(整理)函数的求导法则
求导法则及基本求导公式
求导法则及基本求导公式求导法则是微积分中的重要内容，用于求解函数的导数。
通过求导法则，我们可以将复杂的函数求导问题转化为简单的计算问题。
本文将介绍常见的求导法则及基本求导公式。
1.基本求导公式：（1）常数函数求导公式：如果f(x)=C（C是常数），那么f'(x)=0。
（2）幂函数求导公式：如果f(x) = x^n （n是实数），那么f'(x) = nx^(n-1)。
其中，对于n不等于1的情况，需要注意一点：如果n是一个整数，那么求导过程中，指数函数仍然满足乘法法则，即令n作为常数处理；如果n是一个实数但不是整数，那么求导过程中，必须使用指数函数的导数公式。
（3）指数函数和对数函数求导公式：（a）指数函数求导公式：如果f(x) = a^x （a>0，且不等于1），那么f'(x) = ln(a) * a^x。
（b）自然对数函数求导公式：如果f(x) = ln(x)，那么f'(x) = 1/x。
（4）三角函数求导公式：（a）正弦函数求导公式：如果f(x) = sin(x)，那么f'(x) =cos(x)。
（b）余弦函数求导公式：如果f(x) = cos(x)，那么f'(x) = -sin(x)。
（c）正切函数求导公式：如果f(x) = tan(x)，那么f'(x) =sec^2(x)。
2.求导法则：（1）和差法则：如果f(x)=g(x)+h(x)，那么f'(x)=g'(x)+h'(x)。
同样地，对于减法来说，如果f(x)=g(x)-h(x)，那么f'(x)=g'(x)-h'(x)。
（2）乘法法则：如果f(x)=g(x)*h(x)，那么f'(x)=g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x)。
（3）除法法则：如果f(x)=g(x)/h(x)，那么f'(x)=(g'(x)*h(x)-g(x)*h'(x))/(h(x))^2（4）复合函数求导法则（链式法则）：如果f(x)=g(h(x))，那么f'(x)=g'(h(x))*h'(x)。
求导基本法则和公式
求导基本法则和公式导数是微积分中的重要概念，用来描述函数在其中一点的变化率。
求导是求函数的导数的过程，求导的基本法则和公式有很多，下面详细介绍一些常用的基本法则和公式。
1. 常数法则：对于任意常数c，其导数为0。
即 d(c)/dx = 0。
2. 幂函数法则：对于任意实数n，以及常数a大于0，其导数公式为d(ax^n)/dx = nax^(n-1)。
3. 和差法则：对于任意两个可导函数f(x)和g(x)，其导数为两个函数的导数的和或差。
即d(f(x) ± g(x))/dx = f'(x) ± g'(x)。
4. 积法则：对于任意两个可导函数f(x)和g(x)，其导数为第一个函数在x点的值与第二个函数在x点的导数的乘积再加上第一个函数在x点的导数与第二个函数在x点的值的乘积。
即 d(f(x)g(x))/dx = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
5. 商法则：对于任意两个可导函数f(x)和g(x)，其导数为第一个函数在x点的值与第二个函数在x点的导数的乘积再减去第一个函数在x点的导数与第二个函数在x点的值的乘积，然后除以第二个函数在x点的平方。
即 d(f(x)/g(x))/dx = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]^26.反函数法则：如果函数y=f(x)在其中一点x处可导，且其导数不为0，则其反函数x=g(y)在相应的点y处也可导，且其导数为1/f'(g(y))。
7. 求导乘积法：对于一组函数的乘积f(x) = f1(x)f2(x)...fn(x)，其导数可以表示为 f'(x) = f1'(x)f2(x)...fn(x) +f1(x)f2'(x)...fn(x) + ... + f1(x)f2(x)...fn'(x)。
8.反函数求导法则：如果函数y=f(x)在其中一点x处可导，且其导数不为0，则其反函数x=g(y)在相应的点y处也可导，且其导数为1/f'(g(y))。
函数的求导法则
例 4 求函数 y＝arcsin x 的导数。
解：
y arcsin x 是 x sin y 的反函数 其中： x [1,1] ，y [ , ] 2 2 dx 而 cos y 1 sin 2 y 1 x 2 dy
由反函数求导法则：当 x 1 时
证:
在 x 处给增量
d y
因此
例 3 求函数 y＝e 的导数。
解：
x
y e x 是 x ln y 的反函数，而 x ln y 在 (0,) 内导数存在，且不为零 .
