[5]cannot provide a result to match its continuous corresponding case.A rigorous discussion for the mismatches of[5]has been presented in[6].In this correspondence, we will use the DFRFT in[4]for the further discussions.II.R EVIEW OF THE F RACTIONAL F OURIER T RANSFORMThe transform kernel of the continuous fractional Fourier transform (FRFT)is defined as follows[3]:K (t;u)=TABLE IP ROPERTIES OFFRFSFrom (11),it can be observed that every basis signal is a chirp signal with chirp rate (0cot ):The interpretation of the FRFS expansion for a finite signal is that the latter is decomposed in terms of its chirp harmonics.The well-known Fourier series (FS)is just a special case of FRFS for the case =( =2),and the basis signals of FS are sinusoids harmonics that are horizontal lines in the time–frequency plane.Thus,the FRFS expansion of the finite signal x (t )can be written asx (t )=1n =01C;n=2)cot +jnt (2 =T )t 2(12)where C ;n are called FRFS expansion coefficients with the parameter :The FRFS expansion coefficients are computed by the inner product of the signal and chirp basis signals.C ;n=sin 0j cosT=2)cot 0jnt (2 =T )dt:(13)The FRFS expansion can be used to represent an aperiodic signal x (t )on a finite interval,say,[0(T=2);(T=2)]:The properties of FRFS are shown in Table I.From Table I,it follows that the FRFS has similar properties as those of FRFT,but the shift and modulation properties of FS and FRFS are summarized in Table III with some constraints.It has been proved in Appendix A that the expansion coefficients of FRFS can be obtained from the sampled values of FRFT of x (t )C ;n=(14)where C ;n are FRFS expansion coefficients of the signal x (t ):X (1)is the FRFT of the signal x (t ):From (14),we know that the samplinginterval depends on as well as T:When the computing interval of FRFS approaches infinity,the sampling spacing of FRFS coefficients will also approach zero.Therefore,the FRFS will converge to the FRFT while the computing interval T approaches infinity.Example 1:In this example,we compute the FRFS coefficients for the chirp signal (x (t )=e 0jtwill become an ideal impulse for the specificangle tan 01(1=2c )[3],[10],[11].In the FRFS expansion case,the finite chirp signal e 0jctTj r (t )j 2dtT s 21T s 2T =20(T =2);m (t ) 3;n (t )dt=12e j (((nt 0(mt =2)cotT csc2;when m =n1j 2 (m 0n )t 0e j (((nt0(mt=2)cote 0j (m 0n )tT csc01g ;when m =n(9)generalization of DTFT,which is discrete-time fractional Fourier transform (DTFRFT).The discrete signal x [n ]is sampled from the bandlimited signal x (t )by sampling rate T s :In the development of DTFRFT,the roles of time and frequency axis of FRFS are interchanged to define the DTFRFT.It means that the discrete samples in the time domain are treated as the FRFS coefficients in the frequency domain.The FRFS expansion for the spectrum X (0 )with the parameter (( =2)+ )is performed.This concept is illustrated in Fig.3.The choice of spectrum is X (0 )rather than X ( )because the FRFS expansion of X (0 )with positive angular parameter (( =2)+ )can attach the DTFRFT solution.By (12),the spectrum of discrete sampled signal can be expanded as in (19),shown at the bottom of the page.The FRFS expansion coefficients can be computed by (13)so that they can be obtained as D [n ]=C ( =2)+ ;n=T s2(cos +j sin )2e 0j (( Tcosd(20)=T s 2T =2)sin cos11=T)1e 0j ( (k 0n )d (21)=T s2=2)sin cos110erf +erf=2)cot(23)where the function erf (1)is the well-known error function [12].erf (t )=2pj cot 2pcos e j (nk =01D [k ]0(n;k;0 )(25)where the auxiliary function 0(n;k; )has been defined in (23).From (25),it can be found that the original signal can be recovered from a DTFRFT with the angular parameter (0 ):Like in the FRFS case,the results of DTFRFT