2019年中考数学复习第二部分热点专题突破专题一规律探究试题

第二部分 热点专题突破专题一 规 律 探 究数式的规律探究例1 (2018，安徽改编)观察以下等式：第1个等式：11＋02＋11×02＝1， 第2个等式：12＋13＋12×13＝1， 第3个等式：13＋24＋13×24＝1， 第4个等式：14＋35＋14×35＝1， 第5个等式：15＋46＋15×46＝1， ……按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：（ 16＋57＋16×57＝1 ）； (2)写出第n 个等式：（ 1n ＋n －1n ＋1＋1n ·n －1n ＋1＝1 ）.(用含n 的等式表示) 【解析】 (1)根据已知规律，第6个等式中的分数的分母分别为6和7，分子分别为1和5.故应填16＋57＋16×57＝1.(2)根据规律，得第n 个等式中的分数的分母分别为n 和n ＋1，分子分别为1和n －1.故应填1n ＋n －1n ＋1＋1n ·n －1n ＋1＝1. 针对训练1 (2018，随州)我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”(如1，3，6，10，…)和“正方形数”(如1，4，9，16，…)．在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m ，最大的“正方形数”为n ，则m ＋n 的值为( C )训练1题图A. 33B. 301C. 386D. 571【解析】 由图形，知第k 个“三角形数”为1＋2＋3＋…＋k ＝k （k ＋1）2，第k 个“正方形数”为k 2.当k ＝19时，k （k ＋1）2＝190＜200，当k ＝20时，k （k ＋1）2＝210＞200，所以最大的“三角形数”m ＝190.当k ＝14时，k 2＝196＜200，当k ＝15时，k 2＝225＞200，所以最大的“正方形数”n ＝196.∴m ＋n ＝386.针对训练2 (2014，河北)如图，点O ，A 在数轴上表示的数分别是0，0.1.训练2题图将线段OA 分成100等份，其分点由左向右依次为M 1，M 2，…，M 99；再将线段OM 1分成100等份，其分点由左向右依次为N 1，N 2，…，N 99；继续将线段ON 1分成100等份，其分点由左向右依次为P 1，P 2，…，P 99.则点P 37所表示的数用科学记数法表示为3.7×10－6.【解析】 由题意，得点M 1表示的数为0.1×1100＝10－3.∴点N 1表示的数为10－3×1100＝10－5.∴点P 1表示的数为10－5×1100＝10－7.∴点P 37表示的数为3.7×10－6.图形的规律探究例2 (2015，河北，导学号5892921)如图，∠BOC ＝9°，点A 在OB 上，且OA ＝1.按下列要求画图：以点A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 1，得第1条线段AA 1；再以点A 1为圆心，1为半径向右画弧交OB 于点A 2，得第2条线段A 1A 2；再以点A 2为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 3，得第3条线段A 2A 3；……这样画下去，直到得第n 条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则n ＝ 9 .例2题图【解析】 由题意，得AO ＝A 1A ，A 1A ＝A 2A 1，….∴∠AOA 1＝∠OA 1A ，∠A 1AA 2＝∠A 1A 2A ，….∵∠BOC ＝9°，∴∠A 1AA 2＝18°，∠A 2A 1A 3＝27°，∠A 3A 2A 4＝36°，∠A 4A 3A 5＝45°，…，∠A n －1A n －2A n ＝n ·9°.在△A n －1A n －2A n 中，2n ·9°<180°，解得n <10.∴n 最大取9.针对训练3 将图①所示的正六边形进行分割得到图②，再将图②中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到图③，再将图③中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割……则第n 个图形中，共有 (3n －2) 个正六边形．训练3题图【解析】 分析可得将题图①所示的正六边形进行分割得到题图②，增加了3个正六边形，共4个；再将题图②中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割得到题图③，又增加了3个正六边形，共4＋3＝7(个)．故每次分割，都增加3个正六边形．故第n 个图形中，正六边形共有1＋3(n －1)＝3n －2(个).针对训练4 (2018，保定模拟，导学号5892921)如图，△ABC 是一个边长为2的等边三角形，AD 0⊥BC ，垂足为D 0，过点D 0作D 0D 1⊥AB ，垂足为D 1，再过点D 1作D 1D 2⊥AD 0，垂足为D 2，又过点D 2作D 2D 3⊥AB ，垂足为D 3……这样一直作下去，得到一组线段：D 0D 1，D 1D 2，D 2D 3，…，则线段D 1D 2的长为（ 34 ），线段D n －1D n 的长为（ ⎝ ⎛⎭⎪⎫32n） (n 为正整数)．训练4题图【解析】 ∵△ABC 是一个边长为2的等边三角形，AD 0⊥BC ，∴BD 0＝1，∠B ＝60°.∵D 0D 1⊥AB ，∴∠D 1D 0B ＝30°.∴D 0D 1＝BD 0·cos ∠D 1D 0B ＝32.