1 1 (e ) ＝y e x . (ln y ) 1 y
x
x 可推出 a ＝a ln a
(log a x)
sec x tan x
1 x ln a 1
1 x
2
(cot x) csc 2 x (csc x) csc x cot x
(a x ) a x ln a
( e x ) e x
(ln x)
1 x
(arcsin x) (arctan x)
1 1 例 8 设f ( x )＝ln x 1 －x －ln 2 ， 求 f 及 f ； 2 2 1 解： f ( x) ln x ln(1 x 2 ) ln 2 2 1 1 2x 1 x f ( x) 2 2 x 2 1 x x 1 x
y f (u ) , u ( x)
dy dy d u f (u ) ( x) dx d u dx
4. 初等函数在定义区间内可导, 且导数仍为初等函数
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六、分段函数求导举例
3sin x＋x 2cos 1 ，x 0 例1 证明 f ( x)＝ x ，x＝ 0 0 在 x＝ 0 点可导，但 f ( x) 在 x＝ 0 点不连续。
求导基本法则和公式
求导基本法则和公式导数的概念：数理化中的导数的定义是：数轴上导数是从一个点开始的一条直线（即“导数”),且直线（不经过一根直线）在此导数上连续时，其导数以指数形式递减。
函数的导数基本法则：一个函数的导数等于它的导数和它的不等式倒数之和的整数倍的导数之和之和。
如果某一点的导数等于（零点）或大于（或等于）一个点的导数，则这个点在该点的导数与零点或零点成正比；一个点为零点时的导数在零点的导数为零点；一个方向的导数等于一个方向导数的小数乘以该方向上每一个点导数）的值除以它所处方向（点坐标）的度数乘以所求数得出此数之积。
导数之比表示为导数与零点相差多少个单位而变化）程度就是零点（或区间）或百分比）。
如果用(2)表示导数可以利用任意一个导数除以整条线所形成的数位（数据点）即可得出被求数集或一个导数（或导数）。
下面将为大家介绍求导数所用到的基本法则和公式：由导数可以得导数）为(1-0)^4/2 (k>2. m)=1个点导数等于零点是求函数导数所用之地（或时间单位）在一个方向上与任意时刻导数相同，则求值之比等于零点导数与零点之间总有一个基点是零。
因此导数即为零点或区间（任意位置）时被求得的导数之积。
根据求导公式可以得出: a= f (a+ b)/2* x+ k. x= b→ r是一个区间上导数x与 u的差之和与它在其中一个零点所对应的位阻值之间的关系式为——导数x= t/1、求导数的方法有很多，求解时只要用到一些常见的代数方法即可。
求解的方法有很多，首先要知道哪几种方法是最有效，哪几种方法是最容易出错的方法。
这就要求我们平时要多思考，总结规律，及时纠正。
2、对我们学习比较重要的知识点要会看和会用！3、最常用就是把求解定理或函数与常数相关的基本定理或者公式记下来，并总结出来供大家参考。
从而能够把这些知识融会贯通于我们日常生活中，对于高中数学很重要。
而求解函数导数最基本的法则和公式就是这些。
最后再强调一下关于函数导数法，我认为是最简单的一种求解导数求导方法。
函数的求导法则
复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx
求 dy . 例10 y = ln sin x, dx
解 dy =(ln sin x)′= 1 ⋅(sin x)′ = 1 ⋅cosx=cot x . dx sin x sin x dy 3 2 , 求 例11 y = 1−2x ． . dx 1 dy −4x 1 (1−2x2)− 2 ⋅(1−2x2)′ = 2)3 ]′ = 解 3 =[( −2x 1 . 3 ( −2x2)2 dx 3 3 1 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y=f(u), u=ϕ(v), v=ψ(x), 则
