东华大学《线性代数》2015-2016(1)线代A试卷A
东华大学《线性代数》期末考试题2017-2018(1)线代A试卷A
东华大学 2017-2018 学年第一学期线性代数A 试卷A踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。
一1. 03121111x中一次项x 的系数为 .2. 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=010311A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=310101B ，则=AB . 3. 设三阶方阵B A ,满足关系式BA A BA A +=61-，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=714131000000A 则=B . 4.矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3223-01-042A 的秩为 . 5.设B A ,均为n 阶矩阵，3-2==B A ，，则=1-*2BA6.正交矩阵的行列式为7. 、设C B A ,,为n 阶方阵，且E ABC =，则必有=BCA .8.已知二次型32312123222142244x x x x x tx x x x f +-+++=为正定二次型的条件为9.已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11a β是矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=302212221A 的特征向量，则=a 10.设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=a b b a A ，其中1,022=+>>b a b a ，则A 为 矩阵.二.（10分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为11321==-=λλλ，，对应于1λ的特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1101ξ，求A 。
三、（10分）已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100110111A ，且I AB A =-2,其中I 为三阶单位阵，求矩阵B .四、（10分）已知3R 中的向量组321ααα，，线性无关，向量组,211ααβk -=,322ααβ+=,133ααβk +=线性相关，求k 的值。
五、（12分）设矩阵B A 、相似，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=a A 33242111，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=b B 00020002（1）求b a 、的值。
（2）求可逆矩阵P 使得B AP P =1-六、（12分）λ取何值时方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=+-=-+1554212321321321x x x x x x x x x λλ无解？有唯一解？有无穷多解？并在无穷多解时写出方程组的通解。
线性代数试题线性代数试卷及答案大全(173页大合集)
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
取 ，则有 。
八、（本题8分）证明：由
得 的特征值 ，
，
故 的最大特征值是 。
试卷2
闭卷考试时间：100分钟
一、填空题（本题15分，每小题3分）
1、若n阶行列式零元素的个数超过n（n-1）个，则行列式为。
三、（本题8分）解：从第一行开始，每行乘 后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：
原式= 。
四、（本题12分）解：由 ，得： ，
可逆，故 ；
由于 ， 。
五、（本题14分）解：（1）令 ， ，
则 线性无关，故 是向量组 的一个极大无关组；
（2）由于4个3维向量 线性相关，
若 线性无关，则 可由 线性表示，与题设矛盾；
A:矩阵A必没有零行
B:矩阵A不一定是阶梯形矩阵
C:矩阵A必有零行
D:矩阵A的非零行中第一个不等于零的元素都是1
非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵(A b)的秩都等于3，A是3×4矩阵，则▁▁▁。【A】
A:方程组有无穷多解
B:无法确定方程组是否有解
C:方程组有唯一解
D:方程组无解
试卷1
4、若 阶实方阵 ， 为 阶单位矩阵，则（ ）。
（A） （B）
（C） （D）无法比较 与 的大小
5、设 ， ， ， ，其中 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）。
（A） ( B) (C) (D)
三、（10分）计算 阶行列式 ， 的主对角线上的元素都为 ，其余位置元素都为 ，且 。
四、（10分）设3阶矩阵 、 满足关系： ，且 ，求矩阵 。
B:Ax=0的基础解系中的解向量的个数不可能为n-r
参考答案2015-2016几何与多元微积分A(上)_A卷
（2） 若 r > 1 ，则由 lim
n →∞
an +1 = r > 1 ，推知 n 充分大时 an +1 > an ，故 an
lim an ≠ 0 ⇒ lim an ≠ 0 ，此与条件矛盾。
n →∞ n →∞
（3） 若 r = 1 ，则由 lim 件收敛矛盾。 综上得
∞
∞ an +1 = 1 ，推知 n 充分大时， an 同为正值或同为负值，与 ∑ an 条 n →∞ a n =1 n
x − 2 y − 2z +1 12 + (Leabharlann 2) 2 + (−2) 2
去掉绝对值符号，得所求平面方程为
=
3x − 4 y + 5 32 + (−4) 2
7 x − 11 y − 5 z + 10 = 0
或
2 x − y + 5z + 5 = 0
4、求常数项级数
∞
3n −1 − 1 的和. ∑ n −1 n =1 6