will approach FRFT while the sampling period T s approaches zero,and the result of DTFRFT can be obtained from the sampled values of FRFT.D [n ]=pT s cos X (nT s cos )(26)where X (1)is the FRFT of the presampled signal x (t )with the angular parameter :From (26),it can be observed that sampling spacing of DTFRFT will become smaller as the angular parameter approaches (m +( =2)),where m is an integer.If the parameter equals (m +( =2)),the sampling spacing of DTFRFT will become zero.This matches the well-known result that the output of DTFRFT is a continuous function.The properties of DTFRFT listed in Table II are similar to those of FRFS,and only the angular parameter should be changed.Similar to the FRFS case,the modulation and shift properties of DTFRFT are also with some constraints,and the constraints are also summarized in Table III.Table IV illustrates the signal types of different fractional Fourier schemes that have been developed to date.The last column in Table IV shows the types of conventional Fourier schemes.Among the four conventional schemes,the Fourier transform (FT)is the original method.The FS and DTFT have been discussed in the previous sections.The motivation of the DFT comes from the fact that the Fourier transform of a sampled and periodic signal will result in a sampled and periodic spectrum [1].Therefore,the types of the original signal and transforms for DFT are both discrete and periodic.The type of DTFRFT adopted here is discrete and aperiodic in the fractional Fourier domains (0< < =2):Someone may have a motivation of DTFRFT from the FRFT of x (t )F (x (t ))=F:(27)X (0 )=1sin+j cos 2 =T s1e 0j (()sin(( =2)+ )])=1cos 0j sin 2 =T sej ((cos ):(19)(a)(b)(c)Fig.1.(a)Finite chirp signal(x(t)=e0jtTABLE IVT YPES OF S IGNALS P ROCESSED BY THE D IFFERENT F RACTIONAL SCHEMESThe above definition has the continuous output in fractional Fourierdomain,but it cannot have good boundary conditions for the case 0:Therefore,the type of DTFRFT adopted in this paper is discrete,aperiodic,and infinite in the fractional Fourier domain.Moreover,the spacing of DTFRFT in the fractional Fourier domain is (T s cos ):If ( =m + =2),the spacing of DTFRFT will become zero,and the DTFRFT will be reduced to the conventional DTFT.About the FRFS case,the spacing is (2 sin =T ),and it will become zero while ( =m ):Thus,a continuous signal will be obtained.Moreover,the last row in Table IV presents the data type of the discrete fractional Fourier transform (DFRFT).Although this scheme is not discussed in detail in this correspondence,we still describe its signal types in Table IV.V.C ONCLUSIONFrom the above discussion,several conclusions can be made.First,FRFS is a generalization of FS,and it can reveal the mixed time and frequency components of signals.The FRFS expansion coefficients are the sampled values of FRFT.The envelope of FRFS coefficients will have a closer spacing as the computing interval increases.The FRFS will converge to FRFT when the computing interval T approaches infinity.Second,the generalization of DTFT (DTFRFT)can be obtained through the dual extension of FRFS.The DFRFT can provide a method for computing the fractional Fourier transform for discrete signals.With the help of the algorithm of DTFRFT,the fractional Fourier analysis for discrete signals can be realized.A PPENDIX AThe FRFS coefficients of x (t )can be computed asC ;n=101~x (t )~ 3 ;n (t )dt(A1.1)=+(nt=2)cot 0jnt101x (~t)e j ((~t )=2)cot 0jt ~tcsc d ~t:(A1.3)From the definition of FRFT,we can obtain the FRFT of the signal x (t )X (w )=+ws n 0j c o sT E (n t 0)=n =01n =01E (n t 0)+(n t =2)c o t +jntn =01E (nt 0)e 0j ((t)t csc=csc21)t csc1t 0(A1.6)where t 0=2 sin =T:t 0!0as T !1,and the right side of (A1.6)becomes an integral.A PPENDIX BIn this Appendix,we will prove (22).To begin with,we compute the integral in(22).