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复合函数的求导法则: dy = f ′(u)⋅ g′(x) 或 dy = dy ⋅ du . dx dx du dx 例8 y=ex3 , 求 dy . 9 dx 解 函数 y=ex3可看作是由y=e u, u=x3复合而成的, 因此
dy dy du u 2 = ⋅ =e ⋅3x =3x2ex3 . dx du dx dy 例9 y =sin 2x2 , 求 . 10 1+ x dx 解 函数 y =sin 2x 是由 y=sin u , u = 2x 复合而成的, 1+ x2 1+ x2 dy dy du 2(1+ x2) −(2x)2 2(1− x2) = ⋅ =cosu⋅ = ⋅cos 2x2 . 因此 dx du dx (1+ x2)2 (1+ x2)2 1+ x
u(x) u′(x)v(x) −u(x)v′(x) >>> [ ]′ = . 2(x) v(x) v
常用的基本求导公式
常用的基本求导公式1. 乘法法则（Product Rule）：如果y = u(x)v(x)，其中u(x)和v(x)是关于x的函数，则y' = u'v + uv'。
2. 商法则（Quotient Rule）：如果y = u(x)/v(x)，其中u(x)和v(x)是关于x的函数，则y' = (u'v - uv')/v²。
3. 链式法则（Chain Rule）：如果y=f(g(x))，其中g(x)是关于x的函数，f(u)是关于u的函数，则y'=f'(g(x))*g'(x)。
4.幂函数法则：如果y=xⁿ，其中n为常数，则y'=n*xⁿ⁻¹。
5.指数函数法则：如果y = aˣ，其中a为常数，x为变量，则y' = ln(a) * aˣ。
6.对数函数法则：如果y = logₐ(x)，其中a为常数，x为变量，则y' = (1/ln(a)) * (1/x)。
7.反三角函数法则：(1) 如果y = sin⁻¹(x)，则y' = 1/√(1-x²)。
(2) 如果y = cos⁻¹(x)，则y' = -1/√(1-x²)。
(3) 如果y = tan⁻¹(x)，则y' = 1/(1+x²)。
8.双曲函数法则：(1) 如果y = sinh(x)，则y' = cosh(x)。
(2) 如果y = cosh(x)，则y' = sinh(x)。
(3) 如果y = tanh(x)，则y' = sech²(x)。
9.导数的性质：(1) 常数的导数为0，即d/dx(c) = 0。
(2) 变量的导数为1，即d/dx(x) = 1(3) 导数的线性性质，即d/dx(c₁f(x) + c₂g(x)) = c₁f'(x) +c₂g'(x)，其中c₁和c₂为常数，f(x)和g(x)是关于x的函数。
函数求导公式大全法则
函数求导公式大全法则
基本的求导法则如下：1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。
2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。
导数的求导法则
由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。
基本的求导法则如下：
1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合（即①式）。
2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导（即②式）。
3、两个函数的商的导函数也是一个分式：（子导乘母-子乘母导）除以母平方（即③式）。
4、如果有复合函数，则用链式法则求导。
导数的计算口诀
常为零，幂降次
对倒数（e为底时直接倒数，a为底时乘以1/lna）
指不变（特别的，自然对数的指数函数完全不变，一般的指数函数须乘以lna）
正变余，余变正
切割方（切函数是相应割函数（切函数的倒数）的平方）
割乘切，反分式
三角函数求导公式
(sinx)'=cosx
(cosx)'=-sinx
(tanx)'=sec²x=1+tan²x
(cotx)'=-csc²x
(secx)'=tanx·secx
(cscx)'=-cotx·cscx.
