第四单元正比例关系例1
六年级数学下册《正比例和反比例》(1)
六年级数学下册《正比例和反比例》（1）一．解答题（共30小题）1．小明家的客厅长6m，宽4m，现在准备铺地砖，每块地砖的面积和所需要的地砖数量如表所示，600 1200 2400每块地砖的面积/cm2所需地砖的数量/块400 200 100所需地砖的数量与每块地砖的面积是否成反比例关系？为什么？2．根据x×y=40，填下表．y 20 40.5x 10 52.53．同学们做早操，每行站的人数与站的行数关系如表：8 12 16 24 48每行站的人数站的行数60 40 30 20 10（1）写出几组对应的行数和每行站的人数的乘积，并比较它们的大小．（2）这个乘积表示什么意义？用关系式表示它与以上两种量之间的关系．4．下列各表中相对应的两个量的比能否组成比例？如果能，把组成的比例写出来．工作时间/时 1 2碾米质量/t 0.6 1.2杆高/m 5 9影长/m 2.5 4.55．一种铅笔每支售价0.5元，把下表填写完整．数量/支0 1 2 3 4 5 6 …总价/元0 0.5 …（1）把铅笔的数量与总价所对应的点在图中描出来，并连线．（2）买7支铅笔需要多少钱？（3）小丽买铅笔花的钱是小明的4倍，小丽买的铅笔支数是小明的几倍？6．工地要运一批水泥，每天运的吨数和运的天数如下表．每天运的吨数/吨60 30 20 15 10运的天数/天 1 2 3 4 6（1）表中相关联的两种量是和．（2）每天运的吨数增加，运的天数就会；每天运的吨数减少，运的天数就会．（3）表中表示的几种量的关系是一定，与成反比例．7．如图所示的图象表示斑马和长颈鹿的奔跑情况．（1）斑马的奔跑路程与奔跑时间是否成正比例关系？长颈鹿呢？（2）估计一下，两种动物18分钟各跑了多少千米？（3）从图象上看，斑马跑的快还是长颈鹿跑的快？8．电脑兴趣小组的同学练习打同一份稿件，下表记录了每人打字所用的时间．欢欢笑笑乐乐跳跳打字所用的时间/分30 40 50 60平均每分钟打字数/80字（1）表中和是两种相关联的量，随着的变化而变化．（2）笑笑打完稿件共用了40分钟，他平均每分钟打个字；跳跳打完稿件共用了60分钟，他平均每分钟打个字，一共打了个字．（3）在本题中，一定，所以和成比例．9．捷悔希望小学操场上直立着4根不同长度的木桩，上午9时整，小霞同学测量出这些木桩的高度及其影子的长度如表木桩高度（米） 1.2 1.8 2.1 2.5影子长度（米）0.72 1.08 1.20 1.5木桩高度与影长的比（1）补充上表．（2）根据上表数据写两个比例．（3）小霞身高150厘米，这时她的影长是多少？10．（1）判断下列说法是否正确（对的画“√”，错的画“×”）①甲、乙两车是同时出发的．②甲和乙行驶的路程相同．③甲车比乙车速度快．（2）从图中可以看出，随着时间的增加，距离有什么变化？11．如图是A汽车行驶路程与耗油量的统计图：下表是B汽车行驶路程与耗油量关系表：耗油量/升3 6 9 12路程/千米20 40680如果驾驶A汽车，行驶50千米耗油多少升？12．根据题中的条件，回答下面的问题．某省打长途电话的时间与话费的对照表通话时间/分钟1 2 3 4 5 6 7 8 …话费/元0.300.60.91.21.51.82.12.4…（1）．和是两种相关联的量，增加，也随着增加．（2）．通话5分钟需付话费元，2.10元可通话分钟．（3）．话费和通话时间这两种量中相对应的两个数的比值都是，这个比值实质表示的．（4）．因为比值一定，所以表中的两种量是成的量，它们的关系叫做．13．判断下面各题中的两个量是否成正比例或反比例关系（1）全班人数一定，出勤人数与缺勤人数．（2）已知=3，y与x．（3）三角形的面积一定，它的底与高．（4）正方体的表面积与它的一个面的面积．（5）已知xy=1，y与x．（6）出油率一定，花生油的质量与花生的质量．14．购买同一种茶杯的数量和总价如表：数量/1 3 6 8 …个总价/15 45 90 120 …元用同样多的钱购买不同单价的茶杯和数量如表：单价/5 6 8 10 …元数量/24 20 15 12 …个每个表中两个量的变化各有什么规律？