同理∠D 0D 1D 2＝30°，D 1D 2＝D 1D 0·cos ∠D 0D 1D 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝34.依此类推，线段D n －1D n 的长为⎝ ⎛⎭⎪⎫32n. 针对训练5 (2018，承德模拟，导学号5892921)如图，在矩形ABCD 中，M 为CD 的中点，连接AM ，BM ，分别取AM ，BM 的中点P ，Q ，以P ，Q 为顶点作第二个矩形PSRQ ，使S ，R 在AB 上．在矩形PSRQ 中，重复以上的步骤继续画图．若AM ⊥MB ，矩形ABCD 的周长为30.(1)CD ＝ 10 ；(2)第n 个矩形的长和宽分别是（ 10×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，5×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1 ）．训练5题图【解析】 (1)∵M 为CD 的中点，∴DM ＝MC .在矩形ABCD 中，AD ＝BC ，∠D ＝∠C ，∴△ADM ≌△BCM .∴∠DMA ＝∠CMB .∵AM ⊥MB ，∴∠DMA ＝∠CMB ＝45°.∴∠DAM ＝∠DMA ＝45°.∴AD ＝DM ＝12CD .∵矩形ABCD 的周长为30，∴CD ＝10.(2)由(1)求得第一个矩形的长为10，宽为5.∵P ，Q 分别是AM ，BM 的中点，∴之后得到的矩形长、宽和前一个矩形长、宽的比为1∶2.则可得出第n 个矩形的长和宽分别是10×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，5×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.数形结合的 规律探究例3 (2018，石家庄模拟，导学号5892921)如图，在平面直角坐标系xOy 中，若干个半径为1个单位长度，圆心角是60°的扇形按图中的方式摆放，动点K 从原点O 出发，沿着“半径OA →AB →BC →半径CD →半径DE …”的曲线运动．若点K 在线段上运动的速度为每秒1个单位长度，在弧线上运动的速度为每秒π3个单位长度，设第n s 运动到点K n (n 为自然数)，则K 3的坐标是（ ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32 ），K 2 018的坐标是 (1_009，0) ．例3题图【解析】 观察，发现规律：K 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，K 2(1，0)，K 3⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－32，K 4(2，0)，K 5⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，…，∴K 4n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋12，32，K 4n ＋2(2n ＋1，0)，K 4n ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋32，－32，K 4n ＋4(2n ＋2，0)．∵2 018＝4×504＋2，∴K 2 018的坐标为(1 009，0).针对训练6 (2018，广州，导学号5892921)在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O 出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动1 m ．其行走路线如图所示，第1次移动到点A 1，第2次移动到点A 2……第n 次移动到点A n ，则△OA 2A 2 018的面积是( A )训练6题图A. 504 m 2B. 1 0092 m 2C. 1 0112m 2 D. 1 009 m 2 【解析】 由题意，知A 2(1，1)，A 4(2，0)，A 8(4，0)，A 12(6，0)，…，∴A 4n (2n ，0)．∵2 016＝4×504，∴A 2 016(1 008，0)．∴A 2 018(1 009，1)．∴A 2A 2 018＝1 009－1＝1 008.∴02 2 18OA A S ＝12×1×1 008＝504(m 2). 针对训练7 (2018，潍坊，导学号5892921)如图，点A 1的坐标为(2，0)，过点A 1作x 轴的垂线交直线l ：y ＝3x 于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1的长为半径画弧交x 轴正半轴于点A 2；再过点A 2作x 轴的垂线交直线l 于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2的长为半径画弧交x 轴正半轴于点A 3……按此作法进行下去，则弧A 2 019B 2 018的长是（ 22 019π3 ）.训练7题图【解析】 根据已知条件可知∠A 1OB 1＝60°，点B 1的坐标为(2，23)．∵OA 2＝OB 1，∴OA 2＝22＋（23）2＝4.∴点A 2的坐标为(4，0)．利用这种方法可求得点B 2的坐标为(4，43)，故点A 3的坐标为(8，0)，B 3(8，83)．以此类推便可求出点A 2 019的坐标为(22 019，0)，则弧A 2 019B 2 018的长是60π·22 019180＝22 019π3.。