(tanx)'=(sinx/cosx)'=[cosx·cosx-sinx·(-sinx)]/cos²x=sec ²x。
求导公式归纳总结
求导公式归纳总结求导是微积分中的一个重要概念，它用于计算函数在某一点的变化率。
求导公式是求导过程中的基础工具，理解和掌握各种求导公式对于解决实际问题至关重要。
本文将对常见的求导公式进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和应用求导知识。
一、基本求导公式1. 常数的导数为0：(c)' = 0，其中c为常数。
2. 变量的一次幂的导数为1：(x^n)' = nx^(n-1)，其中n为正整数。
3. 常见函数的导数：a) 正弦函数的导数：(sinx)' = cosx；b) 余弦函数的导数：(cosx)' = -sinx；c) 指数函数的导数：(e^x)' = e^x；d) 对数函数的导数：(lnx)' = 1/x。
二、基本求导法则1. 常数倍法则：若f(x)可导，则(cf(x))' = cf'(x)，其中c为常数。
2. 和差法则：若f(x)和g(x)可导，则(f(x)±g(x))' = f'(x)±g'(x)。
3. 乘积法则：设f(x)和g(x)可导，则(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
4. 商法则：设f(x)和g(x)可导，且g(x)≠0，则(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]^2。
三、复合函数的求导若y=f(g(x))是由两个函数复合而成的复合函数，即y=f(u)和u=g(x)，则它们的求导公式如下：1. 外函数求导：先对外函数f(u)求导，然后乘以内函数g'(x)，即dy/du · du/dx = dy/dx。
2. 内函数求导：令y=u，则dy/du就是外函数的导数。
然后对内函数u=g(x)求导，即du/dx。
四、三角函数的链式法则链式法则适用于由三角函数和其他函数复合而成的函数。
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§2. 2 函数的求导法则教学目的要求：1. 掌握导数的运算法则，并能灵活应用。
.2. 熟记基本求导公式。
教学重点难点：重点：导数的运算法则难点：复合函数的求导法则教学过程：一、函数的和、差、积、商的求导法则定理1 如果函数u =u(x)及v =v(x)在点x 具有导数, 那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)都在点x 具有导数, 并且[u(x) ±v(x)]'=u '(x) ±v '(x) ;[u(x)⋅v(x)]'=u '(x)v(x)+u(x)v '(x);)()()()()()()(2x v x v x u x v x u x v x u '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡. 证明 (1)hx v x u h x v h x u x v x u h )]()([)]()([lim ])()([0±-+±+='±→ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+±-+=→h x v h x v h x u h x u h )()()()(lim 0=u '(x)±v '(x). 法则(1)可简单地表示为(u ±v)'=u '±v ' .(2)hx v x u h x v h x u x v x u h )()()()(lim ])()([0-++='⋅→ )]()()()()()()()([1lim 0x v x u h x v x u h x v x u h x v h x u hh -+++-++=→ ⎥⎦⎤-+++⎢⎣⎡-+=→h x v h x v x u h x v h x u h x u h )()()()()()(lim 0 hx v h x v x u h x v h x u h x u h h h )()(lim )()(lim )()(lim 000-+⋅++⋅-+=→→→ =u '(x)v(x)+u(x)v '(x),其中0lim →h v(x +h)=v(x)是由于v '(x)存在, 故v(x)在点x 连续. 法则(2)可简单地表示为(uv)'=u 'v +uv '.(3) h x v h x v h x v x u x v h x u h x v x u h x v h x u x v x u h h )()()()()()(lim )()()()(lim )()(00++-+=-++='⎥⎦⎤⎢⎣⎡→→hx v h x v x v h x v x u x v x u h x u h )()()]()()[()()]()([lim 0+-+--+=→ )()()()()()()()(lim 0x v h x v h x v h x v x u x v h x u h x u h +-+--+=→ )()()()()(2x v x v x u x v x u '-'=. 法则(3)可简单地表示为2)(vv u v u v u '-'='. (u ±v)'=u '±v ', (uv)'=u 'v +uv ', 2)(vv u v u v u '-'='. 定理1中的法则(1)、(2)可推广到任意有限个可导函数的情形. 例如, 设u =u(x)、v =v(x)、w =w(x)均可导, 则有(u +v -w)'=u '+v '-w '.(uvw)'=[(uv)w]'=(uv)'w +(uv)w '=(u 'v +uv ')w +uvw '=u 'vw +uv 'w +uvw '.