(k 0n )d=02 Tt(k 0n )cot ]j (tan =2)[ 0T s (k 0n )cot ]:dy==T)e 0j ((k 0n )d=e j (T=2)(k 0n )2cotjj tan 2(A2.4)b=(A2.5)Using the definition of error function,we can further computeintegrationas(k 0n )d=p2e j (T =2)(k 0n )2cotj [erf (b )0erf (a )](A2.6)=p2ej (T =2)(k 0n )2cotj [erf (0b )0erf (0a )](A2.7)=p2where 0(n;k; )has been defined in (23).We can conclude the results of (21)and (A2.8)to obtain the following equations:D [n ]=T s2T 2)sin cos11=T)1e 0j ( (k 0n )d (A2.9)=T s 2T 2)sin cos1p210j cot 2 pcos e 0j (nk =01x [k ]0(n;k; ):(A2.11)Equation (22)has been proved.R EFERENCES[1] A.V.Oppenheim and A.S.Willsky,Signals and Systems .EnglewoodCliffs,NJ:Prentice-Hall,1983.[2] A.V.Oppenheim and R.W.Schafer,Discrete-Time Signal Processing .Englewood Cliffs,NJ:Prentice-Hall,1989.[3]L.B.Almeida,“The fractional Fourier transform and time-frequencyrepresentation,”IEEE Trans.Signal Processing ,vol.42,pp.3084–3091,Nov.1994.[4]S.C.Pei and M.H.Yeh,“Improved discrete fractional Fourier trans-form,”Opt.Lett.,vol.22,pp.1047–1049,July 15,1997.[5] B.Santhanam and J.H.McClellan,“The discrete rotational Fouriertransform,”IEEE Trans.Signal Processing ,vol.42,pp.994–998,Apr.1996.[6]H.M.Ozaktas,O.Arikan,A.Kutay,and G.Bozdagi,“Digital computa-tion of the fractional Fourier transform,”IEEE Trans.Signal Processing ,vol.44,pp.2141–2150,Sept.1996.[7]H.M.Ozaktas,“Fractional Fourier domains,”Signal Process.,vol.46,pp.119–124,1995.[8]M.A.Kutay,H.M.Ozaktas,L.Onural,and O.Arikan,“Optimalfiltering in fractional Fourier domains,”in Proc.IEEE Int.Conf.Acoust.Speech,Signal Processing ,Detroit,MI,1995,pp.937–940.[9] A.W.Lohmann,“Image rotation,Wigner rotation,and the fractionalFourier transform,”J.Opt.Soc.Amer.A ,vol.10,pp.2181–2186,1993.[10]H.M.Ozaktas,B.Barshan,D.Mendlovic,and L.Onural,“Convolution,filtering,and multiplexing in fractional Fourier domains and their relation to chirp and wavelet transforms,”J.Opt.Soc.Amer.A ,vol.11,pp.547–560,1994.[11]R.G.Dorsch,A.W.Lohmann,Y.Bitran,and D.Mendlovic,“Chirpfiltering in the fractional Fourier domain,”Appl.Opt.,vol.33,pp.7599–7602,1994.[12]M.Abramowitz and I.A.Stegun,Handbook of Mathematical Functions,With Formula,Graphs and Mathematical Tables .New York:Dover,1965.Novel Interpretation of the Pencil-of-FunctionsApproximation/Identification MethodPascale Br´e honnet,Riwal Morvan,Pierre Vilb´e ,and L´e on-Claude CalvezAbstract—Jain’s pencil-of-functions method based on the linear depen-dence/independence of a set of functions is revisited.It is shown thatno matter what model order is chosen,every estimated denominator coefficient may be regarded as the geometric mean of two values obtained in a least-squares sense.Index Terms—Gram matrix,identification,least-squares approxima-tion,modeling,Pencil-of-Functions,pole estimation.I.I NTRODUCTIONSince the pioneering work of [1],[2],generalized in [3],Jain’s pencil-of-functions (POF)method of approximation/identification has received considerable attention.The resulting noniterative closed-form solution gives accurate results despite not requiring any prior estimates.Pole-zero modeling of signals,such as an electromagnetic-scatterer response,is considered in [4]and [5]while constructing reduced-order models of a given original system,and related topics are considered in [6]–[9].In the particular noise-free case and when the system order n is correctly chosen (equal to its true value n 0),it has been shown [10]that the POF method minimizes a weighted version of the equation error.However,a correct choice of the system order is an essential restriction for this property to hold and,as far as the authors are aware,there is no known optimal interpretation of the POF solution when the model order n is chosen less than the original system order n 0:It is the purpose of this correspondence to show that every coefficient of the characteristic equation produced by the POF method can be viewed as the geometric mean of two candidates,each candidate being the best coefficient in the sense of minimizing an equation error energy,no matter what model ordernt。
