二次根式第二、三节
二次根式知识点
二次根式知识点二次根式是初中数学中的一个重要概念，它在数学的学习和实际应用中都有着广泛的用途。
接下来，咱们就来详细聊聊二次根式的相关知识。
首先，咱们得搞清楚啥是二次根式。
一般地，形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。
这里要特别注意，根号下的数 a 必须是非负数，不然就没有意义啦。
那二次根式有哪些性质呢？这可是重点哟！性质一：（√a）²＝ a（a≥0）。
也就是说，一个非负数开平方再平方，还是它本身。
性质二：√a² ＝｜a|。
当a≥0 时，√a² ＝ a；当 a＜0 时，√a² ＝ a。
这个性质在化简二次根式的时候经常用到。
性质三：√ab ＝√a × √b（a≥0，b≥0）。
性质四：√a/b ＝√a ／√b（a≥0，b＞0）。
了解了这些性质，咱们来看看二次根式的运算。
二次根式的加减法，关键是要把二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式（也就是同类二次根式）进行合并。
比如，√8 ＋√18 ＝2√2 ＋3√2 ＝5√2。
二次根式的乘法，就可以直接运用√ab ＝√a × √b 这个性质。
例如，√2 × √6 ＝√12 ＝2√3 。
二次根式的除法，运用√a/b ＝√a ／√b 进行计算。
比如，√12÷√3＝√4 ＝ 2 。
在进行二次根式的运算时，一定要注意化简，把结果化成最简二次根式。
那啥是最简二次根式呢？满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
比如说，√8 就不是最简二次根式，因为 8 可以分解成 4×2，4 还能开方得 2，所以√8 ＝2√2，2√2 就是最简二次根式。
再来说说二次根式的化简。
化简二次根式的时候，经常要用到分母有理化。
分母有理化就是把分母中的根号去掉。
比如，1 ／√2 ，分母有理化就是给分子分母同乘以√2 ，得到√2 ／ 2 。
初三数学目录
初三数学（上下）目录第一章二次根式
第一节二次根式
第二节二次根式的乘除
第三节二次根式的加减
第二章二元一次方程]
第一节一元二次方程
第二节降次—二元一次方程
1 配方法
2 公式法
3 因式分解法
第三节实际问题与二元一次方程第三章旋转
第一节图形的旋转]
第三节中心对称
1 中心对称
2 中心对称图形
3 关于原点对称的点的图表
第四章圆
第一节圆
1 圆
2 垂直于弦的直径
3 弧弦圆心角]
4 圆周角]
第二节与圆有关的位置关系
1 点和圆的位置关系]
2 直线和圆的位置关系
3 圆和圆的位置关系
第三节正多边形和圆
第四节弧长和扇形面积
1 弧长和扇形面积
2 圆锥的侧面积和全面积
第五章概率初步
第一节概率
1 随机事件
2 概率的定义
第二节用举例法求概率]
第二节利用频率估计概率
第六章二次函数
第一节二次函数
第二节用函数观点看一元二次方程第四节实际问题与二次函数
第七章相似
第一节图形的相似
第二节相似三角形
1 相似三角形的判定
2 相似三角形的应用
3 相似三角形的周长与面积
第三节位似
第八章锐角三角函数
第一节锐角三角函数
第二节直角三角形
第九章投影与视图
第一节投影
第二节三视图。
二次根式知识点
二次根式知识点二次根式是关于平方根的表达式，也被称为二次方程的根式形式。
在代数学中，二次根式是一种常见的数学表达形式，它可以用来解决各种问题。
在本文中，我将介绍二次根式的相关知识点，包括定义、性质和应用。
让我们从二次根式的定义开始。
二次根式是指平方根的一种形式表达，它可以写成√a的形式，其中a是一个实数且a≥0。
在二次根式中，a被称为被开方数或被根式数。
接下来，我们来看一下二次根式的性质。
首先，我们知道二次根式的值是非负数，因为根式的定义要求被开方数必须大于等于0。
其次，二次根式具有乘法和除法的性质。
两个二次根式相乘时，可以将它们的被开方数相乘，并且结果仍然是一个二次根式。
两个二次根式相除时，可以将它们的被开方数相除，并且结果仍然是一个二次根式。
最后，二次根式具有化简的性质。
如果一个二次根式的被开方数是一个完全平方数，那么它可以被化简为一个有理数。
除了这些基本性质外，二次根式还有一些特殊形式。
例如，当被开方数是一个平方数时，二次根式可以被化简为一个整数。
当被开方数是一个质数时，二次根式无法被化简为一个有理数，它是一个无理数。
另外，二次根式还可以与其他根式相加或相减，但要求它们的被开方数相同。
二次根式在代数学中具有广泛的应用。
它常用于解决与平方根相关的方程和问题。
