2008高考北京数学文科试题及详细解答(全word版)080626

2008年普通高等学校招生全国统一考试北京文数全解全析本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3 至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项： 1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．若集合{|23}A x x =-≤≤，{|14}B x x x =<->或，则集合A B 等于（ ） A ．{}|34x x x ≤>或 B ．{}|13x x -<≤ C ．{}|34x x ≤<D ．{}|21x x -≤-<【答案】D【解析】{}|21A B x x =-≤-<2．若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则（ ） A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】A【解析】利用中间值0和1来比较: 372log π>1log 61log 0.80a b c =<=<=<，0，3．“双曲线的方程为221916x y -=”是“双曲线的准线方程为95x =±”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】“双曲线的方程为221916x y -=”⇒是“双曲线的准线方程为95x =±” “95x =±” ⇒ “221916x y -=”,如反例: 2211882x y -=.4．已知ABC △中，a =b =，60B =，那么角A 等于（ ）A ．135B ．90C ．45D ．30【答案】C【解析】由正弦定理得:sin sin a b A B A B =⇒===45a b A B A <⇒<∴=5．函数2()(1)1(1)f x x x =-+<的反函数为（ ） A．1()11)f x x -=> B．1()11)f x x -=> C．1()11)fx x -=≥D．1()11)fx x -=≥【答案】B【解析】221(1)1,(1)1,1x y x x y x <⇒=-+∴-=-⇒-=所以反函数为1()11)fx x -=>6．若实数x y ，满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤，，，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】A【解析】本小题主要考查线性规划问题。

作图(略)易知可行域为一个三角形,其三个顶点分别为(0),，0(0),，111()22-，,验证知在点(0)，0时取得最小值0.7．已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（ ）A ．30B ．45C ．90D ．186【答案】 C 【解析】由21151634153a a d a a a d d =+==⎧⎧⇒⎨⎨=+==⎩⎩, 33(1)3,n a n n ∴=+-=26,n n b a n ==所以5630590.2S +=⨯= 8．如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设B P x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ）【答案】B【解析】取1AA 的中点E, 1CC 的中点F,连EF,则MN 在平面1BFD E 内平行移动且//,MN EF 当P 移动到1BD 的中心时，MN 有唯一的最大值，排除答案A 、C ；当P 点移动时，由于总保持//,MN EF 所以x 与y 的关系是线性的(例如: 取11,AA =当(0,2x ∈时, 2,2y x =⇒=同理,当(2x ∈时,2=2.y x ⇒=) 排除答案D,故选B.2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（文史类）（北京卷）第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．若角α的终边经过点(12)P -，，则tan 2α的值为 ． 【答案】43【解析】222tan 4tan 2,tan 2.11tan 3αααα-==-∴==-10．不等式112x x ->+的解集是 ． 【答案】{}|2x x <-ABC D MNP A 1B 1C 1D 1【解析】113110020 2.222x x x x x x x --->⇒->⇒>∴+<⇒<-+++11．已知向量a 与b 的夹角为120，且4==a b ，那么 a b 的值为 ．【答案】8-【解析】1||||cos12044()8.2a b a b ⋅=⋅⋅=⨯⨯-=-12．5231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为 ；各项系数之和为 ．（用数字作答）【答案】10 32【解析】2510515531()(),rr r r rr T C x C x x--+⇒==由1050r -=得2,r =故展开式中常数项为 2510;C =取1x =即得各项系数之和为5(11)32.+= 13．如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中A B C ，， 的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ； 函数()f x 在1x =处的导数(1)f '= ． 【答案】2 -2【解析】((0))(4)2;f f f ==(1) 2.AB f k '==-14．已知函数2()cos f x x x =-，对于ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的任意12x x ，，有如下条件：①12x x >； ②2212x x >； ③12x x >．其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 ． 【答案】②【解析】函数2()cos f x x x =-为偶函数，则1212()()(||)(||).f x f x f x f x >⇔> 在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上, 函数2()cos f x x x =-为增函数，22121212(||)(||)||||f x f x x x x x ∴>⇔>⇔>三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数2π()sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫=++⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间2π03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的取值范围．15．（共13分） 解：（Ⅰ）1cos 2()222x f x x ωω-=+112cos 222x x ωω=-+π1sin 262x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为函数()f x 的最小正周期为π，且0ω>，所以2ππ2ω=，解得1ω=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得π1()sin 262f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 因为2π03x ≤≤，所以ππ7π2666x --≤≤，所以1πsin 2126x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤．因此π130sin 2622x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤≤，即()f x 的取值范围为302⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．