即 (uvw)' =u 'vw +uv 'w +uvw '.在法则(2)中, 如果v =C(C 为常数), 则有(Cu)'=Cu '.例1．y =2x 3-5x 2+3x -7, 求y '解: y '=(2x 3-5x 2+3x -7)'= (2x 3)'-(5x 2)'+(3x)'-(7)'= 2 (x 3)'- 5( x 2)'+ 3( x)' =2⋅3x 2-5⋅2x +3=6x 2-10x +3.例2. 2 sin cos 4)(3π-+=x x x f , 求f '(x)及)2(πf '. 解: x x x x x f sin 43)2(sin )cos 4()()(23-='-'+'='π, 443)2 (2-='ππf . 例3．y =e x (sin x +cos x), 求y '.解: y '=(e x )'(sin x +cos x)+ e x (sin x +cos x)'= e x (sin x +cos x)+ e x (cos x -sin x)=2e x cos x .例4．y =tan x , 求y '.解: xx x x x x x x y 2cos )(cos sin cos )(sin )cos sin ()(tan '-'='='=' x xx x x 22222sec cos 1cos sin cos ==+=. 即 (tan x)'=sec 2x .例5．y =sec x , 求y '.解: x x x x x y 2cos )(cos 1cos )1()cos 1()(sec '⋅-'='='='xx 2cos sin ==sec x tan x . 即 (sec x)'=sec x tan x .用类似方法, 还可求得余切函数及余割函数的导数公式:(cot x)'=-csc 2x ,(csc x)'=-csc x cot x .二、反函数的求导法则定理2 如果函数x =f(y)在某区间I y 内单调、可导且f '(y)≠0, 那么它的反函数y =f -1(x)在对应区间I x ={x|x =f(y), y ∈I y }内也可导, 并且)(1])([1y f x f '='-. 或dydxdx dy 1=. 简要证明: 由于x =f(y)在I y 内单调、可导(从而连续), 所以x =f(y)的反函数y =f -1(x)存在,且f -1(x)在I x 内也单调、连续.任取x ∈I x , 给x 以增量∆x(∆x ≠0, x +∆x ∈I x ), 由y =f -1(x)的单调性可知 ∆y =f -1(x +∆x)-f -1(x)≠0,于是yxx y ∆∆=∆∆1. 因为y =f -1(x)连续, 故0lim 0=∆→y x 从而)(11lim lim ])([001y f yx x y x f y x '=∆∆=∆∆='→∆→∆-. 上述结论可简单地说成: 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 例6．设x =sin y , ]2,2 [ππ-∈y 为直接函数, 则y =arcsin x 是它的反函数. 函数x =sin y 在开区间)2,2 (ππ-内单调、可导, 且 (sin y)'=cos y >0.因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(-1, 1)内有2211s i n 11c o s 1)(s i n 1)(a r c s i n x y y y x -=-=='='. 类似地有: 211)(arccos x x --='. 例7．设x =tan y , )2 ,2 (ππ-∈y 为直接函数, 则y =arctan x 是它的反函数. 函数x =tan y 在区间)2,2 (ππ-内单调、可导, 且 (tan y)'=sec 2 y ≠0.因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(-∞, +∞)内有22211t a n 11s e c 1)(t a n 1)(a r c t a nx y y y x +=+=='='.类似地有: 211)cot arc (xx +-='. 例8设x =a y (a >0, a ≠1)为直接函数, 则y =log a x 是它的反函数. 函数x =a y 在区间I y =(-∞, +∞)内单调、可导, 且(a y )'=a y ln a ≠0.因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(0, +∞)内有ax a a a x y y a ln 1ln 1)(1)(log =='='. 到目前为止, 所基本初等函数的导数我们都求出来了, 那么由基本初等函数构成的较复杂的初等函数的导数如可求呢？如函数lntan x 、3x e 、的导数怎样求？三、复合函数的求导法则定理3 如果u =g(x)在点x 可导, 函数y =f(u)在点u =g(x)可导, 则复合函数y =f[g(x)]在点x 可导, 且其导数为)()(x g u f dxdy '⋅'=或dx du du dy dx dy ⋅=. 证明: 当u =g(x)在x 的某邻域内为常数时, y=f[ϕ(x)]也是常数, 此时导数为零, 结论自然成立.当u =g(x)在x 的某邻域内不等于常数时, ∆u ≠0, 此时有 xx g x x g x g x x g x g f x x g f x x g f x x g f x y ∆-∆+⋅-∆+-∆+=∆-∆+=∆∆)()()()()]([)]([)]([)]([ xx g x x g u u f u u f ∆-∆+⋅∆-∆+=)()()()(, xx g x x g u u f u u f x y dx dy x u x ∆-∆+⋅∆-∆+=∆∆=→∆→∆→∆)()(lim )()(lim lim 000= f '(u)⋅g '(x ). 