π ⎧ ⎪1, 0 ≤ x < 2 ⎪ π ⎪ = < x≤π 和函数 s ( x) ⎨0, 2 ⎪ π ⎪1 ⎪2 , x = 2 ⎩
四、 （6 分）求直线 L : 曲面？ 解：设 P ( x, y , z ) 为旋转曲面上任一点，它是由直线 L 上 Q( x1 , y1 , z1 ) 点绕 z 轴旋转所得，则
4、在空间直角坐标系中，方程 y = 2 x 表示的曲面是 抛物柱面 ，方程 z = 1 −
2
示的曲面是 圆锥面 . 5、设 u ( x, y , z ) = z
z z x −3 x dx − y 2 dy + ，则 du = 2 y 2 xy
东华大学 线性代数试题答案
线代B 试卷答案一、填空题（每小题4分，共40分）.1、132. 2、1632816−−⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 3、2−. 4、1(2)X A E A −=− 5、7A =. 6、 73⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 7、24−.8、可能无解. 9、 101⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦，1. 10、1,2,2,− 1. 二、3132332131323211421419 6.421214111or C C C −−−++=−+=−−+=− （6+1分）三、2131101100101100[,]111010010110112001011101r r r r A I −−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−⎯⎯⎯→−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦32132(1)101100100311010110010110001211001211r r r r r +−×−−−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎯⎯⎯→−⎯⎯⎯→−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦， 故 1311110.211A −−−⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥−⎣⎦（6+1分）四、123102*********[]012101210121110201210000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−→−−→−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦a a ab （5分） 122323,2 1.x x x x +=⎧⎨−=−⎩ 有无穷多解。
b 是123,,a a a 线性组合， （1分）且b 123(32)(12)a a a λλλ=−+−++，λ是任意常数. （1分）五、与121u ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥−⎣⎦正交的向量x y z ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦应满足方程20x y z +−= (3分)它的一个基础解系为12110,1,11v v −⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. (2分) 故与u 正交的所有向量 121101,11x y k k z −⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟=+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠ 其中12,k k 为任意常数. (1分){}(,,)20T H x y z x y z =+−=是一个平面，它是3 的子空间，维数是2. (2分)六、证 123121912191219[]2575015130151337810152800015v v v p −−−−−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−−−−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦∼∼2分方程112233++=x v x v x v p 无解，p 不属于ColA . 1分由121902575037810Ap −−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=−−=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得p 属于NulA 1+1分（2）由[]123121121257015378000−−⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==−−−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦∼A v v v ， 得123,,v v v 线性相关，故123,,v v v 不可以生成3R . 1分ColA 的基为12122,537⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−=−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦v v ，维数为2. 1+1分由1232320,50,x x x x x +−=⎧⎨−=⎩ 得 NulA 的基为951−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，维数为1. 