例如，在求解二次方程时，我们通常需要使用二次根式的知识。
二次方程是形如ax²+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知实数且a≠0。
我们可以通过求解二次方程的根来解决各种实际问题，例如物体的运动轨迹、图形的面积和体积等。
二次根式还可以用于计算几何问题中的长度、面积和体积等。
例如，当我们需要计算一个正方形的对角线长度时，可以使用二次根式来表达结果。
同样地，当我们需要计算一个球体的体积时，也可以使用二次根式来表示。
二次根式是关于平方根的一种常见数学表达形式。
它具有一些基本性质和特殊形式，并且在代数学和几何学中有着广泛的应用。
通过理解和掌握二次根式的知识，我们可以更好地解决各种数学问题，并应用到实际生活中。
二次根式知识点总结
二次根式知识点总结二次根式是数学中的一种常见的根式表达式，它可以表示为$\sqrt{a}$ 的形式，其中 $a$ 是一个非负实数。
在学习二次根式时，常常会涉及到以下几个方面的知识点。
一、二次根式的性质：1. 非负性：对于任何非负实数 $a$，二次根式 $\sqrt{a}$ 都是非负实数。
2. 平方性：相对应的，对于任何非负实数 $a$，二次根式$\sqrt{a}$ 的平方等于 $a$，即 $(\sqrt{a})^2=a$。
3. 两个二次根式可以相等：如果两个二次根式 $\sqrt{a}$ 和$\sqrt{b}$ 相等，那么 $a$ 和 $b$ 必须相等，即$\sqrt{a}=\sqrt{b}$ 可推出 $a=b$。
二、二次根式的运算：1. 加减运算：两个二次根式可以进行加减运算，只要它们的被开方数相同即可。
即 $\sqrt{a} \pm \sqrt{b}=\sqrt{a \pm b}$。
2. 乘法运算：两个二次根式相乘，可以将它们的被开方数相乘并开方。
即 $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}$。
3. 除法运算：两个二次根式相除，可以将它们的被开方数相除并开方。
即 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$。
4. 有理化分母：当二次根式的分母不含二次根式时，可以通过有理化分母的方法将其转化为含有二次根式的形式。
有理化分母的基本方法是将分母有理化，即乘以一个适当的形式为 $\sqrt{x}$ 的分子与分母相等的有理数，从而使得分母成为没有二次根式的有理数。
三、二次根式的化简：1.合并同类项：当二次根式相加或相减时，可以合并同类项，即将其中具有相同被开方数的二次根式相加或相减，并保持其他二次根式不变。
2.分解因式：当一个二次根式的被开方数可以分解成互质因子的乘积时，可以利用分解因式的方法进行化简。
3.化简根式：当二次根式的被开方数可以开方时，可以进行化简，即将其转化为整数、分数或者更简单的二次根式的形式。
二次根式
二次根式考点归纳第一节二次根式一.二次根式概念一般地，我们把形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“ ”。
如25 可以写作 5 。
二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
式子 a 表示非负数a 的算术平方根，因此a ≥0，a ≥0。
其中a ≥0是 a 有意义的前提条件。
在具体问题中，如果已知二次根式 a ，就意味着给出了a ≥0这一隐含条件。
形如b a （a ≥0）的式子也是二次根式，b 与 a 是相乘的关系。
要注意当b 是分数时不能写成带分数，例如83 2 可写成8 2 3 ，但不能写成2 232 。
二.二次根式的主要性质：1.；2.； 3.；4. 积的算术平方根的性质：；5. 商的算术平方根的性质：.6.若，则.例1、下列各式哪些是二次根式？哪些不是？为什么？（121（219-（321x + （439（56a - （6221x x ---分析：判断一个式子是不是二次根式，一定要紧扣定义，看所给式子是否同时具备二次根式的两个特征：（1；（2）被开方数不小于0。
解答：（1）∵210>21 （2）∵190-<19-（3）∵无论x 取什么实数，都有210x +>，∴21x +（439339（5）当60a -≥，即0a ≤时，6a -是二次根式；当60a -<，即0a >6a -（6）∵2221(1)x x x ---=-+当1x =-时，2(1)0x -+=；当1x ≠-时，2(1)0x -+<。
∴当1x =-221x x ---1x ≠-221x x ---例2、x 是怎样的实数时，下列各式有意义。