简要证明:x u u y x y dx dy x x ∆∆⋅∆∆=∆∆=→∆→∆00lim lim )()(lim lim 00x g u f xu u y x u ''=∆∆⋅∆∆=→∆→∆. 例9 3x e y =, 求dx dy . 解 函数3x e y =可看作是由y =e u , u =x 3复合而成的, 因此32233x u e x x e dxdu du dy dx dy =⋅=⋅=. 例10 212sin x xy +=, 求dxdy . 解 函数212sin x xy +=是由y =sin u , 212xx u +=复合而成的, 因此 2222222212cos )1()1(2)1()2()1(2cos xx x x x x x u dx du du dy dx dy +⋅+-=+-+⋅=⋅=. 对复合函数的导数比较熟练后, 就不必再写出中间变量,例11．lnsin x , 求dx dy . 解:)(sin sin 1)sin (ln '⋅='=x x x dx dy x x xcot cos sin 1=⋅=.例12．3221x y -=, 求dxdy . 解: )21()21(31])21[(2322312'-⋅-='-=-x x x dx dy 322)21(34x x --=. 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形. 例如, 设y =f(u), u =ϕ(v), v =ψ(x), 则dxdv dv du du dy dx du du dy dx dy ⋅⋅=⋅=. 例13．y =lncos(e x ), 求dx dy . 解: ])[cos()cos(1])cos([ln '⋅='=x x x e e e dx dy )t a n ()()]sin([)cos(1x x x x x e e e e e -='⋅-⋅=. 例14．x ey 1sin =, 求dx dy . 解: )1(1cos )1(sin )(1sin 1sin 1sin '⋅⋅='⋅='=xx e x e e dx dy x x x xe x x 1cos 11sin 2⋅⋅-=. 例15设x >0, 证明幂函数的导数公式(x μ)'=μ x μ-1.解 因为x μ=(e ln x )μ=e μ ln x , 所以(x μ)'=(e μ ln x )'= e μ ln x ⋅(μ ln x)'= e μ ln x ⋅μ x -1=μ x μ-1.四、基本求导法则与导数公式1．基本初等函数的导数:(1)(C)'=0, (2)(x μ)'=μ x μ-1,(3)(sin x)'=cos x , (4)(cos x)'=-sin x ,(5)(tan x)'=sec 2x , (6)(cot x)'=-csc 2x ,(7)(sec x)'=sec x ⋅tan x , (8)(csc x)'=-csc x ⋅cot x ,(9)(a x )'=a x ln a , (10)(e x )'=e x , (11) a x x a ln 1)(log =' (12) xx 1)(ln =', (13) 211)(arcsin x x -=' (14) 211)(arccos x x --=' (15) 211)(arctan x x +=', (16) 211)cot arc (xx +-='. 2．函数的和、差、积、商的求导法则设u =u(x), v =v(x)都可导, 则(1)(u ±v)'=u '±v ',(2)(C u)'=C u ',(3)(u v)'=u '⋅v +u ⋅v ',(4)2)(vv u v u v u '-'='. 3．反函数的求导法则设x =f(y)在区间I y 内单调、可导且f '(y)≠0, 则它的反函数y =f -1(x)在I x =f(I y )内也可导, 并且)(1])([1y f x f '='-. 或dydxdx dy 1=. 4．复合函数的求导法则设y =f(x), 而u =g(x)且f(u)及g(x)都可导, 则复合函数y =f[g(x)]的导数为 dxdu du dy dx dy ⋅=或y '(x)=f '(u)⋅g '(x).例16. 求双曲正弦sh x 的导数.解: 因为)(21sh x x e e x --=, 所以x e e e e x x x x x c h )(21)(21)s h (=+='-='--, 即 (sh x)'=ch x .类似地, 有(ch x)'=sh x .例17. 求双曲正切th x 的导数.解: 因为xx x ch sh th =, 所以 x x x x 222ch sh ch )(th -='x2ch 1=. 例18. 求反双曲正弦arsh x 的导数.解: 因为)1ln(arsh 2x x x ++=, 所以22211)11(11)a r s h (x x x x x x +=++⋅++='. 由)1ln(arch 2-+=x x x , 可得11)arch (2-='x x .由x x x -+=11ln 21arth , 可得211)arth (xx -='. 类似地可得11)arch (2-='x x , 211)arth (x x -='.例19．y =sin nx ⋅sin n x (n 为常数), 求y '.解: y'=(sin nx)' sin n x + sin nx ⋅ (sin n x)'= ncos nx ⋅sin n x+sin nx ⋅ n ⋅ sin n-1 x ⋅(sin x )'= ncos nx ⋅sin n x+n sin n-1 x ⋅ cos x =n sin n-1 x ⋅ sin(n+1)x .。