哪个表中的两个量成正比例关系？哪个表中的两个量成反比例关系？15．在下面成正比例关系的两个量的后面画“√”．（1）平行四边形的底一定，它的面积与高．．（2）汽车行驶的速度一定，行驶的路程与时间．．（3）正方形的面积和边长．．（4）订阅《英语报》的份数和总钱数．．（5）圆的周长和它的半径．．（6）4A=12B（A、B均不为0），A和B．．（7）圆的半径和它的面积．．（8）李玲的体重和她的身高．．16．判断下面每题中两种量是否成反比例，并说明理由．（1）比值一定，比的前项和后项．（2）被减数一定，减数和差．（3）修路的总米数一定每天修的米数和修路的天数．（4）花生的出油率一定，花生的重量和油的重量．（5）分母一定，分子和分数值．17．判断下面各题中的两种量是否成反比例关系，并说明理由（1）煤的数量一定，使用天数与每天的平均用煤量．（2）全班的人数一定，按各组人数相等的要求分组，组数与每组的人数．（3）圆柱体积一定，圆柱的底面积与高．（4）在一块菜地上种的黄瓜与西红柿的面积．（5）书的总册数一定，按各包册数相等的规定包装书，包数与每包的册数．18．如图，一个棱长为a的正方体，它的表面积与棱长是否成比例？体积与棱长是否成比例？19．x、y、z三个相关联的量，并有xy=z．（1）当z一定时，x与y成比例关系．（2）当x一定时，z与y成比例关系．（3）当y一定时，z与x成比例关系．20．判断下面各题中的两种量是否成正比例：（1）圆的周长和直径．（2）圆的面积和半径．（3）圆柱的底面半径一定，侧面积和高．21．根据表格填空：汽车行驶时间/时 3 5 7 9 11 13汽车行驶路程/千240 400 560 720 880 1040米（1）表中两种相关联的量是．（2）当时间扩大时，行驶的路程也随着；当时间缩小时，行驶的路程也随着．（3）在变化过程中，始终没有发生变化．（4）汽车行驶的时间和路程成关系．（5）当汽车行驶8时，路程是千米，汽车要到600千米的地方，需要时．22．下面各题中的量，哪些成正比例，哪些成反比例，哪些不成比例？（1）教室的面积一定，某班学生人数与人均占地面积比例．（2）大豆油的总质量一定，大豆的质量和出油率比例．（3）圆的半径和周长比例．（4）长方形的周长一定，长和宽比例．（5）一袋面粉用去的质量和剩下的质量比例．（6）长度一定的铁丝平均分成若干段，每段长度和截的段数．23．（2015•广东）一些长方形的长与宽的长度变化如下表．长/厘米 5 7.5 10 12.5 15 17.5 …宽/厘米 2 3 4 5 6 7 …（1）若长方形的宽是8厘米，长是厘米；若长是8厘米，宽是厘米．（2）这些长方形的宽与长成比例．如果用y表示长，x表示宽，则y=．（3）这样的长方形中，当周长是70厘米时，它的长和宽各是多少？（列式解答）24．（2015春•利辛县校级月考）一种服装布料每米售价为60元，购买2米、3米、…各需要多少元？（1）填写下表．长度/米 1 2 3 4 5总价/元6 0（2）根据表中的数据，在如图中描出长度和总价对应的点，把这些点按顺序连起来．（3）购买布匹的长度和需要的钱数有什么关系？（4）根据图象判断，购买2.5米布匹需要多少钱？25．（2015•龙泉驿区校级三模）右面的图象表示小军骑车的路程和时间的关系．（1）看图填表．时间/分30路程/千米24（2）小军骑车行驶的路程和时间成比例，这是因为：．（3）利用图象估计，小军20分钟大约行千米；行20千米大约需要分钟．行驶区间车次起始时刻到站时刻经历时间全程甲地到乙地K12 14：26 22：26 8时640千米26．（2015•衡水模拟）如图是某厂甲、乙两个车间各生产600个零件过程中，生产零件的个数与生产时间的关系图：（1）从图上可以看出两个车间生产零件的个数分别与它们所用的时间成比例．（2）乙车间生产天后赶上甲车间生产的个数，甲、乙两个车间完成任务时，车间所用的时间多（3）当乙完成任务时，甲还有个没做，车间工作效率高，高%．27．（2015春•台安县期中）买笔记本的数量和钱数的关系如下表：数量（本） 1 2 3 4 5 6总价（元）1.53（1）将表格补充完整，根据表中的数据，在图中描点再顺次连接．