（123x -（2137x +（32441x x ---（4222x x -+ 分析：要使上面各式有意义，必须使二次根号下的被开方数非负。
二次根式的ppt课件
变形技巧
根据题目要求，对二次根 式进行变形，如平方差公 式、完全平方公式等。
估算方法
利用二次根式的性质进行 估算，比较大小，求取值 范围等。
易错点提醒
忽略二次根式的非负性。 运算顺序不正确。
变形过程中出错。
感谢您的观看
THANKS
总结词
有理化因式
详细描述
有理化因式是指将一个二次根式化简为最 简二次根式，其关键是将根号下的被开方 数分解为两个互为有理数乘积的因式。
方法
例子
选择与原二次根式相乘后，能够使得根号 内被开方数= sqrt(-7) = sqrt(7)
二次根式是指根号内含有 变量的表达式，其一般形 式为$\sqrt{a}$，其中$a$ 是非负数。
二次根式的性质
二次根式具有非负性，即 $\sqrt{a} \geq 0$，当且 仅当$a=0$时等号成立。
二次根式的运算
二次根式可以与有理数进 行四则运算，运算顺序先 乘方再乘除，最后加减。
方法总结
化简方法
表达式与符号
表达式
二次根式可以表示为$\sqrt{a}$（其 中a是非负数）及其变体，如 $\sqrt[3]{a}$等。
符号
$\sqrt{}$是二次根式的符号，表示求 某个数的平方根。
运算顺序与规则
运算顺序
二次根式的运算顺序与其他数学运算符相同，先乘方再乘除，最后加减。
规则总结
二次根式可以进行加减运算、乘除运算、幂运算等，运算结果需满足二次根式 的限制条件。
05
二次根式的综合例题
代数例题
总结词
二次根式的代数例题主要涉及完全平方公式 、平方差公式以及多项式展开等知识点。
二次根式的运算知识点总结
二次根式的运算知识点总结二次根式是指具有形如√a的表达式，其中a是非负实数。
在数学中，二次根式的运算是一个重要的知识点，掌握了这个知识点，我们可以更好地理解和利用二次根式。
下面将总结二次根式运算的基本规则和常见的运算方法。
一、二次根式的基本规则1. 二次根式的化简：当被开方数存在平方因子时，可以进行化简。
例如√4×3 = √(4×3) = 2√3。
2. 二次根式的乘法运算：对于两个二次根式的乘法运算，可以将两个二次根式的根号内的数相乘，根号外的数相乘，并进行化简。
例如：√2 × √3 = √(2 × 3) = √6。
3. 二次根式的除法运算：对于两个二次根式的除法运算，可以将两个二次根式的根号内的数相除，根号外的数相除，并进行化简。
例如：√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √3。
4. 二次根式的加减运算：对于两个二次根式的加减运算，只能进行同类项相加减，并进行化简。
例如：√2 + √3 无法进行化简，可以写成2√2 + 3√5。
二、二次根式的运算方法1. 二次根式与整数的运算：当二次根式与整数进行运算时，可以将整数视为二次根式的特殊形式。
例如：√2 + 4 = √2 + √(4×4) = √2 + 2√2 = 3√2。
2. 二次根式的有理化：有时候需要将二次根式的分母变为有理数，这个过程称为有理化。
有理化的方法有两种：(1) 乘以共轭根式：对于分母中含有二次根式的情况，可以通过乘以分母的共轭根式来进行有理化。
例如：(3 + √2)/(1 + √2) = [(3 + √2)/(1 + √2)] * [(1 - √2)/(1 - √2)] = (3 - 3√2 + √2 - 2)/(1 - 2)= (1 - 2√2)/(-1)= 2√2 - 1(2) 分离根号：对于分母中含有二次根式的情况，可以通过将二次根式的根号部分与非根号部分分离，并进行化简，从而实现有理化。
人教版九年级数学上册教案：二次根式
人教版九年级数学上册教案：二次根式一、教学目标1.理解二次根式的概念，能够将二次根式化为最简式。
2.掌握二次根式的运算法则，能够进行二次根式的加、减、乘、除运算。
3.能够应用二次根式进行代数式的化简、方程的解法等数学问题的求解。
二、教学重点1.二次根式的概念和最简式的求解方法。
2.二次根式的加、减、乘、除法则及其运用。
3.能够将代数式化简为二次根式的形式，并能应用二次根式解决相关数学问题。
三、教学难点1.能够熟练运用二次根式的运算法则进行相关数学运算。
2.能够将代数式化简为二次根式的形式，并应用二次根式解决相关数学问题。