1+1分七、解法一 111111111a A a a ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠211101110011a a a a a a ⎛⎞⎜⎟⎯⎯→−−−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠ 111010(1)(2)0011a a a a a a ⎛⎞⎜⎟⎯⎯→−−+⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠4分（a ） 当1a ≠时，11110010102010200110011a A a a −⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎯⎯→+⎯⎯→+⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠⎝⎠方程组有唯一解1231,2, 1.x x a x =−=+=− 2+1分（b ） 当1a =时，111100000000⎛⎞⎜⎟⎯⎯→⎜⎟⎜⎟⎝⎠A对应方程为1231x x x ++=，令2132,x k x k ==，得11221321,,,x k k x k x k =−−+⎧⎪=⎨⎪=⎩ 故通解为12123111100,010x x k k x −−⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟=++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠其中12,k k 为任意常数. 2+1分解法二 211111111011(1)1101A a a a a aa ==−−=−−−， 4分（a ）当1a ≠时，0A ≠，方程组有唯一解；唯一解1231,2, 1.x x a x =−=+=− 2+1分 （b ）当1a =时，111111111111A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠111100000000⎛⎞⎜⎟⎯⎯→⎜⎟⎜⎟⎝⎠， 方程组有无穷多解.(通解的求法同解法一）. 2+1分八、二次型的矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=100032023A ,（2分）0)5()1(100320232=−−−=−−−−−=−λλλλλλE A ,特征值1,5321===λλλ. （2分）当51=λ时，0)5(=−x E A的系数矩阵,000100011~4000220225⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−=−E A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=0111p . （1分）当132==λλ时，0)(=−x E A的系数矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=−000000011~000022022E A , ,0112⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=p .1003⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=p （2分）,1p ,2p 3p 已经正交, 单位化,得⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=011211e ,⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=011211e ,.1003⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=e令()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−==20001101121321e e e P (1分） 作变换y P x=，二次型化为标准形 2322215y y y f ++=. （1分） 该二次型f 是正定的. （1分）二次型f 在1Tx x =时的最大值是5. （1分）。
15~16_1_工程数学(1)试卷A
.
⎡5⎤
⎡−1⎤
7、设向量
u
=
⎢ ⎢
2
⎥ ⎥
与
v
=
⎢ ⎢
4
⎥ ⎥
正交，则
λ
=
.
⎢⎣−1⎥⎦
⎢⎣ λ ⎥⎦
8、矩阵
A
=
⎡4 ⎢⎣2
−3⎤ −1⎥⎦ 的特征值为
，对应的特征向量为
.
9、二次型 f (x1, x2 , x3 ) = 3x12 + x22 + 5x32 + 8x2 x3 对应的矩阵 A =
，
八、(10 分) 设 u1, u2 , u3 是两两正交的 3 维单位向量，令 A = E − 2u1u1T , 其中 E 是单位阵. （1）验证 u1, u2 , u3 是 A 的特征向量，并指出对应的特征值 λ1, λ2 , λ3 ； （2）给出正交变换 x = P y ，将二次型 f ( x) = xT Ax 化为标准形，并写出新的二次型； （3）证明 A = λ1u1u1T + λ 2u2u2T + λ3u3u3T .
的是
.
⎡ 1 −1 5 ⎤
5、设矩阵
A
=
⎢ ⎢
2
0
7
⎥ ⎥
,
则方程 Ax
= 0 的通解为
.
⎢⎣−3 −5 −3⎥⎦
6、设向量 u，v 是方程 ( A − λ E) x = b 的两个不同的解， E 是单位阵， 则 u 、 v 、 u + v 、
u − v 中一定是矩阵 A 对应特征值 λ 的特征向量为
东华大学 2015--2016 学年第一学期期末试题 A 卷
踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。
《线性代数》东华大学 2016--2017 学年第二学期期末试题 A 卷
矩阵.
a11 a12 a13
4a11 a13 2a11 − 3a12
2、设行列式 a21 a22 a23 = 1 ，则行列式 4a21 a23 2a21 − 3a22 =
.
a31 a32 a33
4a31 a33 2a31 − 3a32
3、设
A
=
⎡1 ⎢⎣4
2⎤ 3⎥⎦
,
B
=
⎡x ⎢⎣2
1⎤ −1⎥⎦
4
b
及特征
⎢⎣−1⎥⎦
⎢⎣−1 b −2 ⎥⎦
向量 v 所对应的特征值 λ 。
2
⎡ 2 2 3⎤
五、（7
分）已知矩阵
A
=
⎢ ⎢
1
−1 0⎥⎥ ，用行化简法求 A−1 .