（2）量没变，数量和总价之间成比例．（3）从图中可以看出，如果买9本笔记本，需要元钱？28．（2015春•海安县校级期中）根据下面的3张表，按要求回答问题．表1：车间装订练习本，练习本用纸的张数和装订的本数如下表．装订的本数1 2 3 4 5 …纸的张数25 50 75 100 125…表2：车间装订练习本，用了的纸张数和剩下的纸张数如下表．用了的张数10020030004005000…剩下的张数90080070006005000…表3：车间装订练习本，每本练习本用纸的张数和装订的本数如下表．装订的本数900 7506045036…纸的张数10 12 15 20 25 …（1）选择正确的答案序号填在横线中．表1中的两种量，表2中的两种量，表3中的两种量．A．成正比例B．成反比例C．不成正比例，也不成反比例（2）根据成正比例的量的数据，在下图中描出所对应的点，再连起来．根据图象判断，装订6本练习本要用张纸，175张纸能装订本．29．（2014•佛山）小丽用自制的橡皮筋来称量物体质量．她把测量的数据制作成的统计图和统计表．（皮筋最多可称量2kg质量）物体质量与皮筋伸长长度的统计表所称质量/g 皮筋伸长长度/cm0 0100 26450……a（a＜2000）（1）根据统计图补充表格．（2）填空，我们可以发现与所称物体的质量成（选填“正比”或“反比”）（3）小丽用此皮筋称一袋苹果，皮筋长43厘米，求这袋苹果的质量．30．（2014春•利川市期末）某商场全部商品打八折出售（如图）．原价10元的商品，现价8元，原价50元的商品，现价元．请你在左图中描出这个点．如果用x表示商品的原价，y表示商品的现价，那么y=，现价与原价成比例．。
六年级下册数学讲义-第四单元——比例：正比例和反比例人教版(含答案)
第四章 比例2.正比例和反比例【知识梳理】1.正比例的意义。
（1）意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
（2）正比例关系的字母表达式：xy =k （一定）。
要点提示：成比例的两种量必须是相关联的量，而两种相关联的量却不一定都成比例。
如两种量的和或差一定时，这两种量虽然是相关联的量，但不成比例。
2.正比例关系的图像。
正比例图像是一条从（0,0）出发的无限延伸的射线，线上所有点所对应的两个数的比值都相等。
3.反比例的意义。
（1）意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。
（2）反比例关系的字母表达式：x×y =k （一定）。
4.判断两种量成正比例还是成反比例的方法。
关键看这两种相关联的量中相对应的两个数是比值一定还是乘积一定。
如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例。
【诊断自测】1.填空。
（1）用字母表示的正比例关系式是（ ），反比例式是（ ）。
（2）已知6x=4y ，x 和y 成（ ）比例，已知3x =y6，x 和y 成（ ）比例。
（3）单价一定，数量与总价成（ ）比例；数量一定，单价与总价成（ ）比例；总价一定，数量与单价成（ ）比例。
（4）当两个变量成反比例关系时，所绘成的图是一条（ ）。
2.选择。
（1）在汽车每次运货吨数，运货次数和运货的总吨数这三种量中，成正比例关系是（ ），成反比例关系是（ ）。
A.汽车每次运货吨数一定，运货次数和运货总吨数。
B.汽车运货次数一定，每次运货的吨数和运货总吨数。
C.汽车运货总吨数一定，每次运货的吨数和运货的次数。
（2）乐乐从1楼爬到3楼共用了3分钟，那么从1楼爬到5楼要用（ ）分钟。
A.8B.6C.4（3）a÷b=c ，当c 一定时，a 和b （ ）；当a 一定时，b 和c （ ）；当b 一定时，a 和c （ ）。
4.3 第1课时 正比例函数的图象和性质
6．在同一平面直角坐标系中，分别画出下列函数的图象： (1)y1＝－2x； (2)y2＝－x； (3)y3＝－12x.