16．（本小题共14分）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小． 16．（共14分） 解法一：（Ⅰ）取AB 中点D ，连结PD CD ，． AP BP = ，PD AB ∴⊥． AC BC = ，CD AB ∴⊥．PD CD D = ，AB ∴⊥平面PCD ．PC ⊂ 平面PCD ，PC AB ∴⊥． （Ⅱ）AC BC = ，AP BP =， APC BPC ∴△≌△．又PC AC ⊥，PC BC ∴⊥．又90ACB ∠=，即AC BC ⊥，且AC PC C = ，BC ∴⊥平面PAC ．取AP 中点E ．连结BE CE ，． AB BP = ，BE AP ∴⊥．AC BPABDPABE PEC 是BE 在平面PAC 内的射影， CE AP ∴⊥．BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．在BCE △中，90BCE ∠=，2BC =，2BE AB ==，sin 3BC BEC BE ∴∠==．∴二面角B AP C --的大小为arcsin 3． 解法二：（Ⅰ）AC BC = ，AP BP =，APC BPC ∴△≌△．又PC AC ⊥，PC BC ∴⊥．AC BC C = ，PC ∴⊥平面ABC ．AB ⊂ 平面ABC ，PC AB ∴⊥．（Ⅱ）如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -． 则(000)(020)(200)C A B ，，，，，，，，． 设(00)P t ，，．PB AB ==2t ∴=，(002)P ，，． 取AP 中点E ，连结BE CE ，．AC PC = ，AB BP =，CE AP ∴⊥，BE AP ⊥．BEC ∴∠是二面角B AP C --的平面角．(011)E ，，，(011)EC =-- ，，，(211)EB =--，，，cos 3EC EB BEC EC EB∴∠===．∴二面角B AP C --的大小为．17．（本小题共13分）已知函数32()3(0)f x x ax bx c b =+++≠，且()()2g x f x =-是奇函数． （Ⅰ）求a ，c 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间． 17．（共13分）解：（Ⅰ）因为函数()()2g x f x =-为奇函数，所以，对任意的x ∈R ，()()g x g x -=-，即()2()2f x f x --=-+．又32()3f x x ax bx c =+++所以32323232x ax bx c x ax bx c -+-+-=----+．x所以22a a c c =-⎧⎨-=-+⎩，．解得02a c ==，．（Ⅱ）由（Ⅰ）得3()32f x x bx =++．所以2()33(0)f x x b b '=+≠． 当0b <时，由()0f x '=得x =．x 变化时，()f x '的变化情况如下表：所以，当0b <时，函数()f x 在(-∞，上单调递增，在(上单调递减， 在)+∞上单调递增． 当0b >时，()0f x '>，所以函数()f x 在()-∞+∞，上单调递增．18．（本小题共13分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A B C D ，，，四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率． 18．（共13分）解：（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加A 岗位服务为事件A E ，那么3324541()40A A P E C A ==，即甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率是140． （Ⅱ）设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E ，那么4424541()10A P E C A ==，所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是9()1()10P E P E =-=． 19．（本小题共14分）已知ABC △的顶点A B ，在椭圆2234x y +=上，C 在直线2l y x =+：上，且AB l //． （Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC △的面积； （Ⅱ）当90ABC ∠=，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程． 19．（共14分）解：（Ⅰ）因为AB l //，且AB 边通过点(00)，，所以AB 所在直线的方程为y x =．设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，．由2234x y y x⎧+=⎨=⎩， 得1x =±．所以12AB x =-=．又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离．所以h =122ABC S AB h == △． （Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y x m =+，由2234x y y x m⎧+=⎨=+⎩，得2246340x mx m ++-=． 因为A B ，在椭圆上， 所以212640m ∆=-+>．设A B ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，，，， 则1232mx x +=-，212344m x x -=，所以122AB x =-=．又因为BC 的长等于点(0)m ，到直线l的距离，即BC =．所以22222210(1)11AC AB BC m m m =+=--+=-++． 所以当1m =-时，AC 边最长，（这时12640∆=-+>） 此时AB 所在直线的方程为1y x =-． 20．（本小题共13分）数列{}n a 满足11a =，21()n n a n n a λ+=+-（12n = ，，），λ是常数． （Ⅰ）当21a =-时，求λ及3a 的值；（Ⅱ）数列{}n a 是否可能为等差数列？若可能，求出它的通项公式；若不可能，说明理由； （Ⅲ）求λ的取值范围，使得存在正整数m ，当n m >时总有0n a <．解：（Ⅰ）由于21()(12)n n a n n a n λ+=+-= ，，，且11a =．所以当21a =-时，得12λ-=-，故3λ=． 从而23(223)(1)3a =+-⨯-=-．（Ⅱ）数列{}n a 不可能为等差数列，证明如下：由11a =，21()n n a n n a λ+=+-得22a λ=-，3(6)(2)a λλ=--，4(12)(6)(2)a λλλ=---．若存在λ，使{}n a 为等差数列，则3221a a a a -=-，即(5)(2)1λλλ--=-， 解得3λ=．于是2112a a λ-=-=-，43(11)(6)(2)24a a λλλ-=---=-． 这与{}n a 为等差数列矛盾．所以，对任意λ，{}n a 都不可能是等差数列．（Ⅲ）记2(12)n b n n n λ=+-= ，，，根据题意可知，10b <且0n b ≠，即2λ> 且2*()n n n λ≠+∈N ，这时总存在*0n ∈N ，满足：当0n n ≥时，0n b >；当01n n -≤时，0n b <．所以由1n n n a b a +=及110a =>可知，若0n 为偶数， 则00n a <，从而当0n n >时，0n a <；若0n 为奇数，则00n a >， 从而当0n n >时0n a >．因此“存在*m ∈N ，当n m >时总有0n a <” 的充分必要条件是：0n 为偶数，记02(12)n k k == ，，，则λ满足22221(2)20(21)210k k b k k b k k λλ-⎧=+->⎪⎨=-+--<⎪⎩． 故λ的取值范围是22*4242()k k k k k λ-<<+∈N ．。