[初中数学]2010年初三数学总复习教案 人教版21

初三数学总复习教案——三角形（二）
[知识梳理]
1.等腰三角形的性质与判定
2.直角三角形的性质与判定
3、轴对称与轴对称图形
二、教学目标：
1、从应用的角度将特殊形的主要特性系统化, 为学生应用这些特性解题奠定基础。

2、通过对典型例题的解法的探讨，激活学生的解题思维，提高学生的解题水平。

三、教学重点：
掌握等腰三角形、直角三角形这两类特殊三角形的特性及应用。

四、[典型例析]
例1、已知：如图△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°。

AB边后垂直平分线交BC于D，求证：DC＝2BD 分析：由于DC，BD在同一线上欲证DC＝2BD，表面看似不易，，但题中给出AB的中垂线，则可以利用中垂线的性质，去转移等量线段。

故连结AD这样BD＝AD，证明DC＝2AD即可，而DC，AD在同一三角动中，且已知∠A ＝120°可求∠B＝∠C＝30°。

将此问题转化成含30°角的Rt△性质。

A
1
B D C
证明：连结AD
∵D在AB 垂直平分线上。

∴BD＝AD
∴∠B＝∠1
∵∠BAC＝120°AB＝AC
∴∠B＝∠C＝30°
∴∠DAC＝90°
在Rt△DAC中∠C=30°则DC=2AD
∴DC=2BD
题后反思：证明一条线段等于另一条线段的2倍，除了学用的折平法和加倍法外，还可用含有30°角的Rt△性质；三角形中们线，直角三角动斜边中线等方法，见到线段的垂直平分线，应想到利用它转移等量线段例2、如图（1）四边形ABCD中，∠A=90°，且AB2+AD2=BC2+CD2.
求证：∠B与∠D互补
（2）四边形ABCD中，∠A=90°AB=53，BC=CD=52,DA=5,求∠B与∠D互补
的度数和四边形ABCD的面积
C
D
A B
分析：（1）欲证∠B与∠D互补，只证∠A与∠C互补即可，且知∠A=90°故只证∠C=90°，根据是题没中条件，可利用勾股定理及逆定理证明之，故连结BD,构造Rt△。

(2)欲求四边形面积，可将期转化为求三角形面积，且题中∠A=90°故连结BD,构造Rt△。

利用勾股定理求出BD。

在△BCD中，再利用勾股逆定理确定△BCD为等腰Rt△.在Rt△ABC中，可利用边的特殊关系确定角。

这样（2）中问题即可求出。

（1）证明：连结BD
∵∠A=90°∴AB2+AD2=BC2+CD2.
又∵AB2+AD2=BC2+CD2. ∴BD2+BC2+CD2∴∠C=90°
在四边形ABCD中，∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°
∴∠ABC+∠ADC=360°-180°
即∠B与∠D互补
C
D 3
2
4
A 1 B
（2）连结BD
∵∠A=90°,AD=5,AB=53
∵BD=10)35(52
222=+=+AB AD ∴AD=
2
1BD ∴∠1=30° ∠2=60°
在△BCD 中 ∵BC 2
+CD 2
=(5
2
)
2+(5
2
)
2=100=102=BD 2
∴∠C=90°又BC=CD ∴△BCD 为等腰Rt △ ∴∠3=∠4=45°
∴∠ABC=45°+30°=75° ∠ADC=45°+60°=105°
S 四边形ABCD =S △ABC +S △BCD =
2
1AB ·AD+
2
1CB ·CD
=
2
1·5
3·5+
2
1·5
2·52
=25(1+
2
3) 题后反思：若题目中设及到线段平方和及直角问题，可考虑勾股（逆）定理，注意二者的区别，能灵活应用。

若知道三角形三边长时，别忘了用勾股逆定理验证一下是否为Rt △。

若为Rt △，则有关计算就简单多了。

关于不规则的多边形计算问题往往转化为三角形的相关计算，转化时注意利用期特殊的边或角。

例3、 若一等腰三角形腰长为4cm ，且腰上的高为2cm ，则等腰三角形顶角为 度 分析：此题没有给出图形，要考虑两种情况，因为高有可能做在三角形内，也有可能做在三角形外。

解：如图 若为图(1)在Rt ∆ABD 中 BD=2cm AB=4cm BD=1/2AB ∴顶角∠A=30˚
若为图(2)在Rt ∆ABD 中 BD=2cm AB=4cm ∴∠BAD=30˚ ∴顶角为150˚ ∴顶角为30˚或150˚
A
30° B
D
150° 30°
B C C A D (1) (2)
题后反思：遇三角形高线问题，若未给图形或明确要求，要考虑两种情况，而中线、内角平分线只能在三角形内。

例4、 在∆ABC 中 已知M 为BC 中点，AN 平分∠BAC BN ⊥AN 于N ，AB=10 AC=6
则MN 的长为
分析：欲求MN 的长，看起来无法直接计算，但提到中点，可联想中位线，因为AN 为角平分线，BN ⊥AN ，所以若延长BN 交AC 于D ，则可证∆AND ≌∆ABN 得BN=ND AD=AB 进而可求出DC ，而这时MN 为∆BCD ，MN=1/2CD A
1 2
N D
B M
C 解：延长BN 交AC 于D
∵AN 平分∠BAC ∴∠1=∠2 ∵BN ⊥AN ∴∠ANB=∠AND=90˚ 在∆ABN 和∆AND 中
∠1=∠2 AN=AN ∠ANB=∠AND
∴∆ABN ≌∆AND(ASA) ∴AD=AB BN=ND ∴DC=AC-AD=AC-AB=16-10=6 又∵M 为BC 中点 ∴MN=1/2DC=3
题后反思：①关于角平分线问题，常用两种辅助线； ②见中点联想中位线。

例5：如图<B=<BCD=90º AD 交BC 于E 且ED=2AC 求证：<CAD=2<DAB
分析：由于AB CD,故<D=<BAD 欲证<CAD=2<D 即可。

联想构造出以<D 为底角的等腰三角形，且这个等腰三角形与顶角相邻的外角等于<CAD,则问题就解决了。

已知ED=2AC,而AC ED 没有直接联系，可在Rt DCE 中构造斜边DE 上中线。

证明：取DE中点F 连结CF
在Rt DCE中又已知DE=2AC
∴AC=CF CF=DF
∴<1=<D <2=<CAD
<2=<1+<D=2<D
∴ <CAD=2<D
<B=<BCD=90º
∴<DAB=<D
∴AB
CD
∴<DAD=2<DAB
题后反思：本题还是体现了将分散条件集中：在中通过斜边中线构造出线段关系。

课堂练习：
例1.如图，等腰△ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形分成15和6两部分，求这个三角形的周长。

例2.如图，折叠矩形的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm,求EC的长.
例3.已知在△ABC中，∠C=90°,CD⊥AB于D，设BC=a,AC=b,AB=c，CD=h.求证：（1）c+h>a+b,(2)以a+b、h、c+h 为边的三角形是直角三角形.。