⎢⎣−1 2 1⎥⎦
⎡1 1 1 4 ⎤
⎡−3⎤
六、（9
分）设
A
=
⎢⎢1 ⎢2
−1 1
3 3
−2⎥⎥ 5⎥
,
u
=
⎢⎢ −1⎥⎥ ⎢−5⎥
7、设向量
⎢ ⎢
2⎥⎥
,
⎢⎢k
⎥ ⎥
,
⎢⎢−1⎥⎥ 线性相关，则参数 k 满足条件
.
⎢⎣1⎥⎦ ⎢⎣0⎥⎦ ⎢⎣ 1 ⎥⎦
⎡1⎤
⎡ x1 ⎤
8、写出与向量
⎢⎢−2⎥⎥
正交的所有向量
⎢ ⎢
x2
⎥ ⎥
=
.
⎢⎣ 1 ⎥⎦
⎢⎣ x3 ⎥⎦
9、 3× 3 矩阵 A 的特征值为 −2, 1, 3 ，则四个矩阵 2I − A, 2I + A, I − A, A − 3I 中为可逆矩
x4 = − x4
线性代数A试卷答案(无框版)
−1
B、 A + B
C、 ( A + B ) − 1
D、 A( A + B) B
−1
)5 设 α1 ,α 2 ,… ,α m 是 n 维向量组, 下列命题中正确的是( B )
A、如 α m 不能由 α1 ,α 2 ,… ,α m −1 线性表示 , 则 α 1 ,α 2 ,… ,α m 线性相关; B、如 α1 ,… ,α m 线性相关 , α m 不能由 α 1 ,… , α m −1 线性表示 , 则 α1 ,α 2 ,… ,α m −1 线性相关 ; C、如 α 1 ,α 2 ,… ,α m 中, 任意 m − 1 个向量都线性无关 , 则 α 1 ,α 2 ,… ,α m 线性无关; D、零向量不能由 α 1 ,α 2 ,… ,α m 线性表示 .
得分
评阅人
三、计算题（每题 9 分, 共 45 分. ）
⋯ 0 ⋯ 0 ⋱ ⋮ ⋯ x ⋯ a2 0 0 ⋮ 的值. −1 a1 + x
10
x −1 0 0 x −1 计算 n 阶行列式 D = ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 an an−1 an−2
解：采用按最后一行展开计算，可得结果 D = a n ( − 1) n + 1 ( − 1) n − 1 + a n − 1 ( − 1) n + 2 ( − 1) n − 2 x + ⋯
四、证明题（每题 10 分, 共 20 分）
n-1
15
设 A 为 n(n ≥ 2) 阶方阵, 证明 : A* = A
n
.
证：因为 AA* = A E. ，所以 A A* = A . 分两种情况证明
(1) A ≠ 0. 由上式可知 A* = A
华理线性代数答案
⎡ 35 ⎤ ⎥ 解： (1) ⎢ ⎢ 6 ⎥ ；(2) 14；(3) ⎢ ⎣ 49 ⎥ ⎦
⎡ −1 2 ⎤ ⎢ −2 4 ⎥ ；(4) ⎡ 6 −7 8 ⎤ . ⎢ 20 −5 −6 ⎥ ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ −3 6 ⎦
⎡0 1 0⎤ ⎥ 4. 已知矩阵 A = ⎢ ⎢0 0 1 ⎥ ，试求与 A 可交换的所有矩阵. ⎢ ⎣0 0 0⎥ ⎦
不脱产职工 6680 人，轮训职工 3320 人.
⎡2 1⎤ ⎡ 3 −1⎤ 8. 设矩阵 A = ⎢ ，B = ⎢ ⎥ ⎥， ⎣ −4 −2 ⎦ ⎣ −6 2 ⎦
求: (1) AT BT − BT AT ;
(2) A2 − B 2 .