7．关于函数y＝5x，下列结论中正确的是( C) A．函数图象经过点(1，－5) B．函数图象经过二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．不论x为何值，总有y>0
8．(阿凡题：1071128)(2017·西安模拟)已知正比例函数y＝(m－1)x的图象上有 两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1<x2时，有y1>y2，那么m的取值范围是( )A A．m<1 B．m>1 C．m<2 D．m>0
则 t≤1020＝50，∴0≤t≤50.图象略
(2)当 t＝151650时，Q＝2×151650＝30.5， 即 t＝15 分 15 秒时，水量 Q 为 30.5 m3 (3)水池中的水量 Q 随着时间 t 的增大而增大
1．下列函数的图象经过原点的是( C ) A．y＝7x＋2 B．y＝－5x＋1 C．y＝－6x
D．y＝x－2 3
2．当k>0时，正比例函数y＝kx的图象大致是( )A
3．当x<0时，函数y＝－2x在(B ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．如果y＝mxm2－8是正比例函数，且其图象在第二、四象限，那么m的 值是_－__3_． 5．函数y＝6x的图象是经过点(0，__0__)和点(__1__，6)的一条直线，点A(2 ，4)_不__在_(填“在”或“不在”)直线y＝6x上．
八年级数学上册（北师版） 第四章 一次函数
4.3 一次函数的图象
第1课时 正比例函数的图象和性质
1．把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的_横___坐标和 _纵___坐标，在直角坐标系内描出它的 对应点 ，所有这些点组成的图形叫做 函数的_图__象_．
六年级数学下册第4单元比例2正比例和反比例第1课时正比例课件新人教版7
a.4.5 %
aa..03aa6..a%..＝aa..0a. .3
6
a.把百分数化成小数 , 只要把百分号去 掉 , 同时把小数点向左移动两位。
a.用百分数解决问题
a.学生的出勤率学出=生勤总人人数数 ×100% a.最多能达
b.产品的合格率合=产格品产总品数数
到100% ∶ ×100% 合格率 、
c.小麦的出粉率小面=麦粉的的质质量量
发芽率等。 ×100% b.达不到
d. 花生的出油率花=油生的的质质量量
100%∶出 ×100% 油率 、出水
e.学生的及格率=参加及考格试人人数数
率等。 ×100%c.可超过
aa.2.350%0x aa.4.408%0x aa.3.452%0x
a.35%
a.〔40%－35%〕x = 60 a.x = 1200
a.本单元综合训练
a.求一个数比另 一个数多〔或少〕
百分之几
a.求常见 的百分率
a.用百分
a.百分数的意 义和读写法
数解决问 题
a
a.求比一个数多 (或少)百分之几
a.问题 : 笑笑参加学校的冬季长跑活动 , 已经跑 了70% , 还剩下300 m , 笑笑一共要跑多少米 ？
a.? m a.先画图看
看。
a.70%
a.300m
a.你发现了什么等量关系 ？
a.总路程×〔1－70%〕＝剩下的300 m
a.解 : 设笑笑一共要跑 x 米。 a.〔1－70%〕x = 300 a.0.3 x = 300 a.x = 1000
数量/m 1 2 3 4 5 6 7 8 ...
总价/元 3.5 7 10.5 14 17.5 21 24.5 28 ...
八年级数学上册《第四章2 一次函数与正比例函数》讲解与例题
《第四章2 一次函数与正比例函数》讲解与例题1．一次函数的概念 假设两个变量x ，y 之间的关系式能够表示成y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)的形式，那么称y 是x 的一次函数(x 是自变量)．谈重点 一次函数的条件函数是一次函数必需符合以下两个条件：(1)关于两个变量x ，y 的次数是1；(2)必需是关于两个变量的整式．【例1】 以下函数中，是一次函数的是( )．A ．y ＝7x 2B ．y ＝x －9C ．y ＝6xD ．y ＝1x ＋1 解析：A× x 的次数是2，不是1，所以它不是一次函数． B√ 符合一次函数的一般形式． C× 含有自变量x 的代数式不是整式，所以不是一次函数． D× 答案：B2．正比例函数的概念关于一次函数y ＝kx ＋b ，当b ＝0，即y ＝kx (k 为常数，且k ≠0)时，咱们称y 是x 的正比例函数． 辨误区 一次函数与正比例函数的关系需要注意的是正比例函数是一次函数的特殊情形，特殊的地方在于b ＝0，且k ≠0，因此，正比例函数必然是一次函数，但一次函数并非必然是正比例函数．