(整理)希尔伯特变换与傅立叶变换
在数学与信号处理的领域中，一个实数值函数的希尔伯特转换(Hilbert transform)——在此标示为——是将信号与做卷积，以得到。
因此，希尔伯特转换结果可以被解读为输入是的线性非时变系统(linear time invariant system)的输出，而此一系统的脉冲响应为。
这是一项有用的数学，用在描述一个以实数值载波做调制的信号之复数包络(complex envelope)，出现在通讯理论（应用方面的详述请见下文。
）希尔伯特转换是以著名数学家大卫·希尔伯特(David Hilbert)来命名。
希尔伯特转换定义如下：其中并考虑此积分为柯西主值(Cauchy principal value)，其避免掉在以及等处的奇点。
另外要指出的是：若，则可被定义，且属于；其中。
频率响应希尔伯特转换之频率响应由傅立叶变换给出：,其中∙是傅立叶变换，∙i (有时写作j )是虚数单位，∙是角频率，以及∙即为符号函数。
既然：,希尔伯特转换会将负频率成分偏移+90°，而正频率成分偏移−90°。
反（逆）希尔伯特转换我们也注意到：。
因此将上面方程式乘上，可得到：从中，可以看出反（逆）希尔伯特转换傅里叶变换（Fourier变换）是一种线性的积分变换。
因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。
傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学、量子力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯、金融等领域都有着广泛的应用。
例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成振幅分量和频率分量。
∙傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。
在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的[1]。
分数阶傅里叶变换的原理与应用
分数阶傅里叶变换的原理与应用分数阶傅里叶变换（Fractional Fourier Transform，简称FRFT）是一种广义的傅里叶变换方法，可以描述信号在时频域中的变换关系。
与传统的傅里叶变换相比，分数阶傅里叶变换具有更广泛的应用领域和更强大的变换能力。
本文将介绍分数阶傅里叶变换的原理及其在信号处理中的应用。
分数阶傅里叶变换的原理可以通过分数阶傅里叶变换核（Fractional Fourier Transform Kernel）来描述。
分数阶傅里叶变换核是一种特殊形式的线性空间变换核，它由角度参数α和分数阶参数β决定。
通过调整α和β的取值，可以实现对信号在时频域中的不同变换操作。
分数阶傅里叶变换可以看作是一种旋转和拉伸的变换方式。
当α=0时，分数阶傅里叶变换退化为傅里叶变换；当β=1时，分数阶傅里叶变换退化为时域的平移操作；当α和β均为分数时，分数阶傅里叶变换可以描述信号在时频域中的复杂变换关系。
分数阶傅里叶变换在信号处理中有着广泛的应用。
首先，它可以用于信号的分析和合成。
通过分数阶傅里叶变换，可以将信号从时域变换到频域，进而实现对信号的频谱分析。
同时，分数阶傅里叶变换还可以将频域的信号合成为时域的信号，从而实现信号的合成。
分数阶傅里叶变换可以用于信号的压缩和去噪。
在信号的压缩中，通过选择合适的分数阶参数β，可以实现对信号的降维压缩，从而减少存储空间和传输带宽。
在信号的去噪中，分数阶傅里叶变换可以将信号在时频域中的噪声分离出来，从而实现对噪声的去除。
分数阶傅里叶变换还可以应用于图像处理和通信系统中。
在图像处理中，分数阶傅里叶变换可以用于图像的特征提取和图像的变换操作。
在通信系统中，分数阶傅里叶变换可以用于信号的调制和解调，从而实现对信号的传输和接收。
分数阶傅里叶变换是一种重要的信号处理方法，具有广泛的应用前景。
通过对信号的分析和合成、信号的压缩和去噪，以及在图像处理和通信系统中的应用，分数阶傅里叶变换可以实现对信号在时频域中的变换和处理，从而提高信号处理的效果和性能。
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Fractional Fourier Transform
There are two sorts of transforms known as the fractional Fourier transform.
The linear fractional Fourier transform is a discrete Fourier transform in which the exponent is modified by the addition of a factor ,
However, such transforms may not be consistent with their inverses unless is an integer relatively prime to so that . Fractional fourier transforms are implemented in the Wolfram Language as Fourier[list, FourierParameters ->a, b], where is an additional scaling parameter. For example, the plots above show 2-dimensional fractional Fourier transforms of the function for parameter ranging from 1 to 6.
The quadratic fractional Fourier transform is defined in signal processing and optics. Here, the fractional powers of the ordinary Fourier transform operation correspond to rotation by angles in the time-frequency or space-frequency plane (phase space). So-called fractional Fourier domains correspond to oblique axes in the time-frequency plane, and thus the fractional Fourier transform (sometimes abbreviated FRT) is directly related to the Radon transforms of the Wigner distribution and the ambiguity function. Of particular interest from a signal processing perspective is the concept of filtering in fractional Fourier domains. Physically, the transform is intimately related to Fresnel diffraction in wave and beam propagation and to the quantum-mechanical harmonic oscillator.。