解： (1)
⎡ 2 −4 ⎤ ⎡ 3 −6 ⎤ ⎡ 3 −6 ⎤ ⎡ 2 −4 ⎤ AT BT − BT AT = ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ 1 −2 ⎦ ⎣ −1 2 ⎦ ⎣ −1 2 ⎦ ⎣1 −2 ⎦ ⎡10 −20 ⎤ ⎡0 0 ⎤ ⎡10 −20⎤ =⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥； ⎣ 5 −10⎦ ⎣0 0 ⎦ ⎣ 5 −10⎦
⎡17 −6 ⎤ ⎡ 2 3 ⎤ ⎡ 2 0⎤ ⎡ −7 3 ⎤ ⎡3197 −1266 ⎤ 解： ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ =⎢ ⎥. ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎣35 −12 ⎦ ⎣ 5 7 ⎦ ⎣ 0 3⎦ ⎣ 5 −2⎦ ⎣ 7385 −2922 ⎦ 7. 某公司为了技术革新，计划对职工实行分批脱产轮训，已知该 公司现有 2000 人正在脱产轮训，而不脱产职工有 8000 人，若每 年从不脱产职工中抽调 30%的人脱产轮训，同时又有 60%脱产轮 训职工结业回到生产岗位，设职工总数不变，令 ⎡0.7 0.6 ⎤ A=⎢ ⎥, ⎣ 0.3 0.4 ⎦ ⎡8000 ⎤ X =⎢ ⎥ ⎣ 2000 ⎦
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踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。
课程名称__性代数 A 使用专业__全校各专业__教师_____
班号____姓名______学号____________考试教室________
试题 一
二
三
四
五
六
七 总分
得分
一. 填空题(每小题 4 分,满分 40 分)
a11 a12 a13 a14
1. 写 出 4 阶 行 列 式 a21 a31
a22 a32
a23 a33
a24 a34
中 含 因 子 a11a23 的 项 为
a41 a42 a43 a44
_________。
a2 ab b2
2. 行列式 2a a b 2b 0 的充分必要条件为___________。
求向量组 A 的秩及一个最大无关组.
2/4
四. (12 分)讨论 k 为何值时，方程组
x1 x1
x2 kx3 kx2 x3
1 1
kx1 x2 x3 1
（1） 有唯一解；（2）有无穷多解,并求出通解；（3）无解。
五. (12 分)求正交变换 X PY ,将二次型
f 2x12 2x22 2x32 2x1 x2 2x1 x3 2x2 x3
化为标准形,并写出其标准形.
3/4
六 . (10 分 ) 设 1 1, 2 1 2,, n 1 n 且 1,,n 线性无关,证明: 1,, n 线性无关.
,且
RA
3,则 t来自_________。1 3 t
1/4
二. (10 分)解矩阵方程
1 2 3
2 2 4
3 1 3
X
2 5
13
1 2 3
3 0 求 X 。 1
三、(12 分)设向量组
A :1 1, 4,1, 0T ,2 2,1, 1, 3T ,3 1, 0, 3, 1T ,4 0, 2, 6,3T
111
3. 设 A 为方阵,满足 A2 A 2E 0,则 A1 _________。 4. A, B,C 同阶方阵, A 0 ,若 AB AC ,必有 B C ,则 A 应为
_______矩阵。
5. 设 A 为 n 阶方阵, Ax 0 有非零解,则 A 必有一个特征值为
8. 由 1 0,1,1,2 1,0,1,3 1,1,0 所 生 成 的 线 性 空 间 为
_________。
9. 二次型 f 5x2 6 y2 4z2 4xy 4xz 的正定性为________。
1 10.若 A 2
0 2
1 3
_________。
1 2 2
1
6. 设 A 2 1 2 相 似 于 对 角 阵
5
,则
2 2 1
_________。
7. 设向量组 A :1,,r 是向量组T 的一个最大无关组,则 A 与T 间
关系为___________。
七. (4 分)设 A 为 m 阶正定阵, B 为 m n 矩阵，证明： BT AB 为正定 阵的充要条件是 R(B) n 。
4/4