【例2】 以下函数中，是正比例函数的是( )．A ．y ＝－2xB ．y ＝－2x ＋1C ．y ＝－2x 2D ．y ＝－2x 解析：A√ 符合正比例函数的一般形式． B × b ＝1≠0，所以它不是正比例函数．C×x的次数是2，不是1，所以它不是正比例函数.D×含有自变量x的代数式不是整式，所以它不是正比例函数.答案：A辨误区正比例函数的判定要判定一个函数是不是是正比例函数，第一看它是否为一次函数，也确实是可否转化为y＝kx＋b(k≠0)的形式；第二要清楚正比例函数是特殊的一次函数，函数解析式可否转化为y＝kx(k≠0)的形式．3．依照条件列一次函数关系式列函数关系式是培育数学应用能力和抽象思维能力的一种方式，解决这种问题的大体思路为：第一要认真审题，抓住关键词，找出问题中的变量并用字母表示，然后依照题意列出函数关系式．点技术如何列函数关系式列关系式时，必然要先明白两个变量，而且弄清谁是自变量．【例3】甲、乙两地相距30 km，某人从甲地以每小时4 km的速度走了t h抵达丙地，并继续向乙地走．(1)试别离确信甲、丙两地距离s1(k m)及丙、乙两地距离s2(km)与时刻t(h)之间的函数关系式．(2)它们是什么函数．分析：路程＝速度×时刻，s2＝30－s1.解：(1)s1＝4t，s2＝30－4t.(2)两个函数都是一次函数，而s1＝4t仍是正比例函数．点评：此类题目把求函数关系式的问题转化为列代数式的问题，把实际问题转化为函数模型问题．4．一次函数与正比例函数的联系与区别假设两个变量x，y之间的关系能够表示成y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的一次函数，专门地当b＝0时，称y是x的正比例函数，显然正比例函数是一次函数，而一次函数不必然是正比例函数，正比例函数是一次函数的特殊情形．区别：①正比例函数是一次函数，但一次函数不必然是正比例函数；②正比例函数的图象必然通过原点及通过两个象限，但一次函数一样不通过原点，通常情形下要通过三个象限．联系：①两种函数的图象都是一条直线；②两种函数的增减性相同；③当b＝0时，一次函数转化为正比例函数，因此正比例函数是一次函数的特例．【例4－1】 在以下函数中，x 是自变量，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？(1)y ＝3x ；(2)y ＝1x；(3)y ＝－3x ＋1；(4)y ＝x 2. 分析：这种判定题，应严格依照有关函数的概念，看函数是不是能够表示为规定的形式．解：一次函数是(1)y ＝3x 和(3)y ＝－3x ＋1.其中(1)y ＝3x 仍是正比例函数，(2)、(4)既不是一次函数，也不是正比例函数．【例4－2】 已知正比例函数中自变量每增加一个单位，函数值就减少2个单位，求函数的解析式．分析：设正比例函数解析式为y ＝kx (k ≠0)，要求出待定系数k ，必需有x 与y 的一组对应值，因此关键是要将已知条件转化为具体的数值．因为当x ＝0时，y ＝0，因此咱们能够依照题意，给出一对特殊值：当x ＝1时，y ＝－2.这确实是咱们需要的等量关系．解：设正比例函数解析式为y ＝kx (k ≠0)，依照题意，当x ＝1时，y ＝－2.代入函数解析式，得－2＝k .故所求函数解析式为y ＝－2x .5．用一次函数解决实际问题函数与咱们的生活息息相关，生活中的许多问题能够通过函数得以解决，如何才能正确地确信两个变量之间的函数关系式呢？具体地说和列一元一次方程解应用题大体相似，即弄清题意和题目中的数量关系，找到能够表示应用题全数含义的一个相等的关系，依照那个相等的数量关系式，列出所需的代数式，从而列出两个变量之间的关系式．辨误区 写解析式，定自变量的范围通常确信一个函数，不仅要确信那个函数的解析式，还要确信那个函数的自变量的取值范围．【例5】 一天老王骑摩托车外出旅行，刚开始行驶时，油箱中有油9 L ，行驶了1 h 后发觉已耗油1.5 L.(1)求油箱中的剩余油量Q (L)与行驶的时刻t (h)之间的函数关系式，并求出自变量t 的取值范围；(2)若是摩托车以60 km/h 的速度匀速行驶，当油箱中的剩余油量为3 L 时，老王行驶了多少千米？分析：依照油箱中原有油9 L,1 h 耗油1.5 L ，那么t h 耗油1.5t L ，取得行驶t h 后油箱中剩余油量为(9－1.5t )L ，由此可得出函数关系式．解：(1)Q ＝9－1.5t ，由9－1.5t ＝0，取得t ＝6，故t的取值范围为0≤t≤6. (2)由3＝9－1.5t，得t＝4.于是s＝vt＝60×4＝240(km)．故老王行驶了240 km.。
六年级下册数学教案-第四单元2.正比例和反比例第1课时正比例人教版