四、教学内容与方法A. 教学内容第一节：二次根式1.二次根式的概念2.二次根式的化简方法3.二次根式的性质第二节：二次根式的加减法和乘法1.二次根式的加减法2.二次根式的乘法及其运用第三节：二次根式的除法和应用1.二次根式的除法及其运用2.将代数式化简为二次根式的形式3.应用二次根式解决相关数学问题B. 教学方法1.教师讲授法：通过讲解概念、性质、公式及样例等内容，引导学生逐步理解二次根式，并掌握相关的运算法则和解题技巧。
2.组合练习法：通过经典案例，让学生运用二次根式进行加、减、乘、除的运算，以及代数式的化简和相关问题的求解等，从而提高他们的理论水平和实际运用能力。
3.实践体验法：通过互动教学、团队合作、模拟测验等方式，让学生在实践中感受二次根式的实际应用，从而加深他们对二次根式概念、性质及其运算方法等的认知和理解，同时培养他们的数学思维和创新能力。
五、教学过程A. 概念教学1.向学生介绍二次根式的概念，并且提供一些简单的实验让学生加深对概念的理解。
2.猜想二次根式的化简方法，并通过案例进行验证。
3.介绍二次根式的性质，帮助学生加深对二次根式的理解和认知。
B. 运算法则1.通过样例演示二次根式的加减法和乘法，并提供练习题让学生巩固运算法则。
2.介绍二次根式的除法及其应用，并且应用解决一些相关数学问题。
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二次根式的乘除
1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。
3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方
根
4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的
左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．
【例16】化简
1525⋅
0,0≥≥y x 32⨯
【例17】计算（1） （2） （3） （4）
（5）
（6） （7） （8）
【例18】化简：
)0,0(≥>b a
)0,0(>≥y x )0,0(>≥y x
【例19】计算：（4
【例20】=
x 的取值范围是（ ）
A 、2x >
B 、0x ≥
C 、02x ≤≤
D 、无解
二次根式的加减
需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简
二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数．
【例20】计算（1）；
（2）⎛- ⎝；
（3
【例21】 （1）
（2a b +-
（33a -+（4）-⎝
二次根式的混合计算与求值 1、确定运算顺序；2、灵活运用运算定律； 3、正确使用乘法公式；
4、大多数分母有理化要及时；
5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；
1、
a b b a ab b 3)23(235÷-⋅ 2、 22 (212 +418
－348 )
3、 13
16、673)32272(-⋅++
5、62332)(62332(+--+）
6、)54)(54()523(2-+-+
7、1110)562()562(+- 8、)0()122510(931
2>--m m
m m m m m
【例21】 1．已知：，求的值．
2．已知，求的值。
3．已知：，求的值．
4．求
的值．
5．已知、是实数，且，求的值．
根式比较大小
1、根式变形法 当0,0a b >>时，①如果a b >，>②如果a b <，<。
2、平方法 当0,0a b >>时，①如果22a b >，则a b >；②如果22a b <，则a b <。
3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。
4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。
5、倒数法
6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。
7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：①0a b a b ->⇔>；②0a b a b -<⇔<
8、求商比较法它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：①1a a b b
>⇔>； ②1a a b
b <⇔<
【例22】 比较的大小。
（用两种方法解答）
【例23】
的大小。
【例24】
【例25】的大小。
【例26】33的大小。