六年级下册数学教案第四单元2．正比例和反比例第1课时正比例人教版今天我要为大家带来的是六年级下册数学教案中第四单元的第二个知识点——正比例和反比例的第一课时：正比例。
一、教学内容我们使用的教材是人民教育出版社的六年级下册数学。
本节课的主要内容是正比例的概念及其应用。
我们将学习如何判断两个相关联的量之间成正比例，以及如何用比例关系解决问题。
二、教学目标通过本节课的学习，我希望学生能够掌握正比例的概念，理解正比例的性质，并能运用正比例的知识解决实际问题。
三、教学难点与重点本节课的重点是让学生理解并掌握正比例的概念及其应用。
难点在于如何让学生理解正比例的性质，并能够判断两个相关联的量之间是否成正比例。
四、教具与学具准备为了更好地开展课堂教学，我准备了PPT、实物模型、比例尺等教具，以及练习题和学习手册等学具。
五、教学过程1. 实践情景引入：我将以一段实际情景引入本节课的内容，例如：一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，问行驶5小时后，汽车行驶的路程是多少？3. 例题讲解：我将通过几个例题来讲解如何判断两个相关联的量之间是否成正比例，以及如何运用正比例的知识解决问题。
例如：一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，问行驶3小时后，汽车行驶的路程是多少？4. 随堂练习：在讲解完例题后，我将给出一些随堂练习题，让学生运用所学的正比例知识解决问题。
例如：一辆汽车以每小时80公里的速度行驶，问行驶4小时后，汽车行驶的路程是多少？5. 小组讨论：我将组织学生进行小组讨论，分享他们在随堂练习中的解题思路和方法，以及他们在解决问题时遇到的困难和解决办法。
六、板书设计板书设计将包括正比例的概念、正比例的性质，以及判断两个相关联的量之间是否成正比例的方法。
七、作业设计作业题目：1. 一辆自行车以每小时15公里的速度行驶，问行驶2小时后，自行车行驶的路程是多少？2. 一辆汽车以每小时100公里的速度行驶，问行驶5小时后，汽车行驶的路程是多少？答案：1. 30公里2. 500公里八、课后反思及拓展延伸课后，我将反思本节课的教学效果，看是否达到了教学目标，学生是否掌握了正比例的知识。
正比例函数(第一课时)课件
直线运动问题
路程、速度和时间的关系
当物体做匀速直线运动时，路程与时间成正比例关系，即s=vt，其中s表示路 程，v表示速度，t表示时间。
相遇和追及问题
当两个物体在同一直线上运动时，它们之间的相对速度等于两物体速度之和或 之差。因此，相遇问题和追及问题可以通过正比例函数来求解。
题目：一辆汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶 路程s（千米）与行驶时间t（小时）之间的关系式为s = 60t，求当t = 2时，汽车行驶的路程s。 解答过程
2. 将v = 60和t = 2代入上式，得到s = 60 × 2 = 120 。
分析：本题主要考察正比例函数在实际问题中的应用。 根据题意，速度v = 60千米/小时，时间t = 2小时，我 们需要求出路程s。 1. 根据正比例函数的定义，我们有s = vt。
比例系数 k 决定了直线的斜率，即 k = tanα (α 为直线与 x 轴正方向的夹角)。
函数图像是一条经过原点的直线。
性质：正比例函数具有以下性质
当 x > 0 时，y 与 x 同号；当 x < 0 时 ，y 与 x 异号。
图像特征
图像形状
01
正比例函数的图像是一条直线。
图像位置
02
该直线经过坐标原点 (0,0)。
结合实际问题进行求解
01
仔细阅读题目，理解题 意，将实际问题抽象成 数学模型。
02
根据题意列出方程或方 程组，注意方程两边的 量要对应。
03
解方程或方程组，求出 未知数的值，并对结果 进行验证和取舍。
04
将求得的未知数的值代 回原方程进行检验，确 保答案的正确性。
06
典型例题分析与解答过程展示
4.3.1正比例函数的图象和性质
y＝3x；
【教材P85 习题4.3 第5题】
6. 小明是这样理解“函数y＝x的图象是一条经过原点的直线”
的：如图，当x＝0时，y＝0，所以原点（0，0）在函数y=x的图
象上；当x＝t时，y＝t，即 MN＝ON，∠MON=45°，而这个结论
对任意的 t 值都正确，所以函数 y = x 的图象是一条经过原点、与
以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标
系中描出相应的各点
按照横坐标由小到大的顺序把这些点顺次
连接起来
知识点2
正比例函数的图象
正比例函数的图象:正比例函数 y=kx（k≠0）的图象是一条经过原点（0,0）
的直线，我们称它为直线 y=kx.
y=2x
例1 画出正比例函数 y=2x 的图象.
在所画的图象上任意取几个点，找出它们的横坐标
y=2x
第二象限
第一象限
第三象限
第四象限
正比例函数y＝kx（k≠0）的图
原点（0,0）
象是一条经过_____________
直线
的______.
知道了正比例函数图象的特点，有没有更简
便的正比例函数图象的绘制方法？
两点作图法
正比例函数 y＝kx（k≠0）的图象是一条经过原
点（0，0）的直线，只要再确定一个点即可确定函数
观察比较，两个函数的图象
有什么相同点，有什么不同点？
不同点
相同点
y=﹣3x
y=2x
第二象限
第一象限
①函数图象都经过原点（0,0） 第三象限
第四象限
① y =2x 经过一、三象限，
② y =﹣3x 经过二、四象限.
②函数图象都是一条直线.
y=﹣3x
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两种相关联的量，
相关联
一种量变化，另一种量也随着变化，
能变化
如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，
商一定
这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关 系。
判定两个量是不是成正比例：
一看是不是（ 相关联 二看是不是（ 能变化
二、探究新知
（一）例1
数量 /支 总价 /元 单价 /元 1 3.5 2 7 3 10.5 4 14 5 17.5 6 21 7 24.5 8 28
…
…
3.5 3.5
3.5 3.5 3.5
3.5
3.5
3.5
…
1.彩带的总价与数量有关系吗? 2.彩带的总价是怎样随着数量变化的? 3.彩带的总价和数量的变化有什么规律?
做一做
判断下面每题中的两种量是不是成正比例，并 说明理由． （1）苹果的单价一定，购买苹果的数量和总价． 苹果的数量和总价是两种相关联的量， 因为 总价 ＝ 单价（一定） 数量
所以 购买苹果的数量和总价成正比例．
做一做
判断下面每题中的两种量是不是成正比例，并 说明理由． （2）轮船行驶的速度一定，行驶的路程和时间． 行驶的路程和时间两种相关联的量， 因为 路程 ＝ 速度（一定） 时间
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二、探究新知
（二）正比例图象
你能举出生活中正比 例关系的例子吗？
如果汽车行驶速度 一定，路程与时间 成正比例关系。
正方形的周长与边 长成正比例关系。
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三、布置作业
作业：第49页练习九，第1题。
比例
正比例关系（例1）
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一、复习
1、什么叫做比例？ 表示两个比相等的式子叫做比例。
2、根据比例的意义判断下面各表中相对应的两个量能否组成比例？ 如果能，把组成的比例写出来。
植树人数（人） 棵树（棵） 行驶路程（千米） 行驶时间（小时）
小红年龄（岁） 小红身高（米）
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二、探究新知
（一）例1
文具店有一种彩带，销售的数量与总价的关系如下表。
数量/ 支
总价/ 元
1 3.5
2 7
3
10.5 总价 数量
4 14
5 17.5
6 21
7 24.5
8 28
… …
＝ 单价
像这样，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着 变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定(商一定)， 这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
二、探究新知
（二）正比例图象
根据图象回答下面 的问题：
（1）从图中你发现了什么？ （2）把数对（10,35）和（12,42）所在的点描出来，并和上面的图象 连起来并延长，你还能发现什么？
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17.5
21
24.5
28
二、探究新知
（一）例1
文具店有一种彩带，销售的数量与总价的关系如下表。 数量 /支 总价 /元 单价 /元 1 3.5 2 7
3
10.5
4 14
5 17.5
6 21
7 24.5
8 28
… …
3.5
3.5 3.5
3.5 3.5
3.5
3.5 3.5
…
完成上表，回答下面的问题。
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（3）彩带的总价和数量的比值总是一定的， 总价 都是3.5。也就是 ＝单价(一定)
数量
二、探究新知
（一）例1
文具店有一种彩带，销售的数量与总价的关系如下表。
数量/ 支
总价/ 元
1 3.5
2 7
3 10.5
4 14
5 17.5
6 21
7 24.5
8 28
…
…
从上表可以看出，总价与数量是两种相关联的量， 总价是随着数量的变化而变化的，而且总价与相应数 量的比值总是一定的。
） ）
三看是不是（ 商一定
）
二、探究新知
（一）例1
文具店有一种彩带，销售的数量与总价的关系如下表。
数量/ 支
总价/ 元
1 3.5
2 7
3 10.5 总价
4 14
5 17.5
6 21
7 24.5
8 28
… …
＝ 单价
数量 上表中，总价和数量是成正比例的量，总价与数量成正比例关系。
如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定）， y 正比例关系可以用下面的式子表示： ＝ k(一定)
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数量/支 总价/元 2、彩带的总价是怎样随着数量变化的？ 单价/元
1 3.5 3.5
2 7 3.5
3 3.5
4 3.5
5 3.5
6 3.5
10.5 14
17.5 21
数量是1，总价是3.5；
数量增加， 总价也增加。
数量是2，体积是7；
数量减少， 总价也减少。
3.5 ＝3.5 1 7 ＝3.5 2 10.5 ＝3.5 3
…
彩带的总价和数量的比值总是一定的，都等于3.5
总价 ＝单价 （一定） 数量
数量/支
总价/元 单价/元
1
3.5 3.5
2
7 3.5
3
10.5 3.5
4
14 3.5
5
17.5 3.5
6
21 3.5
（1）彩带的总价随着数量的变化而变化； 彩带的总价和数量是相关联的量。 （2）彩带的数量增加，总价也增加；彩带 的数量减少，总价也减少；
18 1
90 5
18:1=90:5
160 640 2 8
12 1.2 15 1.6
160:2=640:8
不能
二、探究新知
（一）例1
文具店有一种彩带，销售的数量与总价的关系如下表。
数量/ 支
1
2
3
4
5
6
7
8
… …
总价/ 元
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3.5
7
10.5
14
做一做
长沙造纸厂的生产情况如下表，根据表回答问题 时间（天）
1 2 3 4 5 6 7 8
…
生产量（吨） 70
140 210 280 350 420 490 560 …
（3）说明这个比值所表示的意义． 这个比值的意义是每天生产的吨数（或生产效率）
（4）表中相关联的两种量成正比例关系吗？为什么？ 生产量和时间是两种相关联的量． 生产量 ＝ 每天生产的吨数（一定） 因为 时间 所以 生产量和时间成正比例．
思考
判断下面每题中的两种量是不是成正比例，并 说明理由．
正方形的周长和边长
正方形的周长和边长是两种相关联的量， 因为 正方形周长 ＝ 4 （一定） 边长
所以 正方形的周长和边长成正比例．
思考
判断下面每题中的两种量是不是成正比例，并 说明理由． 正方形的面积和边长 正方形的面积和边长是两种相关联的量， 边长 面积 比值 因为 1 1 2 4 2 3 9 3 4 16 4 5 25 5 …
所以 行驶的路程和时间成正比例．
做一做
判断下面每题中的两种量是不是成正比例，并 说明理由． （3）每小时织布米数一定，织布总米数和时间． 织布总米数和时间两种相关联的量， 因为 织布总米数 ＝ 每小时织布米数（一定） 时间
所以 织布总米数和时间成正比例．
做一做
判断下面每题中的两种量是不是成正比例，并 说明理由． （4）小新跳高的高度和他的身高． 因为 跳高的高度和身高不是两种相关联的量， 所以 小新跳高的高度和他的身高不成正比例．
…
生产量（吨） 70
140 210 280 350 420 490 560 …
（1）表中有哪两种量？它们是不是相关联的量？ 表中有时间和生产量两种量。它们是相关联的量．
（2）写出几组这两种量中相对应的两个数的比，求出 比值，并比较比值的大小． 70 210 140 …… ＝70 ＝70 ＝ 70 1 3 2 比值相等
x
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考考你: （ 彩带的总价 ）和（ 数量 ）是相关联的量， 彩带的总价随着数量的变化而变化，而且 （ 比值 ）是一定的， 所以彩带的总价和数量是（ 成正比例 ）的量。
我的收获
做一做
长沙造纸厂的生产情况如下表，根据表回答问题 时间（天）
1 2 3 4 5 6 7 8
…
…
1
正方形面积 （不一定） ＝ 边长 边长
所以 正方形的面积和边长不成正比例．
二、探究新知
（二）正比例图象
文具店有一种彩带，销售的数量与总价的关系如下表。
数量/ 支 总价/ 元
1 3.5
2 7
3 10.5
4 14
5 17.5
21
7 24.5
8 28
…
…
上面表格中的数据还 可以用图象表示。
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数量是3，体积是10.5；
数量是4，体积是14；
1、彩带的总价和数量有关系吗？
总价随着数量的变化而变化。像这样的两个量我们把它叫做相关联的 量。
3、彩带的总价和数量的变化有什么规律？ 数量/支 1 2 3 4 5 6 总价/元 3.5 7 10.5 14 17.5 21 单价/元 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5 3.5
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